清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-05本构关系
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清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-04应变理论
v dx x
v dy y x
16
v dx x
dx
u
u d x ＋u x
x
位移和应变
由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上 的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为 A: B:
u( x d x, y, z ) ; v( x dx, y, z ) u( x, y d y, z ) ; v( x, y dy, z )
Taylor 级数展开：
du 1 d2u 2 u x dx u x dx dx 2 dx 2 dx
8
Chapter 4.1
位移和应变
单轴应变
略去高阶项：
du l u x dx u x dx dx
单轴应变（工程应变）定义为：
位移和应变
1 2 (dS 2 dS0 ) da E da 2
根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。
1 xm xm E ji ji 2 a j ai
A: B:
u v u dx , v dx x x u v u d y , v d y y y
Chapter 4.1
17
位移和应变
按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而 略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分 量为
u v u dx , v dx x x u v u d y , v d y y y
OP x xi ei OQ x dx ( xi dxi )ei
PQ OQ OP dx dxi ei
36
Chapter 4.2
位移和应变
变形前后，线元 PQ 和 PQ的长度平方为
FXQ-材料力学-第5章
FQ
例题1
FP l 4
5 4
2
1
x
1
2
TSINGHUA UNIVERSITY
3 2
Mz
S平面
2
x
2
1
3
3
5
一点处应力状态描述及其分类
TSINGHUA UNIVERSITY
l
FP
例题2
S
a
5
一点处应力状态描述及其分类
y
TSINGHUA UNIVERSITY
1 例题2
4 2
q
x'y'
x´
x'
5
平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
用 q 2 斜截面截取
TSINGHUA UNIVERSITY
y
´ y x'y'
y x
x'
x´
q
q 2
x
y
y y x
x'y'
x y y x
杆件横截面上正应力与剪应力分析结果 表明，一般情形下，杆件横截面上不同点 的应力是不相同的。本章还将证明，过同 一点的不同方向面上的应力，一般情形下 也是不相同的。因此，当提及应力时，必 须指明“哪一个面上、哪一点”的应力或 者“哪一点、哪一个方向面”上的应力。 此即“应力的点和面的概念”。 所谓应力状态又称为一点处的应力状态， 是指过一点不同方向面上应力的集合。
TSINGHUA UNIVERSITY
y
y
yx
y'
xy
y'x'
x
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-张量_图文
Appendix A.4
张量分析引论
矢量和张量的记法，求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A
张量代数&商判则
相等
若两个张量
和
相等
则对应分量相等
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则 它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。
坐标与坐标转换
向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：
Appendix A.3
坐标与坐标转换
由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式
Appendix A.3
坐标与坐标转换
坐标转换的矩阵形式(设新老 坐标原点重合)
Appendix A.3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
Appendix A.2
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而自动消失。
Appendix A.3
坐标与坐标转换
笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
任意坐标系
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
概念 • 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时， 空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 • 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi
张量分析引论
矢量和张量的记法，求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量的分量转换规律 张量代数，商判则 常用特殊张量，主方向与主分量
Appendix A
张量代数&商判则
相等
若两个张量
和
相等
则对应分量相等
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则 它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。
坐标与坐标转换
向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：
Appendix A.3
坐标与坐标转换
由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式
Appendix A.3
坐标与坐标转换
坐标转换的矩阵形式(设新老 坐标原点重合)
Appendix A.3
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
Appendix A.2
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而自动消失。
Appendix A.3
坐标与坐标转换
笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
任意坐标系
坐标变化时，矢径的变化为
Appendix A.3
坐标与坐标转换
概念 • 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时， 空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 • 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi
第九章 空间问题
半空间问题
81
Chapter 9.5
半空间问题
82
Chapter 9.5
半空间问题
83
Chapter 9.5
接触问题
84
Chapter 9.6
接触问题
85
Chapter 9.6
接触问题
86
Chapter 9.6
接触问题
87
Chapter 9.6
接触问题
88
Chapter 9.6
接触问题
yz
v z
w y
zx
u z
w x
(4 6)
(4 2)
若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 ui 来表示。现在来进行
推导：将式(4-2)代人式(4-6)得
x
y
e 2G e 2G
u x v y
z
接触问题
98
Chapter 9.6
接触问题
99
Chapter 9.6
接触问题
10
Chapter 9.6
0
接触问题
10
Chapter 9.6
1
§8-1 弹性力学问题的一般解
前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的 简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在 平面问题中进行了检验。
力学问题中是极为重要的理论基础。
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ui ui，则可直接进行计算。
如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件，
5弹塑性本构关系简介
p ij , ij
p 塑性功 wp σij d ij
ij
p p d ij Dijkld kl
p d ij f , ij d
f ,k dk Md
p f , ij d ij f , p d ij f , k dk 0
ij
p f , ij d ij f , p Dijkld kl Md 0
2G ij Dijkl kl ( ij kl 2G ik lj ) kl 1 2 i 1, j 2, k 1, l 2 2G 12 D121212 ( 1212 2G11 22 )12 1 2
11 1
12 0
应力空间表述的弹塑性本构关系 韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
屈服上限 屈服下限 弹性极限 残余变形
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
弹性变形
y
卸载、反向加载 包辛格效应
反向屈服点
y
1) 屈服准则
判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件 或塑性条件。弹性和塑性区的分界面称为屈服面。 从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服 条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。 f 0 ( ij ) 0 ，它只与当前应力状 初始屈服条件可表为： 态有关。初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件 p f ( ij , ij , k ) 0 。 称后继屈服面， p 如果一点应力的 f ( ij , ij , k ) 0 ,则此点处于弹性 p 状态，如果 ij , ij , k ) 0 ，则处于塑性状态。 f(
全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即
p 塑性功 wp σij d ij
ij
p p d ij Dijkld kl
p d ij f , ij d
f ,k dk Md
p f , ij d ij f , p d ij f , k dk 0
ij
p f , ij d ij f , p Dijkld kl Md 0
2G ij Dijkl kl ( ij kl 2G ik lj ) kl 1 2 i 1, j 2, k 1, l 2 2G 12 D121212 ( 1212 2G11 22 )12 1 2
11 1
12 0
应力空间表述的弹塑性本构关系 韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
屈服上限 屈服下限 弹性极限 残余变形
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
弹性变形
y
卸载、反向加载 包辛格效应
反向屈服点
y
1) 屈服准则
判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件 或塑性条件。弹性和塑性区的分界面称为屈服面。 从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服 条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。 f 0 ( ij ) 0 ，它只与当前应力状 初始屈服条件可表为： 态有关。初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件 p f ( ij , ij , k ) 0 。 称后继屈服面， p 如果一点应力的 f ( ij , ij , k ) 0 ,则此点处于弹性 p 状态，如果 ij , ij , k ) 0 ，则处于塑性状态。 f(
全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
弹性理论相关张量基础
e3
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A
清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-平面问题-A_图文
非零应变分量 x , y , xy ( x, y)
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变问题基本场变量：
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
x =x(x,y) y =y(x,y) txy =txy(x,y) z =z (x,y) txz =tyz =0
钢材
0.3
1.10
1.43
环氧树脂
0.48
1.29
1.92
其中E*/E对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般不 超过30％
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
基本解法 (以平面应力为例)
位移解法
代入
代入
用位移表示的平 衡方程(L-N方程)
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
平面应力问题的位移解法基本方程。
协调方程：
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
边界条件：
在力边界上
在位移边界u上
很多情况下，两类平面问题是统一的。只要解出 其中一个，另一个可用替换弹性常数来得到。
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
泊松比越大，两类平 面问题的差别越大，
材料
E*/E
*/
水泥
0.1
1.01
1.11
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
u =u (x,y) v =v (x,y) w=0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0 x ,y ,txy, z 不独立 txz= tyz= 0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变问题基本场变量：
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
x =x(x,y) y =y(x,y) txy =txy(x,y) z =z (x,y) txz =tyz =0
钢材
0.3
1.10
1.43
环氧树脂
0.48
1.29
1.92
其中E*/E对应力影响较大，所以两类平面问题的差一般不 超过30％
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
基本解法 (以平面应力为例)
位移解法
代入
代入
用位移表示的平 衡方程(L-N方程)
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
平面应力问题的位移解法基本方程。
协调方程：
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
边界条件：
在力边界上
在位移边界u上
很多情况下，两类平面问题是统一的。只要解出 其中一个，另一个可用替换弹性常数来得到。
Chapter 7.2
平面问题的基本解法
泊松比越大，两类平 面问题的差别越大，
材料
E*/E
*/
水泥
0.1
1.01
1.11
u =u(x,y) v =v(x,y) w=0
u =u (x,y) v =v (x,y) w=0
Chapter 7.1
平面问题及其分类
平面应变
x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0 x ,y ,txy, z 不独立 txz= tyz= 0
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广义胡克定律的一般形式是：
e C ij
ijkl kl
C 是四阶刚度（弹性）张量。
eij Dijkl kl
D 是四阶柔度张量。
39
Chapter 5.2
广义胡克定律
确 定 线 弹 性 材 料 常 数 的 历 史 过 程
40
Navier (1785-1836)
Cauchy (1789-1857)
ν
y
E
e x是由于z的作用所产生的相对缩短
e
x
ν
z
E
22
Chapter 5.1
广义胡克定律
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
ex
x
E
ν
y
E
νz
E
1 E
x
ν
y z
同理可得到在y轴和z轴方向的应变
ey
下节中将证明 Cijkl Cklij
42
Cijkl C jikl
Chapter 5.1
广义胡克定律
Cijkl C jikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
x c11e x c12e y c13e z c14 xy c15 yz c16 zx
由三部分组成，即
y
o
y
e x e x e x e x
y
x x z
21
Chapter 5.1
广义胡克定律
e x e x e x e x
其中e x 是由于x的作用所产生的相对伸长
e x
x
E
e x是由于y的作用所产生的相对缩短
e
x
E 0; G 0; K 0
34
Chapter 5.1
广义胡克定律
∵ E 0; G 0; K 0
G= E 2(1 + ν)
K
2 3
G
E
31 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即 1 0.5
35
Chapter 5.1
广义胡克定律
E
1 1
2
ij
令
1
E
1
2
则 ij 2Geij ekkij
29
Chapter 5.1
广义胡克定律
弹性关系的常规形式为
x 2Ge x ; xy G xy y 2Ge y ; yz G yz x 2Ge z ; zx G zx
J. R. Rice
Chapter 2.1 33
引言
应力张量 应力平衡方程：
位移矢量 u
ji, j fi 0
应变张量 e 几何方程：
eij (ui, j ui, j ) / 2
（应变协调方程： e e e mjk nil ij,kl 0 ）
4
Chapter 5
引言
本构关系
1 E
y
ν x
z
ez
1 E
z
ν
x y
23
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
24
Chapter 5.1
Poisson (1781-1840)
Neumann (1798-1895)
Saint-Venant (1797-1886)
Voigt (1850-1919)
Chapter 5.1
广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的ekl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G= E 2(1 + ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
e ij
1
E
ij
E
kk ij
26
Chapter 5.1
广义胡克定律
ex
1 E
x
ν
y z
ey
1 E
y
ν x
z
ez
1 E
8
Chapter 5.1
弹性的定义
弹性本构关系：
σ TF,a
其中
F x a
94
F
Chapter 2.1
弹性的定义
弹性本构关系：
应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。
T e, a 小变形弹性本构关系
σ T ε 均匀材料的小变形弹性本构关系
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
ex
1 E
x
ν
y z
ey
1 E
y
ν x
z
ez
1 E
z
ν
x y
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
25
Chapter 5.1
广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Geij ekkij
E
1
e ij
E
1 1
2
e kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引 起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变， 它们是互不耦合的。
38
Chapter 5.2
广义胡克定律
各向异性本构关系
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起任何一个应变分量的变化。
31
Chapter 5.1
广义胡克定律
0 K ; ij 2Geij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变e ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状 变化)
弹性的定义
由实验可知当加载到A点后
卸载，加载与卸载路径并不 B
A
完全重合，亦即应力与应变
之间不是单值对应的关系。
C
OBACO称为滞后回线。其 o
e
所包含的面积称为滞后面积。
7
Chapter 5.1
弹性的定义
对大多数材料来讲，当 应力加载幅值较小时， 滞后回线非常窄小，可 以认为加载与卸载是重 合的。因此应力与应变 间可看作是单值对应关 系。
32
Chapter 5.1
广义胡克定律
常用的三套弹性常数
E、ν
单拉测定
Lamé常数：G、λ
K、G
静水压、纯剪 （扭转）测定
33
Chapter 5.1
广义胡克定律
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)， 所以
第五章 本构关系
Constitutive Relation
冯西桥 清华大学工程力学系
2006.11.02
1
目录
引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性
2
Chapter 5
弹性的定义
Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia
ez
1 2
E
x y z
1 2
E
3K
其中
K E
3(1 2 )
称为体积模量。
28
Chapter 5.1
广义胡克定律
∵ eij
1
E
ij
E
kkij
;
1 2
E
∴
ij
E
1
e ij
1
ij
2Ge ij
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 e x和纵向相对伸长 e y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
e y νe x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
20
Chapter 5.1
广义胡克定律
线弹性叠加原理
z
先考虑在各正应力作用
z x
下沿 x 轴的相对伸长，它
11
Chapter 5.1
弹性的定义
超弹性（Green）
两个假设 ➢ 弹性体的响应仅依赖于当前的状态； ➢ 弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。
Chapter 2.1 12 7
弹性的定义
超弹性（Green）
线弹性:
ij
W
e ij
W
1 2
Cijkl
e
ij
e
kl