判断三角形形状的常用方法
判断三角形形状
判断三⾓形形状前⾔判断依据主要是正、余弦定理的⾓的形式或者边的形式，其次还可能⽤到诱导公式，两⾓和与差的公式和⼆倍⾓公式等，变形思路①⾓化边，利⽤sinA =a2R等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配⽅、提取公因式等，解代数⽅程得到边的相应关系，从⽽判断形状；②边化⾓，利⽤a =2RsinA 等，转化为只有⾓的形式，然后通过三⾓恒等变换，解三⾓⽅程得到，得到内⾓的关系，从⽽判断形状；此时要注意由于sinA >0恒成⽴，故⽅程两端出现sin A 可以放⼼约掉；但若出现cosA 时不能约分，需要移项提取公因式。
注意：由sinAcosB =sinA ，只能得到cosB =1，从⽽得到B =π2，即直⾓三⾓形；由cosAsinB =cosAsinC ，应该得到cosA =0或sinB =sinC ，从⽽得到A =π2或B =C ，即直⾓三⾓形或等腰三⾓形；重要结论sinA =sinB ⇒A =B ，等腰三⾓形；sin 2A =sin 2B ⇒A =B 或A +B =π2，等腰或直⾓三⾓形；cosA =cosB ⇒A =B ，等腰三⾓形；cos 2A =cos 2B ⇒A =B ，等腰三⾓形sin (A −B )=0⇒A =B ，等腰三⾓形；cos (A −B )=1⇒A =B ，等腰三⾓形相关拓展三⾓形内⾓和定理A +B +C =π，A +B 2=π2−C 2三⾓形中的三⾓函数关系sin (A +B )=sinC ，cos (A +B )=−cosC ，sin A +B2=cos C 2，cos A +B 2=sin C 2，三⾓形中的射影定理a =b ⋅cosC +c ⋅cosB ，b =a ⋅cosC +c ⋅cosA ，c =b ⋅cosA +a ⋅cosB ，典例剖析№1设ΔABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则ΔABC 的形状为【】A .锐⾓三⾓形B .直⾓三⾓形C .钝⾓三⾓形D .不确定分析：⽤正弦定理的边的形式，边化⾓，得到sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ，即sin (B +C )=sinA =sinAsinA ，由于sinA ≠0，故sinA =1，故A =π2，故为直⾓三⾓形。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。
根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。
本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。
边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。
角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。
边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。
中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。
角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。
正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。
面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。
向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。
代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。
例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。
这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。
在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，将一个平面分割成三条边长不为零且不平行的线段后所形成的图形。
在几何学中，我们可以通过不同的方法来判定三角形的形状。
本文将介绍十种常用的方法。
方法一：根据三条边的长度关系首先，我们可以通过三条边的长度关系来判断三角形的形状。
如果三条边的长度满足以下条件之一，则可以确定三角形的形状：1. 如果三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。
2. 如果有两条边的长度相等，但与第三条边不相等，则这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三条边的长度都不相等，则这个三角形是一般三角形。
方法二：根据三个角的度数关系除了边长关系，我们还可以通过三个角的度数关系来判断三角形的形状。
1. 如果一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
3. 如果三个角的度数之和等于180度，则这个三角形是锐角三角形。
方法三：根据角度关系判断除了上述的度数关系，我们还可以根据各个角的大小关系来判断三角形的形状。
1. 如果有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
2. 如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
3. 如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
方法四：根据角度和边长关系判断接下来，我们来看一些综合考虑角度和边长关系的判断方法。
1. 如果一个角是90度，且边长满足勾股定理的条件，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角是60度，且三个边长相等，则这个三角形是等边三角形。
3. 如果一个角是30度，且两边的边长相等，则这个三角形是等腰三角形。
方法五：根据角的相等关系判断三角形中的角也可以根据相等关系来判断形状。
1. 如果两个角是相等的，则这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三个角都是相等的，则这个三角形是等边三角形。
方法六：根据边的比例关系判断我们可以通过三个边的比例关系来判断三角形的形状。
1. 如果三个边的比例都相等，则这个三角形是全等三角形。
相似三角形的五种判定
相似三角形的五种判定
三角形是基本图形之一，也是数学中研究最为深入的形状，因此判断相似三角形之间有什么不同成为许多学者研究的课题。
经过时间的考验，目前已经推出了五种判定相似三角形的方法。
首先，边比较法是一种最常用的判定方法，即三角形的两个边之比若相等，而第三边之比不相等，则它们便是相似三角形。
换言之，它们的两个边长按照一定的比例进行缩放就可以构成另一个三角形。
其次，锐角比较法是判定相似三角形最直接的方法，即两个三角形的锐角一定是完全一致的，而直角和钝角则可以是正交也可以是非正交。
第三，调和平均数比较法是另外一种常用的判定相似三角形的方法，即若两个三角形的调和平均值相等，则可以断定它们之间存在相似关系。
同时，调和平均值也可以应用在更为复杂的图形上，比如四边形和椭圆等。
第四，三角隐积法则是根据三角形内部坐标之间的隐积关系，判断它们之间存在相似关系的方法。
在计算机中，把这种关系表达为两个数字就可以，即三角形在外武器空间中的向量变换，这一点有助于更快速判断出两个三角形之间的相似关系。
最后，两个三角形的邻边角可以用于判断它们的相似性，如果两个三角形的邻边角相互一致，则可以判断它们之间存在相似关系。
同时，由于这种方法既便于推理又易于实现，比如在计算机应用中，它也是一种十分流行的判定相似三角形的方法。
通过上述介绍，我们可以发现，判定相似三角形有多种方法。
其中，比较两个三角形的边长、锐角、调和平均值、三角隐积法则以及邻边角等都是最基本也是最实用的方法，在不同语境下都可以使用，十分灵活。
这些方法在解决相似三角形的问题上给出的结论是可靠的，也吸引了许多学者的关注。
勾股定理判断三角形形状的问题
勾股定理判断三角形形状的问题1. 勾股定理的基本概念大家好，今天咱们聊聊一个数学里的经典小道理——勾股定理。
哎，这可是一个非常重要的概念，尤其是在三角形的世界里。
你可能会问，勾股定理到底是什么呢？简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角对面的边（我们叫它“斜边”）的平方，等于其他两条边（“直角边”）的平方和。
听起来是不是有点复杂？其实没那么难，咱们举个简单的例子：如果一个三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边就得是5，为什么呢？因为3的平方加4的平方等于5的平方。
也就是说，3² + 4² = 5²，嘿，这就是勾股定理的魅力所在了！1.1 勾股定理的实际应用勾股定理不仅仅是数学课上的一纸空文，它在我们的生活中可是无处不在。
比如说，你要给家里挂画，想要找到完美的挂画高度。
只需用量尺测量，找出画的边缘和地面的直角边，然后就能利用勾股定理算出斜挂的距离了。
这样一来，保证你家的艺术品不会挂得歪歪扭扭，谁不想当个“家居艺术家”呢？1.2 判断三角形的形状接下来，我们聊聊怎么用勾股定理来判断三角形的形状。
我们知道，三角形主要分为三种：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
这里，勾股定理就是我们的“秘密武器”。
如果你测量了三条边的长度，能用勾股定理判断出来这三条边构成的是哪种三角形。
比如说，如果你有三条边分别是3、4、5，按照勾股定理算，发现3² + 4² = 5²，这样就能确认它是一个直角三角形。
如果你发现3² + 4² < 5²，那它就是钝角三角形；相反，如果3² + 4² > 5²，那就是锐角三角形。
是不是听起来很简单，几乎就像玩数字游戏一样？2. 形状与性质的关系那么，三角形的形状跟它的性质又有什么关系呢？这就涉及到一个非常有趣的现象了。
比如，直角三角形在我们生活中特别常见，几乎到处都能碰到。
判断三角形的形状
一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若a 2tanB=b 2tanA ；解：由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 B cos B sin = (2RsinB)2 ⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o , A=90o ,故△ABC 是直角三角形. 3．12 判断三角形的形状1．三角形形状的判定方法：①化边为角；②化角为边.2．通过正弦、余弦定理实施边角转换.3．通过三角变换探索角的关系，符号规律.【典型例题】例1．在ΔABC 中，满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2cot cot cot 2sin sin sin 222222C B A C B A 试判断ΔABC 的形状. 例2．在ΔABC 中，已知)sin(sin )cos(tan B C A B C B -+-=，试判断ΔABC 的形状. 例3．在ΔABC 中，B C C A tan 2tan 2tan 2tan 3==且，求证：ΔABC 是锐角三角形. 例4．在ΔABC 中，满足.2tan ba b a B A +-=- （1）试判断ΔABC 的形状. （2）当a = 10，c =10时，求2tanA 的值. 【基础训练】1．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = sin 2C ，则ΔABC 是____________.2．在ΔABC 中，a 4+b 4+c 4－a 2b 2－b 2c 2－a 2c 2 = 0，则ΔABC 是_____________.3．在ΔABC 中，cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A ) = 1，则ΔABC 是_____________.4．在ΔABC 中，tan A tan B > 1，则ΔABC 是_____________.5．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2，则ΔABC 是_____________.【拓展练习】1．已知tan A + tan B + tan C > 0，则ΔABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形 2．在ΔABC 中，BA b a tan tan 22=，则ΔABC 是 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 3．在ΔABC 中，已知1312cos sin =+A A ，则ΔABC 的形状是___________. 4．在ΔABC 中，已知cos B cos C = 2cos 1A -，则ΔABC 的形状是___________. 5．在ΔABC 中，已知a cos A = b cos B ，则ΔABC 的形状是___________.6．在ΔABC 中，已知sin A sin B+sin A cos B +cos A sin B +cos A cos B =2,则ΔABC 的形状是_________.7．在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，则ΔABC 的形状是___________. 8．在ΔABC 中，已知B A B A C cos cos sin sin sin ++=，则ΔABC 的形状是___________. 9．在ΔABC 中，分别根据下列条件，判断三角形的形状.（1）2lg sin lg lg lg -==-B c a (B 为锐角).（2）sin A = 2cos C sin B .（4）a cos B + b cos C + c cos A = b cos A + c cos B + a cos C .（5）.43sin sin ,2333==-+-+B A c c b a c b a 且（6）).sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+。
运用因式分解判定三角形的形状
运用因式分解判定三角形的形状1、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且bc b ac a +=+22，试判断三角形的形状。
2、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，试判断三角形的形状。
3、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且338262410222-++=++c b a c b a ，试判断三角形的形状。
4、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且cb ac b a +-=+-1111，试判断三角形的形状。
5、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且224224c b b c a a -=-，试判断三角形的形状。
6、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且222233bc ac ab b a b a +-+--=0，试判断三角形的形状。
2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-的应用 1、 已知20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a ，求bc ac ab c b a ---++222的值。
2、 如右上图，立方体的每个面上都写着一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等，若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ，求bc ac ab c b a ---++222的值。
3、 知c b a ..是△ABC 的三边，且224442244422444,,b a b a c c a a c b c b c b a -+=-+=-+=，试判断三角形的形状。
4、 当c b a <<时，ac c b b a -+-+-111为（ ） （A ）正数 （B ）负数 （C ）0 （D ）无法确定 5、设c b a ..是不全相等的任意实数，若ab c z ca b y bc a x -=-=-=222,,，则zy x ..（ ）（A ）都不等于零 （B ）都不大于零 （C ）至少有一个小于零 （D ）至少有一个大于零6、解方程组7、已知x-y=a, z-y=10, 求代数式x 2+y 2+z 2-xy-yz-xz 的最小值。
判定三角形形状的常用方法
专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。
解：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．【解读】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=c，即可确定出三角形形状，此题考查了三角形边的牲与因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。
【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解：将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，【解读】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．【分析】根据非负数的性质可得a2﹣b2﹣c2=0，b﹣c=0，进而可得a2﹣b2=c2，b=c，从而可得三角形的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．学#科*网。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判断三角形形状的常用方法
判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。
a、b、c，且满足
）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D.
D。
二数学竞赛）三边为a、b、c，且满足
）
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 以上答案都不对
B。
二、因式分解
a、b、c为三角形的三边，且满足
）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
C。
四、放缩法
例5. （2001CA、AB的长分别为a、b、c，
）
A. 等边三角形
B. 等腰非直角三角形
C. 直角非等腰三角形
D
五、质数分析法
例6. （杭州市第三届“求是杯”数学竞赛）锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（）
A. 只有一个，且为等腰三角形
B. 至少有两个，且为等腰三角形
C. 只有一个，但不是等腰三角形
D.
2，
选A。
六、利用二次方程的判别式、韦达定理
a、b、c满足
例8. （中学生数学
已知关于x的方两根其中。