规划理论及模型
线性规划中的对偶规划模型及对偶理论
MaxZ 2x1 x2
s.t.53xx11
4x 2x
2 2
15 10
x1, x2 0
MinW 15y1 10y2
3y1 5y2 2 s.t.4y1 2y2 1
y1, y2 0
2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
n
MaxZ c j x j j 1 n
s.t. j1 aij x j bi i 1,2, , m x j 0 j 1,2, , n
(特点：等式约束)
对偶问题
m
MinW bixi i 1
m
s.t. i1 aij yi 来自cjj 1,2, ,n
yi符号不限， i 1,2, ,m
（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？ 把一个等式约束写成两个不等式约束， 再根据对称形式的对偶关系定义写出；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2
10x3 14
11
x1 0, x2符号不限, x3 0
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y2 14y3 MaxW 7 y1 11y2 14y3
x2
线性规划的理论与实例分析
线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。
本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。
（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。
例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。
（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。
例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。
（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。
例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。
通常用不等式或等式形式表示。
二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。
三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。
（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。
单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。
单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。
【最新精选】生涯规划的理论模型
生涯决策的理论模型——CASVE循环教学目标：通过教学，让学生了解生涯决策的几种理论模型，学会运用CASVE 循环模型来确定自己的生涯计划。
教学准备：多媒体课件教学地点：教室教学时间：一课时一、课堂导入同学们，今天我们要学的内容是：生涯决策的理论模型。
首先，让我们一起来做个小测验，请同学们拿出一张纸和一支笔。
职业生涯决策风格测试。
二、教学过程过渡：接下来，我们一起来分享个案例，请同学们帮案例中的主人公做出决策。
呈现故事：故事分析。
（一）生涯决策的基本原则1．择己所爱对生涯方向和目标的选择首先要遵从个人的价值观和兴趣，这样才能从职业中体会到人生的价值和意义，得到生活的乐趣。
2．择己所能生涯决策要考虑自身的能力、性格等的人职匹配，选择要在自己的能力和潜能范围之内，并具有一定的挑战性。
3．择世所需生雅决策必须遵循社会的发展规律，适应社会人才结构的需求。
人的价值要体现在对社会所做的贡献上。
4．择己所利决策也是利益选择的过程，在个人利益和集体利益不相冲突的前提下，合理范围内两弊相衡取其轻、两利相权取其重，追求利益（包括物质利益和精神利益）的最大化。
（二）决策模型——CASVE循环1．CASVE循环理论的解释①沟通（Communication）是个体意识到“我需要做出一个选择”的过程。
在这个阶段，个体通过内部或外部的信息交流途径发现问题信号。
个体从认知和情绪上与这些信号充分接触，体会到理想情境与现实情境的差距给个体带来的不平衡感，开始分析问题的根源，探索它的成因，从而启动一个CASVE循环。
②分析（Analysis）是“了解我自己和我的各种选择”的阶段。
在这个阶段，好的决策者会花时间去思考、观察、研究，完善自我知识，尤其是在兴趣、价值观和技能领域，还要不断了解职业领域、学习领域、工作组织和行业类型等各种选择信息。
总之，决策者尽可能了解在沟通阶段体会到的不平衡感的所有构成因素。
③综合（Synthesis）这个阶段的基本问题是：“为了解决问题我可以做些什么？”我们将在这个阶段综合和加工上一阶段提供的信息，从而制订出消除问题或差距的行动方案。
社会型霍兰德职业生涯规划
社会型霍兰德职业生涯规划霍兰德职业爱好模型是一种常用于职业生涯规划的理论框架，其中的社会型是指那些期望与人们合作、助人为乐、具备社交技能的个体。
社会型的人通常热衷于救助他人解决问题，他们倾向于从事与人相关的工作，如社工、老师、医生等。
这些职业向社会做出直接贡献并满足他们对人际互动的需求。
社会型的人适合从事与人合作的工作，因为他们具备与他人建立干系、理解别人需求的能力。
他们往往擅长与人沟通，并且乐于听取和分享信息。
这使得他们在团队合作中起到乐观的沟通和协调作用。
他们的关注点通常在于救助他人解决问题，增进他人的成长和进步。
社会型的人可以在各个领域找到适合他们的工作。
在医疗领域，他们可以成为医生、护士、职业治疗师等，通过提供医疗服务来救助需要救助的人。
在教育领域，他们可以成为老师、咨询师、教育顾问等，为同砚的成长和成功发挥乐观的影响。
在社会工作领域，他们可以成为社工、志愿者协调员、孩子保卫专员等，为弱势群体提供支持和救助。
无论选择哪个行业，社会型的人都可以通过他们的责任感和热忱来实现自己的职业目标。
对于社会型的人来说，个人的职业生涯规划应该重视以下几个方面。
起首，他们应该寻找与他们的爱好和价值观相符的工作。
这可以救助他们保持工作的动力和激情，使他们感到满足和有成就感。
其次，他们应该重视人际干系的进步。
与他人建立良好的人际干系可以提供支持和合作的机缘，增进个人的职业进步。
最后，他们应该不息进修和进步自己的技能。
通过提高自己的专业知识和技能水平，他们可以更好地为他人提供服务，并在职业生涯中不息取得进步。
总之，社会型霍兰德职业生涯规划是一个重要的工具，救助个人找到与自己爱好和价值观相符的工作。
对于社会型的人来说，选择一个与人相关的职业可以实现自己对协作和助人的欲望。
通过重视个人爱好、人际干系和终身进修，他们可以实现自己的职业目标，并在工作中获得满足感和成就感。
规划模型资料
规划模型在现代社会中，规划对于城市的发展起着至关重要的作用。
规划模型作为一种决策工具，可以帮助规划者更好地预测和控制城市发展的方向和速度。
本文将介绍规划模型的基本概念、常见类型以及应用案例。
基本概念规划模型是指对城市未来发展进行系统性分析和量化预测的一种方法。
它通过搜集城市发展相关数据，建立数学模型来描述城市之间的相互作用和影响，从而为规划者提供科学的依据和决策支持。
常见类型1. 交通规划模型交通规划模型是指用于预测和优化城市交通系统的模型。
通过模拟车流量、交通拥堵情况等，交通规划模型可以帮助规划者调整道路布局、优化公共交通线路等，提高交通效率。
2. 土地利用规划模型土地利用规划模型是用来预测和优化城市土地利用结构的模型。
它可以帮助规划者确定不同区域的发展用途，合理分配城市资源，实现土地的最优利用。
3. 经济规划模型经济规划模型是用于预测和评估城市经济发展的模型。
通过模拟投资、就业、产业结构等因素的影响，经济规划模型可以帮助规划者制定经济政策、吸引投资等，促进城市经济增长。
应用案例北京城市总体规划北京市政府利用规划模型对未来城市发展进行了全面规划。
通过构建城市交通、土地利用、经济发展等方面的模型，北京成功实现了城市建设与生态环境保护的平衡发展。
新加坡智慧城市规划新加坡政府通过引入先进的智能技术，结合规划模型对城市进行智慧化规划。
通过实时数据监测和预测，新加坡成功提高了城市管理的效率，提升了市民生活品质。
总的来说，规划模型在城市规划中具有不可替代的作用。
通过不断完善规划模型，可以更好地实现城市可持续发展的目标，促进城市的繁荣与稳定。
职业规划的理论模型
职业规划的理论模型概述职业规划是指个体在职业发展过程中，对自身职业目标和未来发展方向进行策划和管理的过程。
职业规划的成功与否直接关系到个体在职业生涯中的发展和满意度。
为了更好地进行职业规划，理论模型被提出来帮助个体分析和评估自身的能力、兴趣、价值观以及外部环境的变化等因素，从而制定合理的职业目标和规划策略。
本文将介绍几种常用的职业规划的理论模型。
赫兹伯格成长需求理论赫兹伯格成长需求理论是由美国心理学家亚伯拉罕·马斯洛提出的。
该理论认为，人的需求可以分为生理需求、安全需求、社交需求、尊重需求和自我实现需求五个层次。
而在职业规划中，赫兹伯格认为，个体的职业选择和发展是由满足这五个层次需求的程度决定的。
这意味着在职业规划中，个体不仅要满足基本的生计需求，还需要追求成长和实现自我价值的机会。
克鲁格-勒芒行为理论克鲁格-勒芒行为理论由美国心理学家约翰·克鲁格与西尔维娅·勒芒提出。
该理论认为，个体的行为是由其个性、环境和行为本身所形成的需求和激励共同决定的。
在职业规划中，个体的行为是其个性特点与职业环境之间的相互作用结果。
这意味着在职业规划中，个体需要深入了解自己的个性特征，并结合职业环境的要求来制定合适的职业规划策略。
赫克-兰格模型赫克-兰格模型是由美国心理学家约翰·赫克和米库兰·兰格于1997年提出的职业决策模型。
该模型将个体的职业决策过程划分为三个阶段：职业倾向、职业选择和职业建立。
在职业倾向阶段，个体开始形成对不同职业的兴趣和偏好；在职业选择阶段，个体开始评估和比较不同职业的优势和劣势，并最终选择一个适合自己的职业路径；在职业建立阶段，个体投入到选定的职业中，并通过工作经验和职业发展来实现自己的目标。
赫克-兰格模型为个体提供了一个较为系统和全面的职业规划框架。
因素影响模型因素影响模型是由知名职业规划理论家理查德·克鲁伊塞伯格提出的。
该模型认为职业规划是一个受到个体内在因素和外在因素共同作用的过程。
0-1型整数线性规划模型理论
0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
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例7．（石油最优储存方法）有一石油运输公司， 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间.
但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问
题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义
如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的
速度.
表4 各种符号表示意义表
xi
ai
bi hi
ti
第i种油的存储量
第i种油的价格
第i种油的供给率 第i种油的每单位的存储费用 第i种油的每单位的存储空间
5.非线性规划模型 前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约 束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作 中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即 目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数 的规划问题，即非线性规划问题.
事实上，客观世界中的问题许多是非线
性的，给予线性大多是近似的，是在作了科
学的假设和简化后得到的. 为了利用线性的知 识，许多非线性问题常进行线性化处理. 但在 实际问题中，有一些是不能进行线性化处理 的，否则将严重影响模型对实际问题近似的
对 L( x1 , x2 , ) 求各个变量的偏导数，并令它们等 于零，得:
L 27 2 0.25 2 0 x1 x1 L 20 2 0.10 4 0 x2 x2 L 2 x1 4 x2 24 0
解这个线性方程组得：
x1 5.0968, x2 3.4516, 0.3947, f ( x1, x2 ) 12.71
可依赖型.
由于非线性规划问题在计算上常是困难的，
理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的
结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非 线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大
时，则考虑用非线性规划.
非线性规划问题的标准形式为：
针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基 本思路可归纳如下： 1) 无约束的非线性规划问题.
若目标函数 f ( x) 的形式简单，可以通过 求解方程 f ( x) 0 （ f ( x) 表示函数的梯度） 求出最优解 x ，但求解f ( x) 往往是很困难的. 所以往往根据目标函数的特征采用搜索的 方法（下降迭代法）寻找，该方法的基本 步骤如下：
min f ( x) g i ( x ) 0, i 1, 2, m s.t. h j ( x ) 0, j 1, 2, r
其中， x为 n维欧式空间 R n 中的向量， f ( x)为 目标函数，gi ( x)、 h j ( x)为约束条件. 且h j ( x)、
gi ( x)、 f ( x)中至少有一个是非线性函数.
非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： ⑴ 无约束非线性规划模型：
min f ( x) x Rn
⑵ 等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. h j ( x) 0, j 1,2,
r
⑶ 不等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. gi ( x) 0, i 1,2, m
从而可得最小值是 12.71 .
表示当约束条件右边的值增大一个单位后， 相
应目标函数值的增加值。 比如说： 如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10
。
x1 , x2 , x3
⑤ 令 xk 1 xk k d k ，然后置 k k 1，返回②.
在下降迭代算法中，搜索方向起着关键的作
用，而当搜索方向确定后，步长又是决定算法好
坏的重要因素. 非线性规划只含一个变量，即一
维非线性规划可以用一维搜索方法求得最优解，
一维搜索方法主要有进退法和黄金分割法. 二维 的非线性规划也可以像解线性规划那样用图形求 解. 对于二维非线性规划，使用搜索方法是要用 到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
a1b1 h1 x1 a2b2 h2 x2 min f ( x1 , x2 ) x 2 x 2 1 2 s.t. g ( x1 , x2 ) t1 x1 t2 x2 T
且提供数据如表5所示：
模型求解： 拉格朗日函数的形式为：
L( x1, x2 , ) f ( x1, x2 ) g( x1, x2 ) T
即:
27 20 L( x1 , x2 , ) 0.25 x1 0.10 x2 2 x1 4 x2 24 x1 x2
表5
石油的 种类 1
ai
数据表
bi hi ti
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
代入数据后得到的模型为：
27 20 min f ( x1 , x2 ) 0.25 x1 0.10 x2 x1 x2 s.t. 2 x1 4 x2 24
① 适当选取初始点 x0 ，令 k 0. ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件，如是，则停 止迭代，用 xk 来近似问题的最优解，否则转至③. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向. ④ 从 xk 出发， 沿方向 d k ， 按某种方法确定步长 k ， 使得：
f ( xk k dk ) f ( xk )
法.
2) 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消 元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为 无约束问题求解. 3) 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很 复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为 等式约束，再将约束问题化为无约束问题， 用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线 性规划问题. 下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.