弹性力学_第四章 本构关系ppt课件
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弹性力学_第四章 本构关系ppt课件
(3) 正交各向异性线弹性体 ：
9
11 c11 c12 c13 0 0 0 11
22
c22 c23 0
0
0
22
1323
对
c33 0 0 c44 0
0 0
1323
23
31
称
c55
0
23
c66 31
e3
e’1
c
例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、 木材等)
61 x
62 y
63 z 最新课6件4 xy
65 yzChapte6r65.1zx 27
§4-2 广义胡克定律
其中 c 1 1 C 1 1 ,c 1 2 C 1 1 2 2 ,c 1 4 C 1 1 1 2 ,c 5 6 C 2 3 3 1 …
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指 标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的 cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1 26
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
最新课件
35
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载后
物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
弹性力学_第四章 本构关系
y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
z
z
x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
y
o
y
z
Chapter 5.1
y
x x x x
x
x
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
其中
c11 C11 , c12 C1122 , c14 C1112 , c56 C2331…
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指
标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的
cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk Cklij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl C jikl kl kl
Cijkl C jikl
kl lk
Cijkl kl Cijlk lk Cijlk kl kl
x x x x
是由于x的作用所产生的相对伸长 其中 x
x
x
E
ν 是由于y的作用所产生的相对缩短 x x E
ν 是由于z的作用所产生的相对缩短 x x
y
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹性力学-第四章-本构关系
∵
E 0; G 0; K 0
G= E 2(1 + ν)
K
2 3
G
E
31 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即 1 0.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 0.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
∵ ij
1
E
ij
E
kkij
;
1 2
E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2G ij
E
1 1
2
ij
令
1
E
1
2
则 ij 2Gij kkij Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
弹性关系的常规形式为
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹性力学 第四章 本构关系
0 0 0 0
0 0 0 0
σ zz σ xx σ yy σ xy
= ν xσ xx +ν y σ zz
Ey Ez
σ zz
2）各向同性平面应变本构关系
E2 = E3 = E , ν2 = ν3 = ν , G3 = G,
0 1 / E −ν / E −ν / E 0 ε 1 / E −ν / E 0 22 = ε 33 1/ E 0 1 / 2G ε 23 sys. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23
5个独立的材料常数：E2 ,ν 2 , E3 ,ν 3 , G3 −( σ ε11 = 22 + E2
ν2
ν3
E3
σ 33 )
σ 22 σ 33 σ 23
ε 22 1/ E2 −ν 3 / E3 0 ε = 1/ E3 0 33 ε 23 sym. 1/ 2G3 σ 22 σ = 33 σ 23
E2 / m E2ν 3 / m 0 sym. E3 / m 0 , m = 1 − E2ν 32 / E3 G3
2 → x,
y (3) 3 → y, 1→ z
εzz =−(
εxx εyy ε xy σxx σ yy σ xy
νx
Ex
σxx +
νy
Ey
5个独立的材料常数： Ex ,ν x , E y ,ν y , G y
σ yy )
0 0 1 / 2 Gy
x(2)
1 / Ex = .. sym
− ν y / Ey 1 / Ey
弹性力学第四章应力应变PPT
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y
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精品课件
Chapter 5.1 14
§4-1 本构关系概念
弹性关系的常规形式为
x 2Gx ; xy Gxy y 2Gy ; yz Gyz x 2Gz ; zx Gzx
其中 G 和 称为拉梅常数。
精品课件
Chapter 5.1 15
§4-1 本构关系概念
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
精品课件
Chapter 5.1 8
§4-1 本构关系概念
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy G
同理
yz
yz G
zx
zx G
精品课件
Chapter 5.1 9
§4-1 本构关系概念
E0 ; G 0 ; K 0
精品课件
Chapter 5.1 19
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G
=
E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
精品课件
Chapter 5.1 20
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
精品课件
Chapter 5.1 17
§4-1 本构关系概念
常用的三套弹性常数
精品课件
Chapter 5.1 18
§4-1 本构关系概念
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正 功），所以
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
精品课件
Chapter 5.1 5
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
由三部分组成，即
z
z x
o
y
y
xxxx x x z
精品课件
Chapter 5.1 6
§4-1 本构关系概念
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
精品课件
Chapter 5.2 23
§4-2 广义胡克定律
各向异性本构关系
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起任何一个应变分量的变化。
广义胡克定律的一般形式是：
C ij
ijkl kl
C 是四阶刚度（弹性）张量。
ij Dijkl kl
D 是四阶柔度张量。
精品课件
Chapter 5.2 24
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z
ν
x y
精品课件
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1 10
§4-1 本构关系概念
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G
=
E 2(1 +
ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
x xxx
其中 x 是由于x的作用所产生的相对伸长
x
x E
x 是由于y的作用所 E
x 是由于z的作用所产生的相对缩短
x
ν
z
E
精品课件
Chapter 5.1 7
§4-1 本构关系概念
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
x E x ν E y ν E zE 1 x νy z
ij0ij 2G ij2 3Gij
K23G31E2
由于偏量和球量相互独立 ，所以有
0K; ij 2G ij
精品课件
Chapter 5.1 16
§4-1 本构关系概念
0K ; ij 2G ij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
相应的剪切模量为
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
的范围内。
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Chapter 5.1 21
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
精品课件
22
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
精品课件
3
§4-1 本构关系概念
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x Ex
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
精品课件
Chapter 5.1 4
§4-1 本构关系概念
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
弹性力学
精品课件
1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
§4-3 应变能和应变余能
精品课件
2
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发，
得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
ij 1Eij Ekkij
精品课件
Chapter 5.1 11
§4-1 本构关系概念
x
1 E
x ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
1 E
z ν
x y
xyz E 1xyz2xyz
12 E
xy
精品课件
z
Chapter 5.1 12
§4-1 本构关系概念
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力
第一不变量 表示三个正应力之和，则
x y z1 E 2 x y z
12
E 3K
E
其中 K
称为体积模量。
3(1 2 )
精品课件
Chapter 5.1 13
§4-1 本构关系概念
∵
ij 1 Eij Ek kij;
1 2 E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2Gij
E
1 12
ij
令
E
112
则 ij 2Gijkkij
C ijkl C jikl C ijlkC klij