2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试理科数学试卷及答案
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}3sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．{}1,0-【答案】D【解析】化简集合,A B ，利用集合交集的定义计算即可． 【详解】集合{}{}21,1,0,3,8...A y y x x Z ==-∈=-，{}{}3sin ,|11B y y x x R x x ==∈=-≤≤则AB ={}1,0-故选：D 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查三角函数的性质，属于基础题．2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先化简z ，求出a ，再判断即可. 【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.3．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）． A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】直接列方程组求出1a 和公比q ，然后由前n 项和公式得结论． 【详解】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）． ∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ． 【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题方法是基本量法，即求出首项1a 和公比q ，然后直接直接由公式计算．4．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】利用a b ⋅的坐标运算列方程求出1tan 2α=-，再将22sin cos 2sin cos αααα-变形，用tan α表示出来，代入tan α的值即可.【详解】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---， 故选：A . 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题. 5．要得到函数()f x x =的图像，只需将函数()sin 2cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移34π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】B【解析】把()g x 化为一个角的一个三角函数形式（余弦型），然后由三角函数的图象变换可得． 【详解】()sin 2cos 2224444g x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=++⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦322)244222x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把()g x 的图象向左平移4π个单位可得()f x 的图象． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，解题需把两个函数化为同名函数，如本题中都化为cos()y A x ωϕ=+形式，然后可由图象变换的概念得出结论．6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2113234m m m a a a -+-+=，214038m S -=，则m =（ ）.A ．1000B ．1010C ．1020D ．1030【答案】B【解析】利用等差数列的性质求出m a ，再由前n 项和求得m ． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴2211323624m m m m m a a a a a -+-+=-=，解得1m a =或2m a =，若1m a =，则21(21)214038m m S m a m -=-=-=，40392m =，不合题意，舍去， ∴2m a =，21(21)2(21)4038m m S m a m -=-=-=，解得1010m =． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质可以更快更准地求解．7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．189B ．1024C ．1225D ．1378【答案】C【解析】试题分析：三角形数的通项公式是，正方形数的通项公式是，所以两个通项都满足的是，三角形数是，正方形数是．【考点】数列的通项公式8．边长为12的正三角形ABC 中，E 为BC 中点，F 在线段AC 上且12AF FC =，若AE 与BF 交于M ，则MA MB ⋅=（ ） A ．-12 B ．27-C ．152-D ．274-【答案】B【解析】首先取CF 的中点G ，连接EG ，根据题意易证M 为AE 的中点，再以E 为坐标原点，BC ，AE 分别为x ，y 轴，建立直角坐标系，求出MA ，MB 的坐标，利用数量积公式计算即可. 【详解】如图所示：取CF 的中点G ，连接EG ，因为12AF FC =， 所以G 为CF 的中点. 又因为E 为BC 中点， 所以//EG BF ，即//EG MF . 因为F 为AG 的中点， 所以M 为AE 的中点.以E 为坐标原点，BC ，AE 分别为x ，y 轴，建立直角坐标系，如图所示：因为正三角形ABC 的边长为12，所以()0,0E ，(0,63A ，(0,33M ，()6,0B-，(MA =，(6,MB =--，所以27MA MB ⋅=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，根据题意建立坐标系为解题的关键，属于中档题.9．若3cos 22sin()4παα=+，3(,)2παπ∈，则sin 2α的值为（ ）A ．9-B ．9-C ．79-D ．79【答案】D【解析】先化简3cos 22sin()4παα=+得cos sin 3αα-=，再平方即得解. 【详解】因为3cos 22sin(),4παα=+所以3cos 22(sincos cossin ),44ππααααα=+=+所以223(cos sin )sin )αααα-=+，所以3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=+，因为3(,)2παπ∈，所以cos sin 0αα+≠，所以3(cos sin )αα-=所以cos sin 3αα-=两边平方得，21sin 29α-=， 所以7sin 29α=， 故选：D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log )10f =（ ）A ．35B ．8C ．35D ．38-【答案】C【解析】根据题意，由(2)()f x f x +=-分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，则可得22(log 10)(log 104)f f =-，结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，222log 83log 10log 164=<<=，则22(log 10)(log 104)f f =-，又由函数为奇函数，则21610og 22l 2163(log 104)(4log 10)(log )(21)105f f f -=--=-=--=-，则23(log 10)5f =-， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查运算求解能力，求解时注意分析函数的周期性.11．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22cos cos 252A CB -+=，且ABC 2，则角B =（ ） A ．π6 B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】B【解析】利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出sin B 的值，再根据cos B 的范围求出角B . 【详解】()()22cos cos cos 1cos 252A C B A C A C -+=-+-+=， 即5cos cos sin sin 1cos cos sin sin 2A C A C A C A C ++-+=，所以3sin sin 4A C =，213sin 24ABCS ac B b ==， 利用正弦定理得：213sin sin sin sin 2ABCSA CB B ==， 将3sin sin 4A C =代入可得：3sin B =， 因为()0,C π∈，所以3C π=或23C π=， 因为2cos 2cos 522A C B -=-，且2cos 12A C -≤，所以51cos 222B ≥-=， 所以3B π=，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换和三角形的面积公式解三角形，属于中档题. 12．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB mAM =，AN nAD =()0,0m n >>，则1mn +的最小值为（ ）A ．22B ．1C ．22D ．2【答案】D【解析】利用AM 、AN 表示AO ，然后结合平面向量基本定理可得1122m n+=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，1122AO AB AD =+， AB mAM =，AN nAD =，1122AO mAM AN n=+，因为O M N 、、三点共线，所以1122m n+=，所以111111122222212m mn m m n mn n n ⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+= ⎪+⨯ ⎪⎭⎝⎭=⎝， 当且仅当1m n ==时，等号成立 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，以及基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为120，向量1232m e e =-，则m =_____．【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值，进而可求得m 的值.【详解】根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为120，则121211cos1201122e e e e ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，因为1232m e e =-， 所以()2222212112213291241312192m m e ee e e e ==-=-⋅+=+⨯=， 所以19m =【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________. 【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用2a ，312a ，1a 成等差数列求出q 的值，化简7856a a a a ++并代入求值即可．【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则2222785656561322a a a q a q q a a a a ⎛++==== ++⎝⎭.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义，得出要求的比值为2q 是解决问题的关键，属较易题．15．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________． 【答案】24【解析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可． 【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==． 最小值为||114PA -== 故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角4B π=且4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为_____________.【答案】8(1【解析】对已知条件进行角化边得()2224a c babc +-=，结合4B π=和余弦定理计算可得b =2232a c =+，再由不等式222a c ac +≥计算可得32ac ≤+.【详解】由4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，得：222444a c abc b +=+，整理得：()2224a c b abc +-=，又4B π=，所以cos 2B =，所以222114cos 2282abca cb B b ac ac ====+-，解得b =又(2222a c ac =+-，即2232a c +=+， 又222a c ac +≥，所以322ac +≥，所以32ac ≤+1sin 321628122ABCS =ac B ==+∆.故答案为：8(1+. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查三角形面积最值的计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足252n n nS +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n nan n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）2n a n =+；（2）28(41)nn T n =-+.【解析】（1）由n a 与n S 的关系解出n a 即可； （2）写出n b ，再分组求和． 【详解】当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2211515222n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=+， 显然13a =满足上式， 综上：2n a n =+；（2）由（1）知()()2212nn n b n +=+-+，()()()2221243456212212n n T n n -=⨯+-+-+--+++⎡⎤⎣⎦- 8(41)n n =-+.【点睛】本题考查数列通项的求法，考查分组求和法和并项求和法求数列的前n 项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．18．已知向量()cos ,sin ,(cos ,sin ),105a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α. 【答案】（1）45；（2）1665. 【解析】（1）对等式10a b -=进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出sin()αβ-的值，再由同角三角函数关系式结合sin β的值求出cos β的值，最后利用两角和的正弦公式求出sin α的值即可. 【详解】（1）1,1a b ==，()()2210242555a b aa b ba b -=⇒-⋅+=⇒⋅=44cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=； （2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而4cos()5αβ-=， 所以sin()35αβ-==，因为02πβ-<<，5sin 13β=-， 所以12cos 13β==. 因此有16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=. 【点睛】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.属于中档题.19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1055S S =，64202a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，证明：58n b ≤ 【答案】（1）43n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）设出通项公式，代入已知条件计算首项和公差；（2）代入（1）的结果，由1212112n n n b b b a a a +++=-，求得1b ，进一步求得12n n n b a =-，得到{}n b 的通项公式，利用做差法得到判断数列{}n b 的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，()11n a a n d +-=，∵1055S S =，64202a a +=，()()11115(510)104532520a d a d a d a d ⎧+=+⎪∴⎨+=++⎪⎩， ∴11a =，3d =-，∴1(1)(3)43n a n n =+-⨯-=-.（2）∵*12312311,2n n n b b b b n a a a a +++⋯+=-∈N ，① ∴1n =时，11112b a =-， ∴112b =-， 2n 时，*12311123111,2n n n b b b b n a a a a ---+++⋯+=-∈N ，② ①-②得：111111222n n n n n b a -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭， ∴1(34)2n nb n =-⨯，又112b =-也符合上式， ∴1(34)2n n b n =-⨯， 又11372n n n n b b ++-+-=，∴当2n 时，10n n b b +->； 当3n 时，10n n b b --<， ∴数列{}n b 先单调递增再递减， ∴358n b b =. 【点睛】本题主要考查了数列通项公式的计算和求和.属于中档题. 20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足242cos 1cos cos sin cos 23C A B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围． 【答案】（1）3cos 5B =；（2）[2)5. 【解析】（1）利用诱导公式，两角和的余弦公式化简变形可得tan B ，再由同角关系求得cos B ；（2）由正弦定理得2c a =-，再用余弦定理求出b （表示为a 的函数），由(0,2)a ∈可得b 的范围． 【详解】 （1）4cos cos cos sin cos cos()cos cos sin sin 3C A B A B A B A B A B =-+=-+=-+，所以4sin sin sin cos 3A B A B =， 4tan ,(0,),3B B π∴=∈∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故由22sin 4cos 3sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得4sin 53cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴3cos 5B =． （2）由正弦定理2(sin sin C)2,2R A a c c a +=+==-，222222661632(2)(2)45555b a c ac a a a a a a ∴=+-=+---=-+24(0,2)[,4)5a b ∈∴∈2)b ∴∈． 【点睛】本题考查诱导公式、两角和的余弦公式、同角间的三角函数关系，考查正弦定理和余弦定理，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题． 21．已知函数()()1()ln 1a x f x x a R x -=-∈+ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点，求证：1212()()();22x x f x f x f ++< （3）设m 为整数，且对于任意的正整数n ，有2111+11,222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 求m 的最小值.【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析；（3）3. 【解析】（1）对函数求导，然后讨论a 求单调性； （2）当2a >时，()12121()()0,()(1)ln(1)(2)22x x f x f x f f a a a ++==-=---构造函数利用单调性证明；（3）利用函数的单调性求得最小值. 【详解】2'22(1)1()(0)(1)x a x f x x x x --+=>+4(2)a a ∆=-令2()2(1)1(0)p x x a x x =--+>，（1）当'02,0()0,()0a p x f x ≤≤∆≤∴>≥，()f x ∴在0+∞（，）单调递增， 当2a >时，12122(1)00,10x x a x x +=->⎧∆>⎨=>⎩，得1211x a x a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩当(0,1x a ∈-或(1)x a∈-++∞，'()0f x >，()f x 所以单调递增，当(11x a a ∈--时，'()0f x <，()f x 所以单调递减， 当0a <时，'12,0,()0x x f x <∴>，()f x 在()0+∞，递增 综上：当2a ≤时，()fx 在0+∞（，）单调递增； 当2a >时，()f x 在(0,1(1)a a --++∞，单调递增， 在(11a a --单调递减.（2）当2a >时，()12121()()0,()(1)ln(1)(2)22x x f x f x f f a a a ++==-=--- 令1a x -=，'1()ln (1)(1),()10u x x x x u x x=-->=-<()u x 在(1,)+∞上递减， 12()(1)0()02x x u x u f +<=<， 1212()()()22f x f x x x f ++∴>（3）11ln 1,ln(1)ln(1)22n nx x x x <-∴+<∴+< 2111111ln(1)ln(1)11222222n n n ∴++++<+++=-<223111111135(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222264n e ∴+++<+++=>2111(1)(1)(1)222n +++递增，()min 1n 112,322e m ⎛⎫⎛⎫∴∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1+1+，【点睛】本题考查函数单调性、极值，考查不等式的证明，考查推理论证能力，分类讨论思想. 22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的普通方程为22220x y x +--=，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 的参数方程，曲线2C 的极坐标方程； （2）若()1,A ρα，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线2C上两点，当240,πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221OAOB+的取值范围．【答案】（1）1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）；221cos ρθ=；（2）32⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）把1C 方程配方后，利用22sin cos 1ϕϕ+=结合单位圆上点的坐标可得参数方程； 由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得2C 的极坐标方程；（2）由,A B 两点极坐标代入2C 极坐标方程求出两点的极径，即,OA OB ，然后计算2221OAOB+，利用两角和与差的余弦公式化表达式为cos()A x ωϕ+形式，由余弦函数性质可得取值范围． 【详解】（1）曲线1C 的普通方程为22220x y x +--=，即()2213x y -+=，故曲线1C 的参数方程为1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则2221:C x y -=可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()2222cos sin cos 21ρθθρθ-==，故曲线2C 的极坐标方程为221cos ρθ=． （2）将点()1,A ρα，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得1cos 21ρα=，222cos 213πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭22221211222cos 2cos 223OAOBπααρρ⎛⎫∴+=+=++ ⎪⎝⎭222cos 2cos 2cossin 2sin 33ππααα=+-3cos 2222αα=-62πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵240,πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,664πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,262πα⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2211OA OB +的取值范围是322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查普通方程化为参数方程，直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标的应用．属于中档题，23．已知函数()211f x x a x =---，a R ∈.（1）当5a =时，求函数()f x 的值域；（2）[]00,3x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）49,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号得分段函数，分别求出值域后合并可得结论；（2）首先已知变形为2111x a x x -≤-++在区间[]0,3内有解，然后求2111x x x --++的最大值，可分类讨论：分两类[0,1]x ∈，(1,3]x ∈分别求解． 【详解】（1）当5a =时，()22254,151156,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩. 当1≥x 时，()9,4f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭；当1x <时，()49,4f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭. ∴函数()y f x =的值域为49,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）不等式()1f x a x ≥+等价于2111x a x a x ---≥+，即2111x a x x -≤-++在区间[]0,3内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0a ≤； 当(]1,3x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭， 函数112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(]1,3上单调递增，当(]1,3x ∈时，1140,23x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则43a ≤.综上，实数a 的取值范围是4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查求含绝对值函数的值域，考查不等式有解问题．不等式恒成立与不等式有解问题都常常转化为求函数的最值，同一个不等式恒成立与有解转化时要注意两者的最值一般相反，一个是求最大值，另一个是求最小值．。
黑龙江省哈六中高三数学上学期期中考试 理 新人教A版
黑龙江省哈六中高三数学上学期期中考试 理 新人教A 版【会员独享】一、选择题（每小题5分）1．已知直线0ax by c ++=不经过第二象限，且0ab <，则（ ） A ．0c > B ．0c < C ．0ac ≥ D ．0ac ≤2．已知函数()y f x =的反函数是1()2log (1)(0,1)a f x x a a -=+->≠，则函数()y f x =的图像必过定点（ ）A ．(0,2)-B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(2,0) 3.已知条件1:01xp x ->+，条件:q 有意义，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且132,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．-2B ．1-2C ．11-2或 D ．15．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0，则下列结论正确的是( ) A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC =--6.已知(0,)2πα∈，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．[,]42ππ D ．(,)42ππ7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且， 3912=-m S ，则m 等于( )A ．10B ．19C ．20D ．398.下面能得出ABC ∆为锐角三角形的条件是（）A ．1sin cos 5A A +=B ．0AB BC ⋅<C．3,30b c B ===D ．tan tan tan 0A B C ++>9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD ．10.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（）A ．53B ．103C ．203D．311.已知函数1()log [(2)1]a f x x a=-+在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．13(,)25C ．(1,)+∞D ．3(0,)512．已知0321>>>x x x ，则112)22(log x x a +=，222)22(log x x b +=，332)22(log x x c +=的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c b a >> C ．c a b << D ．b a c <<二、填空题（每小题5分）13．设O 为坐标原点，点(2,1),M 点(),N x y 满足360,0x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则OM ON ⋅的取值范围为14．若函数2()2ln f x x x =-在定义域的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是15.已知ABC ∆中顶点(4,0)A -和顶点(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=16. 已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________.三、解答题（共70分）17. （本题10分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；18．（本题12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、, 向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= . （1）求角A 的大小；（2）若3a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状. 19．（本题12分）已知函数x a x x f ln )1()(--= （1）讨论函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若0)(≥x f 对),1[+∞∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围。
哈尔滨六中2016届高三数学(理)期中试题及答案
哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考试时间120分钟．〔1〕答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；〔2〕选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； 〔3〕请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； 〔4〕保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1．假设复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，那么z 的共轭复数的虚部是〔 〕 .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，那么集合=)(N C M R 〔 〕 .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．假设幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，那么m 的取值是〔 〕.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,，那么"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的〔 〕.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．向量)2,1(=，)1,3(21=-b a ，)3,(x =，假设()//2+，那么=x 〔 〕.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，那么=++)(log 97531a a a 〔 〕.A 51- .B 51 .C 5- .D 57．),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是〔 〕.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，那么〔 〕 .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，那么=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如下图，那么这个四棱锥的外表积是〔 〕.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中，假设AC BC ⊥，3π=∠A ，4=AC ，41=AA ，M 为1AA 的中点，P 为BM的中点，Q 在线段1CA 上，QC Q A 31=.那么异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为〔 〕.A 3913 .B 21313.C 239 .D 1312．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，假设方程0)(=-mx x f 恰有两个根，那么m 的取值范围是〔 〕.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设22241c b a +=，那么=c Ba cos _______________ 15．R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，那么224y x z +=的取值范围________16．三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为3，2AB =，60,1=∠=BAC AC ，那么此球的外表积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.〔本小题总分值10分〕极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位一样，曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. 〔1〕求C 的直角坐标方程；A〔2〕直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:〔t 为参数〕与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 18.〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．〔1〕求,A C ；〔2〕假设3ABC S ∆=,求,a c ． 19.〔本小题总分值12分〕数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ，数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a〔1〕求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； 〔2〕记nnn a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时， 12<-n T n 20.〔本小题总分值12分〕如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==， 又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ 〔1〕求证：平面PAC ⊥平面ABC ； 〔2〕求三棱锥P MAC -的体积．21.〔本小题总分值12分〕各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，假设存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.〔本小题总分值12分〕函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)假设对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ，6-10 CABBA ， 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17〔1〕由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+，得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=；〔2〕将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，那么121t t +=，121t t =- ，所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.〔1〕因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--〔不成立〕． 即 2C A B =+, 得3C π=，所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==，那么6B A π-=，或56B A π-=,〔舍去〕 得5,412A B ππ==． 〔2〕1sin 32ABC S ac B ∆===+又sin sin a cA C =, 即22=，得a c ==19.〔1〕当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=，得11b =.当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅，验证首项满足，于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．〔2〕 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++，所以12n T =23112222n n++++， 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-，所以2n T =-22n n +，即2n T -=22n n +， 下证：当6n ≥时，(2)12n n n +<，令()f n =(2)2n n n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当6n ≥时，21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥,PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.〔1〕设{}n a 的公差为d ，由得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩，110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩，故*1()n a n n N =+∈ 〔2〕11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈，使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立,即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++，2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+，得112x =；212x =-〔舍去〕． 2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：所以，函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 5分当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立， 1即14114,4a am a m a a ->-<=-，432,432-<->am a am ，所以313-≤m 12分。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A.312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}2,1,0-- C.{}1,0- D.{}0,12.若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A.12i-+ B.12i-- C.1D.3-3.已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A.5B.10C.15D.204.在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.31010-B.10-C.1010D.105.如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=//O A B C ''''，则AC =（）A.B. C.6D.6.若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A.2- B.1C.1- D.e7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n 项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A.305132 B.305132-C.295132 D.295132-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a与b 可以作为平面内向量的一组基底C.a =D.a在b 上的投影向量为12b- 10.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC V 为钝角三角形B.ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D .若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11.设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482nn b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A.72364a =-B.设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C.数列{}n S 中没有最大项D.若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=___________.13.已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =_________．14.已知数列满足12,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =______；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =______．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16.数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．（1）求数列{}n a 通项公式．（2）设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+（3）若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19.定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2425-##0.96-【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】①.60②.()1013322026-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π（2）3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）12n a n=（2）31,,n n n S n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数【17题答案】【答案】（1）π3（2）334【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，102ln 23k =-；（2）不存在，理由见解析；（3）102ln 2,23ln 23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。
黑龙江省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
黑龙江省2021年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·大连期中) 若sinθ+sin2θ=1，则cos2θ+cos6θ+cos8θ的值等于（）A . 0B . 1C . ﹣1D .2. （2分）设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，4，7}，则∁UM=（）A . UB . {1，2，6}C . {1，3，5，6}D . {1，3，5}3. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）A .B .C .D .4. （2分）平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（）A . ±6或±1B . 6或1C . 6D . 15. （2分）命题，，使；命题，．则下列命题中真命题为（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·新宁模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a．b．c，若A=60°，a= ，b= ，则B=（）A . 30°B . 45°C . 135°D . 45°或135°7. （2分）函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度8. （2分） (2018高一上·遵义月考) 若函数是定义在R上的减函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）= ，则方程f（x）= 在[﹣3，5]上的所有实根之和为（）A . 0B . 2C . 4D . 610. （2分）函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A .B . 1C .D . 211. （2分）已知正项等比数列{an}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A . 4B . 16C . 24D . 3212. （2分） (2017高一上·南昌期末) 已知α是第三象限角，且cosα=﹣，则tan 等于（）A . ﹣B .C . ﹣3D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·北区模拟) 由曲线y=x2 ， y=2x围成的封闭图形的面积为________．14. （1分）设m=0.30.2 ， n=log0.23，p=sin1+cos1，则m，n，p的从大到小关系为________．15. （1分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是________ 三角形．16. （1分） (2016高一下·武城期中) 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα= ；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④ 是函数的一条对称轴方程；⑤函数的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是________（填序号）．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2017高二上·汕头月考) 已知向量 .记 .（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）在中，角的对边分别为若，求的值.18. （10分） (2019高三上·苏州月考) 在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；（2）求二面角的余弦值大小．19. （10分） (2016高一下·石门期末) 已知向量 =（sinωx，cosωx）， =（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）= • ﹣的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）在△ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）= 且a=1，b= ，求S△ABC ．20. （5分） (2016高二上·成都期中) 如图，椭圆M： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．21. （10分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）与g（x）=x+ 有相同极值点，①求实数a的值；②若对于∀x1 ，x2∈[ ，3]（e为自然对数的底数），不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．22. （10分）(2016·大连模拟) 在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．23. （5分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：第21 页共21 页。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x>0，2x−x<0，则￢p是()A. ∀x>0，2x−x>0B. ∀x>0，2x−x≥0C. ∃x0>0，2x0−x0≥0D. ∃x0>0，2x0−x0>02.一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是()A. π2B. 2π3C. πD. 2π3.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD//BC，且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()①AC//平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A. 0B. 1C. 2D. 34.命题p：1x>1，命题q：x>a，若命题p的必要不充分条件是q，则a的取值范围为()A. a<1B. a≤0C. a>1D. a≥15.若抛物线的焦点恰巧是椭圆x26+y22=1的右焦点，则抛物线的标准方程为()A. y2=−4xB. y2=4xC. y2=−8xD. y2=8x6.在空间四边形中，分别为的中点，若则与所成的角为A. B. C. D.7.若平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(√3,1)，|b⃗ |=2，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2√3B. 2C. 2√5D. 48.用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n//α；②若m//α，α⊥β则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m//α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，其中，正确命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ④9.用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形(如图所示，其中的x轴表示水平方向)，斜边长为2，则原三角形的面积为()A. √2B. 2√2C. 2D. 410.已知点A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p2，双曲线的离心率等于√5，则p=()A. 92B. 1 C. 34D. 1211.棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段C1D1的中点，点F在线段BB1上，BF=4，则正方体ABCD−A1B1C1D1被平面AEF所截得的截面面积为()A. 27√172B. 21√172C. 15√172D. 13√17212.△ABC中，B(−4,0)，C(4,0)，|AB|+|AC|=10，则顶点A的轨迹方程是()A. x225+y29=1(x≠±3) B. x225+y29=1(x≠±5)C. x225+y216=1(x≠±3) D. x225+y216=1(x≠±5)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．若α∈[0,2π3]，则弓形AB 的面积S 的最大值为______．14. 过点P(，3)的直线，交圆于A 、B 两点，Q 为圆上任意一点，且Q 到AB 的最大距离为，则直线l 的方程为 。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
哈尔滨市第六中学2018级高三 上学期期中考试 理科数学 试卷一、单选题（每题5分，共60分） 1．已知集合{}{}22,,60A x x x Z B x x x =≤∈=--<∣，则AB =（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--2．复数21iz i=+（i 为虚数单位），则||z 等于（ ） A ．3B ．22C ．2D ．23．下列说法中正确的个数是（ ）（1）命题“所有幂函数αx x f =)(的图象经过点）（1,1”.（2）“在中，若sin sin A B >，则A B >”的逆否命题是真命题.（3）若非零向量满足0>⋅b a ，则a 与b 的夹角为锐角.（4）命题“0x ∀>，020212020>+x ”的否定是“00x ∃≤，020*******≤+x”. （5）命题“R b a ∈,则422≥+b a 是2≥+b a 的充分不必要条件”. A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，且)2()(,x f x f R x -=∈∀，则=)5.2021(f （ ） A ．18-B ．18C ．0D ．15．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥； ②若a α⊥，a β⊂，则a β⊥； ③若m α⊥，n α⊥，则//m n ； ④若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n . 其中真命题是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④6．函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin 2cos 21f x x x =++，若函数()f x 的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心为（ ）A ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,14π⎛⎫⎪⎝⎭8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，M 是1BB 的中点，则异面直线1AC 与CM 所成角的大小是（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 909．已知函数()()223sin cos 2cos 10f x x x x ωωωω=⋅+->的最小正周期为2π，则0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是（ ）A ．[]2,1-B ．[]22-,C ．[]1,1-D ．[]1,2-10．我们把()2210,1,2...nn F n =+=叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设()2log 1,1,2,3...n n a F n =-=，n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式2311223122263 (127)n n n S S S S S S +++++<成立的最大正整数n 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．811．不等式222375x a x ax ->-+对一切()0,1-∈a 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞,21,-4-B ．(][)+∞-⋃∞,1,-4-C ．()1,4--D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,412．已知关于x 的不等式()x x xexln 11>++λλ在()∞+，0上恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e二、填空题（每题5分，共20分）13．数列{}n a 中，若11=a ，321+=+n n a a ，则=5a14．已知0,0x y >>，,,,x a b y成等差数列，,,,x c d y成等比数列，则2()a b cd+的最小值是15．三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积是___________16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，42=+b a ，点D 在边AB 上，且2=，则线段CD 长度的最小值为三、解答题（共70分）17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()sin sin cos a c B b C A +-=.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为32，4=a ，求ABC ∆的周长.18．在数列{}n a 中，11a =，对*n N ∀∈，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．如图，在三棱柱ABC DEF -中，四边形ABED 是菱形，四边形ADFC 是正方形，ACAB ⊥，2AB =，60BAD ∠=︒，点G 为AB的中点.（1）求证：BF ∥平面CDG ； （2）求点F 到平面CDG 的距离.20．如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且112AB AD CD ===，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ． （1）证明：平面BCE ⊥平面BDE ；（2）若BCE ∆中， 30=∠BEC ，求二面角F BE C --的余弦值.21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．22．已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值. 23．设()|2||2|f x x x =-++（1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.一、单选题1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．A 11．A 12．A 二、填空题13．61 14．4 15．π12 16．332 三、解答题17．（1）由正弦定理得：()sin sin sin sin sin cos A C B B C B A +-=，∵sin 0B ≠，∴tan A =，∵A 是ABC ∆的内角，∴60A =.（2）∵ABC ∆的面积为32，∴32sin 21=A bc ，由（1）知 60=A ，∴8=bc ，由余弦定理得：222222cos ab c bc A b c bc=+-=+-()23b c bc=+-，∴()16242=-+c b ，得：102=+c b ，∴ABC ∆的周长为1024+.18．（1）1(1)(1)n n na n a n n +-+=+，∴111n n a a n n +-=+，又111a=， ∴数列{)na n是首项、公差均为1的等差数列．∴()111n a n n n =+-⨯=，所以2n a n =；（2）由（1）得2n a n =，()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+==+211212112n n n n a a b n n n ，2332232+++-=n n n S n ． 19．（1）略； （2）由点H 为AF 的中点，且点∉F 平面CDG 可知，点F 到平面CDG 的距离与点A 到平面CDG 的距离相等，由四边形ADFC 是正方形，AC AB ⊥，可得CA 是三棱锥C ADG -的高，由题意得，2,1,3,CA AG DG DG AG ===⊥，所以11313232C ADG V -=⨯⨯⨯⨯=， 在△CDG 中，3,5,DG CG DG CG ==⊥，设点A 到平面CDG 的距离为h ，则11153532A CDG hV h -=⨯⨯⨯⨯=， 由C ADG A CDG V V --=得，3152325,36515h h ===，所以点F 到平面CDG 的距离为255. 20．（1）略；（2）由（1）知ED DA ⊥、ED DC ⊥、DA DC ⊥，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE为z 轴建立空间直角坐标系，如图. 可得(1,1,0)B 、(0,2,0)C 、(0,0,1)E 、(1,0,1)F ，故(1,1,1)EB =-，(1,0,0)EF =，(0,2,1)EC =-，设(,,)m x y z =为平面BEF 的一个法向量，则0m EB m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得(0,1,1)m =，同理可得平面BCE 的一个法向量为(1,1,2)n =， 3cos ,=226m n m n m n⋅<>==⨯⋅， 二面角C BE F --的是钝二面角，所以二面角C BE F --的余弦值为32-. 21．（1）当2k =时，()2ln f x x x x=-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k≤=恒成立． 当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f e f k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤． 令x =21n *()n N ∈，则21n +22n ln 1n ≤，即22ln 1n n -≤因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 22．（Ⅰ）6cos 0ρθ-=，∴26cos 0ρρθ-=，∴2260x y x +-= ，∴曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9xy -+=，直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，∴直线l 的参数方程为：2x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：223)(2)9-+-=， 化简得：240t -+=，∴12t t +=，124t t ⋅=，∴121111||||MA MB t t +=+， 由题意得：点()0,2M -在圆C 的外侧下方，∴10t >，20t >，∴1212121111||||4t t MA MB t t t t ++=+==⋅. 23．（1）()22f x x x =-++，()6()226f x f x x x ∴≥⇒=-++≥令202,202x x x x -=⇒=+=⇒=-当2x -≤时()()2262263x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤-，3x ∴≤- 当2x ≥时()()2262263x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥，3x ∴≥当22x -<<时()()22622646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥，x φ∴∈综上所述33x x ≤-≥或（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+()()()22224f x x x x x =-++≥--+=（当且仅当()()220x x -⋅+≤时取等）222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤恒成立，12m ∴-≤≤。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）复数（i为虚数单位），则|z|等于（）A．3B．C．2D．3．（5分）下列说法中正确的个数是（）（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．（2）“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”的逆否命题是真命题．（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，”．（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．A．2B．3C．4D．54．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，f（x）＝x3，且∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则f（2021.5）＝（）A．B．C．0D．15．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α，α⊂β，则α⊥β，n⊥α，则m∥n，n⊂β，α∥β（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x+1，若函数f（x）个单位长度后得到函数g（x）的图象（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都是1，M是BB1的中点，则异面直线AC1与CM所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为，则当x∈[0，，函数y＝f（x）的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2] 10．（5分）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，3…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（）A．5B．6C．7D．811．（5分）不等式ax2+5x﹣7a＞3﹣2x2对一切a∈（﹣1，0）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）C．（﹣4，﹣1）D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2a n+3，则a5＝．14．（5分）已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，则的最小值是．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A、PB、PC两两互相垂直，且P A＝PB＝PC＝2．16．（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C），2a+b ＝4，点D在边AB上，且．三、解答题（共70分）17．（10分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若ΔABC的面积为，a＝4，求ΔABC的周长．18．（10分）在数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．（10分）同18第1问前如图，在三棱柱ABC﹣DEF中，四边形ABED是菱形，AC⊥AB，AB＝2，点G为AB的中点．（1）求证：BF∥平面CDG；（2）求点F到平面CDG的距离．20．（10分）如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，且，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；（2）若△BCE中，∠BEC＝30°，求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．21．（10分）已知函数f（x）＝kx﹣xlnx，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3）设n∈N*，求证：．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．23．（10分）设f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）对任意的实数x，有f（x）≥m2﹣m+2恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，2，1，B＝{x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B＝{﹣1，0，8，2}．故选：C．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）复数（i为虚数单位），则|z|等于（）A．3B．C．2D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由|z|＝||求解．【解答】解：∵＝，∴|z|＝||＝＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）下列说法中正确的个数是（）（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．（2）“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”的逆否命题是真命题．（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，”．（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用幂函数的图象和性质判断（1）的结论，直接利用正弦定理的应用判定（2）的结论，直接利用平面向量的数量积和夹角的应用判定（3）的结论，直接利用命题的否定判定（4）的结论，直接利用基本不等式的应用判定（5）的结论．【解答】解：（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”根据幂函数的性质，（1）正确．（2）“在△ABC中，若sin A＞sin B，所以5R•sin A＞2R•sin B，即a＞b，所以该命题为真命题，所以该命题的逆否命题是真命题，故（2）正确；（3）若非零向量满足，当向量方向相同，满足，则与的夹角为锐角，故（3）错误．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x3＞0，”故（4）错误．（5）命题“a，b∈R，则当a2+b6≥4时，|a|+|b|≥2，但是当，|a|+|b|≥5成立，a2+b2≥7不一定成立，故命题“a，b∈R2+b2≥2是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．故（5）正确．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：幂函数的图象和性质，正弦定理的应用，平面向量的数量积，命题的否定，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．4．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，f（x）＝x3，且∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则f（2021.5）＝（）A．B．C．0D．1【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝﹣f（x），进而可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（2021.5）＝f（1.5+2020）＝f（1.5）＝f（2﹣0.5）＝f（0.5），结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，又由∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+8）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，f（2021.8）＝f（1.5+2020）＝f（7.5）＝f（2﹣6.5）＝f（0.6），当x∈[0，1]时5，则f（0.5）＝（）3＝，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题．5．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α，α⊂β，则α⊥β，n⊥α，则m∥n，n⊂β，α∥β（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【分析】①由线面垂直的定义，即可判断；②由面面垂直的判定定理，即可判断；③运用线面垂直的性质定理，即可判断；④由面面平行的性质和定义，即可判断．【解答】解：①若m⊥n，n⊂α，故m⊥α不对，只有m垂直于α内的任一条直线，才有m⊥α，故①错；②若a⊥α，a⊂β，故②对；③若m⊥α，n⊥α，得m∥n；④若m⊂α，n⊂β，则m，则m∥n或m，故④错．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系：平行与垂直，考查线面垂直的性质、面面平行与垂直的性质与判定，是一道基础题．6．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的对称性，利用当x→+∞，f（x）＞0，进行判断排除即可．【解答】解：要使函数有意义，则x+1≠0，f（x﹣4）＝是偶函数，则f（x）关于x＝﹣3对称，D，当x→+∞，f（x）＞0，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性，函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．难度不大．7．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x+1，若函数f（x）个单位长度后得到函数g（x）的图象（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cos2x+5＝sin（2x+，若函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝）+1的图象，令8x+＝kπ，求得x＝﹣，故函数g（x）的图象的对称中心为（﹣，8）．不妨让k＝1，可得函数g（x）的图象的一个对称中心为（，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都是1，M是BB1的中点，则异面直线AC1与CM所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】以A为原点，AC、AA1所在的直线分别为y、z轴，在平面ABC内，作Ax⊥平面ACC1A1，建立空间直角坐标系，写出和的坐标，求出cos＜，＞即可得解．【解答】解：以A为原点，AC1所在的直线分别为y、z轴，在平面ABC内，作Ax⊥平面ACC1A3，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，3），1，0），，），C5（0，1，8），∴＝（0，5，＝（，﹣，），∴cos＜，＞＝，∴异面直线AC1与CM所成角的大小是90°．故选：D．【点评】本题考查异面直线夹角的求法，熟练利用空间向量处理异面直线的夹角的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为，则当x∈[0，，函数y＝f（x）的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）的值域．【解答】解：∵函数f（x）＝2sinωx•cosωx+7cos2ωx﹣1＝sin2ωx+cos2ωx＝2sin（2ωx+，∴＝，∴ω＝2）．当x∈[7，]时∈[，]）∈[﹣，f（x）∈[﹣8．故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10．（5分）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，3…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用和不等式的应用求出结果．【解答】解：由于，所以a n＝log2（F n﹣1）＝2n，则，所以＝，所以＝+…+＝，则，整理得n+5＜256，即n＜6．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．（5分）不等式ax2+5x﹣7a＞3﹣2x2对一切a∈（﹣1，0）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）C．（﹣4，﹣1）D．【分析】不等式化为a（x2﹣7）+5x+2x2﹣3＞0，由题意可设f（a）＝a（x2﹣7）+5x+2x2﹣3，令，从而求出实数x的取值范围．【解答】解：不等式ax2+5x﹣4a＞3﹣2x5可化为a（x2﹣7）+4x+2x2﹣6＞0，由不等式对一切a∈（﹣1，7）恒成立，可设f（a）＝a（x2﹣7）+6x+2x2﹣3，则，即，解得，所以x≤﹣3或x≥，所以实数x的取值范围是（﹣∞，﹣8]∪[．故选：A．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了转化法与函数思想，是中档题．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）【分析】不等式转化为（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx，设f（x）＝（e x+1）x，x＞0，则f（λx）＞f（lnx），利用导数判断函数的单调性，可得λ＞，设g（x）＝，利用导数求出函数的最值即可求出λ的取值范围．【解答】解：关于x的不等式在（6，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+3）lnx，设f（x）＝（e x+1）x，x＞0，∴f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+5）+1＞0，∴f（x）在（7，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝，x＞0，∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞6，当x＞e时，g′（x）＜0，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞，故选：A．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2a n+3，则a5＝61．【分析】通过n＝1，2，3，4逐步求解即可得到a5的值．【解答】解：数列{a n}中，若a1＝1，a n+8＝2a n+3，n＝4时，a2＝2a7+3＝5，n＝2时，a3＝2a8+3＝13，n＝3时，a8＝2a3+4＝29，n＝4时，a5＝7a4+3＝61．故答案为：61．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，可以通过构造新数列求解通项公式求解，由于本题求解第5项，可以逐步求解，是基础题．14．（5分）已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，则的最小值是4．【分析】由条件x＞0，y＞0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a、b、c、d转化成关于x、y的表达式＝（x＞0，y＞0）【解答】解：∵x、a、b、y成等差数列，∴a+b＝x+y∵x、c、d、y成等比数列，∴cd＝xy则＝（x＞0，故答案为4．【点评】本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A、PB、PC两两互相垂直，且P A＝PB＝PC＝212π．【分析】以P A、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：以P A、PB，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为4，半径R＝，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是6πR2＝4π×（）2＝12π故答案为：12π．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C），2a+b ＝4，点D在边AB上，且．【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求C，然后结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解．【解答】解：由（a+c）（sin A﹣sin B）+b sin B＝a sin B及正弦定理，得（a+c）（a﹣c）+b2＝ab，∴a2+b5﹣c2＝ab，由余弦定理得，cos C＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．由于，∴＝，∴﹣＝（﹣），∴＝+，两边平方得2＝b2+a2+ab＝4﹣ab≥2﹣（）2，当且仅当b＝2a＝2时取等号，即2≥（b+3a）2＝，∴线段CD长度的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题．三、解答题（共70分）17．（10分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若ΔABC的面积为，a＝4，求ΔABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化角，可得tan A的值，从而得解；（2）由S＝bc sin A，可得bc的值，再结合余弦定理求出b+c的值，从而得解．【解答】解：（1）由正弦定理，知＝＝，∵，∴，化简得，sin A sin B＝，∵sin B≠0，∴，∵A是ΔABC的内角，∴A＝60°．（2）∵ΔABC的面积为，∴，由（1）知A＝60°，∴bc＝7，由余弦定理得，a2＝b2+c5﹣2bc cos A＝b2+c4﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，∴（b+c）3﹣24＝16，即，∴ΔABC的周长为．【点评】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合应用，还涉及边化角的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（10分）在数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和关系式的变换的应用求出数列的通行公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*n+2﹣（n+1）a n＝n（n+1）．∴，又，∴数列是首项．∴，所以；（2）由（1）得，，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（10分）同18第1问前如图，在三棱柱ABC﹣DEF中，四边形ABED是菱形，AC⊥AB，AB＝2，点G为AB的中点．（1）求证：BF∥平面CDG；（2）求点F到平面CDG的距离．【分析】（1）连接AF，与CD交于点H，连接GH，则BF∥GH，由此能证明BF∥平面CDG．（2）推导出点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，设点A到平面CDG的距离为h，由V C﹣ADG＝V A﹣CDG，能求出点F到平面CDG的距离．【解答】证明：（1）连接AF，与CD交于点H，则GH为△ABF的中位线，∴BF∥GH，又BF⊄平面CDG，GH⊂平面CDG，∴BF∥平面CDG．（5分）解：（2）∵点H为AF的中点，且点∉平面CDG，∴点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，由四边形ADFC是正方形，AC⊥AB，由题意得，CA＝2，DG＝，∴＝，在△CDG中，DG＝，DG⊥CG，设点A到平面CDG的距离为h，则V A﹣CDG＝＝，由V C﹣ADG＝V A﹣CDG，得＝，解得h＝＝，∴点F到平面CDG的距离为．（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（10分）如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，且，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；（2）若△BCE中，∠BEC＝30°，求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可证得BD⊥BC，由平面ADEF⊥平面ABCD，DE⊥AD，可推出DE⊥平面ABCD，故DE⊥BC，从而得BC⊥平面BDE，故得证；（2）以点D为原点，DA、DC、DE所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质分别求得平面BEF和平面BCE的法向量与，再由cos＜，＞＝，得解．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB⊥AD，且，∴BD＝，BC＝，∴BD6+BC2＝CD2，即BD⊥BC，∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴DE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴DE⊥BC，又BD∩DE＝D，BD，∴BC⊥平面BDE，∵BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE．（2）解：由（1）知，DE⊥平面ABCD，故以点D为原点，DA、DE所在的直线分别为x、y，则B（3，1，0），7，0），0，4），0，1），∴，，，设平面BEF的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝0，∴＝（7，1，同理可得，平面BCE的法向量为，∴，由图可知，二面角C﹣BE﹣F是钝二面角，故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝kx﹣xlnx，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3）设n∈N*，求证：．【分析】（1）代入k＝2，求出f’（x），再令f’（x）＞0求出其单调递增区间，令f’（x）＜0求出其单调递减区间；（2）求出f’（x），再分类讨论k的取值，验证其正确性，进而求出k的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取k＝1，得到不等式x﹣xlnx≤1，再令，对不等式变形得到≤，进而证明原不等式．【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝2x﹣xlnx，由f’（x）＞5；由f’（x）＜0，因此函数f（x）单调递增区间为（0，e），+∞）．（2）f（x）＝kx﹣xlnx，故f’（x）＝k﹣4﹣lnx，当k≥1时，因为0＜x≤6，因此f’（x）≥0恒成立，1]上单调递增，当k＜7时，令f’（x）＝0k﹣1∈（3，1），当x∈（0，e k﹣8），f’（x）＞0；当x∈（e k﹣1，4），f’（x）＜0，于是f（e k﹣1）＞f（1）＝k，与f（x）≤k恒成立相矛盾，综上，k的取值范围为[3．证明：（3）由（2）知，当0＜x≤1时．令x＝，则，即2lnn≤n2﹣5，因此，所以．【点评】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，整理得：ρ6＝6ρcosθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y4＝6x，整理得（x﹣3）4+y2＝9．直线l过点M（5，﹣2）．转换为参数方程为，（Ⅱ）把直线的参数方程代入（x﹣3）2+y5＝9，得到（t1和t2为A、B对应的参数），所以，t1t2＝7，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．（10分）设f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）对任意的实数x，有f（x）≥m2﹣m+2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）不等式f（x）≥6等价于|x﹣2|+|x+2|≥6，利用分类讨论法求出不等式的解集；（2）f（x）≥m2﹣m+2恒成立等价于；求出f（x）的最小值，解关于m的不等式即可．【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，所以不等式f（x）≥6等价于|x﹣2|+|x+2|≥7，令x﹣2＝0，解得x＝7，解得x＝﹣2；当x≤﹣2时，不等式f（x）≥5化为﹣（x﹣2）﹣（x+2）≥8，所以x≤﹣3；当x≥2时，不等式f（x）≥6化为（x﹣2）+（x+2）≥3，所以x≥3；当﹣2＜x＜2时，不等式f（x）≥6化为﹣（x﹣2）+（x+3）≥6，所以x∈∅；综上所述，不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣3或x≥3}．（2）f（x）≥m2﹣m+5恒成立等价于；由f（x）＝|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣2）﹣（x+5）|＝4，当且仅当（x﹣2）•（x+4）≤0时取等号；所以f（x）min≥m2﹣m+7，等价于4≥m2﹣m+8，即m2﹣m﹣2≤4，解得﹣1≤m≤2；所以实数m的取值范围是[﹣8，2]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．第21页（共21页）。
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点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
由四边形 是正方形， ，可得 是三棱锥 的高，
由题意得， ，所以 ，
在△CDG中， ，
设点A到平面CDG的距离为h，则 ，
由 得， ，所以点F到平面CDG的距离为 .
20．（1）略；
（2）由（1）知 、 、 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
二、填空题
13．6114．415． 16．
三、解答题
17．（1）由正弦定理得： ，
∵ ，∴ ，∵ 是 的内角，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，由（1）知 ，∴ ，
由余弦定理得： ，
∴ ，得： ，∴ 的周长为 .
18．（1） ， ，又 ，
数列 是首项、公差均为1的等差数列． ，所以 ；
（2）由（1）得 ， ， ．
直线 的参数方程为： （t为参数）.
（Ⅱ）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得： ，
化简得： ， ， ， ，
由题意得：点 在圆 的外侧下方， ， ， .
23．（1） ，
令
当 时 ，
当 时 ，
当 时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
综上所述
（2） 恒成立等价于
（当且仅当 时取等）
恒成立，
18．在数列 中， ，对 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
19．如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，
四边形 是正方形， ， ，
，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20．如图，在六面体ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且 ，四边形ADEF
为 轴建立空间直角坐标系，如图.可得 、 、 、 ，
故 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，
则 ，得 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，
，
二面角 的是钝二面角，所以二面角 的余弦值为 .
21．（1）当 时， ， ，由 ，解得 ；由 ，解得 ，因此函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2） ，故 ．
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试理科数学试卷
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．复数 （ 为虚数单位），则 等于（）
A．3B． C．2D．
3．下列说法中正确的个数是（）
（1）命题“所有幂函数 的图象经过点 ”.
（2）“在 中，若 ，则 ”的逆否命题是真命题.
15．三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直，且 ，
则三棱锥 的外接球的表面积是___________
16．在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， ，
，点 在边 上，且 ，则线段 长度的最小值为
三、解答题（共70分）
17．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 .
（1）求角 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
当 时，因为 ，所以 ，因此 恒成立，即 在 上单调递增，所以 恒成立．当 时，令 ，解得 ．
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
于是 ，与 恒成立相矛盾．综上，k的取值范围为 ．
（3）由（2）知，当 时， ．令 ，则 + ，即
因此 ≤ ．所以 .
22．（Ⅰ） ， ， ，
曲线 的直角坐标方程为： ， 直线 过点 ，倾斜角为 ，
8．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都是1， 是 的中点，
则异面直线 与 所成角的大小是（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的最小正周期为 ，
则 时，函数 的值域是（）
A． B． C． D．
10．我们把 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），
设 ， 表示数列 的前 项之和，
则使不等式 成立的最大正整数 的值是（）
直角坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 .
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值.
23．设
（1）解不等式 ；
（2）对任意的实数 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1．C2．D3．B4．B5．B6．B7．B8．D9．D10．A11．A12．A
（3）若非零向量满足 ，则 与 的夹角为锐角.
（4）命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
（5）命题“ 则 是 的充分不必要条件”.
A．2B．3C．4D．5
4．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ，
则 （）
A． B． C． D．
5．设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给定下列四个命题：
是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．
（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；
（2）若 中， ，求二面角 的余弦值.
21．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时， 恒成立，求k的取值范围；
（3）设n ，求证： ．
22．已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ， ，则 .
其中真命题是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
6．函数 的大致图像为（）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
函数 的图象，则函数 的图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
11．不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．数列 中，若 ， ，则
14．已知 ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是