2020-2021学年陕西省高考数学全真模拟文科试卷(四)及答案解析
2020届陕西省商洛市高考文科数学4月模拟试题和答案详细解析及家长必读
现在的孩子叛逆心极重，我也不例外。比如阅读，听音乐这些事情，我妈妈做得很随意， 不露痕迹，根据我的情绪来，在我想休息或者做其他事的时候，她会尊重我的意见，不强行 摊派。
骤.17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作
答.（一）必考题：共 60 分.
17．设 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边．已知 acosB＝bcosA+c，
（1）证明：△ABC 是直角三角形．
（2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD 的面积．
2．（5 分）设 z＝2+（3﹣i）2，则 ＝（ ）
A．6+10i
B．6﹣10i
C．10+6i
D．10﹣6i
3．（5 分）已知 P 为椭圆 + ＝1 短轴的一个端点，F1，F2 是该椭圆的两个焦点，则△
PF1F2 的面积为（ ）
A．2
B．4
C．
D．2
4．（5 分）2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病
日销售量
50
70
90
110
频数
5
15
8
2
（i）设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润；
（ii）以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是
2020届陕西省高考数学全真模拟文科试卷(五)(有答案)
陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤14．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．567．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．58．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．210．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为______．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是______．（填上你认为正确的所有命题的序号）15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为______．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？（2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95地理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，∴．故选：A．2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：﹣sin215°=cos30°==．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．4．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的运算法则求解即可．【解答】解：平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（1，1）﹣=（﹣1，2）．故选：D5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．56【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．利用长方体的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．上面的长方体的棱长分别为：5，4，2；下面的长方体的棱长分别为：6，4，1．∴该组合体的体积=5×4×2+6×4×1=64．故选：C．7．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．8．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个古典概型，列出树状图，要做到不重不漏，从树状图可以看出试验发生的所有事件，数出满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，如图所有可能结果共有4×6=24种．A区域是红色可能结果有6种，所以A区域是红色的概率是=．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．【解答】解：由得b=2a，，．故选A．10．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，用裂项法即可计算求值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值．由于S=1++++…+=1+2×[（）+（）+…+（﹣）]=1+2×（﹣）=．故选：B．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．12．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；【解答】解：函数，当＜x≤1时，f（x）=，f′（x）==＞0，f（x）为增函数，∴f（）＜f（x）≤f（1），∴f（x）∈（，]；当0≤x≤时，f（x）=﹣x+，为减函数，∴f（）≤f（x）≤f（0），∴f（x）∈[0，]，综上：f（x）∈[0，]；函数，g′（x）=，0≤≤，∴g′（x）＞0；g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），∴g（x）=[1﹣a，1﹣]，∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，∴解得≤a≤2，故选C；二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点A（0，3）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件，画出可行域如图：直线z=x+2y过点A时，z最大值，由，解得A（1，1）．即目标函数z=x+2y的最大值为3，故答案为：3．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错故答案为②15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．【考点】三角函数的最值；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）根据题意和任意角的三角函数定义求出sinα、cosα，代入解析式求出f（α）的值；（2）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由x求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴sinα=，cosα=，∴f（x）=2sinα（cosα+sinα）﹣2=2×（）﹣2=﹣3；（2）由题意得，f （x ）=2sinx （cosx +sinx ）﹣2 =sin2x +2sin 2x ﹣2=sin2x ﹣cos2x ﹣1 =，由x 得，，则，即，∴f （x ）的最小值是f （0）=﹣2．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，AA ′=2AC=2BC ，E 为AA ′的中点，C ′E ⊥BE ． （1）求证：C ′E ⊥平面BCE ；（2）若AC=2，求三棱锥B ′﹣ECB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证明C ′E ⊥EC ，利用C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ，即可证明C ′E ⊥平面BCE ； （2）利用等体积转化求三棱锥B ′﹣ECB 的体积． 【解答】（1）证明：在矩形A ′ACC ′中，E 为A ′A 中点且AA ′=2AC ， ∴EA=AC ，EA ′=A ′C ′， ∴∠AEC=∠A ′EC=45°， ∴C ′E ⊥EC ，∵C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ， ∴C ′E ⊥平面BCE ；（2）解：∵B ′C ′∥BC ，B ′C ′⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴B ′C ′∥平面BCE ， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ， ∵C ′E ⊥平面BCE ， ∴C ′E ⊥BC ，∵BC ⊥CC ′，C ′E ∩CC ′=C ′，∴BC ⊥平面ACC ′A ′′∴BC ⊥CE ， ∵AC=2，∴BC=2，EC=EC ′=2， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ==．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 6065 70 75 80 85 90 95 地理分数y 7277 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（2）①根据古典概型的概率公式进行计算即可．②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．【解答】解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析抽取女生数=5人，男生数=3人；（2）①规定85分（含85分）以上为优秀，一个学生两科都优秀的为6.7.8三个同学，则两科都优秀的概率是P=．②r=r=≈0.99，非常接近于1，∴地理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，则对应的散点图如图：∵==77.5，==84.9b≈0.65，a≈34.53则线性回归方程为：y=0.65x+34.5320．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设c=t，（t＞0）．则a=2t，b=，由△F1PF2面积取最大值，求出t=1，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、直线方程、向量的数量积，结合已知条件能求出•为定值0．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，∴设c=t（t＞0）．则a=2t，b=，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，∴=，解得t=1，∴椭圆方程为．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，直线AA1的方程为y=，直线BA1的方程为y=，∴P（4，），Q（4，），∴=（3，），=（3，），∴=9+（）（）=，∴•为定值0．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类根据导数和函数单调性的关系即可解决；（2）根据函数的单调性以及k的范围，即可判断f（x）=0在区间（1，）解得个数．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣klnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=x﹣，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，令f′（x）=0，解得x=当f′（x）＞0时，解得x＞，此时函数f（x）在（，+∞）单调递增，当f′（x）＜0时，解得0＜x＜，此时函数f（x）在（0，）单调递减，综上所述，当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减．（2）由（1）可知，①当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，∵方程f（x）=0在区间（1，）上是有解，∴即此时k的值不存在，②∵f（1）=＞0，f（）=，当0＜＜1时，即0＜k＜1时，f（x）在（1，）单调递增，由f（1）=＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当1≤≤时，即1≤k≤e时，f（x）min=f（）=﹣kln=kln＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当＞时，即k≥e时，f（x）在（1，）单调递减，由f（）=＜0，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解，综上所述，当k≤e时，f（x）=0在区间（1，）上无解，当k＞e时，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t 为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|即可证明．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1t2=﹣2．∴|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=2，为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．。
2019-2020学年陕西省高考数学全真模拟文科试卷(四)(有答案)
陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交 D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4 B．4 C．6 D．68．等差数列{an }和等比数列{bn}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A ．（）B ．（）C ．（1，e ）D ．（e ，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．212．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f′（x ）＞f （x ），a=，b=，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的M 的值是______．14．已知实数x ，y 满足，若目标函数z=x ﹣y 的最大值为a ，最小值为b ，则a+b=______．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是______号． 16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和T n ，求T n ．18．如图，梯形ABEF 中，AF ∥BE ，AB ⊥AF ，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形CDFE 折起，使得平面CDFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ∥平面BEF ； （2）求三棱锥D ﹣BEF 的体积．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a 的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f （x ）=x ﹣a ﹣lnx （a ∈R ）． （1）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：若0＜x 1＜x 2，则lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB ，CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，E 是圆O 上的点，过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F ，连结CE 交AB 于G 点． （1）求证：FG 2=FA•FB； （2）若圆O 的半径为2，OB=OG ，求EG 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3，曲线C 2的参数方程是（t 为参数）．（1）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（1）设曲线C 1和C 2交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|（x ∈R ，a ∈R ）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a 的值；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）≤m ﹣m 2，求实数m 的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），∵A=[1，+∞），∴A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α﹣cos2α的值．【解答】解：tanα=1，则sin2α﹣cos2α===，故选：B．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出．【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：＞0，则＞0⇔夹角是锐角，因此命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交 D．与k的取值有关【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，再求出圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离，从而得到直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．【解答】解：圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离d=，∴直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A ．4B ．4C ．6D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a ，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4， ∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4．故选：A ．8．等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，则b bb=（ ）A ．64B ．32C ．256D ．4096 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1．求得b bb=b 1•b 5•b 9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2， 可得a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =1•2n ﹣1=2n ﹣1． 可得bbb=b 1•b 5•b 9=1•24•28=212=4096． 故选：D ．9．函数f （x ）=lnx+e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（） B ．（） C ．（1，e ） D ．（e ，∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f （a ）f （b ）＜0即为满足条件的区间【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f （1）=e ＞0故满足条件的区间为（0，） 故选A ．10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的三匹马分别记为b 1，b 2，b 3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案 【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的三匹马分别记为b 1，b 2，b 3， 齐王与田忌赛马，其情况有：（a 1，b 1）、（a 2，b 2）、（a 3，b 3），齐王获胜； （a 1，b 1）、（a 2，b 3）、（a 3，b 2），齐王获胜； （a 2，b 1）、（a 1，b 2）、（a 3，b 3），齐王获胜； （a 2，b 1）、（a 1，b 3）、（a 3，b 2），田忌获胜； （a 3，b 1）、（a 1，b 2）、（a 2，b 3），齐王获胜； （a 3，b 1）、（a 1，b 3）、（a 2，b 2），齐王获胜；共6种； 其中田忌获胜的只有一种（a 2，b 1）、（a 1，b 3）、（a 3，b 2）， 则田忌获胜的概率为， 故选：D 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c ，将x=c 代入双曲线的方程，可得=2p=4c ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），2由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=，b=，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数g（x）=，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵对任意x≥0，恒有f（x）＜f′（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）是在定义域上是增函数，所以g（3）＞g（2），即b＞a，故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是 3 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，∵a=2＜b=3，∴M=3故答案为：3．14．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则a+b= 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1，则a+b=1．故答案为：1．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是 6 号．【考点】进行简单的合情推理．【分析】结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者．【解答】解：入选者不能是4号、5号，因为如果是4号或5号，则甲、乙、丁三个人的猜测都是正确的； 如果入选者是6号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的； 如果入选者是1、2、3中的一个，那么甲、丁的猜测是错的，乙、丙的猜测是对的； 根据题意“只有一人的猜测对的”， 所以入选者是6号． 故答案为：6．16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值．【考点】正弦定理． 【分析】由正弦定理可得： ====2，因此△ABC 周长=a+b+c=+2sinB+2sinC ，=2sinB+2sin+，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC 中，由正弦定理可得： ====2，∴b=2sinB ，c=2sinC ， ∴△ABC 周长=a+b+c=+2sinB+2sinC ，=2sinB+2sin+=2sinB+2+=3sinB+cosB+=2+=2sin （B+30°）+，∵0°＜B ＜120°，∴B+30°∈（30°，150°）， ∴sin （B+30°）∈．∴△ABC 周长≤3．故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和T n ，求T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出a 1=2，利用当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，得到数列的递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求解数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）利用b n =log 2a n ，c n =，求出数列的通项公式，利用裂项法求解数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=2，…当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2）… 即：，…∴数列{a n }为以2为公比的等比数列， ∴a n =2n ．…（Ⅱ）由b n =log 2a n 得b n =log 22n =n ，… 则c n ===，…T n =1﹣+﹣+…+=1﹣=．…18．如图，梯形ABEF 中，AF ∥BE ，AB ⊥AF ，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形CDFE 折起，使得平面CDFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ∥平面BEF ； （2）求三棱锥D ﹣BEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BF 中点为M ，AC 与BD 交点为O ，连结MO ，ME ，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OCEM 为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案；（2）由线面垂直的性质定理可得BC ⊥平面DEF ，然后把三棱锥D ﹣BEF 的体积转化为三棱锥B ﹣DEF 的体积求解．【解答】（1）证明：如图，记BF 中点为M ，AC 与BD 交点为O ， 连结MO ，ME ， 由题设知，且CE ∥DF ，且MO=，即CE=MO且CE∥MO，知四边形OCEM为平行四边形，有EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF；（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF，三棱锥D﹣BEF的体积为=．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a，估计该校成绩在120分以上人数即可；（2）根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1，得a=0.03成绩在120分以上的人频率为0.3+0.25+0.075=0.625，估计该校成绩在120分以上人数为1200×0.625=750人，（2）成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人，从中抽出2人的基本事件总数为10种，其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4，所求概率为p==．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点，由，得：（3t 2+4）y 2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值． 【解答】20．（本小题满分12分） 解：（1）∵椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C 的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点， 则，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y 1﹣y 2|===，∴==，椭圆C 的内接平行四边形面积为S=4S △OAB =，令m=≥1，则S=f （m ）==，注意到S=f （m ）在[1，+∞）上单调递减，∴S max =f （1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f （x ）=x ﹣a ﹣lnx （a ∈R ）． （1）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：若0＜x 1＜x 2，则lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出a 的范围即可；法二：分离参数，得到a ≤x ﹣lnx （x ＞0），令g （x ）=x ﹣lnx （x ＞0），根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可； （2）先求出lnx ≤x ﹣1，得到ln＜﹣1，（0＜x 1＜x 2），整理即可．【解答】解：（1）解法1：f′（x ）=（x ＞0），令f′（x ）＞0，得x ＞1；令f′（x ）＜0，得0＜x ＜1， 即f （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知f （x ）的最小值是f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1； 解法2：f （x ）≥0，即a ≤x ﹣lnx （x ＞0）， 令g （x ）=x ﹣lnx （x ＞0）， 则g′（x ）=，（x ＞0），令g′（x ）＞0，得x ＞1；令g′（x ）＜0，得0＜x ＜1， 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知g （x ）的最小值是g （1）=1，可得a ≤1； （2）证明：取a=1，知f （x ）=x ﹣1﹣lnx ，由（1）知lnx ﹣x+1≤0，即lnx ≤x ﹣1， ∴ln＜﹣1，（0＜x 1＜x 2），整理得lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB ，CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，E 是圆O 上的点，过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F ，连结CE 交AB 于G 点． （1）求证：FG 2=FA•FB； （2）若圆O 的半径为2，OB=OG ，求EG 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE ，DE ，由弦切角定理知∠FEG=∠D ，证明FG=FE ，由切割线定理得FE 2=FA•FB，即可证明：FG 2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG 的长． 【解答】（1）证明：连接OE ，DE ，由弦切角定理知∠FEG=∠D ． ∵∠C+∠D=90°， ∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE ∴∠C+∠FGE=90°， ∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE 2=FA•FB，所以FG 2=FA•FB； （Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt △OCG 中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG， 即（2+2）（2﹣2）=4EG ，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3，曲线C 2的参数方程是（t 为参数）．（1）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（1）设曲线C 1和C 2交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C 2参数方程是（t 为参数） 消去参数化为直角坐标方程．（II ）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出． 【解答】解：（I ）曲线ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3化为直角坐标方程为：x 2+3y 2=3，即=1；曲线C 2参数方程是（t 为参数） 化为直角坐标方程为：x=﹣（y ﹣1），即x+y ﹣=0．（II ），解得，即A （0，1），B （，0），线段AB 的中点为M ，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|（x ∈R ，a ∈R ）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a 的值；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）≤m ﹣m 2，求实数m 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a ﹣4|=2，解出即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到﹣2≤m ﹣m 2，解出即可． 【解答】解：（1）对于任意x ∈R ，f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|∈[﹣|a ﹣4|，|a ﹣4|]， 可知|a ﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．。
2021年陕西省高考数学教学质量测评试卷(文科)(四)(附答案详解)
2021年陕西省高考数学教学质量测评试卷（文科）（四） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|2x ≤8}，B ={x ∈Z|x 2−5x −6<0}，则A ∩B 中元素的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 12. 复数z 满足1−i z=−1+2i ，则|z|=( )A. 25B. √105C. √1025D. √103. 如图，已知等边△ABC 的外接圆是等边△EFG 的内切圆，向△EFG 内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 154. 已知函数f(x)={log 2(x 2+1),x ≤2f(x −3),x >2，则f(f(4))=( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知tan2α=−43，且α∈(π,3π2)，则sinα=( )A. −34B. 2√55C. −2√55D. 456. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是∠BAC 的平分线，CD =2BD ，b =2，则c =( )A. 2B. 1C. 3D. √27. 已知正项等比数列{a n }中，a 2a 8+a 4a 6=8，则log 2a 1+log 2a 2+⋅⋅⋅+log 2a 9=( )A. 10B. 9C. 8D. 78. 执行如图所示的程序框图，若输入a =2，b =4，则输出S 的值为( )A. 12B. 14C. 16D. 189.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,4)，t∈R，则|t a⃗−√5b⃗ |的最小值为()A. √2B. √3C. 2D. 1010.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为()A. √354πB. 7√354πC. 9√32πD. 92π11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A(0,√2a)，a⃗=(1,−ba )，P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λa⃗，则C的离心率为()A. √5B. 2C. √2D. √312.已知函数f(x)=x2−2ex+e2+2xx (x>0,e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+axx(a∈R)，若函数F(x)=f(x)−g(x)有零点，则a的取值范围为()A. (0,+∞)B. [e,+∞)C. [2−1e ,+∞) D. (−∞,2−1e]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+2y−1≥02x+y−3≤0，则z=x−3y的最小值为______ ．14.已知函数f(x)=e x+2x，过点(1,2)作曲线y=f(x)的切线，则函数的切线方程为______ ．15.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且S△PQF2=12a2，|PF2|+|F2Q|=4，则椭圆E的短轴长为______ ．16.已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，AA1=4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查.得到如下列联表．喜爱某种食品不喜爱某种食品合计男生20女生10合计60(Ⅰ)请将上述列联表补充完整；(Ⅱ)判断是否有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关？(Ⅲ)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82818.如图，在四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，E，F分别为SB，AD的中点．(Ⅰ)证明：EF//平面SCD；(Ⅱ)若∠BAD=60°，SD=4，AB=2，求三棱锥C−DEF的体积．19.在递增等差数列{a n}中，a2+a4=8，a1，a3，a7成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{3a n a n+1}的前n项和为T n，证明：T n<32．20.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，且点(1,√6)在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设过点(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f(x)=xlnxx+m ，g(x)=xe x，且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x−2y+n=0．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)证明：f(x)>2g(x)−1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2sinα(α为参数)，直线l 的直角坐标方程为x −y +2=0． (Ⅰ)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一个动点，求△ABP 的面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −2|−|x +1|．(Ⅰ)解不等式f(x)+2<0；(Ⅱ)对任意的x ∈R ，f(x)≤m 2+2m 恒成立，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|x ≤3}，B ={x ∈Z|−1<x <6}={0,1，2，3，4，5}， ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：A ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算得出A ∩B ，然后即可得出A ∩B 的元素个数． 本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵1−i z=−1+2i ，∴复数z =1−i−1+2i =(1−i)(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=−3−i 5=−35−15i ，∴|z|=√(−35)2+(−15)2=√105， 故选：B ．先利用复数的四则运算求出复数z ，再利用复数模长公式求解．本题考查复数的基本运算及复数的模，考查数学运算核心素养，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题可知△EFG 内切圆的切点分别为A ，B ，C ， ∴EA =EC ，FA =FB ，GC =GB.又△EFG 是等边三角形， ∴△ACE ，△ABF ，△BCG ，△ABC 是4个全等的等边三角形， ∴所求的概率P =S △ABCS △EFG=14． 故选：C ．结合已知图像分析各三角形面积关系，然后结合与面积有关的几何概率公式可求． 本题考查几何概型，考查逻辑推理、数学运算核心素养4.【答案】A【解析】解：∵f(4)=f(4−3)=f(1)=log 2(12+1)=1， ∴f(f(4))=f(1)=log 2(12+1)=1，故选：A．根据分段函数的解析式，先求出f(4)的值，进而求解结论．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．5.【答案】C【解析】解：∵tan2α=2tanα1−tan2α=−43，∴tanα=2，或tanα=−12，又∵α∈(π,3π2)，∴tanα=2，∴sin2αcos2α=tan2α=4，即sin2α1−sin2α=4，解得sin2α=45，∴sinα=−2√55．故选：C．利用二倍角的正切公式化简已知等式可得tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，考查逻辑推理、数学运算核心素养，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：在△ABD中，由正弦定理得，BDsin∠BAD =ADsinB，在△ACD中，由正弦定理得，CDsin∠CAD =ADsinC，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴CD⋅sinC=BD⋅sinB，又CD=2BD，∴sinBsinC =CDBD=2，∴sinBsinC =bc=2，∵b=2，∴c=1，故选：B．在△ABD和△ACD中，均运用正弦定理，再结合角分线，可推出CD⋅sinC=BD⋅sinB，于是bc =sinBsinC=CDBD=2，得解．本题考查解三角形在平面几何中的应用，主要运用的是正弦定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵a2a8+a4a6=8，∴2a52=8，又∵a n>0，∴a5=2，∴a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=a52，∴log2a1+log2a2+⋯+log2a9=log2(a1a2⋯a9)=log2a59=9log22=9，故选：B．本题利用等比数列性质求得a5，再利用对数运算性质可解此题．本题考查等比数列的性质、对数的运算，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于容易题．8.【答案】C【解析】解：执行程序如下：a=2，b=4，i=0，S=0→S=8，i=−1，b=3；→S=8+6=14，i=−2，b=1；→S=14+2=16，i=−3，b=−2，ab=−4<0，符合输出条件，输出S=16，故选：C．根据程序框图按步骤执行其循环结构可得答案．本题考查程序框图，考查逻辑推理、数学运算核心素养．9.【答案】D【解析】解：∵a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,4)，∴|a⃗|=√5，|b⃗ |=5，a⃗⋅b⃗ =5，∴|t a⃗−√5b⃗ |2=t2a⃗2−2√5t a⃗⋅b⃗ +5b⃗ 2=5t2−10√5t+125=5(t−√5)2+100，∴当t=√5时，|t a⃗−√5b⃗ |2取最小值为100，∴|t a⃗−√5b⃗ |的最小值为10，故选：D．利用向量的模的运算法则化简求解表达式，然后求解最小值即可．本题考查平面向量的数量积、二次函数的性质，考查逻辑推理与数学运算核心素养，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由三视图还原几何体如图所示．由题可知该几何体是底面为边长为2的正方形，斜高都为√5的正四棱锥S −ABCD ．连接正方形ABCD 的两条对角线AC 与BD ，交于点O′，连接SO′，则SO′是四棱锥S −ABCD 的高，设E 为BC 的中点，连接SE ，则SE ⊥BC ，易知外接球的球心O 在SO′上． 连接OC ，O′E ，在Rt △ESO′中，SE =√5，EO′=1，EO′⊥SO′，∴SO′=2． 设外接球的半径为R ，则OO′=|2−R|，OC =R ，O′C =√2，∴OO′2+O′C 2=OC 2， 即(2−R)2+(√2)2=R 2，解得R =32， ∴外接球的体积V =43πR 3=43π(32)3=92π，故选：D ．判断几何体的形状，画出图形，连接正方形ABCD 的两条对角线AC 与BD ，交于点O′，连接SO′，则SO′是四棱锥S −ABCD 的高，设E 为BC 的中点，连接SE ，则SE ⊥BC ，易知外接球的球心O 在SO′上．连接OC ，O′E ，设外接球的半径为R ，求出半径，然后求解球的体积．本题考查几何体的三视图、几何体的外接球、球的体积，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题．11.【答案】C【解析】解：记t =|PA|+|PF 1|=|PA|+|PF 2|+2a ≥|AF 2|+2a ，当A ，P ，F 2三点共线时，t 有最小值，此时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ ，所以AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //PA ⃗⃗⃗⃗⃗ //a⃗ ．设焦距为2c ，则F 2(c,0)，所以AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,−√2a)． 又a ⃗ =(1,−ba)，所以−bc a=−√2a ，化简得e 4−e 2−2=0，解得e 2=2(舍负)，所以双曲线C 的离心率e =√2(舍负)， 故选：C ．记t =|PA|+|PF 1|=|PA|+|PF 2|+2a ≥|AF 2|+2a ，当A ，P ，F 2三点共线时，t 有最小值，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ ，求出AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .然后求解离心率即可．本题考查双曲线的定义和几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，考查数学运算与逻辑推理核心素养，是中档题．12.【答案】C【解析】解：因为x >0，所以f(x)=x +e 2x−2e +2≥2，当且仅当x =e 2x，即x =e 时，f(x)取最小值2，由g(x)=lnx x+a ，得g′(x)=1−lnx x 2，令g′(x)=0得x =e ，当0<x <e 时，g′(x)>0，g(x)在(0,e)上单调递增， 当x >e 时，g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)上单调递减，所以当x =e 时，g(x)有极大值也是最大值，为g(e)=a +1e ， 要使函数F(x)=f(x)−g(x)有零点， 即使方程f(x)−g(x)=0有解， 则只需a +1e ≥2，解得a ≥2−1e ， 故选：C ．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可．本题考查基本不等式，利用导数研究函数的单调性、最值，考查运算求解能力，考查数形结合思想，考查数学运算及逻辑推理核心素养．13.【答案】−133【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．作直线l 0：x −3y =0，平移直线l 0，可知当直线l 0平移至点C 时，目标函数z =x −3y 取得最小值．联立{2x +y −3=0x −y +1=0，解得点C 的坐标为(23,53)，则z min =23−3×53=−133． 故答案为：−133．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】(e 2+2)x −y −e 2=0【解析】解：把点(1,2)代入f(x)=e x +2x 可知，点(1,2)不在曲线上．设切点为(x 0,y 0)，∵f(x)=e x +2x ，∴f′(x)=e x +2，则所求切线的斜率k =e x 0+2.又k =y 0−2x 0−1，∴e x 0+2=y 0−2x 0−1，y 0=e x 0+2x 0，∴x 0=2，∴y 0=e 2+4，∴所求的切线方程为y −(e 2+4)=(e 2+2)(x −2)，即(e 2+2)x −y −e 2=0． 故答案为：(e 2+2)x −y −e 2=0．求出切点坐标，求解切线的斜率，求出切线方程即可．本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算核心素养，是中档题．15.【答案】2√2【解析】解：如图，连接PF 1，QF 1.因为|OP|=|OQ|，|OF 1|=|OF 2|， 所以四边形PF 1QF 2为平行四边形． 又PF 2⊥F 2Q ，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则{m +n =2a =4m 2+n 2=4c 212mn =12a 2， 解得{a =2c =√2，∴b 2=a 2−c 2=2，∴椭圆E 的短轴长2b =2√2．故答案为：2√2．连接PF 1，QF 1，证明四边形PF 1QF 2为平行四边形．推出四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，转化求解a ，b ，c ，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的定义和几何性质，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养，是基础题．16.【答案】√3+2√2+2√5【解析】解：如图，取AF 的中点G ，分别在CC 1，BC 上取点H ，M ，使HC 1=14CC 1，BM =14BC ，连接EG ，GH ，HM ，EM.又F ，G 分别是AA 1，AF 的中点，∴FG =14AA 1.又AA 1//CC 1，AA 1=CC 1，∴FG//HC 1，FG =HC 1，∴四边形FGHC 1为平行四边形，∴GH//FC 1，GH =FC 1，∴GH//平面BFC 1．∵HC 1=14CC 1，BM =14BC ，∴MH//BC 1，MH =34BC 1， ∴MH//平面BFC 1.又MH ∩GH =H ，∴平面EGHM//平面BFC 1．又AA 1⊥平面ABC ，AC =BC =2，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，AC ⊥BC ，AA 1=4， ∴AB =2√2，AF =A 1F =2，∴EG =12BF =12√AF 2+AB 2=√3，GH=FC1=√A1F2+A1C12=2√2，HM=34BC1=34√BB12+B1C12=32√5．在△BEM中，BM=14BC=12，BE=√2，∠EBM=45°，∴EM2=BM2+BE2−2BM⋅BEcos45°=14+2−2×12×√2×√22=54，∴EM=√52，∴平面EGHM的周长为EG+GH+HM+EM=√3+2√2+32√5+√52=√3+2√2+2√5，即所求的截面周长为√3+2√2+2√5．故答案为：√3+2√2+2√5．取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使HC1=14CC1，BM=14BC，连接EG，GH，HM，EM.推导出四边形FGHC1为平行四边形，GH//平面BFC1.平面EGHM//平面BFC1.由此能求出所求的截面周长．考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，100名学生中喜爱某种食品的学生有60 人，其中喜爱某种食品的男生有20人，不喜爱某种食品的女生有10人，∴喜爱某种食品的女生有40人，不喜爱某种食品的男生有30人，则完成列联表如下：(Ⅱ)由(Ⅰ)得K2=100×(20×10−30×40)250×50×60×40=503≈16.667>10.828，∴有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关．(Ⅲ)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，则其中男生有20×660=2(人)，分别设为A，B；女生有40×660=4(人)，分别设为1，2，3，4，则从这6名学生中随机抽取2人有如下15种结果：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34，其中恰好有1名男生喜爱某种食品有8种结果：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，∴所求的概率P=815．【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据及题意即可完成列联表；(Ⅱ)结合已知公式及(Ⅰ)中表格即可判断；(Ⅲ)利用分层抽样的特点可得男生与女生分别喜欢某种食品的人数，再根据古典概型的概率公式即可求解．本题考查分层抽样、古典概型及独立性检验的应用，考查数学运算、逻辑推理、数据分析核心素养，是基础题．18.【答案】(Ⅰ)证明：如图，取SC的中点G，连接DG，EG，∵E是SB的中点，∴EG是△SBC的中位线，∴EG//BC，EG=12BC．又DF//BC，DF=12BC，∴EG//DF，EG=DF，∴四边形EGDF是平行四边形，∴EF//DG．又EF⊄平面SCD，DG⊂平面SCD，∴EF//平面SCD；(Ⅱ)解：如图，连接AC，BD交于点O，连接EO，∴BO=OD，∴EO//SD，EO=12SD=2．又SD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，∴S△CDF=12DF⋅CDsin120°=12×1×2×√32=√32，∴V C−DEF=V E−CDF=13EO⋅S△CDF=13×2×√32=√33．【解析】(Ⅰ)取SC的中点G，连接DG，EG，证明四边形EGDF是平行四边形，进而可得EF//DG，再根据线面平行的判定定理即可证明；(Ⅱ)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，由SD ⊥平面ABCD 得到EO ⊥平面ABCD ，再由等体积法即可求解．本题考查了线面平行的判定定理，三棱锥的体积，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)解：设递增等差数列{a n }的公差为d(d >0)．由，a 2+a 4=8，a 1，a 3，a 7成等比数列， 得{a 1+d +a 1+3d =8(a 1+2d)2=a 1⋅(a 1+6d)，解得a 1=2，d =1或0，(0舍去)， ∴a n =2+(n −1)×1=n +1(n ∈N ∗)． (Ⅱ)证明：设b n =3a n a n+1，由(Ⅰ)知b n =3an a n+1=3(n+1)(n+2)=3(1n+1−1n+2)，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =3(12−13)+3(13−14)+⋯+3(1n+1−1n+2)=3(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)=3(12−1n+2)=32−3n+2<32．【解析】(Ⅰ)由等差数列的通项公式和等比数列的性质，即可求出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)根据(Ⅰ)得到数列{3an a n+1}的通项公式，再利用裂项相消法即可证明结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线x 2=8y 的焦点坐标为(0,2)，∴椭圆的半焦距c =2． 由题可知，解得a 2=8，b 2=4， ∴椭圆的标准方程为y 28+x 24=1．(Ⅱ)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).∵A ，B ，O 三点构成三角形，所以直线l 的斜率存在且不为0， 则可设直线l 的方程为y =kx +3． 联立，消去y 整理得(2+k 2)x 2+6kx +1=0． 由△>0得36k 2−4(2+k 2)>0，即k2−14>0，∴x1+x2=−6k2+k2，x1x2=12+k2，∴|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(−6k2+k2)2−42+k2]=2√2(1+k2)√4k2−1k2+2．易知，点O到直线l：y=kx+3的距离ℎ=√1+k2，∴S△AOB=12|AB|ℎ=12×2√2(1+k2)√4k2−1k2+2√1+k2=3√2⋅√4k2−1k2+2．设√4k2−1=t(t>0)，则k2=t2+14，∴√4k2−1k2+2=4tt2+9=4t+9t≤23，当且仅当t=3，即k2=52时等号成立，∴△AOB面积的最大值为3√2×23=2√2．【解析】(Ⅰ)根据椭圆的几何性质，求出a2，b2的值，即可求解；(Ⅱ)设出点A，B的坐标，直线l的方程并与椭圆的方程联立，再由弦长公式及韦达定理求得|AB|的表达式，进而求得S△AOB的表达式，再利用基本不等式求解即可．本题考查抛物线、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理、数学运算核心素养．21.【答案】解：(Ⅰ)由已知得f(1)=1+n2=0，∴n=−1，∵f′(x)=(lnx+1)(x+m)−xlnx(x+m)2=mlnx+x+m(x+m)2，∴f′(1)=m+1(m+1)2=12，解得：m=1．(Ⅱ)证明：设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1，由ℎ′(x)>0得x>0；由ℎ′(x)<0得x<0，∴ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)在x=0处取得最小值为ℎ(0)=0，∴当x>0时，e x>x+1，∴2e x <2x+1，∴2xe x<2xx+1，要证f(x)>2g(x)−1，则xlnxx+1>2xe x−1在(0,+∞)上恒成立，只需使xlnxx+1≥2xx+1−1在(0,+∞)上恒成立，即lnx+1x−1≥0在(0,+∞)上恒成立，设H(x)=lnx+1x −1，则H′(x)=x−1x2，由H′(x)>0得x>1，由H′(x)<0得0<x<1，∴H(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴H(x)在x=1处取得极小值也是最小值，为H(1)=0，即lnx+1x−1≥0在(0,+∞)上恒成立，∴原不等式成立．【解析】(Ⅰ)根据f(1)=1+n2=0，解得n的值，再由导数的几何意义，即可求解m的值；(Ⅱ)构造函数ℎ(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性、最值，先证e x>x+1在(0,+∞)上恒成立，再将所证的不等式转化为证lnx+1x−1≥0在(0,+∞)上恒成立，再构造函数利用导数研究函数的单调性，最值即可证明．综合性考查落实，本题考查导数的几何意义、导数在证明不等式恒成立问题中的应用，考查函数与方程思想、化归与转化思想和运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养．22.【答案】解：(Ⅰ)将(α为参数)中的参数α消去得x2+y2=4，将x2+y2=ρ2代入上式得ρ2=4，∴曲线C的极坐标方程为ρ=2．将x=ρcosα，y=ρsinα代入直线方程x−y+2=0得直线l的极坐标方程为ρcosα−ρsinα+2=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线C是圆心为(0,0)，半径R=2的圆．设P(2cosθ,2sinθ)，则坐标原点O到直线l的距离d=22=√2，∴|AB|=2√R2−d2=2√22−(√2)2=2√2，∴S△ABP=12|AB|ℎ=12×2√2√2=|2√2cos(θ+π4)+2|．又∵θ∈[0,2π)，∴θ+π4∈[π4,9π4),∴|2√2cos(θ+π4)+2|≤2√2+2，∴△ABP 面积的最大值为2√2+2．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程之间的互化公式即可求解；(Ⅱ)利用勾股定理求出弦长|AB|，再求出点P 到直线l 的距离，即可得出△ABP 的面积的表达式，再利用三角函数的性质即可求解．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(I)f(x)=|x −2|−|x +1|={3,x ≤−1−2x +1,−1<x <2−3,x ≥2，......2分，所以不等式f(x)+2<0等价于{x ≤−13+2<0，或{−1<x <2−2x +1+2<0，或{x ≥2−3+2<0；解得x ∈⌀，或32<x <2，或x ≥2；所以不等式f(x)+2<0的解集为(32,+∞).......5分(Ⅱ)由(I)知f(x)=|x −2|−|x +1|={3,x ≤−1−2x +1,−1<x <2−3,x ≥2，作出函数f(x)的图象如图所示：由图象可知−3≤f(x)≤3；......8分因为对任意的x ∈R ，有f(x)≤m 2+2m 恒成立， 所以m 2+2m ≥3，......9分 即m 2+2m −3≥0， 解得m ≥1或m ≤−3，所以m 的取值范围是(−∞,−3]∪[1,+∞).......10分【解析】(Ⅰ)利用零点分段法去掉绝对值，解不等式取并集即可；(Ⅱ)将已知条件转化为m2+2m≥f(x)max，列出关于m的不等式，求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法、含参数不等式恒成立问题，也考查了运算求解能力、化归与转化思想，以及数学运算核心素养．。
【全真模拟】高考数学押题试卷含答案
故选：B.
[点睛]关键点点睛：牢牢抓住 所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.如图，棱柱 中， ， 底面 ， ， 是棱 的中点.
（1）求证：直线 与直线 为异面直线;
[详解] ，
由于 是函数 图象的对称轴，则 ，
所以， ，
因为 ，即 ， ，所以， ，
当 增大时， 增大，
由于有且只有一个实数 满足：① ;② 是函数 图象的对称轴.
所以， ，则有 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
[点睛]思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 或 的形式;
故方差为 ，
故答案为： .
8.已知函数 为奇函数，若 ，则 ___________．
[答案]
[解析]
[分析]利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值.
[详解]由题知： ，又 奇函数，
则 ，
故 ，
故答案为：
9.直线 ： （ ）被圆 ： 所截得的弦长为 ，则 ___________．
[答案]
[解析]
截得圆的面积为 .
故答案为：
[点睛]与球有关的计算，要注意利用球的几何性质，结合勾股定理来求解.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
13.若 ， 是虚数单位，则“ “是” 为纯虚数“的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
（2）将 看成一个整体;
2020年陕西省高考全真模拟文科数学试卷(三)含答案解析
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（ ）的值．
【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ φ＜ ）的部分图象，
可得 = = ﹣ ，求得ω=2．
再根据五点法作图可的2• +φ= ，求得φ=﹣ ，∴f（x）=2sin（2x﹣ ），
10．已知菱形ABCD的边长为4， ，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可．
【解答】解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，
则所以概率对应的面积为阴影部分，
则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|x≥0}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={﹣1，0，1}，
∴f（ ）=2sin = ，
故选：A．
9．已知某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
陕西省西安中学2021届高考数学四模试卷(文科)(含答案解析)
陕西省西安中学2021届高考数学四模试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.定义集合A、B的一种运算：A∗B={x|x=x1⋅x2,x1∈A,x2∈B}，若A={1,2，3}，B={1,2}，则集合A∗B的真子集个数为()A. 15B. 16C. 31D. 322.设复数z1=1+i，z2=2+ai，若z1z2为纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −1D. 13.命题“∀x∈R，4x2+cosx>0”的否定为()A. ∀x∈R，4x2+cosx<0B. ∀x∈R，4x2+cosx≤0C. ∃x∈R，4x2+cosx<0D. ∃x∈R，4x2+cosx≤04.函数y=x3−3x2−9x+a的图象经过四个象限的充要条件是()A. a>0B. a<0C. −10<a<30D. −5<a<275.已知圆的半径为6.5cm，圆心到直线l的距离为4.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是A. 0B. 1C. 2D. 不能确定6.在正项等比数列{a n}中，10a1，12a3,3a2成等差数列，则a8+a10+a11a6+a8+a9=()A. 5B. 4C. 25D. 4或257.多面体MN−ABCD的底面ABCD矩形，其正(主)视图和侧(左)视图如图，其中正(主)视图为等腰梯形，侧(左)视图为等腰三角形，则该多面体的体积为()A. 163B. √6 C. 203D. 68.若函数f(x)=ax3+blog2(x+√x2+1)+2在(−∞,0)上有最小值−5，(a,b为常数)，则函数f(x)在(0,+∞)上()A. 有最大值5B. 有最小值5C. 有最大值3D. 有最大值99.下列函数中，为奇函数的是()A. y =x +1B. y =x 2C. y =2xD. y =x|x|10. 如图，一知正方形OABC 的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(1,0) B(1,1)，C(0,1))，现向该正方体内部随机投1000个点，统计出所投点落在阴影部分的个数为328，由此估计图中阴影部分的面积为 ( )A. 0.328B. 0.672C. 0.3D. 0.711. 已知双曲线的标准方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，F 1，F 2为其左右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2=12,tan∠PF 2F 1=2，则该双曲线的离心率为( )A. √5B. √52 C. 3√55 D. √312. 若函数g(x)满足g(g(x))=n(n ∈N)有n +3个解，则称函数g(x)为“复合n +3解”函数．已知函数f(x)={kx +3,x ≤0e x ex,x >0(其中e 是自然对数的底数，e =2.71828…，k ∈R)，且函数f(x)为“复合5解”函数，则k 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (−e,e)C. (−1,1)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若x ∈[π4,5π12]，则f(x)=sin 2x−2cos 2xsinxcosx 的最小值为______ ．14. 某市出租车按如下方法收费，起步价6元，可行3km(含3km)，3km 到7km 每行驶1km 加价1元(不足1km ，按1km 计算)，超过7km 后每行驶1km 加价0.8元，某人坐出租车行驶了8.2km ，他应交费______ 元．15. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，且A 1D 与底面ABC 所成角的正切值为2，则三棱锥A 1−ACD 外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共89.0分）(x>0)．16.已知函数f(x)=2xx+1(Ⅰ)求证：函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；(Ⅱ)当x∈(0,1]时，若tf(2x)≥2x−2恒成立，求实数t的取值范围；(Ⅲ)设g(x)=log2f(x)，试讨论函数F(x)=|g(x)|2−(3m+1)|g(x)|+3m(m∈R)的零点情况．17.设△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3√2．(Ⅰ)求三角形ABC的面积；(Ⅱ)求sinB+sinC的值及△ABC中内角B，C的大小．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求三棱锥E−CGF的体积；(2)求证：平面PAB//平面EFG；19.中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高二600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．(1)填写频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；(2)请你估算该年级学生成绩的中位数;(3)如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数都在[80,90)的概率．20. 已知函数．(1)若x=−是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值；(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图象与f(x)的象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．21. 如图所示，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线AB：y=12x+1相切于点A．(1)求a，b满足的关系式，并用a，b表示点A的坐标；(2)设F是椭圆的右焦点，若△AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程．22. 已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．(I)判断直线与圆C的位置关系；(Ⅱ)若点P(x,y)在圆C上，求x+y的取值范围．23. 已知关于x的不等式|x−3|+|x−m|≥2m的解集为R．(Ⅰ)求m的最大值；(Ⅱ)已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由题意得，A={1,2，3}，B={1,2}，所以A∗B={x|x=x1⋅x2,x1∈A,x2∈B}={1,2，3，4，6}，则集合A∗B的真子集个数为：25−1=31，故选：C．根据A∗B运算的定义和条件求出集合A∗B，再由集合中元素的个数得到它的真子集的个数．本题考查了集合中一个结论：集合A有n个元素则真子集的个数是2n−1个，以及新定义的应用．2.答案：A解析：解：∵z1=1+i，z2=2+ai，∴z1z2=1+i2+ai=(1+i)(2−ai)(2+ai)(2−ai)=(a+2)+(2−a)ia2+4，∵z1z2为纯虚数，∴a+2=0且2−a≠0，即a=−2，故选：A．通过分母有理化可知z1z2=(a+2)+(2−a)ia2+4，利用“复数为纯虚数等价于复数的实部为0且虚部不为0”计算即得结论．本题考查复数代数形式的乘除运算，注意解题方法的积累，属于基础题．3.答案：D解析：解：全称命题的否定为特称命题，故“∀x∈R，4x2+cosx>0”的否定为“∃x∈R，4x2+ cosx≤0”，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．4.答案：D解析：解：对函数求导可得，f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)令f′(x)≥0可得，x≥3或x≤−1；f′(x)<0可得，−1<x<3∴函数在(−∞,−1]，[3,+∞)单调递增，在(−1,3)单调递减，函数在x =−1处取得极大值，在x =3处取得极小值要使函数y =x 3−3x 2−9x +a 的图象经过四个象限则{f(−1)=a +5>0f(3)=a −27<0解可得，−5<a <27故选：D对函数求导可得，f′(x)=3x 2−6x −9=3(x −3)(x +1)，由f′(x)≥0，f′(x)<0可求函数单调递增及单调递减区间及极大值和极小值，要使函数y =x 3−3x 2−9x +a 的图象经过四个象限 则{f(−1)=a +5>0f(3)=a −27<0解可得 本题主要考查了利用函数的导数判定函数的单调性及函数的极大值与极小值，还考查了图象的识别能力．5.答案：C解析：圆心到l 的距离是4.5 cm 小于圆的半径6.5 cm ，故圆与l 相交．6.答案：C解析：由题意可得2×12a 3=10a 1+3a 2，解方程可得q ，而要求的式子可化为q 2，代入计算可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等差数列的性质，属基础题．解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，由10a 1，12a 3,3a 2成等差数列可得2×12a 3=10a 1+3a 2，∴a 1q 2=10a 1+3a 1q ，∴q 2−3q −10=0，解得q =5，或q =−2(舍去)，∴a 8+a 10+a 11a 6+a 8+a 9=q 2(a 6+a 8+a 9)a 6+a 8+a 9=q 2=25．故选：C ．7.答案：C解析：解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得V =2×22×2+(13×1×2×2)×2=203，故选：C ．利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．8.答案：D解析：解：令g(x)=ax3+blog2(x+√x2+1)，其定义域为R，又g(−x)=a(−x)3+blog2(−x+√(−x)2+1)=−[ax3+blog2(x+√x2+1)]=−g(x)所以g(x)是奇函数．由根据题意：f(x)=ax3+blog2(x+√x2+1)+2在(−∞,0)上有最小值−5，所以函数g(x)在(−∞,0)上有最小值−7，由函数g(x)在(0,+∞)上有最大值7，所以f(x)=g(x)+2在(0,+∞)上有最大值9．故选D．先令g(x)=ax3+blog2(x+√x2+1)，判断其奇偶性，再由函数f(x)=ax3+blog2(x+√x2+1)+ 2在(−∞,0)上有最小值−5，得到函数g(x)在(−∞,0)上有最小值−7，从而有g(x)在(0,+∞)上有最大值7，则由f(x)=g(x)+2得到结论．本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与−x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．9.答案：D解析：解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A；由于y=x2为偶函数，故排除B；由于y=2x为非奇非偶函数，故排除C；由于y=x|x|是奇函数，满足条件，故选：D．逐一判断各个选项中函数的奇偶性，可得结论．本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．10.答案：A解析：本题主要考查几何概型的概率公式，可以求出投点落在阴影部分的概率，然后即可得到阴影部分的面积．向该正方体内部随机投1000个点，统计出所投点落在阴影部分的个数为328，，则投点落在阴影部分的概率因为正方形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(1,0)B(1,1)，C(0,1))，所以正方形的面积为1，设阴影部分的面积为S，满足即S=0.328．故答案为A．11.答案：A解析：解：设P(m,n)，可得m2a2−n2b2=1，F1(−c,0)，F2(c,0)为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=nm+c ，直线PF2的斜率k2=nm−c，k2=−2，k1=12，即为nm+c =12，nm−c=−2，解得m=35c，n=45c，则9c225a2−16c225b2=1，由b2=c2−a2，e=ca可得9e2−16e2e2−1=25，化为9e4−50e2+25=0，即为e2=5(59<1舍去)，可得e=√5．故选：A．设P(m,n)，可得m2a2−n2b2=1，F1(−c,0)，F2(c,0)，运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由b2=c2−a2，e=ca，可得e的方程，解方程即可得到所求离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：函数f(x)为“复合5解“，∴f(f(x))=2，有5个解，设t=f(x)，∴f(t)=2，∵当x>0时，f(x)=e xex =e x−1x，∴f(x)=e x−1(x−1)x2，当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)min=f(1)=1，∴t≥1，∴f(t)=2在[1,+∞)有2个解，当x≤0时，f(x)=kx+3，函数f(x)恒过点(0,3)，当k≤0时，f(x)≥f(0)=3，∴t≥3∵f(3)=e23>2，∴f(t)=2在[3,+∞)上无解，当k>0时，f(x)≤f(0)=3，∴f(t)=2，在(0,3]上有2个解，在(∞,0]上有1个解，综上所述f(f(x))=2在k>0时，有5个解，故选：D由题意可得f(f(x))=2，有5个解，设t=f(x)，f(t)=2，当x>0时，利用导数求出函数的最值，得到f(t)=2在[1,+∞)有2个解，，当x<0时，根据函数恒过点(0,3)，分类讨论，即可求出当k>0时，f(t)=2时有3个解，问题得以解决．本题考查了新定义的应用以及函数的解得问题以及导数和函数的最值问题，关键是求出f(t)的定义域，属于难题．13.答案：−1解析：解：x ∈[π4,5π12]，则f(x)=sin 2x−2cos 2x sinxcosx=tan 2x−2tanx=tanx −2tanx ，tan 5π12=tan(π6+π4)=√33+11−√33×1=2+√3，令t =tanx ，则1≤t ≤2+√3，f(x)=y =t −2t ，∴y′=1+2⋅1t 2>0，故函数y 在[1,2+√3]上单调递增，故当t =1时，f(x)=y 取得最小值为1−2=−1， 故答案为：−1．由题意利用同角三角函数的基本关系求得f(x)=tanx −2tanx .令t =tanx ，则1≤t ≤2+√3，f(x)=y =t −2t ，利用导数的符号可得函数y 在[1,2+√3]上单调递增，从而求得y 的最小值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，属于中档题．14.答案：11.6解析：解：由题意，坐出租车行驶了8.2km ，分三段计费：3km ，起步价6元；3km 到7km 每行驶1km 加价1元，共4元；7km 到8.2km ，交费2×0.8=1.6，故他应交费11.6元 故答案为：11.6．由题意，坐出租车行驶了8.2km ，分三段计费：3km ，起步价6元；3km 到7km 每行驶1km 加价1元；7km 到8.2km ，每行驶1km 加价0.8元(不足1km ，按1km 计算)，故可得结论． 本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题．15.答案：8π解析：首先，根据垂直关系，得到∠A 1DA 就是A 1D 与底面ABC 所成的角，然后，设三棱锥A 1−ACD 外接球的半径为r ，利用等积法求解该r ，从而得到其表面积．本题重点考查了空间中垂直关系的判断和应用，掌握等积法在求解几何体的外接球的半径中的应用问题，属于中档题． 解：如图示：∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴∠A 1DA 就是A 1D 与底面ABC 所成的角，在直角三角形A 1DA 中， tan∠A 1DA =A 1A AD=2，∵底面是边长为2的正三角形，且AD =1， ∴A 1A =2，设三棱锥A 1−ACD 外接球的半径为r ， ∵S △A1DA =12×1×2=1，CD =√32×2=√3，∴三棱锥A 1−ACD =13×1×√3=√33，V 三棱锥O−A1CD +V 三棱锥O−A1AD +V 三棱锥O−A1AC +V 三棱锥O−ACD=13×12×√3×√5r +13×12×2×1r +13×12×2×2r +13×12×1×√3r =√33， ∴r =√2，∴三棱锥A 1−ACD 外接球的表面积为4πr 2=8π． 故答案为：8π．16.答案：解：(Ⅰ)设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(2−2x1+1)−(2−2x 2+1)=2(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)，∵x 1<x 2，∴x 1−x 2<0，∴2(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(0,+∞)上递增；(Ⅱ)tf(2x )≥2x −2即(2t )2−(2t +1)2t −2≤0， 设2t =u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]，即当u ∈(1,2]时，u 2−(2t +1)u −2≤0恒成立， ∴{1−(2t +1)−2≤04−(2t +1)×2−2≤0， 解得：t ≥0，∴实数t 的范围是[0,+∞)； (Ⅲ)f(x)=2−2x+1，∵x >0，∴x +1>1，∴0<2x+2<2，即0<f(x)<2，x>0时，由(Ⅰ)得f(x)递增，y=log2t递增，∴g(x)=log2f(x)递增，∴g(x)的值域是(−∞,1)，∴y=|g(x)|的大致图象如图示：，函数F(x)=|g(x)|2−(3m+1)|g(x)|+3m(m∈R)的零点即方程|g(x)|2−(3m+1)|g(x)|+3m=0的实数根，令b=|g(x)|，即b2−(3m+1)b+3m=0，解得：b=1或b=3m，b=1时，满足条件的实数根有且只有一个，∵3m>0，当0<3m<1，即m<0时，函数F(x)有3个零点，当3m=1，即m=0时，函数F(x)只有1个零点，当3m>1，即m>0时，函数F(x)有2个零点，综上，m=0时，函数F(x)只有1个零点，m>0时，函数F(x)有2个零点，m<0时，函数F(x)有3个零点．解析：(Ⅰ)根据函数单调性的定义证明即可；(Ⅱ)设2t=u，当u∈(1,2]时，u2−(2t+1)u−2≤0恒成立，得到关于t的不等式组，解出即可；(Ⅲ)求出y=|g(x)|的值域，问题转化为求方程|g(x)|2−(3m+1)|g(x)|+3m=0的实数根，令b= |g(x)|，得到方程b2−(3m+1)b+3m=0，求出b的值，通过讨论m的范围，判断即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查函数的零点问题，数形结合思想，是一道综合题．17.答案：解：(Ⅰ)∵a=3，A=60°，b+c=3√2，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ，即9=18−3bc ， ∴bc =3，则S △ABC =12bcsinA =32×√32=3√34； (Ⅱ)∵a =3，A =π3，∴由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得：b+csinB+sinC =asinA =3√32=2√3，∵b +c =3√2， ∴sinB +sinC =√22√3=√62， ∵B +C =120°，即B =120°−C ， ∴sinB +sinC =sin(120°−C)+sinC =√32cosC +12sinC +sinC =√32cosC +32sinC =√3sin(C +30°)=√62，即sin(C +30°)=√22， ∴C +30°=45°或135°，即C =15°或C =105°， 则B =105°，C =15°或B =15°，C =105°．解析：(Ⅰ)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b +c 与a ，cos A 的值代入求出bc 的值，最后利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积；(Ⅱ)由a ，sin A 的值，利用正弦定理及比例的性质求出b+csinB+sinC 的值，将b +c 的值代入求出sinB +sinC 的值，用C 表示出B ，代入sinB +sinC 中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出C 的度数，即可确定出B 的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：(1)(2)对于面面平行的证明，一般要根据判定定理来得到，先证明EG //平面PAB .来说民结论。
2020-2021学年陕西省西安市第四中学高三数学文期末试卷含解析
2020-2021学年陕西省西安市第四中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是（）A． B． C． D．参考答案：D略2. 复数的虚部为（）A．i B．-i C．1 D．-1参考答案：D略3. 已知三点共线，则的最小值为A．11 B．10 C．6D．4参考答案：A由共线得，，当且仅当时取等号，所以选A.4. 任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图X16－1所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形的概率是( )A. B. C. D.参考答案：C5. 复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2 B．C．D．3参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，根据几何体的体积是2求出x，再根据正视图为直角三角形求出其面积．【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，∴几何体的体积V=××2×x=2?x=x=2．∴正（主）视图的面积S=×2×2=2．故选A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．7. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）图1 图2A. B.C. D.参考答案：D【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为，则，则，所以酒杯的容积，又，所以，所以，解得.故选D【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D输入，.，，，，，满足条件，输出，选D.9. 已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 D．1参考答案：A函数的导数为，所以在处的切线斜率为，所以切线斜率为，令得，所以，所以，选A.10. 设全集U={x丨x＞0}，集合A={x丨x＞2}，则?UA等于（）D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差= .参考答案：略12. 命题“”的否定为▲参考答案：，略13. 不等式组表示的平面区域的面积为________.参考答案：414. 若，其中，是虚数单位，复数．参考答案：15. 设，则___ ____．参考答案：24016. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数.参考答案：-3略17. 已知是非零向量，且满足，，则的夹角是______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞） D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（） B．（） C．（1，e）D．（e，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A．B．C．D．11．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．212．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=，b=，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是______．14．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则a+b=______．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是______号．16．在△ABC中，BC=，∠A=60°，则△ABC周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求T n．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求三棱锥D﹣BEF的体积．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：若0＜x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB 的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞） D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），∵A=[1，+∞），∴A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α﹣cos2α的值．【解答】解：tanα=1，则sin2α﹣cos2α===，故选：B．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出．【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：＞0，则＞0⇔夹角是锐角，因此命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．与k的取值有关【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，再求出圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离，从而得到直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．【解答】解：圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离d=，∴直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4，∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4．故选：A．8．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．4096【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n=2n﹣1，b n=2n﹣1．求得b b b=b1•b5•b9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，可得a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=1•2n﹣1=2n﹣1．可得b b b=b1•b5•b9=1•24•28=212=4096．故选：D．9．函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（） B．（） C．（1，e）D．（e，∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f（a）f（b）＜0即为满足条件的区间【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f（1）=e＞0故满足条件的区间为（0，）故选A．10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其情况有：（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3），齐王获胜；（a1，b1）、（a2，b3）、（a3，b2），齐王获胜；（a2，b1）、（a1，b2）、（a3，b3），齐王获胜；（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），田忌获胜；（a3，b1）、（a1，b2）、（a2，b3），齐王获胜；（a3，b1）、（a1，b3）、（a2，b2），齐王获胜；共6种；其中田忌获胜的只有一种（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），则田忌获胜的概率为，故选：D11．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c，将x=c代入双曲线的方程，可得=2p=4c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=，b=，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数g（x）=，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵对任意x≥0，恒有f（x）＜f′（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）是在定义域上是增函数，所以g（3）＞g（2），即b＞a，故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是 3 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，∵a=2＜b=3，∴M=3故答案为：3．14．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则a+b= 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1，则a+b=1．故答案为：1．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是 6 号．【考点】进行简单的合情推理．【分析】结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者．【解答】解：入选者不能是4号、5号，因为如果是4号或5号，则甲、乙、丁三个人的猜测都是正确的；如果入选者是6号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的；如果入选者是1、2、3中的一个，那么甲、丁的猜测是错的，乙、丙的猜测是对的；根据题意“只有一人的猜测对的”，所以入选者是6号．故答案为：6．16．在△ABC中，BC=，∠A=60°，则△ABC周长的最大值．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得：====2，因此△ABC周长=a+b+c=+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin+，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得：====2，∴b=2sinB，c=2sinC，∴△ABC周长=a+b+c=+2sinB+2sinC，=2sinB+2sin+=2sinB+2+=3sinB+cosB+=2+=2sin（B+30°）+，∵0°＜B＜120°，∴B+30°∈（30°，150°），∴sin（B+30°）∈．∴△ABC周长≤3．故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出a1=2，利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，得到数列的递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求解数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用b n=log2a n，c n=，求出数列的通项公式，利用裂项法求解数列{c n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=2，…当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）…即：，…∴数列{a n}为以2为公比的等比数列，∴a n=2n．…（Ⅱ）由b n=log2a n得b n=log22n=n，…则c n===，…T n=1﹣+﹣+…+=1﹣=．…18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求三棱锥D﹣BEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OCEM为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案；（2）由线面垂直的性质定理可得BC⊥平面DEF，然后把三棱锥D﹣BEF的体积转化为三棱锥B ﹣DEF的体积求解．【解答】（1）证明：如图，记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由题设知，且CE∥DF，且MO=，即CE=MO且CE∥MO，知四边形OCEM为平行四边形，有EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF；（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF，三棱锥D﹣BEF的体积为=．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a，估计该校成绩在120分以上人数即可；（2）根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1，得a=0.03成绩在120分以上的人频率为0.3+0.25+0.075=0.625，估计该校成绩在120分以上人数为1200×0.625=750人，（2）成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人，从中抽出2人的基本事件总数为10种，其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4，所求概率为p==．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1﹣y2|===，∴==，=，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：若0＜x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＞1﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出a的范围即可；法二：分离参数，得到a≤x﹣lnx（x＞0），令g（x）=x﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性求出g （x）的最小值，从而求出a的范围即可；（2）先求出lnx≤x﹣1，得到ln＜﹣1，（0＜x1＜x2），整理即可．【解答】解：（1）解法1：f′（x）=（x＞0），令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知f（x）的最小值是f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1；解法2：f（x）≥0，即a≤x﹣lnx（x＞0），令g（x）=x﹣lnx（x＞0），则g′（x）=，（x＞0），令g′（x）＞0，得x＞1；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知g（x）的最小值是g（1）=1，可得a≤1；（2）证明：取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，由（1）知lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1，∴ln＜﹣1，（0＜x1＜x2），整理得lnx1﹣lnx2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB 的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D，证明FG=FE，由切割线定理得FE2=FA•FB，即可证明：FG2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG的长．【解答】（1）证明：连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D．∵∠C+∠D=90°，∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE∴∠C+∠FGE=90°，∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE2=FA•FB，所以FG2=FA•FB；（Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt△OCG中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即（2+2）（2﹣2）=4EG，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C2参数方程是（t为参数）消去参数化为直角坐标方程．（II）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出．【解答】解：（I）曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化为直角坐标方程为：x2+3y2=3，即=1；曲线C2参数方程是（t为参数）化为直角坐标方程为：x=﹣（y﹣1），即x+y ﹣=0．（II），解得，即A（0，1），B（，0），线段AB的中点为M，则以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a﹣4|=2，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到﹣2≤m﹣m2，解出即可．【解答】解：（1）对于任意x∈R，f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|∈[﹣|a﹣4|，|a﹣4|]，可知|a﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．。