高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件文
当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
∴当x=1时, f(x)取极大值f(1)=-a- 1 ;
2
当x=a时, f(x)取极小值f(a)=- 1 a2-a+aln a.
③若a=1,当x>0时, f '(x)≥0,函2 数f(x)单调递增,没有极值点.
27
方法技巧 1.当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数 的最值点; 2.极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.
3-1 已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 解析 (1)f(x)=ax3+bx+c, 故f '(x)=3ax2+b, 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,
故有
f f
即'(2)
(2) c
0, 16,
12ab0, 8a2bc c16,
化简得142aa解b得ba=08,1, ,b=-12.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c, f '(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令f '(x)=0,得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2)时, f '(x)>0, 故f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当x∈(-2,2)时, f '(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上为减函数; 当x∈(2,+∞)时, f '(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c, f(x)在x=2处取得极小值
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大. (√) (2)对可导函数f(x), f '(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. (×) (3)函数的极大值一定是函数的最大值. (×)
(4)开区间上的单调连续函数无最值. (√)
1.函数f(x)的定义域为R,导函数 f ' (x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )
相等的实根,故Δ =(-4c)2-12>0,从而c> 3 或c<- 3 .
2
2
1-2 (2016黑龙江哈三中期末)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点, 那么函数f(x)的极大值为 ( ) A.15 B.16 C.17 D.18 答案 D x=2是函数f (x)=x3-3ax+2的极小值点,即x=2是f '(x)=3x2-3a=0 的根,将x=2代入得a=4,所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2,则由3x2-12=0,得 x=±2,故函数在(-2,2)上是减函数,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函数,由此可 知当x=-2时函数f(x)取得极大值f(-2)=18.
(2)由(1)知,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时, f(x)在x= 1a 处取得最大值,最大值为f 1a =ln 1a +a 1 =1a-ln a+
a-1.
因此f 1a >2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0, 于是,当0<a<1时,g(a)<0; 当a>1时,g(a)>0. 因此,a的取值范围是(0,1).
2.函数y=xex的最小值是 ( )
A.-1 B.-e C.- 1 D.不存在
e
答案 C ∵y=xex,∴y'=ex+xex=(1+x)ex.当x>-1时,y'>0;当x<-1时,y'<0.∴当
x=-1时函数取得最小值,且ymin=- 1 .故选C.
e
3.函数f(x)=x-aln x(a>0)的极小值为
x
∴曲线y=f(x)在点(3, f(3))处切线的斜率为f '(3)= 2 .
3
(2)f '(x)=x-(a+1)+ a =x 2 =(a 1.)xa (x 1)(x a)
x
x
x
由f '(x)=0得x=1或x=a.
①若0<a<1,当x∈(0,a)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x= 23 时,y=f(x)有极值,则f ' 23 =0,
即3× 23 +2 2a× 23 +b=0,②
由①②,解得a=2,b=-4.
由于切点的横坐标为1,
所以f(1)=4.
所以1+a+b+c=4,得c=5. (2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
f '(x)=3x2+4x-4.
A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点
答案 C 设f '(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、 x2、x3、x4. 当x<x1时, f '(x)>0, f(x)为增函数, 当x1<x<x2时, f '(x)<0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大 值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
综上,当0<a<1时, f(x)的极大值为- 1 a2-a+aln a,极小值为-a-1 ;
2
2
当a>1时, f(x)的极大值为-a- 1 ,极小值为-1 a2-a+aln a;当a=1时, f(x)没有
2
2
极值.
方法技巧
运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤:
①先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f '(x);
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)= 1 -a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在
x
(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈ 0 , 1a时 , f '(x)>0; 当x∈ 1a ,时 , f '(x)<0, 所以f(x)在 0 , 1a上 单调递增, 在 1a ,上 单 调递减.
考点突破
考点一 运用导数研究函数的极值
典例1 (2016广西桂林、崇左联考)设a>0,函数f(x)= 1 x2-(a+1)x+aln x.
2Байду номын сангаас
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处切线的斜率;
(2)求函数f(x)的极值.
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=2时, f '(x)=x-3+ 2 ,
.
答案 a-aln a
解析 ∵f(x)=x-aln x(a>0),∴f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1- a (a>0),
x
由f '(x)=0,解得x=a.
当x∈(0,a)时, f '(x)<0;
当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,
∴函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.
②求方程f '(x)=0的根;
③检查f '(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个
根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左
右符号相同,则此根处不是极值点.
1-1 若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为 ( )
A.
方法技巧 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.
2-1 函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 ( )
文数
课标版
第三节 导数与函数的极值与最值
教材研读
1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数 值① 都小 , f '(a)=0,而且在点x=a附近的左侧② f '(x)<0 ,右侧 ③ f ‘(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x) 的极小值.
(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数 值④ 都大 , f '(b)=0,而且在点x=b附近的左侧⑤ f '(x)>0 ,右侧 ⑥ f ' (x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值,⑦ 极大值 和⑧ 极小值 统称为极值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的⑨ 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与⑩ 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
2020版高考数学一轮复习第三章第三节导数与函数的极值、最值课件文
导数与函数的极值、 最值
教 材 研 读
1.函数的极值与导数 2.函数的最值与导数
考 点 突 破
考点一 考点二
利用导数研究函数的极值 利用导数求函数的最值
考点三 利用导数求解函数的极值和最值的综合问题
教材研读
1.函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值
象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
答案 D
解析 由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f '(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此 时f '(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f '(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f '(x)>0, 函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大
极大值和极小值统称为极值.
▶提醒 f '(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3, f '(0)=0,但x=0不是极值点.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
北师大版高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值课件
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解析 8答案
3．(2019·岳阳模拟)函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
解析 因为 f′(x)＝1x－1＝1－x x，当 x∈(0,1)时，f′(x)>0；当 x∈(1， e]时，f′(x)<0，所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 ln 1－1＝－1.故选 B．
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5
1．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要 不充分条件．
2．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一 定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极 值．
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12解析
2
PART TWO
核心考向突破
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13
精准设计考向，多角度探究突破
考向一 导数与函数的极值
角度 1 知图判断函数极值情况
例 1 (2019·浙江杭州二中 6 月热身考)如图，可知导函数 y＝f(x)在点
P(x0，f(x0))处的切线为 l：y＝g(x)，设 h(x)＝f(x)－g(x)，则下列说法正确的 是( )
的极小值；
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3
(2)函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数
值□04 ___都__大___，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近的左侧□05 ____f_′(_x_)＞__0_____， 右侧□06 ___f′_(x_)_＜__0____，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数与函数的极值、最值课件 理
12/11/2021
最新考纲
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、 极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其 中多项式函数不超过三次).
2.会利用导数解决实际问题(生活中的优化问题).
考情考向分析
考查函数的极值、最值，常与方程、不等式相结合命题，强化应用意识.题型为 解答题，难度较大.
12/11/2021
6.已知函数f (x)＝1 x3＋x2－2ax＋1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取 3
值范围为__32_，__4___. 解析 f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1， 则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数， 因此ff′ ′12＝ ＝38－ －22aa<>00， ， 解得32<a<4， 故实数 a 的取值范围为32，4.
12/11/2021
命题点2 求已知函数的极值 例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值.
12/11/2021
解 因为 f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，所以 f′(x)＝2x－2xa＝2x2x－a. ①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立. 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)无极值.
所以kxx－2 1k<0 在1e，e上恒成立，
12/11/2021
所以 f(x)在1e，e上单调递减. 综上，当 k<1e时，f(x)在1e，e上单调递减， 所以 f(x)min＝f(e)＝1e＋k－1， f(x)max＝f 1e＝e－k－1.
2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件文
③若a=1,当x>0时, f '(x)≥0,函数f(x)单调递增,没有极值点.
综上,当0<a<1时, f(x)的极大值为- a2-a+aln a,极小值为-a- ;
2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那
么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的⑨ 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与⑩ 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
的极小值.
(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数 值④ 都大 , f '(b)=0,而且在点x=b附近的左侧⑤ f '(x)>0 ,右侧 ⑥ f ' (x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值,⑦ 极大值 和⑧ 极小值 统称为极值.
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
1 2 1 当x=1时, f(x)取极小值f(1)=-a- . 2
∴当x=a时, f(x)取极大值f(a)=- a2-a+aln a,
②若a>1,当x∈(0,1)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(1,a)时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值课件 文
12/11/2021
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( × ) (2)导数为零的点不一定是极值点．( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．( × ) (5)开区间上的单调连续函数无最值．( √ )
12/11/2021
[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
12/11/2021
2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则__f_(_a_) __为函数的最小值，__f_(b_)___为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则__f_(a_)___为函数的最大值，___f(_b_)__为函数的最小值． [提醒] 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必 有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
12/11/2021
2．函数 g(x)＝－x2 的极值点是_______，函数 f(x)＝(x－1)3 的极值点_______ (填“存在” 或“不存在”)． 解析：结合函数图象可知 g(x)＝－x2 的极值点是 x＝0.因为 f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以 f′(x) ＝0 无变号零点，故函数 f(x)＝(x－1)3 不存在极值点． 答案：0 不存在
12/11/2021
(2)由(1)得 f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以 f(x)在1e，e上的极大值为 f(1)＝1－11－ln 1＝0. 又 f1e＝1－e－ln 1e＝2－e，f(e)＝1－1e－ln e＝－1e，且 f1e<f(e)． 所以 f(x)在1e，e上的最大值为 0，最小值为 2－e.
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数与函数的极值、最值课件 文
2．(2015·陕西卷)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x (x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________．
[解析] y′＝ex，曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e0 ＝1，设 P(m，n)，y＝1x(x>0)的导数为 y′＝－x12(x>0)，曲线 y＝1x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m>0)，因为两切线垂直，所 以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则点 P 的坐标为(1,1)．
[答案] C
12/11/2021
角度 3：求参数取值(范围) (2016·全国卷Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝lnx＋
2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝________. [解析] 设直线 y＝kx＋b 与两曲线的切点分别为 P1(x1，lnx1
＋2)，P2(x2，ln(x2＋1))． ∵y′1＝x11，y′2＝x2＋1 1，∴x11＝x2＋1 1.∴x1＝x2＋1. 此时切点 P1(x2＋1，ln(x2＋1)＋2)．
第
三
导数及其应用
章
12/11/2021
第一节
变化率与导数、导数的计算
12/11/2021
高考概览 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的 几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y ＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用基本初等函数的导数 公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
12/11/2021
故切线斜率 k＝lnx2＋1x2＋＋12－－xln2x2＋1＝2. 由x11＝2，得切点 P1 的坐标为12，2－ln2， ∴切线方程为 y－2＋ln2＝2x－12.令 x＝0，得 y＝1－ln2，即 b＝1－ln2. [答案] 1－ln2
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
高考数学一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数与函数的极值课件文
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(5)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是极值点，即 f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取得极 值的必要不充分条件．例如，函数 y＝x3 在 x＝0 处有 y′＝0， 但 x＝0 不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的 极值点．
所以当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
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④当 a>12时，0<21a<1，当 x∈21a，1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以 f(x)在 x＝1 处取得极大值，符合题意．
若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex 的极值点，则 f(x)
的极小值为( )
A．－e
B．－2e3
C．5e－3
D．e
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【解析】 因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2 ＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝ (x2＋ax－1)ex 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的 根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex.令 f′(x)>0， 解得 x<－2 或 x>1，令 f′(x)<0，解得－2<x<1，所以 f(x)在(－ ∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上 单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1) ＝－e，选择 A. 【答案】 A
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.3 导数与函数的极值、最值
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.3 导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值f′(x)<0f′(x)>0都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点处的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧，右侧 ，则b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为 .f ′(x )>0f ′(x )<0极值点极值2.函数的最大(小)值(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上有最值的条件：如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大(小)值的步骤：①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f (a )，f (b )常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( )(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( )√××√1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为√A.1B.2C.3D.4由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_____________ _____________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，43.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.第二部分命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是A.当x ＝－1时，f (x )取得极小值B. f (x )在[－2,1]上单调递增C.当x ＝2时，f (x )取得极大值D. f (x )在[－1,2]上不具备单调性√√由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x) ＝0；当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误.命题点2 求已知函数的极值例2 (2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值.因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.当a>0时，f(x)无极值.命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为√A.2B.4C.6D.2或6由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为√由f(x)＝e x－ax2－2ax，得f′(x)＝e x－2ax－2a.因为函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝e x－2ax－2a有两个变号零点，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3B.1或－3√C.3D.－1因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.√∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，命题点1 不含参函数的最值例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为√f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x ＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π].又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，命题点2 含参函数的最值例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值1为_____.函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h(x)＝x－a ln x＋ (a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围.①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减，第三部分1.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B.f′(x)在x＝－1处取得极小值C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0√√√根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.√。