2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期中考试 数学 (Word版)
洛阳市2019—2020学年第一学期期中考试
高二数学试卷
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页。
共150分.考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有- 项是符合题目要求的.
1.若a < b < 0,那么下列不等式中不正确的是
A. ab > b 2
B. ab < a 2
C. b 1<1a
D. b
<a a b
2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，“若
cosC cosB =c b ，则△ABC—定是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形
3.若数列{n a }的通项公式1
n 2n n +=a ,则此数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.以上都不是
4. 下列函数中，y 的最小值为2的是
A.
x x y 1+= B. 23x 22++=x y C. x x e
e y -+= D. )2<<0(sin 1sin π
x x x y += 5.已知等比数列{n a }满足8,96271===a a a a ,且1n <+a a n ，则10a 等于 A.216 B.16 C.
28 D.8 6.已知锐角三角形的三边分别为5，12，x ，则x 的取值范围是
A.)17,7(
B. )13,7(
C. )119,7(
D.
)13,119( 7.若)1lg(lg )3lg(++=+b a b a ，则ab 的最小值为
A.1
B. 2
C. 3
D.2
8.已知数列{n a }的前n 项积为T ，且满足)(111*∈-+=
+N n a a a n n n ，若311=a ，则2019T 为 A.-3 B.-2
C. 31
D. 3
2
9.如图，在△ABC 中，B = 045, AC = 8，D 是 BC 边上一点，DC = 5,DA = 7,则AB 的长为
A. 24
B.
34 C. 8 D. 64 10.实数y x ,满足条件⎩
⎨⎧≥--≤--03201y x y x ，当目标函数)0>,(b a by ax z +=，在该约束条件下取到最小值4时，b
a 21+的最小值为 A.6 B.4 C.3 D.2
11.设等差数列{n a }的前n 项和分别为n n T S ,，若
3
333n ++=n T S n n ，则使Z b a n n ∈的n 的个数为
A.3
B. 4
C. 5
D. 6 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22=c ，点P 是AB 的中点，若b a PC -=，则△ABC 面积的最大值为
A. 3
B.3
C. 32
D.12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.设0 < a < b < 1，则四个数ab 2，2ab ,a+b,a 2 + b 2中最小的是 .
14.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x 则132+++=x y x z 的取值范围是 . 15.已知数列{n a }的前n 项和分别为a S n n +=+122
，若此数列为等比数列，则=a . 16.在锐角△ABC 中，内角A ，B,C 的对边分别为a ，b ，c ，若A c b sin 3=，则
C B A tan tan tan ++的最小值为
.
三、解答题：本大题共6小题，共70分/解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分）
设n S 为等差数列{n a }的前n 项和，已知49,573==S a .
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设1
1+=n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n T . 18. (本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c a C 5102,4==
π. （1）求sinA 的值；
（2）若5=c ，求△ABC 的面积.
19.(本小题满分12分）
为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张360元，使用规定:不记名，每卡.每次仅限1人，每天仅限1次，公司共如名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次40元，如果要使每位M 工健身10次，那么公司购买多少张健身卡最合算，共需花费多少元钱？
20.(本小题满分12分）
（1）设不等式0<1222+--a x ax <0对于满足1|1|≤-x 的实数x 都成立，求正实数x 的取值范围；
（2）设不等式0<1222+--a x ax 对于满足2||≤a 的实数x 都成立，求实数x 的取值范围.
21.(本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a C
B c
C b =⋅-
)tan cos sin (3. （1）求角A ；
(2)若△ABC 的内切圆面积为π4，求△ABC 面积S 的最小值.
22.(本小题满分12分）
设n S 为正项数列{n a }的前n 项和，且)(22*∈+=N n a a S n n n .数列{n b }满足：
)(23,211*∈+==+N n b b b n n .
（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式；
（2）设)1(+=n n n b a c ，求数列{n c }的前n 项和n T ;
（3）设12)1(1+⋅⋅-+=+t b d n a
n n n ，问是否存在整数)0(≠t t ，使数列{n d }为递增数列？若存在求t 的值，若不存在说明理由.。
河南省洛阳市高二数学上学期期中试题
洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1,3,5,7,9,11,---的一个通项公式为A ．()()1121n n a n +=-+ B ．()()1121n n a n +=--C ．()()121n n a n =-+D ．()()121nn a n =--2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2,45,75a A C ===，则b 等于A．2 BC．2 D3.已知公比为正数的等比数列{}n a 中，26428,2a a a a ==，则1a =A ．8B ． 4C ．1D ．124. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos a b A <，则ABC ∆为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5.数列中，()1112,1n n naa a n N a *+-==∈+,则2014a =A ．2B ．13 C ．12- D ．3-6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,18k k S S ==，则4k S =A ．24B ． 28C ． 32D ．547. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足下列条件的有两个的是A．1,30a b A === B．2,45b c B ===C ．1,2,3a b c ===D ．3,2,60a b A ===8.给出下列结论：①在ABC ∆中，sin sin ;A B a b >⇔> ②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(],2k ∈-∞；④ABC ∆的内角A,B,C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ． 2D ．39.定义12n np p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1n ，则12231011111a a a a a a +++= A ．910 B ．920 C ．2021 D ．102110.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a -+< 的解集为A ．()1,2-B ．()(),12,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞11.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为A ．2B ． 4C ． 6D ．812.已知函数()121x f x x +=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2017n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2017S = A ．1008 B ． 1010 C ．20192D ．2019第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确， 对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误， 对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误， 故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解． 解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离． 解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离． 故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2， 即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围． 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2， 故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围． 解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减． 由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上 为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0， 可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。
河南省洛阳市09-10学年高二上学期期中考试(数学文)
洛阳市2009-2010学年第一学期期中考试高二数 学 试 卷(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，则6a 的值是： （ ）A.12-B.12C. 6-D. 6 2.关于x 的一元二次不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值是：A. 10B. 10-C.14D. 14-3.在△ABC 中，a,b,c 为内角A 、B 、C 所对的边，若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的值是： （ ）A. 60°B.90°C.120°D.150°4.在△ABC 中，a,b,c 为内角A 、B 、C 所对的边，且cos cos a B b A =,则该三角形一定是：A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形5.设变量x,y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则4w x y =+的最大值为：（ ） A. 4 B. 11 C. 12 D. 146.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且25833a a a =，21a =，则1a 的值为：（ ）A. 3B.13C.D. 7.建造一个容积为83m ，深2m 的无盖长方体水池.如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为：（ ）A. 1760元B. 1860元C. 1960元D.1260元8.数列11,5,9,13,17,21,,(1)(43),,n n ------ 的前n 项和为n S ，则15S 的值为：（ ）A. 28B. 29C. 27D. 859.等比数列{}n a 的各项均为正数，且563816a a a a +=，则2122210log log log a a a +++ 的值为： （ ）A. 15B. 15-C. 3D. 3-10.在△ABC 中，2,30,45a A C === ,那么△ABC 的面积是： （ ）A.B. 1C.D. 11.不等式2(2)2(2)40m x m x -+--≤对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是：A. 22m -<<B. 22m -≤≤C. 22m -≤<D.22m -<≤12.已知正整数a,b 满足430a b +=，使得11a b+取得最小值的有序实数对(,)a b 是：A. (5,10)B. (6,6)C. (7,2)D. (4,14)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.数列{}n a 中，11,a =当2n ≥时，212n a a a n = ，则35a a +=14.已知△ABC 中，13,2,sin 3AB AC B ===，则角C= 15.在1和81之间插入三个实数a,b,c ，使他们构成一个五项的等比数列，则b =16.已知110,a b <<则下列不等式①a b ab +<；②a b <；③1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④2b a a b+>；中一定正确的是 .（填上所有正确不等式序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这三个数.18.（本题满分12分）在△ABC 中，,.BC a AC b ==若a,b是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=.⑴求角C 的度数； ⑵求AB 的长度.19.（本题满分12分） ⑴证明：473x x +≥- (3)x >； ⑵解关于x 的不等式2(1)0x a x a +++< (1)a >.20.（本题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2()n S n n N =∈.⑴求{}n a 的通项公式； ⑵令11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，试证明12n T <.21.（本题满分12分）为打击索马里海盗，保障我国及其他国家海上运输安全，中国政府根据联合国决议派遣了“深圳”号等三艘军舰远赴亚丁湾海域执行护航任务. 某日，我“中远”号货船在A 处遇险，而在A 处西南方向10海里的B 处的“深圳”号收到“中远”号的报警，随即测得“中远”号是沿北偏西15°方向，以每小时9海里的速度前行.如果“深圳”号要用40分钟追上“中远”号，试求“深圳”号的航速及航行方向.（参考数值：sin 2147'≈）22.（本题满分12分）已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B. ⑴求A B ;⑵若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为C ，且A B C ⊆ ,试写出实数a,b 应满足的不等关系，并在给定坐标系中画出该不等关系所表示的平面区域.。
2023-2024学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线3x ﹣2y ﹣3＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为上底面A 1C 1的中心，若AO →=AA 1→+xAB →+yAD →，则实数x ，y 的值分别为（ ） A ．x ＝1，y ＝1B ．x =12，y =12C ．x =12，y =1D ．x =1，y =123．“a ＝﹣2”是“直线ax +3y ﹣1＝0与直线6x +4y ﹣3＝0垂直”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）A ．√19米B ．√51米C ．2√19米D ．2√51米5．若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为（ ） A ．5√22B ．3√22C ．√2D ．√226．已知直线l ：x +y cos θ﹣3＝0，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0，π） B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]7．已知直线3x +2y ﹣6＝0分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若直线x +y ﹣1＝0上存在一点C ，使|CA |+|CB |最小，则点C 的坐标为（ ） A ．(23，13)B ．(65，−15)C ．(43，−13)D ．(45，15)8．如图，二面角α﹣l ﹣β的棱上有两点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ，若AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD =√41，则二面角α﹣l ﹣β的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．23πD ．5π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中物理试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中物理试卷一、单选题（本大题共9小题，共27.0分）1.下列说法正确的是()A. 电源被短路时，放电电流无穷大B. 外电路断路时，路端电压最低C. 外电路电阻减小时，路端电压升高D. 不管外电路电阻怎样变化，其电源的内、外电压之和保持不变2.下列说法正确．．的是()A. 电场强度E是矢量，真空中点电荷的电场强度定义式为E=k Qr2B. 磁感应强度B是矢量，其定义式为B=FILC. 电流I是标量，其定义式为I=neSvD. 电容C是标量，平行板电容器的电容定义式为C=εS4πkd3.如图所示，图中直线①表示某电源的路端电压与电流的关系图象，图中曲线②表示该电源的输出功率与电流的关系图象，则下列说法不正确的是()A. 电源的电动势为50VΩB. 电源的内阻为253C. 电流为2.5A时，外电路的电阻为15ΩD. 输出功率为120W时，输出电压是30V4.如图所示，在x、y轴上分别放一根通电直导线(彼此绝缘)，电流大小均为I，方向如图所示．则由电流产生的磁场叠加后的磁感应强度为零的位置应在()A. 第Ⅰ、Ⅱ象限B. 第Ⅲ、Ⅳ象限C. 第Ⅰ、Ⅲ象限D. 第Ⅱ、Ⅳ象限5.如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上运动，下列说法正确的是()A. 微粒可能带负电，可能带正电B. 微粒的机械能一定增加C. 微粒的电势能一定增加D. 微粒动能一定减小6.回旋加速器是加速带电粒子的装置，其主体部分是两个D形金属盒．两金属盒处在垂直于盒底的匀强磁场中，a、b分别与高频交流电源两极相连接，下列说法正确的是A. 带电粒子从磁场中获得能量B. 带电粒子的运动周期是变化的C. 带电粒子由加速器的中心附近进入加速器D. 增大金属盒的半径，带电粒子射出时的动能不变7.关于带电粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是()A. 带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动B. 带电粒子飞入匀强磁场后做匀速圆周运动时，速度一定不变C. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆运动的半径与速度无关D. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆运动的周期与速度无关8.如图，一绝缘光滑固定斜面处于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，通有电流I的金属细杆水平静止在斜面上。
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ， 且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。
河南省洛阳市孟津二高2022-2023学年高二化学上学期期末试卷含解析
河南省洛阳市孟津二高2022-2023学年高二化学上学期期末试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 若n=3，以下能级符号错误的是A．np B．nf C．nd D．ns参考答案：B2. 根据科学人员探测，在海洋深处的沉积物中含有可燃冰，主要成分是甲烷水合物。
有关其组成的两种分子的下列说法正确的是()A．它们都是极性键构成的极性分子B．它们都只有π键C．它们的成键电子的原子轨道都是sp3－sD．它们的立体结构都相同参考答案：C略3. 近年来，有科学家提出铝可能成为“21世纪的能源”。
假如铝作为一种普遍使用的新型能源被开发利用，你认为下列关于其有利因素的说法中不妥当的是A．铝便于运输、贮存，从安全角度考虑，铝是安全燃料B．铝的来源丰富，且可再生C．铝燃烧放出的热量大，且燃烧产物对环境污染较低，容易有效控制D．寻找高效催化剂，使Al2O3分解产生铝的同时释放出能量参考答案：D4. 某酸HX稀溶液和某碱YOH稀溶液的物质的量浓度相等，两溶液混合后，溶液的pH大于7，下表中判断合理的是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④参考答案：D略5. 下列实验装置，其中按要求设计正确的是参考答案：B略6. 在一定温度下，容器内某一反应中M、N的物质的量随反应时间变化的曲线如下图所示，下列表述正确的是A．反应的化学方程式为：2M 3NB．t2时，正、逆反应速率相等，达到平衡C．t3时，正反应速率等于逆反应速率D．t1时，N的浓度是M浓度的2倍参考答案：CD略7. 不能由醛或酮加氢还原制得的醇是A.CH3CH2OHB.CH3CH2CH(OH)CH3C. (CH3)3CCH2OHD. (CH3)3COH参考答案：D8. 在如图中的8个装置中，属于原电池的是（）A．①②③⑤⑧B．③④⑥⑦C．④⑤⑥⑦D．④⑥⑦参考答案：D【考点】原电池和电解池的工作原理．【分析】根据原电池的构成条件分析，原电池的构成条件是：①有两个活泼性不同的电极，②将电极插入电解质溶液中，③两电极间构成闭合回路，④能自发的进行氧化还原反应．【解答】解：①该装置只有一个电极材料，所以不能形成原电池，故错误．②该装置只有一个电极材料，且石墨和电解质溶液不能自发的进行氧化还原反应，所以不能形成原电池，故错误．③两电极材料相同，所以不能形成原电池，故错误．④该装置符合原电池的构成条件，所以能形成原电池，故正确．⑤酒精不是电解质，铁和酒精不能自发的进行氧化还原反应，所以不能形成原电池，故错误．⑥该装置符合原电池的构成条件，所以能形成原电池，故正确．⑦该装置符合原电池的构成条件，所以能形成原电池，故正确．⑧该装置两电极间不能构成闭合回路，所以不能形成原电池，故错误．故选D．9. NO和CO都是汽车尾气中的有害物质，它们能缓慢地反应生成氮气和二氧化碳，对此反应，下列叙述正确的是A.使用适当的催化剂不改变反应速率B.降低压强能提高反应速率C.升高温度能提高反应速率D.改变压强对反应速率无影响参考答案：C略10. 按下列实验方法能够达到要求的是A．用托盘天平称量25.20 g NaCl. B．用10 mL量筒量取7.50 mL稀盐酸C．用25 mL滴定管量取14.80 mL溶液 D．用pH试纸测得某碱溶液的pH=12.7 参考答案：C略11. 某烯烃与H2加成后得到2,2--二甲基丁烷，该烯烃的名称是()A．2,2-二甲基--3--丁烯 B．2,2-二甲基--2--丁烯C．2,2-二甲基--1--丁烯 D．3,3-二甲基--1--丁烯参考答案：D略12. 已知H2O(g) ＝H2O(l) △H1＝Q1kJ／molC2H5OH(g) ＝ C2H5OH(l), △H2＝Q2 kJ／molC2H5OH(g)+3O2(g) ＝2CO2(g) + 3H2O(g), △H3＝Q3 kJ／mol若使用23 g酒精液体完全燃烧，最后恢复到室温，则放出的热量为（）kJA. Q1 +Q2 +Q3B. 0.5（Q1 +Q2 +Q3）C. 0.5Q1–0.5Q2 +0.5Q3D. 1.5Q1–0.5Q2 +0.5Q 3参考答案：略13. 在配置Fe2（SO4）3溶液时，为了防止水解，常常往溶液中加入少量的（）A．NaOH B．H2SO4 C．KCl D．CH3COOH参考答案：B考点：盐类水解的应用．专题：盐类的水解专题．分析：Fe2（SO4）3溶液中，三价铁易水解为氢氧化铁，根据水解平衡的移动原理来回答．解答：解：Fe2（SO4）3溶液中，三价铁易水解为氢氧化铁，实质是：Fe3++3OH﹣?Fe （OH）3+3H+，在配置Fe2（SO4）3溶液时，为了防止水解，常常往溶液中加入少量的硫酸，这样也不会再硫酸铁中引进新的杂质离子，（不能加除硫酸以外的酸）．故选B．点评：本题是一道水解原理的应用：溶液的配制知识题目，可以根据所学知识进行回答，难度不大．14. 下列微粒中：①②③④，其核外电子数相同的是A．①②③ B．②③④C．①②④ D．①③④参考答案：C15. 一定温度下，满足下列条件的溶液一定呈酸性的是（）A．能与金属Al反应放出H2的溶液B．加酚酞后显无色的溶液C．pH=6的某溶液D．c（H+）＞c（OH﹣）的任意水溶液参考答案：二、实验题（本题包括1个小题，共10分）16. 铁生锈是比较常见的现象，某实验小组，为研究铁生锈的条件，设计了以下快速、易行的方法：首先检查制氧气装置的气密性，然后按图连接好装置，点燃酒精灯给药品加热，持续3分钟左右，观察到的实验现象为：①直形管中用蒸馏水浸过的光亮铁丝表面颜色变得灰暗，发生锈蚀；②直形管中干燥的铁丝表面依然光亮，没有发生锈蚀；③烧杯中潮湿的铁丝依然光亮。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期中考试化学试题pdf
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