非线性规划难点
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
非线性规划问题难点突破
类型2 题．
斜率型：求解目标是分式型的，根据两点连线的斜率公式，
把问题转化为已知的平面区域内的点与某个定点连线的斜率的范围问
例2 定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知 b＋1 y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则 的 a＋1 取值范围是( 1 1 A．( ， ) 5 3 1 B．(－∞， )∪(5，＋∞) 3 1 C．( ，5) 3 D．(－∞，3) )
＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是(
)
【分析】
方程y＝kx＋1表示过定点(0,1)的直线系，画出不等式组
表示的平面区域，根据直线系的特点进行计算．
【解析】
区域D为图中的阴影部分，直线y＝kx＋1恒过定点
x＋y－1＝0， 3x－y－3＝0，
C(0,1)，如果要把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1 只要经过AB的中点即可．由方程组
【答案】 C
本题在知识交汇处命制，要求考生对各个部分的知识有较为全面 的掌握，需要有较强的分析问题、解决问题的能力．
类型3 值．
距离型：当求解目标是二元二次式时，可以通过配方的方
法把其化为关于x，y的平方和的形式，根据两点间的距离公式求解其最
x＋y－1≤0， 例3 已知 x－y＋1≥0， y≥－1，
【答案】
[－1,20]
对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可以用三个函数值把系数a， b，c表示出来，这样在知道其中三个函数值范围的情况下，就可以求其 他函数值的范围，本题中的二次函数只含有两个待定的系数，故只要知 道其中两个函数值就可以把其系数表示出来，然后表示出f(3)，再根据 不等式的性质确定其取值范围．本题常犯的错误是把a，c的取值范围独 立地求出来，再根据这个范围确定f(3)的范围，这样实际上是扩大了a， c在整体上的取值范围，在本题中已知条件是－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划问题的求解方法
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
4、其它求解算法
（1）间接法 （2）直接法
直接搜索法 以梯度法为基础的间接法
无约束规划的Matlab求解函数 数学建模案例分析（截断切割，飞机排队）
（1）间接法
在非线性最优化问题当中，如果目标函 数能以解析函数表示，可行域由不等式约束 确定，则可以利用目标函数和可行域的已知 性质，在理论上推导出目标函数为最优值的 必要条件，这种方法就称为间接法（也称为
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
三、Matlab求解有约束非线性规划
1. 用fmincon函数求解形如下面的有约束 非线性规划模型
一般形式：
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
非线性规划算法介绍
非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。
这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。
1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。
相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。
然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。
2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。
在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。
梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。
(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。
拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。
(c) 启发式算法启发式算法（Heuristic algorithms）是一种不确定性的、基于经验的求解方法，因此不保证能找到全局最优解。
虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。
常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。
这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。
(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。
非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。
(汇总)非线性规划问题的求解方法.ppt
..........
5
3、问题：
..........
6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
..........
7
外点法框图： k k1
初始x(0) , 1 0, 1 0, k 1
以x(k)为初始点, 解
min f (x) k p(x)
得到 x(k 1)
No
k1 k
k p( x(k1) )
..........
yes
停
x(k1) opt
8
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （1） 给定初始内点 x(0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数b (0,1) ，置 k=1；
（2） 以 x(k1) 为初始点，求解下列规划问题： min f (x) (k) B(x) ，令x(k) 为所求极小点 s.t. x S
else
m(k+1)=c*m(k);
..........
12
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
..........
13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
s.t. x S0 从x(k )出 发, 求 得 x(k1)
No
k1 k
kq( x(k1) )
yes
停
x(k1) opt
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线性规划
非线性规划
哪里是最优解？
注意：最优解不在拐角点上，而是在等值线第一次交于可行域之处。
另一个例子
Min
(x-8) 那么全局无约束最小仍然可行。
最优解不是可行域的边界。
若对于任意两点x,y ∈Ｓ，实数λ∈［0,1］，λx+(1-λ)y ∈Ｓ，那么S 是凸集。
我们把S 中的元素W 叫做极值点（顶点或拐角点），若W 不是S
中任何线段的中点。
线性规划的可行域是凸集。
连接任意点的线段总在曲线下端。
（y+z ）／2
连接任意点的线段总在曲线上端。
解一元非线性规划：Max f(θ)
s.t. a≤θ≤b
最优解是边界点或者满足f’(θ*)=0并且f’’(θ*)<0。
搜索区间长度 3
最大值可能在哪？
能够找到一个局部最大解，但不一定是全局最大解
然后估计f(x)= λ1(-20)+λ2(-7 1/3)
假定-3≤x ≤-1，将x 表示为λ1(-3)+ λ2(-1) ，λ1，λ2≥0且λ1+λ2＝１。
估计一个非线性一元函数：λ法
用分段线性规
划近似。
选择不同的x 值描述x 轴。
若-3≤x ≤1 会怎样？
如何估计区间中的f()?
设-1≤x ≤1,令x= λ2(-3)+ 3(-1), λ1， λ2≥0且λ1+λ2＝１
当只有两个λ为正时，该方法给出的近似是正确的。
近似问题：min λ1f(a 1)+λ2f(a 2)+λ3f(a 3)+λ4f(a 4)+其他线性项 s.t. λ1+λ2+λ3+λ4=1；λ≥0 考虑λ1＝λ3＝１/2， λ2＝λ4=０
+邻接条件 +其他约束
+其他约束
+其他约束
从一个非线性规划开始： 对任意j,k 成立
和邻接条件约束
约束
限制
替代项 原项 代替
，并令
加入约束。