初二数学经典习题十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习

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人教版数学八年级上册十字相乘法及分组分解法复习与巩固提高

十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】【高清课堂 400150 十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例1】【变式1】分解因式：（1）；（2）；（3）【答案】解：（1）（2）（3）【变式2】（2016秋·闵行区期末）因式分解：()()222812x x x x +-++.【答案】解：()()222812x xx x +-++=()()2226x x xx +-+-=()()()()1223x x x x -+-+.【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例1】2、将下列各式分解因式：（1）；（2）（3）；（4）.【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式. 【答案与解析】解：（1）；（2）. （3）；1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+22355x x +-25166x x ++22616x xy y --216y -21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-()2x +22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2261682x xy y x y x y --=-+（4）因为所以：原式【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】解：（1）；（2）；（3）；（4）.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝()()()25242292x x x -+-+=-+()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+21136x x -+251124a a --10722+-xy y x ()()342++-+b a b a 22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2271025x y xy xy xy -+=--()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-91019y y y +=()()2335y y ++（2）因为所以：原式＝【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；【答案】解：（1）；（2）；（3）.类型二、分组分解法4、（2015春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ） =a （x+y ）+b （x+y ） =（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】21183x x x -=()()2379x x +-2314x x +-2344x x --+2631105x x +-()()22314341311x x x x x x +-=-+=--()()223444432123x x x x x x --+=--=+-()()263110521537x x x x +-=+-解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y =（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ） =（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2] =5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b ）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式.十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝【总结升华】将视作常数，就以为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为所以：原式＝[－2][－12]＝＝【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：；【答案】解：原式3、分解下列因式()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x 23345xy y x y ++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+()2a a -()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+--(1) (2)【答案与解析】解：（1）令，则原式（2）令，原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成，第4、5项→. 【答案与解析】解：原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例4】【变式1】分解因式：（1）（2）（3）【答案】解：（1）原式；（2）原式；22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -3()x y -2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a ba b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-（3）原式.【变式2】（2016秋•昌江区校级期末）分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-．【答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+- =()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++- =()()()()222222211b a cb ac c -+-++-=()()222121b a c b a c -++-+-．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x 2+2ax ﹣3a2=x 2+2ax+a 2﹣4a2 =（x+a ）2﹣4a 2=（x+a+2a ）（x+a ﹣2a ） =（x+3a ）（x ﹣a ）；（2）x 2﹣4xy+3y2=x 2﹣4xy+4y 2﹣y2 =（x ﹣2y ）2﹣y2233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-=（x ﹣2y+y ）（x ﹣2y ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣3y ）；x=y 或x=3y ；故答案为：y ；3y（3）原式===﹣，若x=y ，原式=﹣2；若x=3y ，原式=﹣．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习1】一.选择题1. 将因式分解，结果是( )A. B. C. D.2.（2016秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是（）A ．()3221510532a a a a a +=+B ． ()()2943434x x x -=+-C ． ()2210255a a a --=-D ． ()()231025a a a a --=+-3. 如果，那么等于( )A. B. C. D.4. 若，则的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把进行分组，其结果正确的是（）A. B. C. D.二.填空题7. 若，则＝ .2321016a a ++()()28a a -+()()28a a +-()()28a a ++()()28a a --()()2x px q x a x b -+=++p ab a b +ab -a b --()()236123x kx x x +-=-+k b 2222a b c bc --+222()(2)a c b bc ---222()2a b c bc --+222()(2)a b c bc ---222(2)a b bc c --+()()21336m m m a m b -+=++a b -8. 因式分解___________．9．（2016·潍坊三模）分解因式：3231215x x x --= ．10. 因式分解：＝_______________；11. 因式分解＝ .12.分解因式：＝________.三.解答题13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．14.（宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】D ；【解析】A 、()3221510532a a a a +=+，故此选项错误；B 、()()2943232x x x -=+-，故此选项错误；C 、21025a a --无法因式分解，故此选项错误；D 、()()231025a a a a --=+-，正确.3. 【答案】D ；【解析】，所以.4. 【答案】A ；【解析】.5. 【答案】B ；【解析】由题意.6. 【答案】D ；【解析】原式＝.二.填空题7. 【答案】±5；【解析】，所以或者.8. 【答案】；22a b ac bc -++ax bx cx ay by cy +++++()2064x x -+321a a a +--236x px ++()()x a x b ++a b p 268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+()()()2x a x b x a b x ab ++=+++a b p +=-()()2123936x x x x -+=--5306b b =-=-，()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+()()2133649m m m m -+=--9,4a b =-=-4,9a b =-=-()()a b a b c +-+【解析】. 9. 【答案】()()315x x x +-；【解析】()32231215345x x x x x x --=-+=()()315x x x +-．10.【答案】；【解析】原式 .11.【答案】；【解析】. 12.【答案】；【解析】. 三.解答题13.【解析】解：由题意得，则，由、均为整数，可写出满足要求的、，进而求得，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12)＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个值即可．14.【解析】解：原式=（2x+3）（x ﹣1）．15.【解析】解：（1）；（2）；（3）（4）（5）原式. 【巩固练习2】一.选择题1. （2016秋·惠民县期末）如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++，那么22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()a b c x y +++()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++()()164x x --()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--()()211a a +-321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-236()()x px x a xb ++=++2236()x px x a b x ab ++=+++36a b p ab +==，a b a b p p p ()()26824x x x x -+=--()()21024122x x x x +-=+-()()2152381581a a a a -+=--()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+-()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝32. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.63. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++--B. 22(49)(23)x y x y -+-C. 22(43)(29)x y x y -+-D. 22(423)9x x y y +--6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（）A. －9B.9C.－1D.1二.填空题7.（2016•黄冈模拟）分解因式：2242y xy x --+= ．8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ．9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--， ∴22,32p p n =-+=-，解得1n =.2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++. 4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y -可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-.二.填空题7. 【答案】()()22x y x y -+--．【解析】解：2242y xy x --+=()2224y xy x -+-=()24x y --=()()22x y x y -+--．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+-- 9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111xx x x x x x x x =-+-=-+=+--+. 10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =.11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+.12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+； ()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16=（x-3+4）（x-3-4）=（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b2 = a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b2 =（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a ﹣b ）（a+5b ）．()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+。

八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案

八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1) 2236642821193x xy y x y ++--+(2) 22254251515403x y z xy yz xz ---+- (3) 22163812141115x xy y x y -+--- (4) 2227256491157x y z xy yz xz ++--+(5) 22218530192544x y z xy yz xz +-+-- (6) 26397a ab a b -+- (7) 222151015313130x y z xy yz xz +++-- (8) 222362130555774a b c ab bc ac +++-- (9) 227544265x xy x y +-+-(10) 2292310402816x xy y x y -++-+(11) 2471076p pq p q --++(12) 2272193273m mn n m n ----(13) 22221682782x y z xy yz xz +----(14) 223682867457m mn n m n +-+-+(15) 2221132431214x xy y x y -+-+-(16) 2264178132a ab b a b +---+(17) 2225155102824a b c ab bc ac ---++ (18) 2228324471715x xy y x y -++-+ (19) 227233019233x xy y x y +----(20) 221433182824x xy y x y ++--(21) 222181469821x y z xy yz xz -++-- (22) 2276123735m mn n m n -+-++ (23) 2262016312x xy y x y +--- (24) 2228354333331x y z xy yz xz ---++(25) 22254358723x y z xy yz xz +---+(26) 2235262m mn n m n --++(27) 22826649156x xy y x y -+-++(28) 22429672m mn n m n --++(29) 2262377152m mn n m n +++++(30) 2236121512268x xy y x y +-++-(31) 22214428614022a b c ab bc ac +++++(32) 22215612191727x y z xy yz xz ++--+(33) 22232155282228a b c ab bc ac -+-+-(34) 2228105181514x y z xy yz xz +++++(35) 223669301986x xy y x y ++--- (36) 22254645715x y z xy yz xz ++--+ (37) 224123827x xy x y -++- (38) 2227278713050x y z xy yz xz ++--+ (39) 2226653531x y z xy yz xz -+--+ (40) 2256282853512x xy y x y +-+++ (41) 223764104m mn n m n -----(42) 2272512214028x xy y x y --++- (43) 24030126x xy x y -+--(44) 22253416812x y z xy yz xz +++++(45) 222015529245x xy y x y +-+++(46) 2222875531239x y z xy yz xz +++++(47) 222721628511x y z xy yz xz +---+(48) 21052428x xy x y --++(49) 224131227618x xy y x y +-+-+(50) 22283525239x y z xy yz xz +--+-(51) 2212281532285x xy y x y ++--+(52) 222405235321x y z xy yz xz -++++(53) 2227216442023x y z xy yz xz --+-- (54) 229333035x xy y x y -++- (55) 222664152310x y z xy yz xz +---+ (56) 224233524320x xy y x y +-+++ (57) 22261825334525x y z xy yz xz --++- (58) 2279211220x xy x y -+-- (59) 22212355443216x y z xy yz xz ++-+- (60) 22316217156p pq q p q ++--- (61) 2283512453525a ab b a b -++-+(62) 222561012193434x y z xy yz xz --+++(63) 2235223201215p pq q p q -++--(64) 2224571544162x y z xy yz xz +---+(65) 221522523296p pq q p q +-+++(66) 22456624553810x xy y x y +++++(67) 22817212993828x xy y x y ++--+(68) 2223231820360x y z xy yz xz -+-+-(69) 2235622427618x xy y x y -++--(70) 22216153341214x y z xy yz xz -+--+(71) 222152045184x y z xy yz xz --++- (72) 22401030411310x xy y x y +-+++ (73) 22228202516x y z xy yz xz +--+- (74) 22242943931x y z xy yz xz -+--+ (75) 223362u uv u v -+--(76) 22813646314m mn n m n ++++ (77) 22263366124247x y z xy yz xz ----- (78) 22449161415p q p q ---+(79) 22728x xy y x y ---+(80) 2228330142134x y z xy yz xz +++++(81) 22754353234x xy y x y -+---(82) 2223542371526x y z xy yz xz -+-++(83) 221456543036x xy y x y ---++(84) 2224078273022x y z xy yz xz ---+-(85) 226349144320a ab b a b -----(86) 2254366752525x xy y x y -+-++(87) 222153550128a b c ab bc ac +++--(88) 2272751820328x xy y x y ++-+-(89) 22409947312x xy y x y +-+-+(90) 225228101415p pq q p q -+++- (91) 222116310624x xy y x y -+-+- (92) 222821522822a b c ab bc ac -+++-(93) 227633410x xy x y +--+(94) 222212812371048x y z xy yz xz -+-++ (95) 22218206462921a b c ab bc ac +++--(96) 222910820x xy y x y ++--(97) 222351412214632x y z xy yz xz --+--(98) 2224633038328x xy y x y +++++(99) 227302512204a ab b a b --++-(100) 2223144231513x y z xy yz xz ++--+八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(441)(973)x y x y+-+-(2)(653)(955)x y z x y z-++-(3)(835)(243)x y x y-+--(4)(956)(8)x y z x y z-+-+ (5)(955)(26)x y z x y z+++-(6)(91)(7)a a b+-(7)(353)(525)x y z x y z+-+-(8)(436)(975)a b c a b c+-+-(9)(91)(365)x x y++-(10)(954)(24)x y x y-+-+ (11)(476)(1)p q p---(12)(833)(9)m n m n--+(13)(724)(332)x y z x y z-+--(14)(447)(971)m n m n++-+ (15)(722)(37)x y x y-+--(16)(62)(71)a b a b--+-(17)(55)(35)a b c a b c+--+ (18)(73)(445)x y x y-+-+ (19)(961)(853)x y x y++--(20)(234)(76)x y x y+-+(21)(673)(322)x y z x y z+---(22)(67)(5)m n m n----(23)(4)(643)x y x y+--(24)(54)(87)x y z x y z-++-(25)(65)(97)x y z x y z-+--(26)(3)(22)m n m n+-+(27)(36)(821)x y x y----(28)(72)(631)m n m n+-+ (29)(32)(271)m n m n++++ (30)(634)(652)x y x y-++-(31)(764)(272)a b c a b c++++ (32)(534)(323)x y z x y z-+-+(33)(835)(45)a b c a b c+---(34)(455)(22)x y z x y z++++ (35)(453)(962)x y x y+-++ (36)(96)(6)x y z x y z-+-+ (37)(427)(61)x y x-+-(38)(872)(94)x y z x y z-+-+ (39)(6)(65)x y z x y z++-+ (40)(774)(843)x y x y++-+(41)(32)(322)m n m n--++ (42)(44)(737)x y x y-++-(43)(52)(863)x x y+--(44)(32)(52)x y z x y z++++ (45)(551)(45)x y x y++-+ (46)(475)(7)x y z x y z++++ (47)(32)(773)x y z x y z-+--(48)(24)(52)x y x---(49)(46)(433)x y x y++-+ (50)(8)(35)x y z x y z-+--(51)(235)(651)x y x y+-+-(52)(8)(552)x y z x y z-+++ (53)(84)(944)x y z x y z++--(54)(35)(361)x y x y--+ (55)(36)(24)x y z x y z---+ (56)(75)(454)x y x y++-+ (57)(65)(635)x y z x y z+--+ (58)(935)(34)x y x--+ (59)(675)(25)x y z x y z----(60)(372)(33)p q p q+++-(61)(45)(835)a b a b-+-+(62)(852)(726)x y z x y z+--+ (63)(55)(733)p q p q-+--(64)(53)(975)x y z x y z-+--(65)(56)(351)p q p q-+++ (66)(962)(545)x y x y++++ (67)(967)(924)x y x y+-+-(68)(436)(83)x y z x y z--+-(69)(743)(566)x y x y---+ (70)(833)(25)x y z x y z++-+ (71)(552)(342)x y z x y z-++-(72)(865)(552)x y x y-+++ (73)(45)(742)x y z x y z-+--(74)(734)(63)x y z x y z++-+ (75)(231)(2)u v u--+(76)(92)(927)m n m n+++ (77)(96)(766)x y z x y z++--(78)(273)(275)p q p q+---(79)(8)(91)x y x y-+-(80)(236)(45)x y z x y z++++ (81)(71)(754)x y x y---+ (82)(563)(77)x y z x y z-+++(83)(26)(766)x y x y+---(84)(872)(54)x y z x y z-++-(85)(925)(774)a b a b++--(86)(625)(935)x y x y----(87)(37)(55)a b c a b c+-+-(88)(834)(967)x y x y+++-(89)(833)(534)x y x y-+++ (90)(525)(43)p q p q---+ (91)(34)(736)x y x y---+(92)(43)(275)a b c a b c--+-(93)(32)(925)x x y-+-(94)(376)(742)x y z x y z-+++(95)(24)(956)a b c a b c+-+-(96)(24)(25)x y x y+-+(97)(772)(526)x y z x y z++--(98)(852)(364)x y x y++++(99)(52)(752)a b a b-++-(100)(32)(74)x y z x y z-+-+。

(完整版)十字相乘法因式分解练习题

十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x2、=+-672x x3、=--2142x x4、=-+1522x x 5、=++8624x x6、=++-+3)(4)(2b a b a7、=+-2223y xy x9、=++342x x10、=++1072a a11、=+-1272y y12=+-862q q13、=-+202x x14=-+1872m m15、=--3652p p16、=--822t t17、=--2024x x18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a20、=++221811y xy x21、=--222265x y x y x22、=+--a a a 1242323、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x26、=-+22865y xy x27、=++71522x x 28、=+-4832a a29、=-+6752x x30、=-+1023522ab b a 31、=+-222210173y x abxy b a32、=--22224954y y x y x33、=-+15442n n34、=-+3562l l35、=+-2222110y xy x36、=+-2215228n mn m一元二次方程的解法1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x8、432=-yy9、3072=--xx10、()()412=-+yy11、()()1314-=-xxx12、()025122=-+x反思：1.解一元二次方程时,如果方程能直接开平方,就采用直接开平方.其次考虑因式分解,因为这种方法最快接,再次考虑求根公式法,这种方法是万能的,能求所有的一元二次方程,当然大前提是有解.最后考虑用配方法,因为它较复杂,但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零。

北师大八年级数学下册十字相乘法分解因式的精品讲解+练习

十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax^2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ；=（x+3）（x+5）(2)2265y xy x +-．=（x-3y ）（x-2y ）例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ；=（-x+3）（-2x-1）例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；=（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；=[7(x+y)^2-5(x+y)-2](x+y)=(7x+7y-1)(x+y+2)(x+y)(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．=(a^2+8a+10)(a^2+8a+12)=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6)例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．=(x^2+2x-18)(x^2+2x-9)例5 分解因式653856234++-+x x x x ．=(6x^4+5x^3-39x^2)+(x^2+5x+6)=x^2(6x^2+5x-39)+(x+2)(x+3)=x^2(x+3)(6x-13)+(x+2)(x+3)=(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)=(x+3)(6x^3-13x^2+2x-x+2)=(x+3)[x(6x^2-13x+2)-(x-2)]=(x+3)[x(x-2)(6x-1)-(x-2)]=(x+3)[(x-2)(6x^2-x-1)]=(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．=(x^2-2xy+y^2)-5(x-y)-6=(x-y)^2-5(x-y)-6=[(x-y)-6][(x-y)+1]=(x-y-6)(x-y+1)例7、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++(2) 2384a a -+(3) 2576x x +-(4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +-(6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +-(9) 22483m mn n ++(10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x (x-2)(x+5)．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝，b ＝．9．=--3522x x (x －3)()．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ；(2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --；(5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --；(2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，x^3+y^3=36，求a 的值． x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-3xy]x+y=2,xy=a+4x^3+y^3=2*(4-3a-12)=36a=-26/3。

初中数学《运用十字相乘法分解因式》专项练习(含答案)

运用十字相乘法因式分解一、填空题（本大题共5小题）1.我们已经学过用面积来说明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下图甲中的面积来说明．①请写出图乙的面积所说明的公式x2+（p+q）x+pq= ；②请利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10= ．2.如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的答案即可）．3.一个长方形的面积为m2+m﹣2（m＞1），其长为m+2，则宽为．4.分解因式：267x x+-=5.多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是（写出一个即可）．二、解答题（本大题共11小题）6.分解因式：⑴256x x++⑵256x x-+⑶276x x++⑷276x x-+7.分解因式：268x x++278x x+-8.分解因式：212x x+-2612x x-+-9.分解因式：22121115x xy y--=10.分解因式：42730x x+-2273320x x--11.分解因式：2214425x y xy+-22672x xy y-+12.分解因式：2383x x--25129x x+-13.已知221547280x xy y-+=，求xy的值14.分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-； ⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-15.分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+16.分解因式：257(1)6(1)a a ++-+运用十字相乘法因式分解答案解析一、填空题1.根据题意可知，①x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x 2﹣7x+10=（x ﹣2）（x ﹣5）．2.根据题意，﹣a 是15分解成两个因数的和，15可以分解两个因数有几种，任意选取一种就可以．a=-8/8/16/-163.（m 2+m ﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m ﹣1）÷（m+2）=4.(7)(1)x x +-5.12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整数p 的值是±7（或±8或±13）．二、解答题6.⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --7.268(2)(4)x x x x ++=++；278(8)(1)x x x x +-=+-8.221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+；22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+- 9.22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+10.4222730(3)(10)x x x x +-=-+；2273320(94)(35)x x x x --=+-11.2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--；22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--12.2383(31)(3)x x x x --=+-；25129(3)(53)x x x x +-=+-13.221547280(37)(54)0x xy y x y x y -+=⇒++=，∴370x y +=或540x y += 由题意可知:0y ≠，73xy =-或45x y =-14.⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.15.[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=---- 16.[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+。

完整版)十字相乘法因式分解练习题

完整版)十字相乘法因式分解练习题1、x^2+3x+2=02、x^2-7x+6=03、x^2-4x-21=04、x^2+2x-15=05、2x^4+6x^2+8=06、(a+b)-4(a+b)+3=07、x^2-11x+10=09、-3xy+2y^2=010、x^2+4x+3=011、y^2-7y+12=012、12q^2-6q+8=013、x^2-3x+2=014、m^2+7m-18=015、2p^2-5p-36=016、t^2-2t-8=018、a^2-22a+120=020、x^2+7ax-8=021、x^2+11xy+18y^2=022、-a^2+4a-4=023、3x^2+11x+10=024、2x^2-l=35=025、6x^2-7x-5=026、5x^2+6xy-8y^2=027、2x^2+15x+7=028、3a^2-7a-6=029、5x^2+7x-6=031、3a^2+7a-6=032、4x^2-6x+9=033、4n^2+4n-15=034、6l^2-4l-5=035、10x^2-21xy+2y^2=0解一元二次方程时，可以采用直接开平方、因式分解、求根公式法或配方法。

其中，直接开平方和因式分解法常用整体思想，求根公式法虽然万能，但不一定最简单，而配方法较为复杂，常用于证明一个式子大于或小于零。

一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程。

一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）。

解一元二次方程有四种方法：1）直接开平方法（适用于没有一次项的一元二次方程）2）因式分解法：包括提取公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法（适用于左边能分解为两个一次式的积，右边是的方程）3）公式法（适用于任何一个一元二次方程）4）配方法（适用于二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程）在解一元二次方程时，首先需要将其化为一般式，即ax^2+bx+c=0.然后求出判别式的值，判别式的值大于或等于零时才有实数解。

十字相乘法分解因式经典例题和练习

十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+-变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++3、2()6()16x y x y +++-4、2()7()30x y x y +++-例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+（2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。

十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解

十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++-【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -.【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例4】【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+（3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】（2014春•苏州期末）因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。

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（3） 4x4 y2 5x2 y2 9 y2
（4） 2a4 a3 6a2
15. 观察下列各式:1×2×3×4＋1＝ 52 ；2×3×4×5＋1＝112 ；3×4×5×6＋1＝192 ；
判断是否任意四个连续正整数之积与 1 的和都是某个正整数的平方,并说明理由.
【答案与解析】一.选择题 1. 【答案】B；
【解析】由题意当 x 3 时，代数式为零，解得 m 9 .
二.填空题
7. 【答案】 3aa 2ba c ；
【解析】原式 3a3 6a2b 3a2c 6abc
3a2 a 2b 3ac a 2b 3a a 2ba c
8. 【答案】 2a 5b 62a 5b 6 ；
完全平方公式（提高）巩固练习
【巩固练习】一.选择题
1. 多项式 x2 3xy ay2 可分解为 x 5y x by ，则 a、b 的值为( ).
A. a ＝10， b ＝－2 C. a ＝10， b ＝2
B. a ＝－10， b ＝－2 D. a ＝－10， b ＝2
2. 若 x2 a b x ab x2 x 30，且 b a ，则 b 的值为( ).
x2 (n 2m)x m2 mn x m x m n x mx m n .
三.解答题 13.【解析】
解： 3x2 12xy 13y2 3 x y x 3y 4y2
由 x y 0 ， x 3y 1 解得 y 1 2
所以，原式
3 0 1
4
1 2
2
1.
【解析】由题意当 x 4 时，代数式等于 0，解得 a 16 .
11.【答案】 a ba b ；
【解析】 a3 a2b ab2 b3 a2 a b b2 a b a b2 a b .
12.【答案】 kx k 3x 1 ； x m x m n；
【解析】 kx2 (2k 3)x k 3 kx k 3x 1；
A. －9
B.9
C.－1
D.1
二.填空题
7. 分解因式： 3a3 6a2b 3a2c 6abc ；
8. 分解因式： 4a2 20ab 25b2 36 ；
9． x5 x3 x2 1 分解因式的结果是__________.
10. 如果代数式
有一因式，则 a 的值为_________．
11．若 a3 a2b ab2 b3 有因式 a b ,则另外的因式是_________.
【解析】 x 5y x by x2 (5 b)xy 5by2 ，所以 5b a，5 b 3 .
2. 【答案】B；
【解析】 x2 x 30 x 6 x 5 ，由 b a ，所以 b 6 .
3. 【答案】C；
【解析】把 x y 看成一个整体，分解 x y2 5 x y 6 x y 6 x y 1 .
4. 【答案】A；
【解析】
＝ x y 42x 2y 5 .
5. 【答案】B；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第
一组可用平方差公式分解得 2x 3y2x 3y ，与第二组有公因式 2x 3y
பைடு நூலகம்
可提取，所以分组合理，C 与 D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理. 6. 【答案】A；
A.5
B.－6
C.－5
D.6
3. 将 x y2 5 x y 6 因式分解的结果是( ).
A. x y 2x y 3
B. x y 2x y 3
C. x y 6x y 1
D. x y 6x y 1
4．分解结果等于 x y 42x 2y 5 的多项式是 ( )
A．
14.【解析】
解：（1）原式 a2 a 2a2 a 6 a 1a 2a 2a 3 ；
（2）原式 xy
4 y2 4x x2
xy
x
2
2
y
2
xy
x
y
2
x
y
2
；
（3）原式 y2 4x4 5x2 9 y2 4x2 9 x2 1 y2 2x 32x 3 x2 1 ；
【解析】原式 4a2 20ab 25b2 36
2a 5b2 62 2a 5b 62a 5b 6
9. 【答案】 x 12 x 1 x2 x 1 ；
【解析】原式 x3 x2 1 x2 1 x2 1 x3 1 x 12 x 1 x2 x 1 .
10.【答案】16；
B．
C．
D．
5. 对 4x2 2x 9 y2 3y 运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )
A. (4x2 2x) (9 y2 3y)
B. (4x2 9 y2 ) (2x 3y)
C. (4x2 3y) (2x 9 y2 )
D. (4x2 2x 3y) 9 y2
6．如果 x3 3x2 3x m 有一个因式为 x 3 ，那么 m 的值是（）
（4） 2a4 a3 6a2 a2 2a2 a 6 a2 2a 3a 2 .
15.【解析】解：是，
理由： nn 1n 2n 3 1 n2 3nn2 3n 2 1
n2 3n 2 2 n2 3n 1 n2 3n 1 2 .
12. 分解因式：（1） kx2 (2k 3)x k 3 ；（2） x2 (n 2m)x m2 mn
三.解答题
13. 已知 x y 0 ， x 3y 1 , 求 3x2 12xy 13y2 的值.
14. 分解下列因式：
（1） a2 a 2 8 a2 a 12
（2） 4xy xy3 4x2 y x3 y