1.1分类加法计数原理
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
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共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
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类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
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2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
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1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
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5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
N= m×n种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2 设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出 男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少 种不同的选法? 若再要从语,数,外3个
P12 A组 1，2
二、拓展作业： 根据自己的生活经验，举 出一些可以用两个计数原理计 数的实际例子。
例1：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造
化学
医学
会计学
信息技术学
建筑学
广告学 汉语言文学 韩语
物理学
工程学
法学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
分析:
要完成的事是“先后从南京、上海各取一景点”, 南京的景点用6个大写字母A——F表示,上海的 景点用数字1——9表示.
字母
数字 1
得到的景点代号
A1 A2
2
3
A3
A4
4
A
5
A5
A6
6
7 8 树形图 9
A7
A8
6×9 = 54(种) A9
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的 方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. （3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法? 解：需先分类再分步.
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
1.1加法原理和乘法原理
授课主题加法原理和乘法原理教学目标1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．3．能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．教学内容1．分类计数原理(加法原理)做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在笫n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．原理的核心是每一种办法都能将事情完成．例如：某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，在这天的不同时间中，火车有4班，汽车有3班，此人的走法共有4+3=7种选择．2．分步计数原理(乘法原理)做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事有N＝m1 ·m2·…·m n种不同的方法．原理的核心是每一个步骤都依次完成后，这件事情才能完成．例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，此人从底层到三层的走法共有4 2=8种．分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事是分类还是分步．3．加法原理和乘法原理的异同(1)共同点是，它们都是研究完成一件事情共有多少种不同的方法．(2)不同点是，它们研究完成一件事情的方式不同，加法原理是“分类完成”，即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事．乘法原理是“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情．4．根据具体情况选择应用不用的原理(1)完成一件事情有n类办法，若每一类办法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成，则计算完成这件事情的方法总数用加法原理．(2)完成一件事情有n个步骤，若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分，并且必须且只需完成互相独立的这n步后，才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用乘法原理．5．一些非常规计数问题的解法(1)枚举法：将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上也是将分类种数一一列举出来．(2)间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反．(3)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知的问题．在实际应用中，应根据具体问题灵活处理．特别提醒：对于较复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题.题型一分类加法计数原理的应用例1某校高三共有三个班，其各班人数如下表：班级男生数女生数总数高三(1) 32 22 54高三(2) 28 22 50高三(3) 31 20 51(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选法；第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选法；第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝54＋50＋51＝155(种)．(2)由题设知共有三类：第1类，从(1)班女生中任选一名学生，有22种不同选法；第2类，从(2)班女生中任选一名学生，有22种不同选法；第3类，从(3)班男生中任选一名学生，有31种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝22＋22＋31＝75(种)．点评：分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．巩固(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数有() A．50种B．26种C．24种D．616种(2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是()A．12种B．32种C．24种D．64种解析：(1)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有26＋24＝50(种)．故选A.(2)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有4＋8＝12(种)．故选A.答案：(1)A(2)A题型二分步乘法计数原理的应用例24个插班生分到甲、乙、丙三个班，有多少种不同的分法？分析：一个学生分到甲、乙、丙中的某个班，有3种不同方法，一个学生确定到哪个班后，这件事情并没有完成，只有4个学生全部确定各自到哪个班后这件事情才算完成，故应用乘法原理解决．解析：完成4个学生分到3个不同的班级这件事，可按每个学生对班级选择分四步完成，每一步中每一个学生在3个班级中选择1个，有3种选法，由乘法原理得共有34＝81种不同的分法．点评：利用分步乘法计数原理计数的一般思路是首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成，然后找出每一步中有多少种不同的方法，最后求其积，但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后，才能完成整件事．巩固已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为() A．9个B．12个C．8个D．24个解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步，确定a有3种不同的选取方法；第二步，确定b有4种不同的选取方法；第三步，确定r有2种不同的方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24个．故选D.答案：D题型三分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用例3集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，现从A、B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标．(1)可以得到多少个不同的点？(2)在这些点中，位于第一象限的有几个点？解析：(1)第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12个不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12个不同的点．故可以得到24个不同的点．(2)第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取A、B中的正数，同样分两类，所以N＝2×2＋2×2＝8(个)．即这些点中，位于第一象限的有8个点．点评：(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．(2)注意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”．巩固书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有______种不同的取法；(2)从书架上任取两本不同学科的书，有______种不同的取法．解析：(1)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝4×3×2＝24.(2)取一本计算机书和一本文艺书，有4×3＝12种方法；取一本计算机书和一本体育书，有4×2＝8种方法；取一本文艺书和一本体育书，有3×2＝6种方法；所以总的方法数是N＝12＋8＋6＝26.答案：(1)24(2)26题型四分配问题例4(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81(种)．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64(种)．点评：此类分配问题，实际上是分步计数问题，解题的关键是弄清分几步和每一步的方法总数．巩固(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解析：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81种报名方法．(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步．而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4＝43＝64种可能的情况．题型五组数问题例5用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？分析：按末位是0,2,4分三类或千位是2,3,4,5分四类计数或用间接法．解析：法一按末位是0,2,4分为三类．第一类：末位是0的有4×4×3＝48(个)；第二类：末位是2的有3×4×3＝36(个)；第三类：末位是4的有3×4×3＝36(个)．则由分类计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二按千位是2,3,4,5分四类．第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．法三(间接法)用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类．第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2 000小的千位是1的有3×4×3＝36(个)．所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．点评：对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．巩固用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解析：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．题型六涂色问题例6把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问(1)有多少种不同的涂法？(2)若分割成4个扇形呢？解析：(1)不同的涂色方法是5×4×3＝60种．(2)如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形．先考虑给a，c涂色，分两类：第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法．由分步乘法计数原理知，此时共有5×4×4种涂法．第二类给a，c涂不同颜色，共有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法．此时共有5×4×3×3种涂法．由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．点评：涂色问题往往是既要分类又要分步，因此是排列组合中较难的问题．一般根据颜色的异同分类，根据涂色区域分步．巩固将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析：按照S→A→B→C→D的顺序分类染色．第一类：A，C染相同颜色，有5×4×3×1×3＝180(种)；第二类：A，C染不同颜色，有5×4×3×2×2＝240(种)．故共有180＋240＝420种不同的染色方法．（加法）A组1．家住广州的小明同学准备周末去深圳参观旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳有多少种不同的方法()A．90种B．120种C．180种D．360种解析：根据分分类加法计数原理，得方法种数为30＋20＋40＝90(种)．故选A.答案：A2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是()A．9种B．10种C．18种D．24种答案：D3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为()A．8个B．9个C．10个D．12个解析：根据分步乘法计数原理，得乘积个数为3×3＝9(个)，未出现重复的现象．故选B.答案：BB组一、选择题1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语单词卡片，则不同的取法有() A．20种B．600种C．10种D．50种答案：B2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同取法．答案：B3．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为()A．8条B．6条C．5条D．3条解析：依题意，可构成线路的条数为2×3＝6(条)．故选B.答案：B4．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有() A．1×2×3种B．1×3种C．34种D．43种解析：完成每棵树的种植都有4种方法，由分步乘法计数原理得，完成这三棵树的种植的方法总数是4×4×4＝43(种)．故选D.答案：D5．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．故选C.答案：C二、填空题6．如图，从A→C有________种不同走法．答案：67．某校会议室有四个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种．答案：128.在所有的两位数中，则个位数字大于十位数字的两位数共有________个．解析：根据题意将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：36三、解答题9．小明同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的语文书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解析：(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、语文书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12种．(2)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、语文书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、语文书各1本，有4×3＝12种选法；即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47种．10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，知共有6×5×4×4＝480(种)着色方案．（乘法）A组1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种解析：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．故选A.答案：A2．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中的项数是()A．48项B．36项C．24项D．12项解析：要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．故选C.答案：C3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为()A．125个B．15个C．100个D．10个答案：CB组一、选择题1．由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为()A．27个B．18个C．12个D．6个解析：分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数．答案：B2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种答案：A3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为() A．40个B．16个C．13个D．10个答案：C4．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D 中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有()A．180种B．360种C．720种D．960种解析：分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．故选D.答案：D5．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A．14个B．13个C．12个D．10个解析：方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，分析讨论：①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时可以取4个值．故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．因为(a，b)共有4×4＝16种实数对，故答案应为16－3＝13.故选B.答案：B二、填空题6．如图，从A到C有________不同的走法．解析：用列举法可知有8种不同的走法．答案：87．若从1,2,3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有________种．答案：668．把9个相同的小球放入编号为1,2,3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有____种．解析：第一个箱子放入1个小球则共有4种情况，第一个箱子放入2个小球则共有3种情况，第一个箱子放入3个小球则共有2种情况，第一个箱子放入4个小球则共有1种情况，据分类加法计数原理共有10种情况．答案：10三、解答题9．从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？解析：从整体看需分类完成，用分类计数原理．从局部看需分步完成，用分步计数原理．第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外)；第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有(8×9)个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有(9×9)种，而百位数字上是2的只有200符合．所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)．10．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解析：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，共有4×3×2＝24(种)方法．第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×3×3＝216(种)方法．11。
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2012-12-25
发现新知 探究（1）以上两个问题都是研究 完成一件事情 的方 法种数 两类 （2）第一个问题完成一件事有 不同案，在 第1类方案中有m1种不同的方法; 在第2类方案中有m2种不同的方法; 那么完成这件事共有 m1+m2 种方法. （3）第二个问题完成一件事有 三 类 不同案，在 第1类方案中有m1种不同的方法; 在第2类方案中有m2种不同的方法; 在第3类方案中有m3种不同的方法; m1+m2+m3 种方法. 那么完成这件事共有 2012-12-25
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每
一类中满足条件的两位数分别是:
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个)
解题关键：从总体上看做这件事情是“确定分类标准每 类方案中有几种方法（不重不漏）” 再根据加法计数原 理计算.
布置作业:
2012-12-25
布置作业: 1、已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个 点则经过这13个点可以确定几个不同的平面? 2、高二（9）班共52位同学暑期聚会结束时彼 此握握手，互相道别，请你统计一下，大家握 手次数共有多少？ 3、编一道运用分类加法原理的解答题，并加 以解答。
2012-12-25
2012-12-25
小结：
何时用加法原理呢?应用中注意什么问题？
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方案 中的任何一种方法均能将这件事情从 头至尾完成。
注意分类标准要一致、具体，要做到“不重不 漏”
2012-12-25
结束语
两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。
（4）若完成一件事情有n类不同的方案，在每 一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当 如何计数呢？
2012-12-25
数学归纳
分类加法计数原理
完成一件事情，有n类不同方案, 在第一类方案中有m1种不同的方法， 在第二类办法中有m2种不同的方法， ……， 在第n类办法中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有 N=m1+m2+„+mn ＿＿大于十位数字的 两位数共有多少个？ 分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每 一类中满足条件的两位数分别是: 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).
2012-12-25
2012-12-25
原理应用
例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体如下: A大学 B大学
分析:两大 学只能选 一所一专 业,且没有 共同的强 项 专 业
生物学 化学 医学 物理学 工程学 5
数学 会计学 信息技术学 法学 + 4 =9
2012-12-25
4.如图,该电路,从 A到B共有多少条 不同的线路可通 电？
A
B
2012-12-25
谢谢大家的指导！！
2012-12-25
2012-12-25
提出问题、
（1）用A~Z或0~9给教室的座位编号
分析: 给座位编号有2类方法, 第一类方法, 用英文字母，有26种号码; 第二类方法, 用阿拉伯数字，有10种号码; 所以 有 26 + 10 = 36 种不同号码.
2012-12-25
（2）、从渭南到西安，可以乘火车、汽车，也可 以乘动力车。一天中，火车有20 班，汽车有40班 ，动力车有4班。那么一天中乘坐这些交通工具从 渭南到西安共有多少种不同的去法? 分析: 从渭南到西安有3类方法, 第一类方案, 乘火车，有20种方法; 第二类方案, 乘汽车，有40种方法; 第三类方案，乘动力车，有4种方法； 所以 从渭南到西安共有 20+ 40+4 = 64 种方法