环路滤波器原理

图 6：闭环传递函数响应曲线
以上的分析计算基于波特图法，还有一种常用分析方法——根轨迹法。在控制系统的分 析中，根轨迹法称得上最简单有效的分析方法。鉴于它的重要性，文档里稍微提及一下（我 在这方面的理解很有限，所以只能简单介绍下）。根轨迹法是 1948 年由 W.R. Evans 创立。根 轨迹根据系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹（是 闭环特征根随之变化的轨迹，而波特图分析是基于开环传递函数，此点很重要，图 6 示意了 一个闭环传递函数曲线，但分析多分析其开环传递函数曲线）。利用这些在 s 平面上形成的轨 迹分析和设计闭环控制系统。
（3-17）
（3-18）
（3-19） （3-20） 得到 T1、T2、T3 后，回顾（3-3）（3-6）（3-7）（3-9），我们可以依次得到 A0、A1、A2。 此时会发现有 5 个未知量对应 4 个方程。因此，我们还要假设一个变量为已知，C1、C2、C3 任一个都可以作为已知变量。假如 C1 已知，则可以得到（3-21）~（3-24），同理，假如 C2
第三部分 环路滤波器计算
环路滤波器求解过程的根本是计算环路滤波器的传递函数，如图所示电荷泵型输出接环 路滤波器，则应求其电压对电流传递函数。我们以三阶无源环路滤波器为例。
图 8：三阶无源环路滤波器
将三阶环路滤波器的传递函数分别写成传递函数标准形式与零极点形式，分别如式（3-1） （3-2）。
（3-1）
前面讨论的集中在传递函数理论，通过传递函数曲线以及根轨迹曲线可以得出一个锁相 环系统的外在特性，相关理论分析在大多数锁相环相关书籍中都有详尽描述。对工程实践有 一定指导作用，但是并不能帮助工程师完成任何一个锁相环的设计（到现在为止，从设计师 角度讲，你仍然不知道环路滤波器中各个元器件的取值如何计算）。这直接导致一个现象，看 了很多锁相环理论的书，感觉了解了很多，但对实际设计一点帮助都没有。不能帮助你设计 出一个实物，理论再多都是空谈。
因此环路滤波器各个元器件的值是确定的（提及一下，我们所使用的锁相环芯片多为电荷泵
锁相环，因此 的值没有明确给出，但电荷泵电流 的值有确切给出，鉴相增益
）。
（3-12）
（3-13）
（3-14） （3-15） （3-16）
对于三阶环路滤波器，设计变得相对复杂。首先公式（3-10）与（3-11）的未知量变为 3 个，因此通过（3-10）与（3-11）两个公式无法得到三个变量 T1、T2、T3 确切的取值，我 们这里可以得到公式（3-17），同时做假设（3-18）T31∈（0-1），具体取值可以根据实际情 况选取，不做强制要求。通过假设可以得到公式（3-19）在计算过程中用到近似的前提是保 证公式（3-20）成立。（3-20）的成立是以锁相环系统的稳定性为根据得到，可以通过根轨迹 中的劳斯稳定判据得到。有兴趣可以自行推导。
（3-21） （3-22） （3-23） （3-24）
第四部分 简单实例
文档第三部分对环路滤波器参数的计算给出了简单的介绍，手算这些参数有些不太可能， 但通过 matlab 甚至 excel 对这些公式进行编程计算可以很容易得到所有器件的取值。图 9 是 Hittite 软件以 HMC704 为例计算的二阶环路滤波器的参数值，右上为参数计算值。图 10 是 通过 excel 表计算得到的 C1、C2、R2 的取值，通过对比可以看出两者基本相同（Hittite 是 给出实际可用值，而 excel 计算的是理论值）。
环路滤波器的主要作用是滤除鉴相器输出电压中的高频噪声（╳）。不应把环路滤波器看 成简单的滤波器思考问题，应从控制系统角度分析，作为锁相环设计环节中引入的一个灵活 度，主要作用是建立环路的动态特性，调节锁相环的外在表现。在分析锁相环的过程中应以 传递函数的概念为主，传递函数是把输入信号和输出信号的电流或电压关联起来，但在锁相 环中最受关注的是输入变量和输出变量的相位之间的关联。滤除高频噪声只是环路滤波器的 次要功能。
图 9：二阶环路的 Hittite 软件计算
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图 10：二阶环路的 excel 表格计算
图 11 给出了 ADS 对图 10 所计算的二阶环路滤波器的电压传递函数进行仿真的模型，与 环路滤波器幅度相位仿真结果，图 12 给出了此环路滤波器与 LMX2487、DCMO190410-5 组成的 锁相环系统的开环传递函数与闭环传递函数。标记点 M2 所示相位值为-130 度，对应环路滤 波器的相位余量为 50，与计算结果相符。
这个文档虽然只是对锁相环相关的知识的一些简单的介绍，内容不算丰富，但是还算涵 盖了大多能用到的知识点，同时从实际工程角度略微分析了下根轨迹与波特图理论在实际实
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践中的具体作用，希望能ห้องสมุดไป่ตู้起到一个引导的作用，看完这个文档后再回顾下锁相环相关理论， 或许对锁相环就不会觉得太过复杂。
文档所参考资料： 《锁相环技术》这本书前三章可以好好研究，对锁相环的理解有很大帮助，但理论性较强， 与本文档的第二部分相对应。 《锁相环设计、仿真与应用》这本书我并没有细看，在第一部分有些知识从这本书中摘抄， 书中第四章给出了环路滤波器的简单近似计算公式，公式相比第三部分的计算更简单，可以 实际使用，但未给出推导过程，同时近似条件未给出。 《PLL Performance,Simulation,and Design》这本书在环路滤波器的噪声表现以及环路滤波 器的参数计算方面介绍的很详细，与《锁相环技术》一起看收获会更大。 《锁相环（PLL)电路设计与应用》这本书是我从学校带出来的一本书，是我锁相环入门的第 一本书。可以作为锁相环原理的预科，讲的相对前面几本书更联系实际，易懂更好入门。但 要注意这本书所分析的锁相环不是基于电荷泵型鉴相器系统，因此书中对于环路滤波器的计 算在我们实际的工程使用中并不能直接套用。
（3-9） （3-10） （3-11）
对于二阶环路滤波器，我们可以得到确切关系式如式(3-12)~(3-16)，给出相应的相位余 量 以及环路带宽 的值，很简单的通过（3-10）与（3-11）得到 T1、T2 的值，然后根据器 件资料里所得到的 与 以及设计时的分频比 N，可以依次得到 A0、C1、C2、R2 的取值，
一个简单的开环传递函数 G(s)表示为：
G(s )
K s(s
1)
Im
闭环特征根方程可以得出：
1 G(s) 0, s 2 s K 0 K 取不同值，特征根 s 的值变化如下：
K 0, s1 0, s2 1,
×
×
Re
K
1 4
,s1
0.5, s2
0.5,
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K
1, 4
s 1,2
0.5 0.5j
4K 1
K , Re(s1,2) 0.5, Im(s1,2)
图 7：特征根曲线
可以得到系统的根轨迹曲线如图红色线所示，这是一个二阶系统，对应一阶环路滤波器， 通过根轨迹曲线可以看出此类传递函数表示的锁相环系统是恒稳定的系统。相应的三阶系统 甚至四阶系统的根轨迹曲线都可以经过此过程得到，可以尝试自行推到（高阶系统的求解可 能会用到劳斯稳定判据，有兴趣可以回顾下以前学过的控制系统的相关知识）。
图 11：环路滤波器仿真模型与结果
图 12:锁相环系统的仿真结果
书中关于锁相环的分析除却根轨迹与波特图还有奈奎斯特图尼科尔斯图等，方法不同但 原理相通，如果感兴趣可以自行学习。其实掌握根轨迹与波特图两种分析方法对锁相环的分 析已经足够。锁相环的整体原理其实并不是很复杂，对其不了解感到复杂主要是因为书中的 知识讲的太过理论，大多没有联系到实际，因此第一个门槛不是很容易迈进。
鉴相器
环路滤波器
VCO
PD θi
θ0
vd kd(i 0 )
F(S) vc vd f(t)
k0vc
d0 dt
图 1：锁相环原理框图
鉴相器（PD）是使输出电压与两输入信号有确切关系的电路，鉴相器有模拟鉴相器与数 字鉴相器之分，模拟鉴相器如图 2 所示，采用混频器与低通滤波器（LPF）组成。数字鉴相器 如图 3 所示，目前采用的芯片主流为数字鉴相器，实现方式可以采用或门、触发器等数字器 件构成。我们所接触与使用的鉴相器多为电荷泵型鉴相器，不同类型鉴相器在设计环路滤波 器时应区别对待。
图 2：模拟鉴相器
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图 3：数字鉴相器
环路滤波器（LPF）是锁相环(PLL)的重要组成单元，是滤波器的一种，但却很大程度上 不同于滤波器，它决定了锁相环(PLL)的性能，在锁相环频率综合器的设计中环路滤波器起到 了维持环路稳定性、控制带内外噪声与杂散、防止 VCO 调谐电压突变的作用。常用环路滤波 器基本形式如图 4 所示。
（2-5）
（2-6）
（2-7）
在 matlab 里可以很容易得到传递函数的响应曲线（波特图），图 6 为一简单二阶系统（一 阶环路）闭环传递函数曲线。图中分别为阻尼系数为 0.3、0.5、0.7、1，其中红色曲线阻尼
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系数 0.5 为常用值（兼顾相应时间与稳定性），对应相位余量为 50°左右。同时，对于任何 二阶以及三阶甚至高阶系统，其开环传递函数、闭环传递函数以及误差传递函数曲线都可以 通过 Matlab 简单得出，通过传递函数曲线我们可以很容易得到锁相环的工作状态。
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或 C3 已知也可以得到相应的结果。但是在实际设计过程中为了避免 VCO 输入电容的影响，我 们在 C3 的选择过程中应该使其远远大于 VCO 芯片资料给出的输入电容。同时假设已知量时， 还应保证 C1、C2、C3 不应超出 AO 的范围。在实际计算时我们一般假设 C3 的值已知为宜。相 关计算可以自行推导。
在拉普拉斯变换域中，环路滤波器的作用可以写为：
（2-1） （2-2）
（2-3）
压控振荡器(VCO)频率正比于控制电压 。由于频率是相位的导数，所以相位正比于控制