广州高一数学第一学期期末试卷
一、选择题：（本大题共12小题. 每小题5分，共60分.） 1．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（） A．1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
2．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再 走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时 间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 （ ） ３．某工厂 去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均 增长率为 （ ） A. B. C. D.
，则 的值为. 17、王老师给出一个函数 ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出了这个函数的一个性质. 甲：对于 R，都有 ； 乙： 在 上是减函数； 丙： 在 上是增函数；
丁：
不是函数的最小值. 现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是（只需写出一个这样 的函数即可）. 三、解答题：（共5小题，共66分） 18．（12分）设x1,x2是关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m＋1=0的 两个实根，又y=x21＋x22，求y=f(m)的解析式及此函数的定义域.
19、已知集合A={x|x2+ax+b=0},B={1,3},若A=B，求a+b的值； 20、（1）解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; （2）解不等式:
;
21、若0≤x≤2,求函数y=
的最大值和最小值；
22、某商品在近30天内，每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数
关系是：
P=，该商品的日销售量Q(件)与时间（天）的函数关系是Q= －t+40
(1) ______________(2) ______________ (3) ______________(4)______________
13、式子 值是______________；
14、已知集合 ， ，从到
的不同的映射有个. 15、函数 在 上是减函数，则 的取值范围是. 16、函数 在 上最大值比最小值大
(0<t≤30,
)，求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30天中的哪一天？
10、若奇函数 在 上为增函数，且有最小值7，则它在 上 A.是减函数，有最小值-7 B.是增函数，有最小值-7 C.是减函数，有最大值-7 D.是增函数，有最大值-7 11、设偶函数 的定义域为R，当 时， 是增函数，则 ，
， 的大小关系是 A. B. C. D. 二、填空题：（共6小题.每小题4分，共24分） 12．用集合分别表示下列各图中的阴影部分：
的定域是 A．R B．
C． D．
7、已知?( +1)=x+1，则函数?(x)的解析式为
A.?(x)=x2 B.?(x)=x2+1 C.?(x)=x2-2x+2 D.?(x)=x2-2x
8、函数y=x2＋x (－1≤x≤3 )的值域是
A. [0,12] B.
C. [
,12] D.
9、已知a>1，函数 与的图像只可能是
3、设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（CUA） （CUB）= A． {0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4} 4、已知集合A=R，B=R+，若 是从集合A到B的一个映射，则B 中的元素3对应A中对应的元素为 A． B．1 C．2 D．3 5、设A={(x，y)| y=－4x+6}，B={(x，y)| y=5x－3}，则A∩B= A．{1，2} B．{(1，2)} C．{x=1，y=2} D．(1，2) 6、幂函数
广东省广州高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设全集，集合M 满足，，则（ ） {}1,2,3,5,8U ={}1,8U M =ðA ． B ．C ．D ．1M ∈2M ∉3M ∈5M ∉【答案】C【分析】根据补集的定义求出，即可得到结果. {}235M =，，【详解】因为，所以， {}1,8U M =ð{}235M =，，则，所以C 正确. 3M ∈故选：C.2．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式的解集是（ ） 26190x x --<A ． B ．∅R C ．D ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式可化为，即，解得，26190x x --<29610x x -+>2(31)0x ->13x ≠故原不等式的解集为.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为（其中，k 是正常数）．已知0e ktW M -=0M 经过1h ，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到50%90%0.1h ，参考数据：）（ ） lg 20.3010≈A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【答案】B【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用e 0.5k -=()0.10.5t=0.5log 0.1t =换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，()00150%e kM M --=e 0.5k -=设过滤的污染物需要的时间为，则，90%t ()00190%e ktM M --=所以，()()0.1e e 0.5ttkt k--===所以. 0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈故选：B.5．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④A ．B ． a c b a +<+a d b c +<+C ．D ．b c a d +<+b d a c +<+【答案】A【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A 正1y =log 1a a =01c d a b <<<<<确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线，则由， 1y =log 1a a =可得，01c d a b <<<<<则由不等式性质可得，所以A 正确.a cb a +<+由不等式可加性可得，故D 错误， a c b d +<+不能推出B 、C ，故B 、C 错误. 故选：A.6．方程的实数解所在的一个区间是（ ）e 410x x -+=A ．B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设，()e 41xf x x =-+，，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭()00e 40120f =-⨯+=>，，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+=<=< ⎪⎝⎭所以，所以存在，使，()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以方程的实数解所在的一个区间是.e 410x x -+=1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ． D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误； π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-D 正确. 故选：D.8．设，，，则 3log 2a =5log 3b =8log 5c =A ． B ．C ．D ．b ac <<a b c <<b<c<a c<a<b 【答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】由对数性质，可得：，(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即；5851log 3log 5log 8∴<=b c <而，，3332log 2log log 3a ==<=5552log 3log log 3b ==>=综上所述，. a bc <<故选：B.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题，则（ ） 2:R,10p x x x ∀∈-+>A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的否定是“” 2R,10x x x ∀∈-+=C ．命题p 是假命题 D ．命题p 的否定是“”2R,10x x x ∃∈-+≤【答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】，则命题p 是真命题；2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭命题p 的否定是“”，故A 、D 正确． 2R,10x x x ∃∈-+≤故选：AD ．10．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()y f x =(A ． B ．的值域是 ()12f x x =()f x [0,)+∞C ．是偶函数 D ．在上是减函数()f x ()f x (0,)+∞【答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可. 【详解】设，()f x x α=∵的图象过点，∴，∴，()y f x =(1233α==12α=∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函12()f x x =()f x [0,)+∞[0,)+∞()f x 数，在上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误. [0,)+∞故选：AB.11．已知，且，则（ ）5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ32x <<A ． B ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12cos 132π3x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ． D ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭5cos 135π6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得，．由cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断A ；由结sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦合诱导公式计算求解可判断B ；由结合诱导公式计算求解可判断C ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断D. πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】由得，则，.ππ32x <<ππ063x -<-<12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故A 错误； 12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故D 正确. 5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BCD.12．已知，则（ ） 01a b <<<A ．B ． b a a b <log log a b b a >C ．D ．log log 2a b b a +>sin(sin )sin a b <【答案】ACD【分析】由的单调性可得，由的单调性可得，从而可判断A ；由x y a =b a a a <a y x =a a a b <的单调性可得，从而可判断B ；由基本不等式可log ,log a b y x y x ==log log ,log log a a b b a b a b ∴>>判断C ；利用结论：当时，，可判断D.π(0,)2x ∈sin x x <【详解】在上单调递减，又，在上0< 1,x a y a <∴=(0,)+∞,b a a b a a <∴<0,a a y x >∴= (0,)+∞单调递增，由得，，故A 正确；a b <a a a b <b a a b ∴<由可知在上均单调递减，，01a b <<<log ,log a b y x y x ==(0,)+∞log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，故B 错误； log 1log a b b a ∴<<由，可知，因此01a b <<<lg lg log 0,log 0lg lg a b b ab a a b=>=>，当且仅当取等号，但已知，故等号不lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=a b =01a b <<<成立，从而得，故C 正确；log log 2a b b a +>当时，．，，又在单调递π(0,2x ∈sin x x <π012a b <<<< π0sin 2a a b ∴<<<<sin y x =π(0,2增，所以，故D 正确． sin(sin )sin sin a a b <<故选：ACD ．三、填空题13．若函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则A ∩B =______. ()f x =()()lg 2g x x =-【答案】()1,2-【分析】先求得集合，再利用交集定义即可求得. AB 、A B ⋂【详解】的定义域为； ()f x =()1,-+∞函数的定义域为， ()()lg 2g x x =-(),2-∞则. A B = ()1,2-故答案为：()1,2-14．已知，则__________.tan 2a =()2sin cos αα-=【答案】##0.215【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可． 【详解】．()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++故答案为：.15四、双空题15．函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线1101x y a a a -=+>≠(，)上，则的最小值为______. 100)mx ny m n +=>>(，21m n+【答案】 ； 8(1,2)【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得的最小值. 21m n+【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 1x =1112a -+=1101x y a a a -=+>≠(，)(1,2)P 点P 在直线上，可得， 100)mx ny m n +=>>(，2100)m n m n +=>>(，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当时等号成立）122m n ==故答案为：；8(1,2)五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. π2【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， π2AA A 6πA BCB AC ===则等边三角形的边长，π16π23AB BC AC ====分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，,,AB BC AC 1π1π26224⨯⨯=等边的面积ABC A 1122S =⨯=所以莱洛三角形的面积是π3224⨯-=六、解答题17．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα+(2)求的值.sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++【答案】(1)；15-(2) 14【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； sin cos αα、sin cos αα+（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. tan α【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 它的终边过点，则，34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭43sin ,cos 55αα=-=则；431sin cos 555αα+=-+=-（2）由（1）得，则，43sin ,cos 55αα=-=4tan 3α=-则 sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数.()a f x x x=+(1)若，判断的奇偶性，并说明理由；()15f =()f x (2)若，判断在上的单调性，并加以证明. ()43f =()f x (0,)+∞【答案】(1)是奇函数，理由见解析 ()f x (2)在上的单调递增，证明见解析 ()f x (0,)+∞【分析】（1）由求出，从而得，由函数奇偶性的定义求解即可； (1)5f =a ()f x （2）由求出，从而得，由函数单调性的定义进行判断证明即可. ()43f =a ()f x 【详解】（1）是奇函数，理由如下： ()f x ∵，且，∴，解得 ()af x x x=+()15f =15a +=4a =∴，定义域为 4()f x x x=+(,0)(0,)-∞+∞ 又 44()()(()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以为奇函数.()f x（2）在上的单调递增，理由如下：()f x (0,)+∞∵，且，∴，解得，∴ ()a f x x x=+()43f =434a +=4a =-4()f x x x=-设，则 120x x <<2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵，∴， 120x x <<21x x -0>12410x x +>故，即 21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上的单调递增.()f x (0,)+∞19．已知函数的最小正周期为.1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈π(1)求的单调递减区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值.π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可得，则， 2πT==πω2ω=则，1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1π()sin(2)23f x x =-因为，则，π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以，π1sin(232x ⎡-∈-⎢⎣则，1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-20．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． ||1()()2x f x a b =+()0,21y =(1)求函数的解析式：()y f x =(2)解关于x 的不等式． 3(ln )2f x <【答案】(1) ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点得的关系，根据图象无限接近直线但又不与该直线相交()0,2,a b 1y =求出，从而得解；b （2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点，得，()0,2()02f a b =+=∵函数无限接近直线，但又不与该直线相交， ||1()()2x f x a b =+1y =∴，从而，1b =1a =∴． ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由得，即，则， 3(ln )2f x <|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ln 1x >所以或，解得或． ln 1x <-ln 1x >10ex <<e x >所以不等式的解集为． 3(ln )2f x <()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司25%80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈8x ≥恒成立）8log 10.25x x +≤【答案】奖励模型符合公司的要求，理由见解析8log 1y x =+【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③，根据函数的性质一一验证即可．25%y x ≤⋅【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③．25%y x ≤⋅对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求；0.2y x =25x >>5y 对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求； 1.02x y =82x ≥ 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=对于，函数在上单调递增，而且函数的最大值，因而满足8log 1y x =+[10,1000]8log 1000 3.3225≈<①②，因为当时，恒成立，所以当时，，满足8x ≥8log 10.25x x +≤[10,1000]x ∈8log 125%x x +<⋅③，故符合公司的要求．综上，奖励模型符合公司的要求．8log 1y x =+22．对于定义在上的函数,若存在实数,使得,则称是函数的一个不动点,I ()f x 0x I ∈()00f x x =0x ()f x 已知有两个不动点,且2()2(0)f x ax x a =-+≠12,x x 122x x <<(1)求实数的取值范围；a (2)设，证明：在定义域内至少有两个不动点.[]()log ()a F x f x x =-()F x 【答案】(1) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到的两个实数根为，设，根据二次函数210ax x -+=12,x x 2()1p x ax x =-+的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把可化为，设的两个实数根为，根据()F x x =()2log 22a ax x x -+=2()220p x ax x =-+=,m n 是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可1x =()g x x =()2()220n n h n a an n a =--+=>()h x 求解．【详解】（1）因为函数有两个不动点，()f x 12,x x 所以方程，即的两个实数根为，()f x x =2220ax x -+=12,x x 记，则的零点为和，2()22p x ax x =-+()p x 1x 2x 因为，所以，即，解得， 122x x <<(2)0a p ⋅<(42)0a a -<102a <<所以实数的取值范围为． a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为 ()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程可化为，即 ()F x x =()2log 22a ax x x -+=2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设，因为，所以有两个不相等的实数根． 2()22p x ax x =-+10,4(12)02a a <<∆=->()0=p x 设的两个实数根为，不妨设．2()220p x ax x =-+=,m n m n <因为函数图象的对称轴为直线，且2()22p x ax x =-+1x a=， 1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以． 121m n a a<<<<记， ()2()22x h x a ax x =--+因为，且，所以是方程的实数根，(1)0h =(1)0p a =>1x =()F x x =所以1是的一个不动点，()F x ，()2()220n n h n a an n a =--+=>因为，所以，且的图象在上的图象是不间断曲102a <<24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭()h x 2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦线，所以，使得， 0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点， ()p x 2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0()0p x p n >=0x ()F x 综上，在上至少有两个不动点． ()F x (,)a +∞。
广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。
广东高一上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。
2019-2020学年广东省广州市高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省广州市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）=x -1，()211x g x x -=+B ．f （x ）=|x +1|，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<⎩C ．f （x ）=x +1，x ∈R ，g （x ）=x +1，x ∈ZD ．f （x ）=x，()2g x =【答案】B【解析】A 中的2个函数()1f x x =-与()211x g x x -=+的定义域不同，故不是同一个函数；B 中的2个函数()1f x x =+与()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数；C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数；D 中的2个函数()f x x =，()2g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数；综上，A C D 、、中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选 B ． 3．函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积。
广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题01(new)
上学期高一数学期末模拟试题01一、选择题（本大题共12道题，每小题5分,共60分） 1．已知54cos =α,且α是第四象限的角,则)tan(απ-＝（ )A ．34B ．43C ．－43D ． －342．设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈,则函数()f x 是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 3．若函数1sin )(-+=m x x f 是奇函数,则m ＝( ）Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．－１4．设02x π≤≤，且sin cos x x =-,则（ ) A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ． 544x ππ≤≤D ． 322x ππ≤≤ 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则θ2sin =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．456．已知向量a ＝(2,sin θ），＝（１，θcos ）且a ⊥b ,其中),2(ππθ∈，则θθcos sin -等于（ ）A ．5B ．5C ． 5D ． 57．若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．)(2,1D ．)(3,28．已知1027)4(sin =-πα，257cos2=α，=αsin （ ）A ．54B ．54-C ．53-D ．539．在△ABC 中,M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足错误!＝2错误!，则错误!·（错误!＋)等于( ）A ．－错误!B ．－错误!C ．错误!D ．错误!10．若)2sin(3)(ϕ+=x x f ＋a ,对任意实数x 都有),3()3(x f x f -=+ππ且4)3(-=πf ,则实数a 的值等于（ ）A ．－１B ．－７或－１C ．７或１D ．±７11．已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
广东高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ） {}2,1,0,1,2A =--(){}230B x x x =+≤A B = A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}1,2{}2,1,0--{}0,1,2【答案】A【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.B A B ⋂【详解】因为，，则.(){}323002B x x x x x ⎧⎫=+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭{}2,1,0,1,2A =--{}1,0A B ⋂=-故选：A.3．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()f x (2,16)()f x =A ． B ．C ．D ．4x 3x 6x 5x 【答案】A【分析】设，代入点，即可得，即可得答案. ()f x x α=(2,16)4α=【详解】解：设，则， ()f x x α=41(2)262f α===得， 4α=所以． 4()f x x =故选：A.4．已知，则（ ） 0.1,cos 2,2a ln b c π-===A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>【答案】B【分析】根据对数函数，指数函数，余弦函数的性质，求出的范围，即可比较出大小. ,,a b c 【详解】因为，所以． 0.1ln π120cos2->>>>a c b >>故选：B5．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的R ()f x ()2023,,0,,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数x ()()f f x =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可. 【详解】当为无理数时，为有理数，则. x ()0f x =()()2023f f x =当为有理数时，为有理数，则. x ()2023f x =()()2023f f x =所以当时，，()()2023f f x =x ∈R 故“为无理数”是“”的充分不必要条件. x ()()2023f f x =故选：A 6．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A7．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：） lg 20.3,lg 30.48≈≈A ．第5代种子 B ．第6代种子 C ．第7代种子 D ．第8代种子【答案】C【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.x 115x -【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为x 115x -171510x -≥715log 101x ≥+，故种子数量首次超过1000万粒的是第7715lg1077log 101111 6.9lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-7代种子． 故选：C. 8．函数的零点所在区间为（ ） ()21log 12x f x x =-+A ． B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. ()f x 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 12xy =()0,∞+2log y x =-()0,∞+所以在上单调递减.()f x ()0,∞+， ()2131log 11022f =-+=>当时，， ()0,1x ∈()()10f x f >>， ()22112log 21024f =-+=>， ()223193log 31log 328f =-+=-因为，所以，3222293log 2log log 382<==<()293log 308f =-<，()241154log 410216f =-+=-<所以，所以的零点所在区间为. ()()230f f <()21log 12xf x x =-+()2,3故选：C ．二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） αPA ．B ．C ．D ．tan α=sin()α-=cos(π)α-=πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A ；求得sin αα==tan α的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的值判断选项D.sin()α-cos(π)α-2πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】角的终边与单位圆的交点为 αP则A 判断正确； sin tan ααα===所以B 判断正确； ()sin sin αα-=-=C 判断错误； ()cos πcos αα-=-=D 判断错误.πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：AB11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()221f x ax bx =--A ．若是偶函数，则()f x 0b =B ．若的解集是，则 ()0f x <()1,1-1b a =C ．若，则恒成立1a =()0f x >D ．，，在上单调递增 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A 选项；利用二次不等式的解集与系数的关系b 可判断B 选项；当时，计算可判断C 选项；利用一次函数与二次函数的单调性可判断D 选1a =∆项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， ()f x R ()f x ()()f x f x -=即，即对任意的恒成立，则，A 对； 222121ax bx ax bx +-=--40bx =x ∈R 0b =对于B 选项，若不等式的解集为，()0f x <()1,1-则且、为方程的两根，则，解得，故，B 对；0a >1-1()0f x =111211aba ⎧-⨯=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩1b a =对于C 选项，若，则，，1a =()221f x x bx =--2Δ440b =+>故不恒成立，C 错；()0f x >对于D 选项，当时，因为，则在上单调递增， 0a =0b <()f x (),0∞-当时，函数的对称轴为直线且， a<0()f x b x a =0ba>由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， ()f x (),0∞-因此，，，在上单调递增，D 对. 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-故选：ABD.12．函数满足，，，则（ ）()f x ()()22f x f x x -+=()()118f x f x x +--=x ∈R A ．B ． ()24f =()()3118f f +=C ．为奇函数D ．()2y f x x =-()()20f x f x ++≥【答案】BCD【分析】利用赋值法可判断AB 选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C 选()()2g x f x x =-项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可()()288f x f x x +--=+()()22f x f x x +-=判断D 选项.【详解】在等式中，令，可得，()()22f x f x x +-=0x =()00f =在等式中，令，可得，A 错；()()118f x f x x +--=1x =()()2088f f =+=在等式中，令，可得，①()()22f x f x x +-=1x =()()112f f +-=在等式中，令，可得，② ()()118f x f x x +--=2x =()()3116f f --=①②可得，B 对；+()()3118f f +=令，其中，则，()()2g x f x x =-x ∈R ()()()()220g x g x f x f x x +-=+--=即，故函数为奇函数，C 对；()()g x g x -=-()2y f x x =-因为，则，()()118f x f x x +--=()()()()()21128188f x f x f x f x x x +--+=+--=+=+⎡⎤⎣⎦又因为，()()22f x f x x +-=上述两个等式相加可得，D 对. ()()()222288220f x f x x x x ++=++=+≥故选：BCD.三、填空题13．______.325661log 5log 2log 2log 182-⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭【答案】9【分析】利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】原式. ()36ln 5ln 22log 2188129ln 2ln 5=-⨯+⨯=-+=故答案为：.914．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．()f x ①对、，；②在其定义域内单调递增． 1x ∀20x >()()()1212f x x f x f x =+()f x 【答案】（答案不唯一，均满足） ()2log f x x =()()log 1a f x x a =>【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果. 【详解】取，、，则()2log f x x =1x ∀()20,x ∈+∞，满足①，()()()()12212212212log log log f x x x x x x f x f x ==+=+在定义域内单调递增满足②，()2log f x x =()0,∞+故答案为：（答案不唯一，均满足）．()2log f x x =()()log 1a f x x a =>15．《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆1S 心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与时，扇面为“美观扇面”.若扇面为θ2S 1S 2S“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.R =【答案】(503π【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出，从而可求出. θ1S 【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，1S 2S ,2θπθ-所以. ()2122121222R S S R θθπθπθ⋅⋅==--⋅由，得，2θπθ=-(3θπ=所以.((2111310050322S Rθππ=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：(503π16．若存在实数、，使得函数在区间上单调递增，且a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b ()f x 在区间上的取值范围为，则的取值范围为______. [],a b [],ma mb m 【答案】416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当时，可得出，分析函数在区间上的单调性，可得19x ≤≤()910f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()f x []1,9出，根据单调性可得，则关于的方程在上至少有两个不等[][],1,3a b ⊆()()f a maf b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩x ()f x mx =[]1,3的实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，m m 解之即可.【详解】当时，， 19x ≤≤()()2199109100x x x x x x x x---++-==≤所以，当时， ，19x ≤≤()991010f x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x []1,3[]3,9因为存在实数、，使得函数在区间上单调递增， a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b 则，即，[][],1,3a b ⊆13a b ≤<≤因为在区间上的取值范围为，则，()f x [],a b [],ma mb ()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，方程在上至少有两个不等的实根，()f x mx =[]1,3由可得，()f x mx =()211090m x x +-+=令，则函数在上有两个不等的零点，()()21109g x m x x =+-+()g x []1,3①当时，即当时，在上单调递减， 10m +≤1m ≤-()g x []1,3此时，函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；()g x []1,3②当时，即当时，因为函数在上有两个零点，10m +>1m >-()g x []1,3所以，，解得.()()()Δ100361051311039120m m g m g m ⎧=-+>⎪⎪<<⎪+⎨⎪=≥⎪=-≥⎪⎩41639m ≤<综上所述，实数的取值范围是.m 416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：.416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.四、解答题17．已知非空集合．{}{}232,280A x a x a B x x x =-<<=-->(1)若，求．0a =()R A B ð(2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】(1) (){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð(2) (1,7)-【分析】（1）先分别化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；,A B （2）根据题意可知不是的子集，也不是的子集，由此列出相应的不等式组，解得答案. A B B A 【详解】（1）因为，所以，0a ={}{}3230A x a x a x x =-<<=-<<因为或，{}{}{2280(4)(2)02B x x x x x x x x =-->=-+>=<-}4x >所以， {}R 24B x x =-≤≤ð故．(){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð（2）因为“”是“”的既不充分也不必要条件， x A ∈x B ∈所以，同时不是的子集，也不是的子集， A ≠∅A B B A 因为，，所以，则， A ≠∅{}32A x a x a =-<<32a a -<3a >-又或，所以必不是的子集，{2B x x =<-}4x >B A 因为不是的子集，所以，解得，A B 2234a a >-⎧⎨-<⎩17a -<<又，故， 3a >-17a -<<所以a 的取值范围为． (1,7)-18．已知角满足.αcos 7sin 0αα+=(1)若，求的值； π02α-<<sin ,cos αα(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.βαx sin 3cos 2sin cos ββββ-+【答案】(1)， sin α=cos α(2). 209-【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）求出，由弦化切将变形为求解.1tan 7β=sin 3cos 2sin cos ββββ-+tan 32tan 1ββ-+【详解】（1）因为，所以. π02α-<<sin 0,cos 0αα<>由，得， cos 7sin 0αα+=cos 7sin αα=-又因为，所以，22sin cos 1αα+=250sin 1α=sin α=cos α=（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称， βαx 所以，2π,Z k k βα=-+∈由，得，cos 7sin 0αα+=1tan 7α=-则， 1tan tan 7βα=-=所以. 13sin 3cos tan 320712sin cos 2tan 19217ββββββ---===-++⨯+19．已知函数，.()2f x ax bx =+()0,1a ∈(1)若，且，求的最小值； ()11f =0b >11a b+(2)若，求关于的不等式的解集. ()11f =-x ()10f x +>【答案】(1)4(2)11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或【分析】（1）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得1a b +=11a b+a b +的最小值； 11a b+（2）由已知可得，可得出，由题意可得，利用二次不等1b a =--()()()1110f x ax x +=-->11a>式的解法解原不等式即可.【详解】（1）解：因为，，，()0,1a ∈0b >()11f a b =+=所以，，当且仅当时，等号成立，()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭12a b ==因此，的最小值为. 11a b+4（2）解：，可得，则，()11f a b =+=-1b a =--()()()()2111110f x ax a x ax x +=-++=-->，则，解不等式可得或.()0,1a ∈ 11a>()()110ax x -->1x <1x a >因此，不等式的解集为.()10f x +>11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围. 2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析； (2). ()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，，2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，，()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点.11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为, ()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解， x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2xf x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123xg x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围．()21x ah x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x (2) ()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解. 【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x xf xg x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”. ()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21xah x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根，2021x x aa -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. ()24x af x x b-=+R a b ∈R ()21f =(1)求、的值；a b(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =的取值范围.m 【答案】(1)，0a =4b =(2)在上为减函数，证明见解析 ()f x [)2,+∞(3) []0,1【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出()00f =()21f =a b 函数为奇函数即可；()f x （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差()f x [)2,+∞1x [)22,x ∈+∞12x x >，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； ()()12f x f x -()()12f x f x -（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分、、和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． ()g x 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， ()24x a f x x b-=+R ()00af b =-=0a =则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇()24x f x x b =+()28212f b ==+4b =()244x f x x =+()f x 函数.对任意的，，故函数的定义域为， x ∈R 244x +≥()244xf x x =+R 则，故函数为奇函数，合乎题意， ()()()224444xxf x f x x x --==-=-+-+()244x f x x =+因此，，.0a =4b =（2）解：函数在上单调递减，证明如下：()f x [)2,+∞任取、且，即，则，，1x [)22,x ∈+∞12x x >122x x >≥210x x -<124x x >则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444440444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++所以，，故函数在上单调递减.()()12f x f x <()f x [)2,+∞（3）解：若对任意的，总存在，使得成立， []12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， ()f x []2,4()g x []0,1因为函数在上单调递减，()f x []2,4则当时，，， []2,4x ∈()()max 21f x f ==()()min 445f x f ==所以，记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①当时，在上单调递减，0m =()22g x x =-+[]0,1则，，得在区间内的值域为. ()()max 02g x g ==()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =②当时，，在上单调递减，且， 01m <≤11m≥()g x []0,1[)21,2m -∈则，，得在区间内的值域为， ()()max 02g x g m ==-()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤1112m ≤<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max02g x g m ==-()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以，该不等式组无解；12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142521m m m ⎧-+-≤⎪⎨⎪-≥⎩④当时，，在上单调递减，在上单调递增，2m >1102m <<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max 10g x g ==()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意.12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，实数的取值范围为.m []0,1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。
2023-2024学年广东省广州高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州高一上册期末数学试题一、单选题1．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】将集合A 化简，根据条件可得B A ⊆，然后分0m =，0m <，0m >讨论，化简集合B ，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为1212x x ->⇒->或12x -<-，解得3x >或1x <-即{}31A x x x =><-或，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当0m =时，B =∅，满足要求.当0m >时，则110mx x m+<⇒<-，由B A ⊆，可得111m m-≤-⇒≤，即01m <≤当0m <时，则110mx x m+<⇒>-，由B A ⊆，可得1133m m -≥⇒≥-，即13m -≤<综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.3．周期为π的函数cos()y x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<的部分图像如图所示，则ϕ=（）A ．3π-B ．23πC ．6πD ．56π【正确答案】C【分析】根据函数周期求得2ω=，结合图像知()cos()063f ππϕ=+=，从而求得ϕ.【详解】函数周期为π，则2ω=，()cos()063f ππϕ=+=，则6k πϕπ=+，Z k ∈，又0ϕπ<<，则6πϕ=故选：C4．设函数()2log f x x x m =+-，若函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，则m 的取值范围是（）A ．7,54⎫⎛- ⎪⎝⎭B ．7,114⎫⎛- ⎪⎝⎭C ．9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭D ．9,114⎫⎛ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在性定理，函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需1()04(8)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，求解即可.【详解】函数()2log f x x x m =+-在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上递增，则函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需22111(log 0444(8)8log 80f m f m ⎧=+-<⎪⎨⎪=+->⎩，解得7114m -<<.故选：B.5．设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】将恒成立问题转化为函数在区间上的最值问题，故只需研究()f x 在[1,3]x ∈的单调性并求出其最小值，再解不等式即可.【详解】当0m =时，()1f x =-，由1m ->-，得1m >，不符合题意；当0m ≠时，函数()f x 的对称轴为12x =，当0m >时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，此时函数min ()(1)1f x f ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需1m ->-，解得1m >，所以1m >；当0m <时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，此时函数min ()(3)61f x f m ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需61m m ->-，解得17m >，不符合题意；综上：实数m 的取值范围是(1,)+∞.故选：B6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()01e a ha tT T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.50≈，lg 50.70≈，lg11 1.04≈.）（）A ．4分钟B ．5分钟C ．6分钟D ．7分钟【正确答案】C【分析】根据已知条件求出参数h 的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.【详解】根据题意可知25C a T =︒，080C T =︒，()01e a ha t T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即1t =，75C T =︒，所以()1175258025e h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得11e e 15010log log 5511h ==，则1e110log 11h =，所以要使得该茶降至55C ︒，即55C T =︒，则有()155258025e th⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得11e e306log log 5511t h ==，故1e1e 1e66log lg 116lg 6lg11lg 2lg 3lg1111log 101011lg10lg111lg11log lg 1111t h -+-=⨯====--0.30.5 1.04611.04+-==-，所以大约需要等待6分钟.故选：C.7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()112,2f x f x f x ++-=+为偶函数，若()02f =，则1151()k f k ==∑（）A ．116B ．115C ．114D ．113【正确答案】C【分析】由()()112f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4，再结合()2f x +为偶函数，可得()f x 也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由()()112f x f x ++-=，得()()22f x f x ++=，即()()22f x f x +=-，所以()()()()42222f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，又()2f x +为偶函数，则()()22f x f x -+=+，所以()()()4f x f x f x =-=-，所以函数()f x 也为偶函数，又()()112f x f x ++-=，所以()()1+3=2f f ，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，又()()112f f +-=，即()212f =，所以()11f =，又()()022f f +=，()02f =，()20f ∴=，所以()()()()()()()()115112342812342820114k f k f f f f f f f =⎡⎤=+++⨯+++=⨯++=⎣⎦∑故选.C8．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（）A ．125B ．85C ．165D ．185【正确答案】A由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122T ππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Zω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A.本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题9．若01a <<，则（）A ．()()log 1log 1a a a a -<+B ．()log 10a a +<C ．()()113211a a -<-D ．11a a -<【正确答案】BD【分析】利用指数函数的图象及性质，对数函数的图象性质分析即可.【详解】当01a <<时，则0111a a <-<<+，又函数()log 01a y x a =<<在()0,∞+上是减函数，所以()log 10a a ->，()log 10a a +<，A 错误，B 正确；()1xy a =-是减函数，所以()()113211a a >--，C 错误，x y a =也是减函数，所以101a a a -<=，D 正确.故选：BD.本题考查指数式、对数式比大小问题，考查指数函数、对数函数的图象及性质的运用，难度一般.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 再次进入水中时用时30秒B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米D ．点P 第二次到达距水面(1米时用时25秒【正确答案】BCD【分析】以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点P 距离水面的高度2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：由题意，角速度26030ππω==弧度/秒，又由水轮的半径为2米，且圆心O 距离水面1米，可知半径0OP 与水面所成角为6π，点P再次进入水中用时为264030πππ+⨯=秒，故A 错误；当水轮转动50秒时，半径0OP 转动了550303ππ⨯=弧度，而53362πππ-=，点P 正好处于最低点，故B 正确；以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点P 距离水面的高度()sin (0,0)H A t B A ωϕω=++>>，由max min 31H A B H A B =+=⎧⎨=-+=-⎩，所以21A B =⎧⎨=⎩，又角速度26030ππω==弧度/秒，0=t 时，06xOP π∠=，所以30πω=，6πϕ=-，所以点P 距离水面的高度2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当水轮转动150秒时，将150t =代入，得2H =，点P 距离水面2米，故C 正确；将1H =代入2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，得23063t k ππππ-=+，或223063t k ππππ-=+，即6015t k =+，或6025t k =+()k N ∈．所以点P第二次到达距水面(1+米时用时25秒，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R∈恒成立，则（）A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎝⎭是奇函数【正确答案】BC【分析】由()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可知4x π=为()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴，结合辅助角公式，可得a b =，进而可得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再分别判断选项即可.【详解】由题意得，()()sin cos sin f x a x b x x ϕ=++，因()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，故4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b +=a b =，故()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于选项A ，9sin 520f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5sin612f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，虽然95sin sin 2012ππ>，但时a 正负不知，故5f π⎛⎫ ⎪⎝⎭与6f π⎛⎫⎪⎝⎭无法比较大小，故A 错；对于选项B ，因55sin cos sin 22444f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，因sin 4f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故C 正确；对于选项D ，sin cos 42f x x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错.故选：BC.本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成()()sin ωφf x A x B =++的形式，再结合sin y x =的图像性质即可解决.12．设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x R ∈，恒有()()22f x f x +=-，已知当[]0,2x ∈时，()22x f x -=，则有（）A ．函数()f x 是周期函数，且周期为2B ．函数()f x 的最大值是4，最小值是1C ．当[]2,4x ∈时，()22xf x -=D ．函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减【正确答案】BD【分析】推导出函数()f x 的周期，可判断A 选项的正误；求出函数()f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B 选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数()f x 在[]2,4上的解析式，可判断C 选项的正误；利用C 中的解析式结合周期性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由已知可得()()()222f f f x x x -=+-=，则()()4f x f x +=，故函数()f x 是周期函数，且周期为4，A 选项错误；对于B 选项，当[]0,2x ∈时，()[]221,4xf x -=∈，由于函数()f x 为偶函数，则当[]2,0x ∈-时，()[]1,4f x ∈，所以，当[]2,2x ∈-时，()[]1,4f x ∈，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 的最大值是4，最小值是1，B 选项正确；对于C 选项，当[]2,0x ∈-时，()()22xf x f x +=-=，当[]2,4x ∈时，[]42,0x -∈-，则()()()242422x x f x f x +--=-==，C 选项错误；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在[]2,0-上单调单调递增，在[]0,2上单调递减，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减，D 选项正确.故选：BD.三、填空题13．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【正确答案】()2f x x=【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故()2f x x=14．如图所示，弧田是由圆弧 AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【正确答案】6π-【分析】根据题意得34AOB πα∠==，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设AOB α∠=，因为弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故6π-15．已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【正确答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x yx y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为.9416．已知函数()f x 满足()21,0lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()22420f x mf x m -++=⎡⎤⎣⎦有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【正确答案】[]1,3【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，原问题等价于22420t mt m -++=有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有五个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈或有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈令22()42h t t mt m =-++，当有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈则()()2222Δ4420(1)1420m m h m m ⎧=--+>⎪⎨=-++≤⎪⎩解得：13m ≤≤，当有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈则()()()22222Δ4420114204102220m m h m m m m ⎧=--+>⎪⎪=-++≥⎪⎨-<-≤⎪⎪+=⎪⎩解得：m ∈∅，综上，实数m 的取值范围为[]1,3故[]1,3方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四、解答题17．已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间；（Ⅱ）若()0,απ∈，223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（Ⅰ）0,6π⎡⎤⎢⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；（Ⅱ）6.【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得函数()y f x =在R 上的单调递增区间，与[]0,π取交集可得出结果；（Ⅱ）由223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭可得出1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系可求得cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用两角和的正弦公式可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（Ⅰ）())22cos sin cos 1sin cos 2cos 1f x xx x x x x =+-=+-2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ．令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．令0k =，得36x ππ-≤≤；令1k =，得2736x ππ≤≤.因此，函数()y f x =在区间[]0,π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；（Ⅱ）由223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．()0,απ∈ ，7,666πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又π11sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，,62ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭．因此，sin sin sin cos cos sin3666666πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1221332⎛=-⨯= ⎝⎭．本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.18．已知函数()log ()(01)a g x x a a a =->≠，.（1）当2a =时，解不等式()2g x ≤；（2）若不等式()log (5)2a g x a x +-≤在x ∈13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}26x x <≤；（2）.【分析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；（2）由题意原问题转化为222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，分1a >与01a <<两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.【详解】(1)2a =时，函数2()log (2)g x x =-定义域为(2,)+∞()2g x ≤∴22log (2)log 4x -≤∴224x x >⎧⎨-≤⎩解得26x <≤∴不等式()2g x ≤的解集为{}26x x <≤(2)设()()log (5)a f x g x a x =+-，(,5)x a a ∈由题意知13231501a a a a a a ⎧->⎪⎪+<⎨⎪>≠⎪⎩且，解得112a a >≠且()log ()log (5)a a f x x a a x =-+-221(65)a og x ax a =-+-，(,5)x a a ∈ ()()log (5)2a f x g x a x =+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立∴222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立令22()65h x x ax a =-+-，x ∈13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∴()h x 的图象是开口向下，对称轴方程为3x a =的抛物线.①1a >时，222log (65)log a a x ax a a -+-≤在1312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于22max ()(3)4h x h a a a==≤解得0a =，这与1a >矛盾.②当112a <<时，222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于22min ()(31)41h x h a a a=+=-≥解得3a ≥或3a ≤-又 112a <<1a <综上所述，实数a的取值范围是[3关键点点睛：由题意转化为222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.19．已知函数()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=++><<的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π3个单位长度，然后将图象上的每个点横坐标变为原来的2倍，再向上平移2个单位长度后，得到函数()g x 的图象，()g x 图象关于y 轴对称且经过坐标原点.(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)若对任意π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()210f x af x a -++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()πsin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1cos g x x =-；(2)1a ≤-.【分析】（1）由题可得周期进而得2ω=，然后利用图象变换规律可得()2πsin 23x g b x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质结合条件即得；（2）设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，()210h t t at a =-++≤恒成立，可得()10200h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，即得.【详解】（1）由题可得函数的最小正周期为π，又()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=++><<，所以2ππT ω==，即2ω=，()()sin 2f x x b ϕ=++，由题可得()2πsin 23x g b x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，又()g x 图象关于y 轴对称且经过坐标原点，所以2πππ,Z 32k k ϕ-=+∈，即7ππ,Z 6k k ϕ=+∈，0πϕ<<，当1k =-时满足条件，即6πϕ=，又2πsin 203b ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故1b =-，故()πsin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1cos g x x =-；（2）由π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即210t at a -++≤恒成立，设()21h t t at a =-++，则()21h t t at a =-++的最大值小于等于零即可，故满足()10200h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，即11104210a a a ⎧+++≤⎪⎨⎪+≤⎩，解得1a ≤-，即实数a 的取值范围为1a ≤-.20．已知在定义域内单调的函数满足()12ln 213xf f x x ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭恒成立.(1)设()1ln 21xf x x k +-=+，求实数k 的值；(2)解不等式()()272ln e 21xx f x x +>-+-+；(3)设()()ln g x f x x =-，若()()2g x mg x ≥对于任意的[]1,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围，并指出取等时x 的值.【正确答案】(1)1k =(2)7(,0)3-(3)2m ≤-，当且仅当2log 1)x =时等号成立，【分析】（1）由题意列方程求解，（2）由函数的单调性转化后求解，（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，【详解】（1）由题意得()1ln 21x f x x k =-++，12ln 213()k f k k k +=-+=，由于1ln 21ky k k =-++在(0,)k ∈+∞上单调递增，观察得12ln 213k k k -+=+的解为1k =，（2）由于()f x 在定义域内单调，所以()1ln 21x f x x +-+为常数，由（1）得()1ln 121x f x x =-++，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()12ln()1ln e 1(212)xx x f x x x ---+=---=++，故原不等式可化为()72()f x f x +>-，由270027x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩得703x -<<，故原不等式的解集为7(,0)3-（3）121022)1(1xx x g x -=+=+>+()()2g x mg x ≥可化为241412112144242x x x x x x x x xxm ++-+≤⋅==++++对[]1,2x ∈恒成立，设21[3,1]x t =-+∈--，则22211242(1)1233x x x t t t t t t t t-+===+-+-+-+-，[3,1]t ∈--，由基本不等式得2t t+≤-，当且仅当t =故当t =min 1()323t t=+-，故2m ≤-，当且仅当2log 1)x =时等号成立，。
广东省广州市高一上学期期末(线上)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则的真子集个数是（ ）{}21M x x ==M A ． B ． C ． D ．3456【答案】A【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2．命题“”的否定是（ ） 2[0,),0∀∈+∞+≥x x x A ．B ．2[0,),0∀∈+∞+<x x x 2(,0),0∀∈-∞+≥x x x C ．D ．2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 2000[0,),0∃∈+∞+≥x x x 【答案】C【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.∀∃20+≥x x 2000x x +<【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，2[0,),0∀∈+∞+≥x x x 2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 3．在中，，则（ ）ABC A cos A =1tan 3B =()tan A B -=A ． B ． C ． D ．22-12-12【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出tan A tan ,tan A B 的值. ()tan A B-【详解】因为，所以，所以，cos A =()0,A π∈34A π=tan 1A =-所以，()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．已知，，，则（ ） 0.62a =sin 2b =0.3log 1.3c =A ． B ． C ． D ．c<a<b a b c <<b a c <<c b a <<【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把与0和1比较后可得． ,,a b c 【详解】因为，，，所以． 0.621>0sin 21<<0.3log 1.30<c b a <<故选：D ．5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当()f x 3x y =y x =()g x 0x >时，，则（ ） ()()g x f x x =-(9)g -=A ． B ．6 C ． D ．76-7-【答案】D【分析】先求出，再求出即得解.3()log f x x =(9)7g =-【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则． ()y f x =3x y =3()log f x x =由题设，当时，，则． 0x >3()log g x x x =-3(9)log 99297g =-=-=-因为为奇函数，所以. ()g x (9)(9)7g g -=-=故选：D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第sin sin αβ=αβcos 0θ<θ二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误； sin sin αβ=αβy 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误； cos 0θ<θx 综上，其中正确命题是②，只有个. 1故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.7．函数的零点个数为（ ）()23log 1xf x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】函数的零点即的解，即与()23log 1xf x x =-2213log 10log 3xxx x ⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭2log y x =图象的交点，如图所示， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从函数图象可知，与有两个交点.2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭x [)M ⊆+∞ω的取值范围是（ ） A ．B ．14[,234[,2]3C ．D ．11[,]43119[,]412【答案】D【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，()f x 14ω≥()f x [)M ⊆+∞1912ω≤综合二者即可得到的取值范围.ω【详解】定义在上的函数，[]0,π()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭则，由函数有零点，所以，解得； ,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x 04πωπ-≥14ω≥由函数的值域，所以，解得； ()f x M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭443ππωπ-≤1912ω≤综上，的取值范围是．ω119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且<0，则（ ）11x y <A ．x -y >0 B ．sin x -sin y >0C ．>0D ．>2 22x y -y x x y+【答案】ACD【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式0x y >>即可求解.【详解】因为x ，y ∈R ，且<0， 11x y<且，， 110y x x y xy -∴-=<0,0x y <<0y x ∴<<A ，由题意可得，故A 正确；0x y ->B ，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sin x -sin y >0，故B 错误； 0y x <<C ，由，则，即，故C 正确； 0y x <<22y x <220x y ->D ，因为，则，即， 0y x <<0,0y x x y >>2y x x y +≥=当且仅当，即取等号，又因为，x yy x =x y =0y x <<所以，故D 正确. 2y xx y+>故选：ACD10．下列函数中，最小正周期为的有（ ） πA ． B ．C ．D ．|cos |y x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ||y x =【答案】AB【分析】逐项分析即得.【详解】对于A ，的最小正周期为，故A 正确；|cos |y x =π对于B ，的最小正周期为，故B 正确； sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=对于C ，的最小正周期为，故C 错误；tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π对于D ，的最小正周期为2，故D 错误. cos ||cos y x x ==π故选：AB.11．下列各式正确的是（ ） A ．设0a >16a =B ．已知，则31a b +=81333a ba⋅=C ．若，则log 2,log 5a a m n ==220m n a +=D ．114511lg 311log log 93+=【答案】ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，故A 对；1656a a a===对于B ，，故B 对； 43813333333a b a ba b a a+⋅⋅===对于C ，，，，故C 对；2m a =5n a =()2220m n m n a a a +==对于D ，，故D 错．933334511451111log log log log log 11log log log log 4525109933=+=+=+=+故选：ABC ．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M 位于点，经过t 秒后运动到点，点P 的纵坐标满足0=t (03,P -(),P x y （，，），则下列叙述正确的是（ ） ()()sin y f t R t ωϕ==+0t ≥0ω>π2<ϕA ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为 2-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为60P D ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6 (]0,60【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得ω0(3,P -π3ϕ=-，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A 正确； 2ππ=12060ω=对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以， 0=t M 0(3,P -6R ==所以有， (0)6sin sin f ϕϕ==-=因为，所以，π||2ϕ<π3ϕ=-即， ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以B 错误； ππ4π(100)6sin 1006sin 66033f ⎛⎛⎫=⨯-==⨯=-⎪ ⎝⎭⎝对于C,由B 可知：盛水筒的纵坐标为， M -x，63x =⇒=±因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，M 故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C 正确； 3x =-M 0P 3(3)6--=对于D,因为，， πππ50(06032t x -=⇒=∈60]所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D 正确．(060]M x故选：ACD三、填空题13．已知，，且，则的最小值是________．0x >0y >41x y +=11x y+【答案】9【分析】，再根据基本不等式求解. ()4111114511y xx y x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ()1114145111y xx y x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又因为 40,00,0y xx y x y>>∴>>由基本不等式得，当且仅当并且 44y x x y +≥=4y x x y =41x y +=所以，所以，即的最小值为. 110,063y x =>=>459y x x y ++≥11x y +9故答案为：914．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．()y f x =()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩()1f x >x 【答案】{}|2x x >-【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合. 1x ≤1x >()1f x >x 【详解】解：由题意在中，()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当时，， 1x ≤()3f x x =+当时，解得：()1f x >21x -<≤当时，，1x >()2xf x =当时，解得： ()1f x >1x >综上，2x >-∴满足的实数的取值集合是 ()1f x >x {}|2x x >-故答案为：.{}|2x x >-15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为e kt V a -=⋅49a 827a，则需经过的天数为______． 【答案】75【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 1504e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭827a 【详解】由已知，得，504e 9ka a -=⋅∴． 1504e 9k-⎛⎫= ⎪⎝⎭设经过天后，一个新丸体积变为， 1t 827a 则， 18e 27kt a a -=⋅∴， ()115084e 279t t k -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，． 13502t =175t =故答案为：75.16．已知是定义在R 上的奇函数，满足，有下列说法： ()=y f x ()()12f x f x +=-①的图象关于直线对称； ()=y f x 3=2x ②的图象关于点对称；()=y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭③在区间上至少有5个零点；()=y f x []0,6④若上单调递增，则在区间上单调递增． []0,1[]2021,2022其中所有正确说法的序号为_______． 【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()=y f x []0,6判断③；求得在区间上的单调性判断④ ()=y f x []2021,2022【详解】因为，所以，(1)(2)f x f x +=-(3)()f x f x +=故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R 上的奇函数， ()f x =()y f x 则，所以，(3)()()f x f x f x +==--(3)()0f x f x ++-=故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭由题意可知，，因为，(6)(3)(0)0f f f ===()(3)()f x f x f x =+=--令，可得， 即， 32x =-3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，从而，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93022f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； =()y f x [0,6]因为，，202136741=⨯-20223674=⨯且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， ()f x [0,1]()f x [1,0]-故函数在区间上也单调递增，故④正确． ()f x [2021,2022]故答案为：②③④四、解答题17．设 {}{}22,430,0,1,4x U R A x x x B xC x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若，求实数的取值范围B C C = a 【答案】(1)；或 {}23A B x x =<≤ {|3U A B x x ⋃=≤ð}4x ≥(2) ()2,3a ∈【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【详解】（1）解：解不等式可得，{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以，或，或； {}23A B x x =<≤ {2U B x x =≤ð}4x ≥{3U A B x x =≤ ð}4x ≥（2）解：由可得，且，B C C = C B ⊆C ≠∅所以，解得，即.214a a >⎧⎨+<⎩23a <<()2,3a ∈18．在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，点位于角的终边上．α)1P-α(1)求和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．(),αππ∈-()()tan f x x α=-【答案】(1)，1sin 2α=-cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)定义域，单调递增区间 |,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可． α【详解】（1）∵点位于角的终边上，，)1P-α1sin 2α∴=-cos α=1cos cos cos sin sin 4442πππααα⎛⎫∴-=+== ⎪⎝⎭（2），，(),αππ∈- 1sin 2α=-cos α=，所以6πα∴=-()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,62x k k πππ+≠+∈Z ,3x k k ππ∴≠+∈Z 所以函数的定义域为|,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 令，解得 ,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z 2,33k x k k ππππ-+<<+∈Z 所以函数的单调递增区间 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．已知函数（为常数且）的图象经过点， ()x f x b a =⋅,a b 0,1a a >≠(1,8)A (3,32)B （1）试求的值；,a b （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.11(()0x xm a b+-≥(,1]x ∈-∞m 【答案】（1）；（2）.2,4a b ==3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. ,a b （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.m m 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以()f x (1,8)A (3,32)B 3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩2,4a b ==.()2422x x f x +=⋅=（2）原不等式为，即在时恒成立，11(()0x x m a b +-≥11024x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1124x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞而在时单调递减，故在时有最小值为，故1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞1x =1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以实数的取值范围是. 34m ≤m 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20．已知函数. 21()sin()cos cos 64f x x x x π=-+-（1）求函数的最小正周期和单调区间；()f x （2）求函数在上的值域. ()f x [0,]2π【答案】⑴，递增区间为，递减区间 T π=[,36k k k Z ππππ-+∈2[,],63k k k Z ππππ++∈⑵ 11[,]42-【分析】整理函数的解析式可得：. ()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】 ()221111cos cos cos cos cos 2424f x x x x x x x x ⎫=-+-=⋅+-⎪⎪⎭11cos2111cos222422x x x x ⎫+=+⋅-=+⎪⎪⎭. 1sin 226x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1），T π=递增区间满足：， ()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递增区间为， ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间满足：， ()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递减区间为. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2642x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为. ()f x ∴11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元. 21()150600p x x x =++（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）()p x y x=可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本， 21()150600p x x x =++可得每台机器人的平均成本. 21150()11506001600x x p x y x x x x++===++因为. 1150112600y x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立. 150600x x =300x =∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为130m ≤≤2160(60)1609600m m m m -=-+∴当时，日平均分拣量有最大值144000.30m =当时，日平均分拣量为30m >480300144000⨯=∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. 1440001201200=∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.1203090-=【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.()300q m 22．已知函数的图象过点，.()ln()()f x x a a R =+∈()1,02()()2f x g x x e =-（1）求函数的解析式；()f x （2）若函数在区间上有零点，求整数k 的值；()ln(2)y f x x k =+-()1,2（3）设，若对于任意，都有，求m 的取值范围. 0m >1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln(1)g x m <--【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.()ln f x x =k ()1,2【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；ln(1)0a +=a （2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函()2ln 2y x kx =-2210x kx --=2()21h x x kx =--数在上有零点，列出不等式组，即可求解；()y h x =()1,2（3）求得的最大值，得出，得到，设()g x ()g m max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--，结合单调性和最值，即可求解.2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， ()ln()()f x x a a R =+∈()1,0ln(1)0a +=0a =所以函数的解析式为.()f x ()ln f x x =（2）由（1）可知，，()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-(1,2)x ∈令，得，()2ln 20x kx -=2210x kx --=设，则函数在区间上有零点，2()21h x x kx =--()ln(2)y f x x k =+-()1,2等价于函数在上有零点，所以，解得， ()y h x =()1,2(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩712k <<因为，所以的取值为2或3.Z k ∈k （3）因为且，所以且， 0m >1m m >1m >101m<<因为，2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--所以的最大值可能是或， ()g x ()g m 1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为 22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以，2max ()()2g x g m m m ==-只需，即，max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--设，在上单调递增，2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m (1,)+∞又，∴，即，所以，(2)0h =22ln(1)0m m m -+-<()(2)h m h <12m <<所以m 的取值范围是.()1,2【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，()f x 从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
广东省广州市普通高中高中高一数学上学期期末考试试卷试题10
上学期高一数学期末模拟试题 10一．选择题 ： ( 本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .)1、设会合 U 01，，2，3，4，5 ，会合 M 0，3，5 ， N 1，4，5 ，则 M(C U N ) 等于（）A．0,1,3,4,5 B ． 0,2,3,5 C ．0,3D ．52、函数 f (x)2 x+ log 2 x 的定义域为（）x 1A ． (0, 2]B ． (0, 2)C ． (0,1) (1,2)D ． (0,1) (1,2]3、用二分法研究函数 f (x)x 3 3 x 1 的零点时，第一次经计算f (0)0，f (0.5) 0 ，可得其中一个零点 x 0，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为（）A ．（ 0.5 ， 1）， f (0.75)B ．（ 0，0.5 ）， f (0.125)C ．（ 0，0.5 ）， f (0.25)D ．（0，1）， f (0.25)rr (1, r ( 1, 2)r 4、已知向量 a(1,1),b1),c ，则 c（ ）A.1 r 3rB.1r3rC. 3r1rD.3r1r2 ab2 aba bab2222225、 sin570 °的值是（）A ．1B ．－1C．3D ． － 322226、若角 α 的终边落在直线x - y =0 上，则sin1 cos 2）1 sin 2cos的值等于（A2B2C2或 2D7、一质点遇到平面上的三个力F 1 , F 2 , F 3 （单位：牛顿）的作用而处于均衡状态．已知F 1 , F 2 成 120o角，且 F 1 , F 2 的大小分别为 1 和 2，则有（）A ． F 1, F 3 成 90o 角B ． F 1 , F 3 成 150o 角C ． F 2 , F 3 成 90o 角D ． F 2 , F 3 成 60o 角 8、设函数f ( x)21 x , x 1，则知足f ( x)2的 x 的取值范围是 （）1 log2 x, x1A ．[-1 ， 2]B ． [0 ，+ ）C ．[1 ， + ）D ．[0 ， 2]- 1 -9、函数f (x) Asin( x ) b 图象如右图，则 f ( x) 的分析式与S f (0) f (1) f ( 2 ) f ( 2012 ) 的值分别为（）A．f ( x) 1sin x 1 ， S 2013 B ． f (x)1sin x 1 ， S 20131 2 2 2 2 2C．f ( x) 1sin 2 x 1 ， S 2012 D ． f ( x)1sin x 1 ， S 20121 2 2 2 210 、在股票买卖过程中，常常用到两种曲线，一种是即市价钱曲线y＝f ( x)，一种是均匀价格曲线 y＝ g( x)(如 f (2)＝3表示开始交易后第 2 小时的即市价钱为 3 元；g(2) ＝4 表示开始交易后两个小时内全部成交股票的均匀价钱为 4 元 ). 下边所给出的四个图象中，实线表示y＝ f ( x)，虚线表示 y＝ g( x)，此中可能正确的选项是（）y y y yx x x xA. B. C. D.二．填空题： ( 本大题共7 小题，每题 4 分，共 28 分 .)11、设f ( x )是定义在R上的奇函数，当x 0 时， f ( x )2x2 x ，则 f ( 1 ) = ．12、函数y tan x 在( 0,2) 内的零点是.13、函数y x x 3的值域是.uuur uuur14、△ ABC中，AB 3, BC 4,CA 5 ,则CB CA＝.1 115、若a log2sin , b log , , c 23 则 a,b,c 的大小关系是．37 116、下边有五个命题：①终边在 y 轴上的角的会合是{ β| β= 2k, k Z }.22②设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm，则这个扇形的圆心角的弧度数是 2.③函数 y sin 4 x cos4 x 的最小正周期是2.- 2 -④为了获得 y 3 sin 2 x的图象，只要把函数 y 3 sin( 2x )的图象向右平移.3 6⑤函数y tan( x)在，上是增函数 .2全部正确命题的序号是.（把你以为正确命题的序号都填上）17、定义在 R 上的奇函数f (x)知足：关于随意x R ,有 f ( x ) f ( 2 x ). 若 tan 1 ,2 则 f ( 10 sin cos ) 的值为.三．解答题（本大题共 5 小题，满分52 分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18、（本小题满分10 分）如图 : A、B是单位圆O上的点，C是圆与 x 轴正半轴的交点，三角形AOB 为正三角形，且 AB∥ x 轴．y （1）求COB的三个三角函数值；BA （2）求BC及OA BC．CO x- 3 - 注：答案高出边框部分无效19、（本小题满分 10 分） （ 1）求值：（ 2）化简：11tan()cos(2 )sin( 383log 3 log 6 5 (log 5 2 log 5 3 ) 10lg 3)cos()sin(2 .27)20、（本小题满分 10 分）已知函数f ( x ) 1 2 sin( 2 x) （此中 0 1）， 若直线 x是函数 f ( x ) 图63象的一条对称轴．（ 1）求及最小正周期；（ 2）求函数 f ( x) , x ,的单一减区间．21、（本小题满分 r3 r 10 分）已知向量 a(sin x, ), b (cos x, 1).2r r2 sin x cos x 的值；（ 1）当 a // b 时，求 2 cos 2 x- 4 -f ( x ) 2 sin x ( a b ) ( a b )在 ,0 上的最小值，及获得最小值时 x 2的值．- 5 -22、（本小题满分12 分）2 (1) x, x 0已知函数 f ( x) 3 .1 x2 x 1, x 02（ 1）写出该函数的单一区间；（ 2）若函数g ( x) f ( x) m 恰有3个不一样零点，务实数 m 的取值范围；(3) 若f (x) n2 2bn 1对全部 x [ 1,1], b [ 1,1] 恒建立，务实数n 的取值范围 .答案一、选择题- 6 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D C D B C A B A D二、填空11、 3 ；12、；13、0, ； 14 、 16 ；15、a b c ；16 、②④； 17 、0 .三、解答（本大共 5 小，分 52 分。
2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题1(含解析)
3a 1 1 a
a
1 2
等价于
2 2
3a 1
1 2 a2
，解得
1 a 1，即 3 1 a 3
1 3
a
1 2
，
即实数
a
的取值范围是
1 3
,
1 2
.
故选：B 7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量 P 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， P 与
死亡年数
t
之间的函数关系式为
P
故选：C
2. 已知 x R ，则“ x 2 ”是“| x | 2 ”的（ ）
A. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 【正确答案】A
B. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由| x | 2 解得 2 x 2 ，
所以由 x 2 推不出| x | 2 ，故充分性不成立，
个单位长度得到函数
y
sin
1 2
x
π 3
sin
1 2
x
π 6
的图像，故
B
错误；
对于 C，函数 y sin x 的图像所有点向右平移 π 个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩 3
短到原来的
1 2
（纵坐标不变），得到函数
y
sin
2x
π 3 的图像，故
C
正确；
对于 D，函数 y sin x 的图像所有点向右平移 π 个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸 6
9,
当且仅当 4b a ,即 a 2b 1 时等式成立,
ab
3
故 1 1 的最小值为 9, ab
故选项 D 正确. 故选:AD