2012届高三数学最新复习课件：三角函数的图像与性质
π ]，结果如何？ 3
π π 1 3 解：(1)当 x∈[ ， ]时，t∈[ ， ]， 6 3 2 2 1 2 3－1 此时 y∈[－ ， ]． 4 4
π π π 7π 11π (3)当 x∈[ ， ]时，2x＋ ∈[ ， ]， 6 3 4 12 12 π 7π π 此时当 2x＋ ＝ ，即 x＝ 时， 4 12 6 3－1 f(x)取得最大值为 . 2 π ∴fx)取得最大值时 x 的集合为{ }． 6
答案：A
2．函数 f(x)＝sinx－cosx 的最大值为( A．1 B. 2 C. 3 D．2
)
答案：B
3．M，N 是曲线 y＝πsinx 与曲线 y＝πcosx 的两个 不同的交点，则|MN|的最小值为( ) A．π B. 2π C. 3π D．2π
答案：C 4．(教材习题改编)y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图像
【思路点拨】 (1)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)后再判断； π (2)余弦函数的对称中心是(kπ＋ ，0)(k∈Z)，由此来 2 求|φ|的最小值．
【解析】 (1)f(x)＝2sinxcosx＝sin2x 是奇函数，T＝ 2π ＝π，因此 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数． 2 4π (2)∵y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点( ，0)中心对称， 3 4π 8π π ∴3cos(2× ＋φ)＝0.∴ ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z. 3 3 2 13π π ∴φ＝－ ＋kπ， k∈Z.∴当 k＝2 时，|φ|有最小值 . 6 6
三角函数的单调性
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的单调区间的确定， 基本思想是把 ωx＋φ 看做一个整体，比如：由 2kπ π π － ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出 x 的范围，所得区 2 2 π 3 间即为增区间； 2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ π(k∈Z) 由 2 2 解出 x 的范围，所得区间即为减区间．
【思路点拨】
先列出使函数有意义的不等式
(组)，再结合函数的图像或三角函数线求解．
【解】 (1)由题意，得 2 －2cos x＋3cosx－1≥0，
2 36－x >0.
cosx≥ 1， 2cosx－1cosx－1≤0， 2 即 也即 －6<x<6. －6<x<6. － π＋2kπ≤x≤π ＋2kπk∈Z， 3 3 解得 －6<x<6.
例3 求下列函数的单调递增区间：
3 π (1)y＝sin(－ x＋ )； 2 4 π (2)y＝1－2cos( －x)； 3 (3)y＝sin2x＋sinx.
【思路点拨】
利用复合函数的单调性规律“同
增异减”求解．
【解】
(1)该函数的定义域为 R. 3 π 令 t＝－ x＋ ，则 y＝sint. 2 4 因为 t 是 x 的一次减函数， 故应取 y＝sin t 的减区间 才符合要求． π 3π 由单调性可知，2kπ＋ ≤t≤2kπ＋ (k∈Z)， 2 2 π 3 π 3π 即 2kπ＋ ≤－ x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)． 2 2 4 2 4kπ 5π 4kπ π ∴－ － ≤x≤－ － ，k∈Z. 3 6 3 6
7π 3π 则 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)． 6 2 综上所述，函数 y＝sin2x＋sinx 的单调递增区间是 π π 7π 3π [2kπ－ ，2kπ＋ ]和[2kπ＋ ，2kπ＋ ]，k∈Z. 6 2 6 2
【误区警示】
(1)单调区间是定义域的子区间，
因而应先求定义域．
(2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也
求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，
求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可
以先求交集再加周期的整数倍即可．
例1
求下列函数的定义域：
2 2
(1)y＝ －2cos x＋3cosx－1＋lg(36－x )； lg2sinx－1＋ －tan x－1 (2)y＝ . x π cos ＋ 2 8
π π ∵ <x< ， 4 2 1 1 1 1 1 ∴tanx>1,0< 2 <1，－ < 2 － < . 2 tan x 2 2 tan x 1 12 1 ∴0≤( 2 － ) < ， tan x 2 4 1 1 12 1 － ≤( 2 － ) － <0. 4 tan x 2 4 1 12 1 1 ∴当( 2 － ) － ＝－ ， 4 4 tan x 2 即 tanx＝ 2时，ymax＝－8.
π 4 而 g(x)的单调减区间为[2kπ＋ ，2kπ＋ π](k∈Z)， 3 3 π 4 所以原函数的单调增区间为[2kπ＋ ，2kπ＋ π](k∈ 3 3 Z)． (3)该函数的定义域为 R. 2 令 u＝sinx，则 y＝u ＋u，u∈[－1,1]， 12 1 而 y＝u ＋u＝(u＋ ) － 开口向上，对称轴为 u＝－ 2 4
的题目一般常用以下方法： (1)利用sinx、cosx的值域； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单
调性写出y＝Asin(ωx＋φ)的值域；
(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化 为二次函数．
互动探究 1
π 若将例 2(1)、 (3)中的 x∈R 改为 x∈[ ， 6
定义域求解．
(1)求函数 y＝sin2x＋sinx－1 的值域； π π (2)若 <x< ，求函数 y＝tan2xtan3x 的最大值； 4 2 (3)求函数 f(x)＝sin2x－2sin2x 的最大值及 f(x)取最大 值时 x 的集合．
例2
【思路点拨】
先将原函数式进行恒等变形，再
化为一个角的三角函数或利用|sinx|≤1，
思考感悟
如果函数y＝f(x)的周期为T，那么函数y＝f(ωx)
的周期是多少？
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
课前热身
π 1．设函数 f(x)＝cos(2x－ )，x∈R，则 f(x)是( 2 A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 π 的偶函数 π C．最小正周期为 的奇函数 2 π D．最小正周期为 的偶函数 2 )
|cosx|≤1等求解．
【解】
(1)令 t＝sinx，则 t∈[－1,1]， 12 5 2 y＝t ＋t－1＝(t＋ ) － ，t∈[－1,1]， 2 4 5 ∴y∈[－ ，1]． 4 2tan4x (2)y＝tan2x· 3x＝ tan 1－tan2x ＝ 2 1 1 － tan4x tan2x ＝ 2 1 12 1 2 － － 4 tan x 2 ，
三角函数的值域和最值
1．三角函数属于初等函数，因而前面学过的求
函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉
及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦
函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1对值域的 影响． 2．解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将 函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据
π 3π ∴该函数的定义域为{x|2kπ＋ <x<2kπ＋ ， k∈Z}． 2 4
【方法小结】 (1)三角函数的定义域是研究其他一 切性质的前提． (2)三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的 π 限制一样，另外 y＝tanx 中 x≠kπ＋ ，k∈Z. 2 (3)求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等 式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
【答案】
(1)C (2)A
形如y＝f(ωx＋φ)的三角函数在
【名师点评】
求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，
往往把ωx＋φ看作一个整体．
变式训练 2 ________.
1 (1)函数 y＝ sin2x 的最小正周期 T＝ 2
(2)(2009 年高考江西卷)函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx 的最小正周期为( ) 3π A．2π B. 2 C．π π D. 2
§3.5 三角函数的图像与性质
§ 3.5 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质
双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理
1．周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个______ 非零 实数T，使得当x取定义域内的每一个值时， _______________都成立，那么就把函数y＝f(x)叫 f(x＋T)＝f(x) 作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周 期．对于周期函数来说，如果所有的周期中存在 最小正 着一个最小的正数，就称它为________周期，今 后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般 最小正周期 都是指它的_____________．
2sinx－1>0，
即tanx≤－1， x 2＋π≠kπ＋πk∈Z. 8 2
1 sinx> ， 2 可利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组 的解集，如图所示，
π π 有kπ－2 <x≤kπ－4 k∈Z， x≠2kπ＋3πk∈Z. 4
π 5π 2kπ＋ <x<2kπ＋ k∈Z， 6 6
2
1 . 2
1 故当－ ≤u≤1 时， y＝u2＋u 是增函数， 所求 x 的范 2 1 围应使 u＝sinx 是增函数且满足条件－ ≤sinx≤1， 2 π π 则 2kπ－ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)； 6 2 1 当－1≤u≤－ 时，y＝u2＋u 是减函数，所求 x 的范 2 围应使 u＝sinx 是减函数且满足条件－1≤sinx≤－ 1 ， 2
3 π ∴y＝sin(－ x＋ )的单调递增区间是 2 4 4kπ 5π 4kπ π [－ － ，－ － ](k∈Z)． 3 6 3 6 π (2)该函数的定义域为 R，y＝f(x)＝1－2cos( －x)＝1 3 π －2cos(x－ )，所以 f(x)的单调增区间恰为 g(x)＝ 3 π 2cos(x－ )的单调减区间， 3
合集下载
2012高考数学总复习课件：第五单元 第五节 三角函数的图象和性质Ⅰ
c sin x d c cos x d
|cosx|≤1来解决． ⑤y＝ a sin x b 型，可用有界性来解决．
c cos x d
变式训练1
的定义域；
(1)求函数f(x)＝
3 siபைடு நூலகம் x 的值域． 3 sin x
3 tan x
(2)求函数y＝log2
【解析】 (1)由 3 －tanx≥0，得tanx≤
＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ .
8
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图 象．
【解析】 (1)∵x＝ 是函数y＝f(x)图象的对称轴， 8 ∴sin ＝±1，∴ ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)． 2 ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ 4 . 8 2 3 (2)根据y＝sin ，列表： 4
当2kπ－
≤2x＋ 2
12
≤2kπ＋ 3
＋ 3 ＝ 1 sin 2
2
5 (k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋ 2 12
2x 3
＋ 3 .9分 2
(k∈Z)时，函数h(x)＝ sin
1 3 2x ＋ 是增函数，11分 3 2 2
故函数h(x)的单调递增区间是
即y＝log2 3 sin x 的值域为[－1,1]．
3 sin x
画三角函数的图象
画出函数f(x)＝
2 sin 2 x
4
在一
个周期内的图象．
分析
依据正弦函数作图的三个主
要步骤，即列表、描点、连线．
解 (1)列表如下：
2x－ x f(x)
4
0
|cosx|≤1来解决． ⑤y＝ a sin x b 型，可用有界性来解决．
c cos x d
变式训练1
的定义域；
(1)求函数f(x)＝
3 siபைடு நூலகம் x 的值域． 3 sin x
3 tan x
(2)求函数y＝log2
【解析】 (1)由 3 －tanx≥0，得tanx≤
＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ .
8
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图 象．
【解析】 (1)∵x＝ 是函数y＝f(x)图象的对称轴， 8 ∴sin ＝±1，∴ ＋φ＝kπ＋ (k∈Z)． 2 ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ 4 . 8 2 3 (2)根据y＝sin ，列表： 4
当2kπ－
≤2x＋ 2
12
≤2kπ＋ 3
＋ 3 ＝ 1 sin 2
2
5 (k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋ 2 12
2x 3
＋ 3 .9分 2
(k∈Z)时，函数h(x)＝ sin
1 3 2x ＋ 是增函数，11分 3 2 2
故函数h(x)的单调递增区间是
即y＝log2 3 sin x 的值域为[－1,1]．
3 sin x
画三角函数的图象
画出函数f(x)＝
2 sin 2 x
4
在一
个周期内的图象．
分析
依据正弦函数作图的三个主
要步骤，即列表、描点、连线．
解 (1)列表如下：
2x－ x f(x)
4
0
第五章第四节三角函数的图象与性质课件共63张PPT
偶__函__数__
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
2012届高三数学最新复习课件：三角函数的图像与性质
7π 3π 则 2kπ＋ ≤ x≤ 2kπ＋ (k∈ Z)． 6 2 综上所述，函数 y＝ sin2x＋ sinx 的单调递增区间是 π π 7π 3π [2kπ－ ， 2kπ＋ ]和 [2kπ＋ ， 2kπ＋ ]，k∈ Z. 6 2 6 2
【误区警示】
(1)单调区间是定义域的子区间，
因而应先求定义域．
例4 (1)(2010年高考陕西卷)函数f(x)＝
2sinxcosx是(
)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π偶函数
(2)(2009 年高考全国卷Ⅰ )如果函数 y＝ 3cos(2x＋ φ) 4π 的图像关于点 ( ，0)中心对称，那么 |φ|的最小值为 3 ( ) π π A. B. 6 4 π C. 3 π D. 2
§3.5 三角函数的图像与性质
§ 3.5 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质
双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
Байду номын сангаас
基础梳理
1．周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个______ 非零 实数T，使得当x取定义域内的每一个值时， _______________ 都成立，那么就把函数y＝f(x)叫 f (x＋T)＝f(x) 作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周 期．对于周期函数来说，如果所有的周期中存在 最小正 周期，今 着一个最小的正数，就称它为________ 后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般 最小正周期 ． 都是指它的_____________
互动探究 1
π 若将例 2(1)、 (3)中的 x∈R 改为 x∈[ ， 6
高三复习课件_三角函数的图像和性质
， k∈ Z，
考点 2
三角函数的值域及最值
求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为： (1)y ＝ asinx ＋ bcosx 型可引用辅助角化为 y ＝ a2＋b2 b sin(x＋φ)(其中 tanφ＝a)． (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 型可通过降次整理化为 y＝Asin2x＋Bcos2x. (3)y＝asin2x＋bcosx＋c 型可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx 与 sinx± cosx 同时存在型可换元转化． asinx＋b acosx＋b (5)y＝ (或 y＝ )型， 可用分离常数法或由 csinx＋d ccosx＋d |sinx|≤1 来解决． asinx＋b (6)y＝ 型，可用斜率公式来解决． ccosx＋d
对称中心
[小题能否全取]
π 1．函数 y＝tan4－x的定义域是 π A.xx≠4 ，x∈R
(
)
π B. x x≠－4
，x∈R ，k∈Z，x∈R ，k∈Z，x∈R
π π sin－18>sin－10.
答案：>
π 5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋4 的最大值为________．
此时 x＝________.
解析： 当
π cosx＋4 ＝－1
时， 函数
π y＝2－3cosx＋4 取
奇偶性
奇
函数
y＝ sinx
y＝ cosx 对称中心 (kπ
y＝ tanx 对称中心
π ＋ ， 0)， k∈ kπ 2 ( kπ ， 0)， k∈ Z ( ， 0)， k∈ Z 对称 2 Z 性 对称轴 l：x＝ 对称轴 l：x＝ 无 π k π ＋ ， k∈ Z kπ ， k∈ Z 2 周期 性 2π 2π π
高三数学总复习《三角函数的图象和性质》课件
）
提示:由五点作图法可知答案为A. 答案:A
2.函数y sin 2x 的图象的对称轴方程可能是（ 3
A.x C.x
）
6
B.x D.x
12
6
12
解析:逐个检验.
答案:D
3. 2009? 广东函数y 2cos x 1是（ 4 A.最小正周期为的奇函数
)
解析 :由题意得, 将y sin x 3 3
向左平移 个单位, 再向下平移3个单位后, 得到的解析 3 2 式即y sin x 即为所求. 3
2 解法一 : 将y sinx图象上各点沿x轴向右平移
个
解法二 : 将y sinx图象纵坐标不变, 横坐标伸长到原来 x x 的2倍, 得到y sin 的图象, 再将y sin 的图象上各点 2 2 2 x 沿x轴向右平移 个单位, 得到y sin( )的图象, 最 3 2 3 x 后将y sin( )的图象横坐标不变, 纵坐标扩大为原 2 3 x 来的3倍得到y 3sin 的图象. 2 3
变式1 : 将一个函数的图象按沿x轴向右平移 个单位, 3 再向上平移3个单位后得到的图象的解析式为y sin
x 3, 那么原来的函数解析式是( 3 B.y cosx A.y sinx
2 C.y sin x 3 D.y sinx 6
点评 : 1 利用?五点法”作y Asin x 的图象时, 应 3 令 x 分别等于0, , , , 2 解出x, 取好特殊点根 . 2 2 据曲线的凹凸性作图.
三角函数的图像和性质教学课件
图像变化
当角度增加时，余 弦函数的值会减小， 图像会向中心靠拢； 当角度减小时，余 弦函数的值会增加， 图像会向外扩展。
图像周期
余弦函数的图像具 有周期性，周期为 360度。在一个周 期内，图像会重复 出现。
正切函数的图像
图像形状
01 正切函数的图像在直角坐标系中呈现出周期性和无界性，其形状类似于波浪线。
调性。
PART 04
三角函数的应用
在几何学中的应用
三角函数在几何学中有着广泛的应用， 例如在计算角度、长度、面积等方面。
三角函数可以帮助我们理解几何图形的 性质，例如在研究圆、椭圆、抛物线等 方面。
三角函数还可以用于解决一些几何问题， 例如在计算最短路径、最大面积等方面。
在物理学中 的应用
交流电
三角函数的基本性质
周期性
三角函数（如正弦函数和 余弦函数）具有明显的周 期性，这意味着它们的图 像会重复出现。
振幅和相位
振幅和相位是描述三角函 数的重要参数。振幅决定 了图像的最高点和最低点， 而相位决定了图像在垂直 方向上的位置。
奇偶性
三角函数中的正弦函数和 余弦函数具有不同的奇偶 性。正弦函数是奇函数， 而余弦函数是偶函数。
图像变化规律
02 正切函数的图像随着角度的变化而呈现周期性的变化，其变化规律是每隔180度重复一次。
图像与x轴交点
03 正切函数的图像与x轴的交点是无穷多个，且分布不均，主要集中在x轴的两侧。
其他三角函数的图像
正切函数图像在直角坐标系中呈现 出周期性和无界性，是三角函数中 较为特殊的一种。
余切函数图像与正切函数图像互为 反函数，在直角坐标系中呈现出对 称性和周期性。
工程学
在工程学中，三角函数可以用于解决各种实际问题，如结 构工程中的应力分析、机械工程中的振动分析等。
2012高考数学总复习课件第五单元第六节三角函数的图象和性质Ⅱ
变化，而不是“角”变化多少．
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ| 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞
0)，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞
0)，再沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移 个单位，
便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
5．确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω； (2)确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点
8
4
(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后，得到f（x- ）
的图象；再将所得图象的横6 坐标伸长到原来的4倍6，纵
坐标不变，得到f( x - )的图象．
4
6
gx
f x 4
6
2
c
os2
x 4
6
2 cos x
2 3
2k x 2k k z
23
当 4k 2k x 4k 8 k z 时，g(x)单调递减．
分析 观察所给表格中的数据，水深随时间的变化呈现
周期规律，因此可以考虑用三角函数模型进行模拟，不妨 选正弦函数，并求解析式，由解析式研究问题(2)．
解 (1)函数y＝f(t)可近似地看作y＝Asinωt＋k，
由数据知，它的周期T＝12，振幅A＝3，k＝10.
∵ 2 ＝12，
∴ω＝ ，
6
故y＝3sint＋10.
8
(2)利用函数图象的变换确定出新函数y＝g(x)的解析
式，再求出其单调递减区间．
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ| 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞
0)，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞
0)，再沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移 个单位，
便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
5．确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω； (2)确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点
8
4
(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后，得到f（x- ）
的图象；再将所得图象的横6 坐标伸长到原来的4倍6，纵
坐标不变，得到f( x - )的图象．
4
6
gx
f x 4
6
2
c
os2
x 4
6
2 cos x
2 3
2k x 2k k z
23
当 4k 2k x 4k 8 k z 时，g(x)单调递减．
分析 观察所给表格中的数据，水深随时间的变化呈现
周期规律，因此可以考虑用三角函数模型进行模拟，不妨 选正弦函数，并求解析式，由解析式研究问题(2)．
解 (1)函数y＝f(t)可近似地看作y＝Asinωt＋k，
由数据知，它的周期T＝12，振幅A＝3，k＝10.
∵ 2 ＝12，
∴ω＝ ，
6
故y＝3sint＋10.
8
(2)利用函数图象的变换确定出新函数y＝g(x)的解析
式，再求出其单调递减区间．
《高中数学课件：三角函数的图象与性质》
2 余弦函数
讲解余弦函数的最小正周期，以及周 期性质在图象上的体现。
3 正切函数
介绍正切函数的最小正周期，以及周期性质在图象上的体现。
三角函数的奇偶性质
1
正弦函数
说明正弦函数的奇函数性质，即关于原点对称。
2
余弦函数
阐述余弦函数的偶函数性质，即关于y轴对称。
3
正切函数
指出正切函数的既非奇函数也非偶函数性质。
三角函数的单调性质
正弦函数
讲解正弦函数在不同区间上 的单调性质及其图象。
余弦函数
介绍余弦函数在不同区间上 的单调性质及其图象。
正切函数
解释正切函数在不同区间上 的单调性质及其图象。
三角函数的最值与零点
最值
阐述正、余弦和正切函数的最大值和最小值，以 及对应的角度。
零点
指出正弦、余弦和正切函数的零点，即函数值等于0 的角度。
高中数学课件：三角函数 的图象与性质
本课件将带领你深入了解三角函数的图象与性质，从基本定义到应用，掌握 数学的奥秘。
三角函数的定义及表示方法
1 定义
介绍正弦、余弦和正切函 数的定义，及其在单位圆 上的几何意义。
2 表示方法
介绍三角函数的符号表示 方法，包括弧度制和角度 制。
3 关系
解释三角函数之间的关系， 如正弦和余弦的关系。
三角函数的图象及其特征
1
正弦函数
展示正弦函数的图象及其关键特征。
2
余弦函数
演示余弦函数的图象及其关键特征。
3
正切函数
说明正切函数的图象及其关键特征。
三角函数图象的变换
1 平移
解释图象在横向和纵向平移时的变化 规律。
3 反射
广东省2012届高考数学理二轮专题复习课件：专题2 第12课时 三角函数的图像与性质
f n =100 [Acos(n 2 k]来刻画．其中，f n 表
3
示从业人数，n表示月份且n 1,12，n N*，A N*，
k N*， 0.统计发现，该地区每年各个月份从事旅
游服务工作的人数有以下规律：
第十六页，编辑于星期日：九点 三十六分。
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人 数基本相同；
和数字特征，求周期、对称轴、对称中心、定义域、值 域，判断奇偶性、单调性大都靠它．
2．图形的变换(平移、伸缩、对称)，“五点法”作 图及其应用是重要的考点．
3．给角求值，整体代换意识以及三角函数的应用 是难点．
第二十五页，编辑于星期日：九点 三十六分。
专题二 三角函数、平面向量及 解三角形
第一页，编辑于星期日：九点 三十六分。
考点1 三角函数的图象
例1 (改编题)已知函数f x Asin(x )，A 0， 0，| | .下表是f x一个周期内五个关键点
2 的部分取值：
第二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
1请补充上表空白处，并求f x的解析式； 2 将f x的图象向左平移 个单位长度得到
变式3 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)
的关系式可用E 220 3sin(100 t )来表示，求：
6
1 开始时的电压； 2 最大电压值重复出现一次的时间间隔； 3电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
第二十二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
解析
1当t 0时，E 220
第十七页，编辑于星期日：九点 三十六分。
切入点：①确定周期T 12，解得；②利用最大值
f 8与最小值f 2之差求出A.
解析 1根据三条规律，可知该函数为周期函数，
3
示从业人数，n表示月份且n 1,12，n N*，A N*，
k N*， 0.统计发现，该地区每年各个月份从事旅
游服务工作的人数有以下规律：
第十六页，编辑于星期日：九点 三十六分。
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人 数基本相同；
和数字特征，求周期、对称轴、对称中心、定义域、值 域，判断奇偶性、单调性大都靠它．
2．图形的变换(平移、伸缩、对称)，“五点法”作 图及其应用是重要的考点．
3．给角求值，整体代换意识以及三角函数的应用 是难点．
第二十五页，编辑于星期日：九点 三十六分。
专题二 三角函数、平面向量及 解三角形
第一页，编辑于星期日：九点 三十六分。
考点1 三角函数的图象
例1 (改编题)已知函数f x Asin(x )，A 0， 0，| | .下表是f x一个周期内五个关键点
2 的部分取值：
第二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
1请补充上表空白处，并求f x的解析式； 2 将f x的图象向左平移 个单位长度得到
变式3 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)
的关系式可用E 220 3sin(100 t )来表示，求：
6
1 开始时的电压； 2 最大电压值重复出现一次的时间间隔； 3电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
第二十二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
解析
1当t 0时，E 220
第十七页，编辑于星期日：九点 三十六分。
切入点：①确定周期T 12，解得；②利用最大值
f 8与最小值f 2之差求出A.
解析 1根据三条规律，可知该函数为周期函数，
浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第6课时 三角函数的图象与性质
3
6
第十五页，编辑于星期日：十五点 二十二分。15
（2）由（1）知f (x) 2a sin(2x )．
6
当x [0， ]时，2x [ ，7 ]．
2
6 66
若a 0，当2x 时，f (x)的最大值为2a 5，
62
所以a 5 ； 2
若a 0，当2x 7 时，f (x)的最大值为 a 5，
专题二 三角函数与平面向量
第一页，编辑于星期日：十五点 二十二分。 1
1．熟记y sin x，y cos x，y tan x的图象和性质： 定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性、对称性等．
2．能够把函数化简为y Asin( x )的形式，代公
式求解即可．注意化统一的策略：统一角、统一函数名 称、统一表达式类型．注意辅助角公式的应用．
1 f x cos2x 2 3sinxcosx sin2x cos2x
2sin(2x )．T 2 ，
6
2
由2k 2x 2k ，
2
6
2
得k x k (k Z)，
3
6
f x的单调递增区间是[k ，k ](k Z)．
3
6
2由1知2sin(2 ) 8，sin(2 ) 4，
2
(2)由函数的周期T求ω，ω=
22 ；
T
(3)利用“五点法”中相应的特殊点求φ.
第二十页，编辑于星期日：十五点 二十二分。20
3．函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的
最高点或最低点，对称中心是图象与x轴的交点．
4．求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，
第(1)问是纯三角问题，只需把点(0,1)代入函数的