chap1-8

P 号导体发生位移 dg ，此时系统 中带电体的电压或电荷将发生变化， 其功能关系为
dW dW
e
fdg

k
dq k
外源提供能量＝静电能量增量＋电场力所作功
(2)常电位系统（ K 合上）： 外源提供能量的增量
dW

1 2
k
dq
k
(1)常电荷系统（K 打开）：
0 dW
e
dW
e

J m
凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。
例1.9.1 试求真空中体电荷密度为 ρ ，半径为 a 的
介质球产生的静电能量。
解法一:
1 2
应用高斯定理，得
1 D E dV
We

V
2

V
ε 0 E dV
2
ρr 3ε 0 E 3 ρa 2 3ε 0 r
两个公式所求得的广义力是代数量 。还需根据 “±”号判断其方向。
上述两个公式所得结果是相等的
W e g
q k const
f

W e g
k const
例1.9.3
试求图示平行板电容器的电场力。
解法一：常电位系统
We 1 2 CU
2
C
ε0 s d
f
U 2
W g
2
e
k co nst
2


C d

U ε0 S d
2
0
解法二：常电荷系统
We 1 q 2 C
2
f
W g
e q k co nst
q g 2C
2

q
2 2
2C

C d

U
2
2

ε0 S d
2
0
可见，两种方法计算结果相同，电场力有使 d 减小的趋势， 即电容增大的趋势。

1
k dq
k
fdg
e
静电能量的增量
fdg dW
f We g

k
dq
k

2
We g
k
dq
k
fdg
q k cunst.
f
它表示取消外源后，电 场力做功必须靠减少电 场中静电能量来实现。
k cunst.
外源提供的能量有一半用于静电能 量的增量，另一半用于电场力做功。
气泡向哪个方向移动？
答：气泡向E小的方向移动。
工程上，静电力有广泛的应用。
图1.9.10
静电分离
图1.9.10
静电分离
图1.9.11 静电喷涂
S——V 的外表面
注：
lim 1 2

1 r
,
D
1 r
2
,
dS r
2
r

S
D dS 0
1
We
1 2

V
D E dV
静电能量
We
2
V
1 D EdV we dV 2 V
3
J（焦耳）
能量体密度 结论：
1 we D E 2
1)
可定性分析、判断带电体的受力情况。
2) 对某些特殊情况可进行定量计算。 例1.9.5 试求图示 (a)、(b)平行板电容器中，两种
介质分界面上每单位面积所受到的力。
(a)
(b)
fa f1 f2
D 2
2
(
1 ε1

1 ε2
)
fb f4 f3
E 2
2
(ε2 ε1 )
结论： 媒质分界面受力的方向总是由ε值较大的媒质指 向ε值较小的媒质。

2
a 0
(a
2

r
2
3
) 4πr
2
dr

4π 15ε
0
ρ a
5
1.9.2 静电力 1.由电场强度 E 的定义求静电力，即
f qE
df Edq
f

Edq
2.虚位移法 ( Virtual Displacement Method ) 虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。
单位面积上的力：
f (
'
q 4πa
2
)
2
1 2ε 0
1 σE D E 2 2 1
( N/m
2
)
3. 法拉第观点(Farade’s review)
法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力， 垂直于轴向方向受到侧压力， 其大小为
1 f DE 2
2
(N m )
广义坐标：距离、面积、体积、角度。 广义力： 企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向 为广义坐标增加的方向。
二者关系：
广义坐标 广义力 （单位）
广义力×广义坐标＝功
距 离 机械力 （N） 面 积 表面张力 （N/m） 体 积 压强 （N/m2） 角 度 转矩 （ N· ） m
设 (n+1) 个导体组成的系统,只有
比例为 m ， 0 m 1
。
( x , y , z ), 若将电荷
t 时刻，场中 P 点的电位为
增量 dq 从无穷远处移至该点， 外力作功
dA (x, y, z)dq
这个功转化为静电能量储存在电场中。
t 时刻电荷增量为
dρ d mρ(x, y, z) ρ(x, y, z)d m , dq dρdV ρdmdV
D ρ E
W
e

1 2

V
1 ( D ) dV 2

V
D E dV
V——扩大到无限空间
应用散度定理
1 2

V
( D )dV

S
D dS
得
W
e


S
1 D dS 2

V
D E dV
电位为
(x, y, z) m (x, y, z) ,
1
故
We A
dq mdm
0

V
ρ(x, y, z) (x, y, z)dV

1 2

V
ρ dV
体电荷系统的静电能量
We
2
1
V
ρdV
面电荷系统的静电能量
We
2
1
S
σdS
线电荷系统的静电能量
r a r a

1 2
ε0 (

a
ρ r 9ε 0
2
2
2 2
0
4πr
2
dr


ρ a
2
2
6 4
a
9ε 0 r
4πr
2
dr)

4π 15ε
0
ρ a
5
解法二:
由微分方程法得电位函数为
1 r a 2 r a 2 1 r r a r

r
1 r
2

r
(r
2
ρ ) ε0 r 0
r a r a
r a
0，

r0
有限
ρa 3ε 0 r 2 ρ r 2 (a ) 2ε 0 3
3
r a r a
W
e


1 2
1 2

V
2
ρdV
ρ
2ε 0
We
2
1
LτBiblioteka l2) 带电导体系统W
e

1 2

S
σ dS

1 2
n
K 1

K
n
SK
σ k dS

1 2

K 1
n
K
qK
即
We
2
K 1
1
K
qK
2. 静电能量的分布及能量密度 矢量恒等式
W
e

1 2

V
ρ dV
D ( D) D
例1.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为 a ，其上带电荷 为 q ，试求薄膜单位面积所受的电场力。
q
2

2 a
(
1
解：
4πε 0 a
)
W
e

1 2

q
2
C
e
C 4πε 0 a
a ( q
2
f
W a

2C
2 2
)

q
8πε 0 a
0
表示广义力 f 的方向是广义坐标 a 增大的方向，即为膨胀力。
1.9 1.9.1 静电能量 1.
静电能量与力
带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功
转化而来的。 1) 连续分布电荷系统的静电能量
假设：
电荷系统中的介质是线性的；
建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）；
电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的
最终值为 q、 ,在充电过程中，q 与 的增长