2017-2018学年福建厦门双十中学高二下学期第一次月考数学理科试题 扫描版
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
2017-2018学年福建省厦门第一中学高二下学期期末模拟考试数学(理)试题 Word版
福建省厦门第一中学2017-2018学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数iia -+2为纯虚数，则实数=a （ ） A ．2- B ．21- C ．2 D ．212．命题“0),1,0(20<-∈∀x x x ”的否定是（ ）A ．0),1,0(0200≥-∉∃x x xB ．0),1,0(0200≥-∈∃x x x C ．0),1,0(0200<-∉∀x x x D ．0),1,0(0200≥-∈∀x x x3．抛物线241x y =的焦点到双曲线1322=-x y 的渐近线的距离为（ ） A ．21 B ．23C ．1D ．3 4．直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB AA ==1，AC AB ⊥，M 是1CC 的中点，Q 是BC 的中点，P 是11B A 的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为（ ） A.6πB.4πC.3πD.2π5．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.）附表：则下列选项正确的是（ ）A ．有%5.99的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有%5.99的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有%9.99的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有%9.99的把握认为使用智能手机对学习无影响 6．二项式)0,0()1(>>+b a bxax n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 7．如图，矩形OABC 的四个顶点依次为)0,0(O ，)1,0(),1,2(),0,2(C B A ππ，记线段OC 、CB以及)20(sin π≤≤=x x y 的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为（ ）A ．12-πB ．22π-C ．π2 D ．π21- 8．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中y x +的值为A ．543B ．425C ．393D ．2759．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均服从正态分布),600(2δN ，若6.0)700500(=<<X P ，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A ．1251 B ．12512 C ．12561 D ．1256410．设函数23||ln )(2+-=ax x x f ，则“22e a <”是“0)(=x f 有4个不同的实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且AB F 1∆的面积为232-，点P 为椭圆上的任意一点，则||1||121PF PF +的取值范围为（ ） A ．]2,1[ B ．]3,2[ C ．]4,2[ D ．]4,1[12．已知函数kx x k xe xf x-+=ln 2)(2，若2=x 是函数)(x f 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．]4,(2e -∞ B ．]2,(e -∞ C ．]2,0( D ．),2[+∞二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形.由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 . 14．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 .（用数字作答） 15．设函数)2ln(21)(2+-=x b x x f 在),1[+∞-上是增函数，则实数b 的取值范围是 . 16．已知点21,F F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于Q P ,两点，若2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中),3[2ππ∈∠PQF ，则双曲线离心率e 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数ax x x f -=32)(与c bx x g +=2)(的图象都过点)0,2(P ，且在点P 处有公共切线.（1）求)(),(x g x f 的表达式；（2）设2)()()(x g x f x F +=，求)(x F 的极值.18.为了研究黏虫孵化的平均温度x （单位：C 0）与孵化天数y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到以下6组数据：他们分别用两种模型①a bx y +=，②dx ce y =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经过计算18=，25.12=y ，∑==6101.1283i ii yx ，∑==61234.1964i i x .（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程.（精确到1.0）.参考公式：线性回归方程a x b y+=ˆˆ中，∑∑==--=ni ini ii xn xy x n yx b 1221ˆ，x b y a -=.19.如图，已知在四棱锥ABCD P -中，O 为AB 中点，平面⊥POC 平面ABCD ，BC AD //，BC AB ⊥，2====AB BC PB PA ，3=AD .（1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ； （2）求二面角C PD O --的余弦值.20.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望.21．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，若21F BF ∆为等腰直角三角形，且直线1BF 被圆222b y x =+所截得的弦长为2.（1）求椭圆的方程；（2）直线l ：m kx y +=与椭圆交于点C A ,，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC ∆的重心，求证：PAC ∆的面积S 为定值.22.若对任意实数b k ,都有函数b kx x f y ++=)(的图象与直线b kx y +=相切，则称函数)(x f 为“恒切函数”，设函数pa x ae x g x --=)(，其中R p a ∈,.（1）讨论函数)(x g 的单调性； （2）已知函数)(x g 为“恒切函数”， ①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数m e x g x h x -=)()(也为“恒切函数”，求证：1630<≤m .参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．正方形的对角线相等 14．14 5．]1,(--∞ 16．)3,7[三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：（1）∵ax x x f -=32)(的图象都过点)0,2(P ，所以80216=⇒=-a a ； 即x x x f 82)(3-=，由86)('2-=x x f 可得16824)2('=-=f ； 所以4164)2('2)('=⇒==⇒=b b g bx x g ；又因为)(x g 的图象都过点)0,2(P ，所以016)2(=+=c g 16-=⇒c ， 则164)(2-=x x g综上，x x x f 82)(3-=，164)(2-=x x g ;（2）842)(23--+=x x x x F ，所以)2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x F ；20)('-=⇒=x x F 或32=x ；所以0)2()(=-=F x F 极大值，27256)32()(-==F x F 极小值. 18.解：（1）应该选择模型①（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数18)18618(51=-⨯=x ；12)5.13625.12(51=-⨯=y01.10405.131801.128351=⨯-=∑=i ii yx ，34.16401834.19642512=-=∑=i i x ，97.118534.16401218501.104055ˆ2512251-≈⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b，5.471897.112≈⨯+=-=x b y a .所以y 关于x 的线性回归方程为5.470.2ˆ+-=x y. 19.（1）证明：∵BC AD //，BC AB ⊥，2==Ab BC ，3=AD ， ∴5=OC ，10=OD ，5=CD ，222DC OC OD +=，∴CD OC ⊥，∴⊥CD 平面POC ， ∴PO CD ⊥，∵AB PB PA ==，O 为AB 中点， ∴AB PO ⊥，∴⊥PO 底面ABCD ， ∴平面⊥PAB 平面ABCD .（2）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则)0,2,1(),0,3,1(),3,0,0(C D P -，∴)3,0,0(=OP ，)0,3,1(-=，)3,2,1(--=，)0,1,2(-=，设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x =，平面PCD 的法向量为),,(222z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m OD 可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z 取0,311==z x ，即)0,1,3(=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n CD 可得⎩⎨⎧=+-=+--020*******y x z y x 取32=x ，得322=y ，52=z ，即)5,32,3(=，∴43401035,cos =⨯=>=<n m . 故二面角C PD O --的余弦值为43.20.解：（1）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B “3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”；事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”；则有7053)()()()(480444481434482424=++=++=C C C C C C C C C C P B P A P D P ， 5317)()()()()|(=+=D P C P D P B P DE P ，故所求概率为5317.（2）X 可能取值为0，1，23314)0(21228===C C X P ，3316)1(2121418===C C C X P ，333)2(21224===C C X P分布列为所以3233323316133140=⨯+⨯+⨯=EX . 21．解：（1）由21F BF ∆为等腰直角三角形可得c b =，直线1BF ：b x y +=被圆圆222b y x =+所截得的弦长为2，所以2,2===c b a ，所以椭圆的方程为12422=+y x . （2）若直线l 的斜率不存在，则2633621=⋅⋅=S . 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，即⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 12422，则221214k kmx x +-=+，222121)2(2k m x x +-=，221212122)(k mm x x k y y +=++=+，由题意点O 为PAC ∆重心，设),(00y x P ，则03,03321321=++=++y y y x x x ，所以2210214)(k km x x x +=+-=，2210212)(k m y y y +-=+-=，代入椭圆12422=+y x ，得1)21(2)21(42222222=+++k m k m k ，整理得22122k m +=， 设坐标原点到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积||||231||3||1213||21212212m x x k m x x k d AC S ⋅-=+⋅-+=⋅=||21)21(22223||21)2(24)214(232222222m k m k m k m k km ⋅+-+⋅=⋅+-⋅-+-=26322121221)21(2232222=+⋅++-+⋅=k k k k . 综上可得PAC ∆的面积S 为定值263. 22.（1）1)('-=x ae x g .当0≤a 时，0)('=x g 恒成立，函数)(x g 在R 上单调递减； 当0>a 时，0)('=x g 得a x ln -=，由0)('>x g 得a x ln ->，由0)('<x g 得a x ln -<，得函数)(x g 在)ln ,(a --∞上单调递减，在),ln (+∞-a 上递增.（2）①若函数)(x f 为“恒切函数”，则函数b kx x f y ++=)(的图象与直线b kx y +=相切，设切点为),(00y x ，则k k x f =+)('0且b kx b kx x f +=++000)(，即0)('0=x f ，0)(0=x f .因为函数)(x g 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0)('0=x g ，0)(0=x g ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--010000x x ae pa x ae ，得00>=-x e a ，)1(00x e p x-=，设)1()(x e x m x -=. 则x xe x m -=)('，0)('<x m ，得0>x ，0)('>x m 得0<x ，故)(x m 在)0,(-∞上单调递增，在),0(+∞上单调递减，从而1)0()]([max ==m x m 故实数p 的取值范围为]1,(-∞.②当p 取最大值时，1=p ，00=x ，10==-x ea ，m e x e x h x x ---=)1()(，x x e x e x h )22()('--=，因为函数)(x h 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得0)('0=x h ，0)(0=x h ，由0)('0=x h 得0)22(000=--x x e x e ，02200=--x e x ，设22)(--=x e x n x ，则12)('-=x e x n ，0)('>x n 得2ln ->x ，0)('<x n 得2ln -<x ， 故)(x n 在)2ln ,(--∞上单调递减，在),2ln (+∞-上单调递增，1.在单调递增区间),2ln (+∞-上，0)0(=n ，故00=x ，由0)(0=x h ，得0=m ；- 11 - 2. 在单调递增区间)2ln ,(--∞上，02)2(2>=--e n ，0215121)20(2212)23(2123<-=-⨯≈-=---e n ，又)(x n 的图象在)2ln ,(--∞上不间断， 故在区间)23,2(--上存在唯一的0x ，使得0220=-x e ，故2200+=x e x . 此时由0)(0=x h ，得41)1(41)2(4122)122()1(2000000000++-=+-=+--+=--=x x x x x x e x e m x x ， 函数41)1(41)(2++-=x x r 在)23,2(--上递增，0)2(=-r ，163)23(=-r ，故1630<<m . 综上所述，1630<≤m .。
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题 1．定积分1(2)xx e dx +⎰的值为()A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -【答案】C【解析】试题分析：121220100(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰=(1)1e e +-=.故选C. 【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.2．命题“存在实数x ,使2280x x +-=”的否定是( ) A ．对任意实数x ,都有2280x x +-= B ．不存在实数x ,使2280x x +-≠ C ．对任意实数x ,都有2280x x +-≠ D ．存在实数x ,使2280x x +-≠【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题,即可求得答案. 【详解】Q 特称命题的否定是全称命题∴命题"存在实数x ,使2280x x +-="的否定是:对任意实数x ,都有2280x x +-≠,故选:C 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,解题关键是掌握特称命题的基础知识,考查了分析能力,属于基础.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【考点】函数的图象与性质．4．已知函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数,实数m 的取值范围为( ) A ．45m ≤≤ B ．24m ≤≤C ．4m <D ．4m ≤【答案】D 【解析】求出3211()4332f x x mx x =-+-导函数,利用函数的单调性,推出4m x x≤+不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可求得答案. 【详解】Q 函数3211()4332f x x mx x =-+-, ∴2()4f x x mx '=-+, Q 函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间上[1,2]是增函数, 可得240x mx -+≥,在区间上[1,2]恒成立, 即:4,m x x≤+在区间上[1,2]恒成立 Q 4424x x x x+≥⋅=, 当且仅当2x =时取等号, 可得4m ≤. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求参数范围,解题关键是掌握导数的求法和不等式恒成立求参数的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．12D ．12-【答案】C【解析】2221()2c a b =+Q ，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C. 6．设双曲线221x y m n-=的一条渐近线为2y x =-,且一个焦点与抛物线214y x =的焦点相同,则此双曲线的方程为( )A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514x y -=D ．225514y x -= 【答案】D【解析】因为双曲线221x y m n-=的一个焦点与抛物线214y x =的焦点相同,所以双曲线的焦点在y 轴上,可得:双曲线的方程为221(0,0)y xn m n m-=<<--,故渐近线方程为y =,结合已知,即可求得答案. 【详解】 抛物线214y x =的焦点为(0,1) Q 双曲线221x y m n-=的一个焦点与抛物线214y x =的焦点相同 ∴双曲线的焦点在y 轴上,其1c =可得:双曲线的方程为221(0,0)y x n m n m -=<<--∴渐近线方程为y = ,由题意可得2nm-=-,可得4n m =——① 又Q 1m n +=——②由①②可得:14,55m n =-=-则双曲线的方程为225514y x -=.故选:D. 【点睛】本题主要考查了求双曲线渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解析：检验易知A 、B 、C 均适合，不存在选项D 的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f （x ）和y=f′（x ）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D ．8．正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20661log a =（ ）A ．1B ．2C 2D ．1-【答案】A【解析】【详解】试题分析：由()3214633f x x x x =-+-，则()22860f x x x =+'-=，因为14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，所以140316a a ⋅=，又0n a >，所以2016a ==2061a =1，故选A ．【考点】对比数列与函数的综合应用． 【方法点晴】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及知识点的灵活应用，试题涉及知识点多，应用灵活，属于中档试题，其中解答中根据函数极值点的概念，得到140316a a ⋅=是解答关键． 9．函数21()2ln 2f x x x a x =--有一个极值点,则实数a 的取值范围( ) A ．0a >B ．0a ≥C ．1a =-或0a >D ．1a =-或0a ≥【答案】B【解析】因为函数21()2ln 2f x x x a x =--有一个极值点,可得22()20a x x af x x x x--'=--==有一个解,即220,(0,)x x a x --=∈+∞有一个正实数解,分别讨论方程解情况,即可求得答案. 【详解】Q 函数的21()2ln 2f x x x a x =--定义域为:(0,)+∞ 又Q 函数21()2ln 2f x x x a x =--有一个极值点∴22()20a x x af x x x x--'=--==有一个解即220,(0,)x x a x --=∈+∞有一个解①当2240a +∆==,解得:1a =-又Q 当1a =时,()22121()x x x f x x x--+'==的值恒为非负∴()f x 此时没有极值,故1a =-不符合题意.②当220,(0,)x x a x --=∈+∞,有两个不同解,且一正一负时根据韦达定理可得:12122200240x x x x a +=>⎧⎪<⎨⎪∆=+>⎩,即122001x x a a +=>⎧⎪-<⎨⎪>-⎩ 解得:0a >.③当220,(0,)x x a x --=∈+∞,有两个不同解,且一个解为:10x =. 解得:0a =.可得:220,x x -=故120,2x x ==∴0a =符合题意.综上所述,0a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查根据极点求参数范围,解题关键是掌握极点概念和根据一元二次方程根所在区间求参数的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.10．设函数3()sin f x x x =+,若02πθ≤≤时,(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是( )A ．()0,1B ．(,0)-∞C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)-∞【答案】D【解析】由于3()sin f x x x =+,02πθ≤≤,可求得2()3cos 0f x x x '=+>,可知()f x 为奇函数且增函数,然后可得(cos )(1)f m f m θ>-,从而得出cos 1m m θ>-,根据cos [0,1]θ∈,即可求得答案.【详解】Q 函数3()sin f x x x =+,且定义域为R .又Q 3()sin ()f x x x f x -=--=-∴()f x 为奇函数,2()3cos f x x x '=+Q ，当11x -≤≤时,2cos 0,0x x >>2()3cos 0f x x x '∴=+>当1x <-或1x >时,21x >2()3cos 0f x x x '∴=+>综上所述,对任意x ∈R ,2()3cos 0f x x x '=+>∴3()sin f x x x =+是增函数 Q (cos )(1)0f m f m θ+->恒成立,即(cos )(1)f m f m θ>--恒成立， 故: (cos )(1)f m f m θ>-∴cos 1m m θ>-m令()(cos 1)1g m m θ=-+ 当02πθ≤≤,cos 1m m θ>-恒成立,等价于()(cos 1)10g m m θ=-+>恒成立 02πθ≤≤Qcos [0,1]θ∴∈ cos 10θ∴-≤当0θ=时,(cos 1)10m θ-+>恒成立 解得:m R ∈ 当2πθ=时,cos1102m π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭恒成立 解得:1m < 综上所述,1m <. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了根据函数不等式求参数范围,解题关键是掌握根据导数判断函数单调性的方法和一元二次不等式恒成立求参数的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 11．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．【考点】椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.12．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭【答案】C【解析】【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C.【考点】利用导数研究不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二、填空题13．若实数,x y 满足不等式组2,24,0.x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23z x y =+的最小值是_____.【答案】4【解析】试题分析：由于根据题意x,y 满足的2,{24,0,x y x y x y +≥-≤-≥关系式，作出可行域，当目标函数z=2x+3y 在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案为4. 【考点】本试题主要考查了线性规划的最优解的运用．点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解.14．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.【答案】22【解析】三角函数的对称性可得S=2()4cosx sinx dx π-⎰，求定积分可得．【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2()4cosx sinx dx π-⎰=2（sinx+cosx ）40|π=222）﹣2（0+1）2 2 故答案为2 2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．15．方程|ln|(0)xk kx=>有且仅有两个不同的实数解,则实数k的值为________.【答案】1e【解析】要保证|ln|(0)xk kx=>有且仅有两个不同的实数解,只需保证函数|ln|y x=和函数y kx=在0x>上有两个不同交点,在同一坐标系画出函数|ln|y x=和函数y kx=图象,结合条件,即可求得答案.【详解】Q|ln|(0)xk kx=>∴可化简为:|ln|x kx=,且0x>要保证|ln|(0)xk kx=>有且仅有两个不同的实数解只需保证函数|ln|y x=和函数y kx=在1x>时二者相切在同一坐标系画出函数|ln|y x=和函数y kx=图象,如图:当函数|ln|y x=和函数y kx=相切时,设切点为00(,)x y由图象可知此时:0x>,即lny x=可得:00ln1x kxkx=⎧⎪⎨=⎪⎩解得:1ke=故答案为:1e. 【点睛】本题主要考查了根据方程解的个数求参数范围,解题关键是掌握将求方程根转化为求函数交点问题的解法和导数求曲线切线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.16．已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数()()g x f x x =-的整数零点按从小到大的顺序排列成一个数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =________． 【答案】(1)2n n- 【解析】求函数()()g x f x x =-的数零点, 即求()f x x =,求出()f x n x n -=-的解,根等差数列知识,即可求得答案. 【详解】求函数()()g x f x x =-的数零点 即求()f x x =当0x ≤时,()f x x =,即21x x -=； 解得:0x =当01x <≤时()f x x =,即(1)1f x x -+= 可得1211x x --=- 故10x -=,解得:1x = 当1n x n -<≤时,()f x x =, 即()11f x x -+= 即()22f x x -+= 即()33f x x -+= …即()f x n n x -+= 即()f x n x n -=- 可得:0x n -=,解得:xn =故函数()()g x f x x =-的零点为:0123451n ⋯-⋯，，，，，，，， 故其通项公式为1n a n =-根据等差数列前n 项和公式可得:()102n n n S +⎡⎤⎣⎦-=⋅ 即:(1)2n n nS -=. 故答案为:(1)2n n-. 【点睛】本题主要考查了函数零点和等差数列求和,解题关键是掌握推导出零点的规律和等差数列基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题17．已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈． （1）求函数()f x 的单调区间;（2）若函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为y x b =+,求,a b 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）2a =,2ln 2b =- 【解析】（1）因为21()ln ()2f x x a x a R =-∈,且0x >,()a f x x x '=-.分别讨论0a ≤和0a >,即可求得答案; （2）因为()(0)a f x x x x '=->,且()f x 在2x =处的切线斜率22ak =-,切线方程为(2ln 2)2(2)2a y a x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,即可求得答案.【详解】（1）Q 21()ln ()2f x x a x a R =-∈ ∴0x >,()af x x x '=-．①0a ≤,()0af x x x'=->在(0,)+∞上恒成立,∴()f x 在(0,)+∞单调递增；②0a >,令()0a f x x x'=->∴2x a >,解得:x <x >又Q 0x >∴()f x在单调递减,在)+∞单调递增.（2）Q ()(0)a f x x x x '=->,且()f x 在2x =处的切线斜率22a k =-, 切线方程为(2ln 2)2(2)2a y a x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, ∴22ln 22a y x a a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭又Q 切线为y x b =+,则2122ln 2aa a b⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩ 解得:2a =,2ln 2b =-． 【点睛】本题主要考查了求含参函数的单调区间根据切线求参数,解题关键是掌握由导数求单调区间的解法和根据导数求曲线切线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18．已知数列{}n a 的首项为11a =，其前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）43n a n =-（2）**2,2,N 21,21,Nn n n k k T n n k k ⎧=∈=⎨-+=-∈⎩ 【解析】(1)由题意首先求得数列的前n 项和n S ，然后由前n 项和与通项公式的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分类讨论n 的奇偶性即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】 (1)∵数列{}n S n 是公差为2的等差数列，且1111Sa ==，∴1(1)221nS n n n=+-⨯=-， 22n S n n =-∴∴当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.∵11a =符合43n a n =-， ∴43n a n =-.（2）由（1）可得()()()1143nnn n b a n =-=-⋅-.当n 为偶数时，()()()()n 159134743422nT n n n =-++-++⋯+--+-=⨯=⎡⎤⎣⎦； 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11214121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+. 综上所述，**2,2,N 21,21,N n n n k k T n n k k ⎧=∈=⎨-+=-∈⎩【点睛】本题主要考查由前n 项和公式求数列通项公式的方法，并项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．如图,矩形CDEF 和梯形ABCD 互相垂直,90BAD ADC ∠==︒,12AB AD CD ==,BE DF ⊥．（1）若M 为EA 中点,求证:AC ∥平面MDF ; （2）求平面EAD 与平面EBC 所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）60︒【解析】（1）设EC 与DF 交于点N ,连结MN ,在矩形CDEF 中,点N 为EC 中点,求证MN ∥AC ,即可求得答案;（2）以D 为坐标原点, 其中DA 、DC 、DE 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,求出平面EBC 的法向量m u r 和平面EAD 的法向量n r ,根据cos ,||||m nm n m n ⋅<>=⋅u r ru r r ur r ,即可求得答案. 【详解】（1）设EC 与DF 交于点N ,连结MN ,在矩形CDEF 中,点N 为EC 中点, 如图:Q M 为EA 中点,∴MN ∥AC又Q AC ⊄平面MDF ,MN ⊂平面MDF∴AC ∥平面MDF ．（2）Q 平面CDEF ⊥平面ABCD ,平面CDEF I 平面ABCD CD =,DE ⊂平面CDEF ,DE CD ⊥, ∴DE ⊥平面ABCD ,以D 为坐标原点, 其中DA 、DC 、DE 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系, 如图:设DA a =,DE b =,(,,0)B a a ,(0,0,)E b ,(0,2,0)C a ,(0,2,)F a b ,可得:(,,)BE a a b =--u u u r ,(0,2,)DF a b =u u u r ,(,,0)BC a a =-u u u r, ∴BE DF ⊥,∴22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅=--⋅=-=u u u r u u u r,2b a =,设平面EBC 的法向量(),,m x y z =u r,由20m BE ax ay az m BC ax ay⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩u u u v v u u u v v 可得1x =得到m u r的一个解为2)m =u r ,注意到平面EAD 的法向量()0,1,0n =r,而1 cos,2||||m nm nm n⋅<>==⋅u r ru r ru r r,∴平面EAD与EBC所成锐二面角的大小为60︒．【点睛】本题考查了线面平行和向量法求面面角,解题关键是掌握线面平行判断定理和法向量求面面角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆1C与椭圆2C是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆22122:10)x yC a ba b+=>>（的长轴长是4，椭圆22222:10)y xC m nm n+=>>（长轴长是2，点1F，2F分别是椭圆1C的左焦点与右焦点.（1）求椭圆1C，2C的方程；（2）过1F的直线交椭圆2C于点M，N，求2F MNV面积的最大值.【答案】（1）椭圆1C的方程为2214xy+=，椭圆2C的方程是22114xy+=（2）12【解析】（1）设椭圆1C的半焦距为c，椭圆2C的半焦距为'c，直接利用椭圆的定义得到答案.（2）设直线的方程为3x my=()221483110m y my+-+=，2224112114mMN mm-=++，2231hm=+222312411411Smm=--利用均值不等式得到答案.【详解】解：（1）设椭圆1C的半焦距为c，椭圆2C的半焦距为'c，由已知2a=，b m==1，∵椭圆1C 与椭圆2C 的离心率相等，即'c c a m=， ∴222222a b m n am --=，即2211b n a m ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴b na m=，即21bm b an ===，∴1b m ==， ∴椭圆1C 的方程为2214x y +=，椭圆2C 的方程是22114x y +=； （2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为3x my =-.联立：22341x my y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()224310y my +--=，即()221483110m y my +-+=， ∴()222192441416440m mm∆=-+=->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1283m y y +=，1221114y y m =+，∴2224112114m MN m m-=++， 2F MN V 的高即为点2F 到直线l ：30x my -+=的距离223032311m h m m -+==++， ∴2F MN V 的面积22221411232312214411411m S MN h m m m -===+-+-，∵2241121243411m m -+≥=-，等号成立当且仅当22411411m m -=-，即23m =±时成立 ∴231243S ≤=，即2F MN V 的面积的最大值为12.【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆关系，面积最值，将面积用韦达定理表示出来是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.21．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．【答案】(1) L (x )= 500(x －30－a )e 40－x (35≤x ≤41)；(2) 当2≤a ≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5时，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500e 9－a 万元.【解析】试题分析：（1）先根据条件求出k ，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值 试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y ＝. 将x ＝40，y ＝500代入，得k ＝500e 40.故该产品一年的销售量y (万件)关于x (元)的函数关系式为y ＝500e 40－x . 所以L (x )＝(x －30－a )y ＝500(x －30－a )e 40－x (35≤x ≤41)．(2)由(1)得，L ′(x )＝500[e 40－x －(x －30－a )e 40－x ]＝500e 40－x (31＋a －x )． ①当2≤a ≤4时，L ′(x )≤500e 40－x (31＋4－35)＝0， 当且仅当a ＝4，x ＝35时取等号． 所以L (x )在[35，41]上单调递减． 因此，L (x )max ＝L (35)＝500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，L ′(x )>0⇔35≤x <31＋a ， L ′(x )<0⇔31＋a <x ≤41.所以L (x )在[35，31＋a )上单调递增，在[31＋a ，41]上单调递减．因此，L (x )max ＝L (31＋a )＝500e 9－a .综上所述当2≤a ≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5时，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500e 9－a万元．22．已知函数()f x =2x x e e x ---. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（3）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）【答案】（1）函数()f x 在R 上是增函数；（2）2；（3）0.693 【解析】【详解】（1）因为1()20x x f x e e=+-≥'，当且仅当0x =时等号成立，所以函数()f x 在R 上是增函数；（2）因为()g x =(2)4()f x bf x -=224()(84)x x x xe e b e e b x -----+-，所以()g x '=222[2()(42)]x x x x e e b e e b --+-++-=2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+.当2b ≤时,()0g x '≥,等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以对任意0x >，()0>g x ；当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-，即0ln(1x b <<-时，()0g x '<，而(0)0g =，因此当0ln(1x b <≤-+时，()0<g x ， 综上，b 的最大值为2.（3）由（2）知，32(21)ln 22g b =-+-，当2b =时，36ln 202g =->，3ln 20.692812>>；当1b =时，ln(1b -=，32)ln 22g =--0<，ln 20.6934<<，所以ln 2的近似值为0.693. 【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对b 去讨论；对第（3）问, 找不到思路.【考点】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.。
福建省厦门市2017-2018学年高二下学期期末质量检测理科数学试题含解析
【解析】分析：将 化为 含 由 展开式中的 ， 常数项与 中展开式中的常数项， 分别对应相乘得到.分别求出相应的系数，对应相乘再相加即可.
详解：将 化为 含 由 展开式中的 ， 常数项与 中展开式中的常数项， 分别对应相乘得到. 展开式的通项为 ， 常数项的系数分别为
展开式的通项为 常数项， 的系数分别为
故选C.
点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
7. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
【答案】D
【解析】分析：根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 ．
详解：由题意 ，
第二阶梯电量
第三阶梯电量
月用电量范围（单位： ）
从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户.
（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；
（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户， 表示用电量为第二阶梯的户数，求 的概率分布列和数学期望.
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参照附表，所得结论正确的是（ ）
A. 有 以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”
B. 有 以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”
福建省厦门市第十中学高二数学下学期期中试题文(扫描版,无答案)(2021年整理)
福建省厦门市第十中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题文（扫描版，无答案）
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福建省高二下学期第一次月考数学试题(Word版)
高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（ ）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（ ）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（ ）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的 ，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（ ） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（ ） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（ ） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（ ）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分） 已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时， ，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时， ，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令 则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。
福建省厦门双十中学2017-2018学年高考数学热身试卷(理科) Word版含解析
福建省厦门双十中学2017-2018学年高考数学热身试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）若cosθ=﹣，θ∈[0，π]，则tanθ=（）A．﹣2 B．C．D．22．（5分）已知=2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知集合U=R，A={x|3x﹣x2＞0}，B={y|y=log2（x+1），x∈A}，则A∩（∁U B）为（）A．[2，3）B．（2，3）C．（0，2）D．∅4．（5分）已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．（5分）已知向量=（3，4），﹣2=（11，4），若向量与向量的夹角为θ，则cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）已知p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；q：“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x＜0”；在①p∧q；②（¬p）∨（¬q）；③p∨（¬q）；④（¬p）∨q中，真的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）设双曲线的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=2上D．以上三种情况都有可能10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB．a11+a21+…+a k1+a12+a22+…+a k2C．a11a12+a21a22+…+a k1a k2D．a11a21+a12a22+…+a1k a2k二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为．12．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是．13．（4分）若f（x）=cosx+3dx，则=．14．（4分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则二项式展开式中的常数项为．15．（4分）已知（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，令x=0就可以求出常数，即a0=1，请研究其中蕴含的解题方法并完成下列问题：若e x=a i x i，即e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，则+++…+=．三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．17．（13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型概率人 A B C甲p q乙/若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型 A B C补贴金额（万元/辆） 3 4 5记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．18．（13分）如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（Ⅰ）若动点Q满足•+||=0，求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆Γ的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与轨迹C交于M，N两点，且与椭圆Γ交于H，K两点．若线段MN与线段HK的中点重合，求椭圆Γ的离心率．19．（13分）已知△ABC中，∠ACB=45°，B、C为定点且BC=3，A为动点，作AD⊥BC于D（异于点B），如图1所示．连接AB，将△ABD沿AD折起，使平面ABD⊥平面ADC，如图2所示．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）当三棱锥A﹣BCD的体积取得最大值时，求线段AC的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别取BC，AC的中点E、M，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求此时EN与平面BMN所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=xe x+ax2﹣x，（a∈R，e为自然对数的底数，且e=2.718…）．（Ⅰ）若a=﹣，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对于x≥0时，恒有f′（x）﹣f（x）≥（4a+1）x成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*时，证明：．本题设有21、22、23三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍的变换所对应的矩阵．（Ⅰ）求矩阵M，N；（Ⅱ）直线l先在矩阵M，再在矩阵N所对应的线性变换作用下像的方程为x+y+1=0．求直线l的方程．选修4-4：极坐标与参数方程（共1小题，满分7分）22．（7分）已知椭圆C：=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（取同样单位长度），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）═﹣．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=（m＞0）的定义域为R（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈R，且a+b+m=4，a2+b2+m2=16，求实数m的值．福建省厦门双十中学2015届高考数学热身试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）若cosθ=﹣，θ∈[0，π]，则tanθ=（）A．﹣2 B．C．D．2考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由cosθ的值及θ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ的值，即可确定出tanθ的值．解答：解：∵cosθ=﹣＜0，θ∈[0，π]，∴θ∈（，π]，∴sinθ==，则tanθ==﹣2，故选：A．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2．（5分）已知=2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘法运算求得，进一步得到z，则答案可求．解答：解：由=2﹣i，得，∴z=1﹣2i，则复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知集合U=R，A={x|3x﹣x2＞0}，B={y|y=log2（x+1），x∈A}，则A∩（∁U B）为（）A．[2，3）B．（2，3）C．（0，2）D．∅考点：对数函数的值域与最值；交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：解一元二次不等式求得A、解对数不等式求得B，从而求得A∩（∁U B）．解答：解：∵A={x|3x﹣x2＞0}={x|0＜x＜3），B={y|y=log2（x+1），x∈A}={x|0＜x＜2}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜3}∩{x|x≤0，或x≥2}={x|2≤x＜3}，故选：A．点评：本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法，集合间的运算，属于中档题．4．（5分）已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：数形结合．分析：正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．解答：解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．（5分）已知向量=（3，4），﹣2=（11，4），若向量与向量的夹角为θ，则cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先求出向量的坐标，然后用数量积求向量的夹角．解答：解：向量=（3，4），﹣2=（11，4），得到=（﹣4，0），所以向量与向量的夹角为θ，则cosθ=；故选：B．点评：本题考查了向量的坐标运算以及运用数量积公式求向量的夹角．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥，如图所示；∴该几何体的体积是V几何体=13﹣×12×1=．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；q：“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x＜0”；在①p∧q；②（¬p）∨（¬q）；③p∨（¬q）；④（¬p）∨q中，真的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：对于p：设a，b∈R，由a＞2且b＞2⇒a+b＞4，反之不成立，可举反例a=1，b=5，即可判断出真假；对于q：利用的否定定义即可判断出真假．再利用复合真假的判定方法即可判断出．解答：解：p：设a，b∈R，由a＞2且b＞2⇒a+b＞4，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“a+b ＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，是真；q：“∃x0∈R，使得x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2﹣x≤0”，因此是假．可得：①p∧q是假；②（¬p）∨（¬q）是真；③p∨（¬q）是真；④（¬p）∨q是假．因此真为：②③．故选：C．点评：本题考查了真假的判定方法、复合真假的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．8．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论．解答：解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法，结合点的移动规律是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．9．（5分）设双曲线的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=2上D．以上三种情况都有可能考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：由题设知，，故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==＞＞1，所以，点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2外．解答：解：∵，，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==＞==1+e2＞2．∴P（x1，x2）必在圆x2+y2=2外．故选B．点评：本题考查圆秘圆锥曲线的综合运用，解题时要注意韦达定理和点与圆的位置关系的合理运用．10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB．a11+a21+…+a k1+a12+a22+…+a k2C．a11a12+a21a22+…+a k1a k2D．a11a21+a12a22+…+a1k a2k考点：进行简单的合情推理．专题：压轴题．分析：先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数为它们对应相乘再相加．解答：解：第1，2，…，k名学生是否同意第1号同学当选依次由a11，a21，a31，…，a k1来确定（a ij=1表示同意，a ij=0表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由a12，a22，…，a k2确定，而是否同时同意1，2号同学当选依次由a11a12，a21a22，…，a k1a k2确定，故同时同意1，2号同学当选的人数为a11a12+a21a22+…+a k1a k2，故选C．点评：本题主要考查了矩阵的应用，考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，直线的截距最大，此时z最大．由，得，即C（1，2），此时z的最大值为z=1+2×2=5，故答案为：5．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时，不满足条件S ＜100，退出循环，输出k的值为4．解答：解：执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=3，k=2满足条件S＜100，S=11，k=3满足条件S＜100，S=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时K的值是解题的关键，属于基础题．13．（4分）若f（x）=cosx+3dx，则=．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：令=F（1）﹣F（0），求得F（x）=∫f（x）dx，进一步求得F（1），F （0），则答案可求．解答：解：令=F（1）﹣F（0），F（x）=∫f（x）dx，则F（x）=∫f（x）dx=sinx+3x（F（1）﹣F（0））+c，F（1）=sin1+3（F（1）﹣F（0））+c，F（0）=c，∴=F（1）﹣F（0）=﹣，故答案为：．点评：本题考查定积分和不定积分，考查数学转化思想方法，属中档题．14．（4分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则二项式展开式中的常数项为．考点：茎叶图．专题：二项式定理．分析：根据茎叶图中中位数相同，平均数也相同确定m，n的值即可得到结论．解答：解：乙的中位数为=33，则甲的中位数为33，即m=3，甲的平均数为=33，则乙的平均数为=33，解得n=8，则二项式为（）4展开式的常数项为=，故答案为：点评：本题主要考查茎叶图以及二项展开式的应用，考查中位数和平均数的概念和计算，属于中档题．15．（4分）已知（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，令x=0就可以求出常数，即a0=1，请研究其中蕴含的解题方法并完成下列问题：若e x=a i x i，即e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，则+++…+=（n+1）！﹣1．考点：数列与函数的综合；导数的运算．专题：等差数列与等比数列．分析：通过对e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…a n x n+…，连续求导，赋值求出a0，a1，a2，a3，a4，猜想a n，然后求解+++…+的值．解答：解：对e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，两边求导：e x=a1+a2x+a3x2+a4x3+…+a n x n﹣1+…，令x=0得：a1=1⇒=1再两边求导：e x=2×1a2+3×2a3x+4×3a4x2+…n×（n﹣1）a n x n﹣2+…令x=0得：a2=⇒=1×2=2!再两边求导：e x=3×2×1a3+4×3×2a4x+…n（n﹣1）（n﹣2）a n x n﹣3+…令x=0得：a3=⇒=1×2×3=3!…猜想：an=⇒=1×2×3×…n=n!所以=n×n!=[（n+1）﹣1]n!=（n+1）!﹣n!，所以+++…+═（2!﹣1!）+（3!﹣2!）+…[（n+1）!﹣n!]=（n+1）!﹣1．故答案为：（n+1）！﹣1．点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及二项式定理的应用，以及赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；（Ⅰ）求A值；（Ⅱ）求b和△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由α=A，表示出两直线的斜率，由两直线垂直时斜率乘积为﹣1列出关系式，整理求出A的值即可；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）当α=A时，直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（α+）的斜率分别为k1=﹣2cosA，k2=sin（A+），∵两直线相互垂直，∴k1k2=﹣2cosAsin（A+）=﹣1，即cosAsin（A+）=，整理得：cosA（sinA+cosA）=，即sinAcosA+cos2A=，化简得：sin2A+=，即sin2A+cos2A=sin（2A+）=，∵0＜A＜π，即0＜2A＜2π，∴＜2A+＜，∴2A+=，即A=；（Ⅱ）∵a=2，c=4，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos，即12=b2+16﹣4b，解得：b=2，则S△ABC=bcsinA=×4×2×=2．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．（13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型概率人 A B C甲p q乙/若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型 A B C补贴金额（万元/辆） 3 4 5记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列；概率的应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求解p，q的值．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．分别求解概率，即可得到分布列．解答：解：（Ⅰ）由题意可得解得，．…（4分）（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分三种情况，甲选车型A，甲选车型B，甲选车型C，满足题意的概率为：P（A）=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是．…（7分）（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．P（X=7）==，P（X=8）==，P（X=9）==；P（X=10）==．所以X的分布列为：X 7 8 9 10P…（13分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，概率的应用，考查分析问题解决问题的能力．18．（13分）如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（Ⅰ）若动点Q满足•+||=0，求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆Γ的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与轨迹C交于M，N两点，且与椭圆Γ交于H，K两点．若线段MN与线段HK的中点重合，求椭圆Γ的离心率．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出Q的坐标，利用•+||=0求得x和y的关系．（II）设椭圆E的方程，根据M，N在椭圆C上，设点的坐标，代入两式相减并恒等变形得斜率，同理由H，K在椭圆E上，得斜率，利用弦AB的中点与弦HK的中点重合，建立方程，从而可得椭圆E的离心率，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由x2=4y得y=，∴y′=x．∴直线l的斜率为y′|x=2=1，故l的方程为y=x﹣1，∴点A的坐标为（1，0）．设Q（x，y），则=（1，0），=（x﹣2，y），=（x﹣1，y），由•+||=0，整理，得．．（II）设椭圆Γ的方程为（m＞0，n＞0，m≠n），并设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x3，y3），K（x4，y4）．∵M，N在椭圆C上，∴x12+2y12=2，且x22+2y22=2，两式相减并恒等变形得k=﹣2×．由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得k=﹣．∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m2=2n2，求得椭圆E的离心率e==．点评：本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．19．（13分）已知△ABC中，∠ACB=45°，B、C为定点且BC=3，A为动点，作AD⊥BC于D（异于点B），如图1所示．连接AB，将△ABD沿AD折起，使平面ABD⊥平面ADC，如图2所示．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）当三棱锥A﹣BCD的体积取得最大值时，求线段AC的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别取BC，AC的中点E、M，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求此时EN与平面BMN所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明CD⊥平面ABD，即可证明AB⊥CD；（Ⅱ）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（Ⅲ）由（Ⅱ）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N 的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN 的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角解答：（Ⅰ）证明：∵BD⊥AD，CD⊥AD，平面ABD⊥平面ADC，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BD，∵CD⊥AD，AD∩BD=D，∴CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD；（Ⅱ）解：设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴V A﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时AC=2；（Ⅲ）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（Ⅱ）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由=（﹣1，1，1）及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°．点评：本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题．20．（14分）已知函数f（x）=xe x+ax2﹣x，（a∈R，e为自然对数的底数，且e=2.718…）．（Ⅰ）若a=﹣，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对于x≥0时，恒有f′（x）﹣f（x）≥（4a+1）x成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*时，证明：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）a=﹣时，f（x）=xe x﹣x2﹣x，f′（x）=（x+1）e x﹣x﹣1，利用导数的几何意义可得切线的斜率f′（1）=2e﹣2，利用点斜式即可得出切线方程；（II）f′（x）﹣f（x）≥（4a+1）x化为e x﹣ax2﹣2ax﹣1≥0，令g（x）=e x﹣ax2﹣2ax﹣1，x∈[0，+∞），g（0）=0．对于x≥0时，恒有f′（x）﹣f（x）≥（4a+1）x成立⇔g（x）min≥0，对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（III）由（II）可知：当a=时，e x﹣ax2﹣2ax﹣1≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，可得e x﹣1≥+x，可得e x≥x+1，令n=1，2，…，则e≥1+1，e2≥2+1，…，e n≥n+1，“累加求和”即可得出解答：（I）解：a=﹣时，f（x）=xe x﹣x2﹣x，∴f′（x）=（x+1）e x﹣x﹣1，∴f′（1）=2e﹣2，又f（1）=e﹣，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为=（2e﹣2）（x﹣1），化为（2e﹣2）x﹣y+﹣e=0．（II）解：f′（x）﹣f（x）≥（4a+1）x化为e x﹣ax2﹣2ax﹣1≥0，令g（x）=e x﹣ax2﹣2ax﹣1，x∈[0，+∞），g（0）=0．则g′（x）=e x﹣2ax﹣2a，当a≤0时，g′（x）＞0，因此g（x）在x∈[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，满足条件．当0时，g″（x）=e x﹣2a＞0，g′（x）在x∈[0，+∞）单调递增，∴g′（x）≥g′（0）=1﹣2a≥0，∴g（x）在x∈[0，+∞）单调递增，满足条件；当a时，令g″（x）=0，解得x=ln（2a）＞0，∴令g″（x）＞0，解得x＞ln（2a），此时函数g′（x）单调递增；令g″（x）＜0，解得0＜x＜ln（2a），此时函数g′（x）单调递减．∴当x=ln（2a）时，函数g′（x）取得最小值，g′（ln（2a））=2a﹣2aln2a﹣2a=﹣2aln（2a）＜0，g′（0）=1﹣2a＜0，∴g（x）在[0，ln（2a））上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，不满足条件，舍去．综上可得：对于x≥0时，恒有f′（x）﹣f（x）≥（4a+1）x成立，则实数a的取值范围是（﹣∞.）；（III）证明：由（II）可知：当a=时，e x﹣ax2﹣2ax﹣1≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，∴e x﹣1≥+x，∴e x≥x+1令n=1，2，…，则e≥1+1，e2≥2+1，…，e n≥n+1∴=≥n+≥点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、切线方程、证明不等式，考查了分类讨论的思想方法，恒等变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．本题设有21、22、23三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍的变换所对应的矩阵．（Ⅰ）求矩阵M，N；（Ⅱ）直线l先在矩阵M，再在矩阵N所对应的线性变换作用下像的方程为x+y+1=0．求直线l的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：（Ⅰ）设T，由题意可得解得a，b，c，d的值，即可求得矩阵M，N．（Ⅱ）设直线l上任一点（x，y）依次在矩阵M，N即矩阵NM所对应的线性变换作用下对应点（x′，y′），可得代入x′+y′+1=0即可得解．解答：解：（Ⅰ）设T，A（2，0）→A′（0，2），B′（2，1）→B′（﹣1，3），∴解得，即有M=，N=…4分（Ⅱ）NM=，设直线l上任一点（x，y）依次在矩阵M，N即矩阵NM所对应的线性变换作用下对应点（x′，y′），则代入x′+y′+1=0可得3x+y+1=0，所以，直线l的方程是3x+y+1=0…7分点评：本题考查了矩阵变换的性质，矩阵的乘法，属于中档题．选修4-4：极坐标与参数方程（共1小题，满分7分）22．（7分）已知椭圆C：=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（取同样单位长度），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）═﹣．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用sin2α+cos2α=1即可把曲线C的普通方程化为参数方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程；（II）设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程，与椭圆方程联立，令△=0，解得m，求出两条平行线之间的距离即可．解答：解：（I）利用sin2α+cos2α=1，可得圆C的参数方程为；ρcos（θ+）=﹣，可化为ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+9=0；（II）设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为x﹣y+m=0，与椭圆方程联立，化为，令△=0，化为m2=13，解得m=±．取m=，则M到直线l的距离的最大值．点评：本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与椭圆相切问题、平行线之间的距离等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=（m＞0）的定义域为R（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a，b∈R，且a+b+m=4，a2+b2+m2=16，求实数m的值．考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得|x+1|+|x﹣m|≥5恒成立，故|（x+1）﹣（x﹣m）|≥5，由此求得实数m的取值范围．（Ⅱ）根据a，b∈R，且a+b+m=4，a2+b2+m2=16，且m≤﹣6 或m≥4，求得实数m的值．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=（m＞0）的定义域为R，∴|x+1|+|x﹣m|≥5恒成立，故|（x+1）﹣（x﹣m）|=|1+m|≥5，∴m+1≤﹣5或m+1≥5，求得m≤﹣6 或m≥4，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．（Ⅱ）若a，b∈R，且a+b+m=4，a2+b2+m2=16，再由（Ⅰ）可得m≤﹣6 或m≥4，∴实数m=4．点评：本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，属于中档题．。
福建省厦门双十中学2017-2018学年高二下学期期末考试模拟数学(理)试题(解析版)
厦门双十中学2017年高二（下）理科数学期末模拟考考卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，时，符合题意，故选A.2. 下列说法中错误的是（）A. 若命题：，，则：，B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”D. 若为假命题，则，均为假命题【答案】D【解析】选项D中，两个命题的且命题，只有当两个命题都是真命题时，且命题是真，其他情况都是假命题，因此为假命题，则均为假命题错误，故选D．3. “”是“”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，但是由，不一定大于，是的充分不必要条件，故选.4. 已知某同学在高二期末考试中，和两道选择题同时答对的概率为，在题答对的情况下，题也答对的概率为，则题答对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】做对A题记为事件E，做对B题事件F，根据题意P(EF)=，又解得P(E)= .故答案为：C5. 五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（）A. 36种B. 60种C. 72种D. 108种【答案】A【解析】间接法做：甲与乙相邻的情况（不考虑丙的位置）减去甲乙相邻且甲丙相邻的情况：种故选A6. 在中，，，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：周长为：面积为：中，：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】① 周长为,则,根据椭圆定义：点A的轨迹方程为椭圆，②面积为，则点A到直线BC的距离为定值5,所以点A的轨迹方程为抛物线,③中，,则点A在以BC为直径的圆上，所以点A的轨迹方程是.点睛：本题要熟悉椭圆、抛物线、圆的方程的定义，根据定义进行推理即可.7. 若随机变量，则有如下结论：，，，，高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分～140分之间的人数约为（）A. 7B. 5C. 10D. 12【答案】B【解析】分析：利用对称性求出P（130＜X＜140），从而可得出人数．详解：∵X～N（120，100），∴P（110＜X≤130）=0.6826，P（100＜X≤140）=0.9544，∴P（130＜X＜140）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359，∴130分～140分之间的人数约为40×0.1359≈5．故选：B．点睛：本题考查了正态分布的特点，正态分布的曲线和轴围成的面积之和就是概率之和，属于基础题．8. 若，则3个数，，的值（）A. 至多有一个不大于1B. 至少有一个不大于1C. 都大于1D. 都小于1【答案】B【解析】设则，，故选9. 函数的部分图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：函数是奇函数，排除选项C，x=时,f()=⋅−sin=−<0，函数图象对应点在x轴的下方，故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．10. 在展开式中，记项的系数为，则（）A. 45B. 60C. 72D. 96【答案】D【解析】分析：按照二项式定理把（1+x）6（1+y）4展开，求得f（2，1）和f（1，2）的值，可得f（2，1）+f （1，2）的值．详解：（1+x）6（1+y）4 =（1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴f（2，1）=15×4=60，f（1，2）=6×6=36，∴f（2，1）+f（1，2）=96，故选：D．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
厦门双十中学2017—2018学年高二年级第一学期期中质量检测数学试题(有答案)
厦门双十中学2017—2018学年高二年级第一学期期中质量检测数学试题考试范围：高中数学必修5 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若,a b c d >>，则下列不等式成立的是 A ．a bcd>B ．ac bd >C ． 2222a c b d +>+D ． a c b d +>+ 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若327a a =-，则4S 的值为 A ．15 B ．14 C ．13 D ．123．已知变量,x y 满足约束条件22,24,2,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩则目标函数3z x y =-的最小值为A ．8-B ．5-C ．2-D ．1-4．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c =，3C π=，且3a b +=，则ABC ∆的面积为 A.B．C ．125D 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-．若数列{}n b 满足210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为A ．8B ．10C ．8或9D ．9或10 7．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ． 14 C ． 15 D ． 168. 对于使−x 2+2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做−x 2+2x 的上确界，若a ，b ∈R +，且a +b =1，则−12a −2b 的上确界为（ ）A. 92B. −92C. −14D. −49. 数列{}n a 满足1=1a ，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++，则1220111a a a +++ 等于 A ．4021 B ．2021 C ． 1910D ． 201910. 设{a n }是公比为q 的等比数列，首项a 1=164，对于n ∈N ∗，b n =log 12a n ，当且仅当n =4时，数列{b n }的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为（ ）A.(3,2 3)B.(3, 4)C.(2 4)D.(2 ,311. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n =4a 1，则1m +1n 的最小值为（ ）A.23B.53C.256D.不存在12. 已知实数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8=−8，则1a1a 5+4a1a 9+9a5a 9()A.有最大值12B.有最小值12C.有最大值52D.有最小值52第Ⅱ卷 （非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．不等式302x x ->+的解集是________． 14．已知数列{}n a 的通项公式为(1)(21)n n a n =--，则1230a a a +++= ________． 15．已知数列{}n a 满足11a =，2+13)n a ，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．16．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，12BD DC =， 若1AB =，2AC =，则AD BD ⋅的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量()()2sin ,cos ,A A B =-p (sin ,1)B =-q ，且12⋅=p q 。