控江中学高二上期末解析(2020.1)
浙江省湖州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【答案】
1 (1). 2
(2). 3
【解析】
【分析】
正方体的内切球半径为棱长的一半，正方体的外接球的半径为体对角线的一半，由球的表面
积公式求解即可.
1 【详解】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，则棱长为 1 的正方体的内切球的半径是 2
R 12 12 12 3
正方体的外接球的半径为体对角线的一半，则
【详解】 O1(0, 0),O2 (2, 1)
，
k
01 02
1 2
，所以 O1O2
的方程为
y
1 2
x
；
d 4
两圆方程相减得公共弦所在的直线方程： 2x y 4 0 ，圆心 O1(0, 0) 到其距离为
5，
| AB | 2 4 16 4 5
于是
5 5.
y1x 4 5
故答案为：
2；5
【点睛】本题主要考查了由直线上的两点求斜率以及直线方程，两圆相交的弦长问题，属于
所以 D1C (0,1, 1), D1Q (x, y, 1)
由于
D1C
D1Q
|
D1C
|
|
D1Q
|
cos
4
，
y 1
所以
2
x2 y2 1
2 2 ，平方得 y2 2 y 1 x2 y2 1 ，
即 x2 2 y ，即轨迹为抛物线.
故选：C
【点睛】本题主要考查了由线线角求其他量，属于基础题.
则
tan 1
EM BM
, tan2
EF BF
, tan3
SO OG
EM EF, BM BF EM EF
由直角三角形的性质得，
BM BF
重庆市20192020学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析
高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 已知直线l ：，则直线l 的倾斜角为A. B. C. D. 【答案】 C【分析】【剖析】设直线 l 的倾斜角为，可得，即可得出．【详解】解：设直线l 的倾斜角为，．则，．应选： C．【点睛】本题考察了直线斜率、三角函数求值，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 【答案】 D【分析】【剖析】先把抛物线化为标准方程为，再求准线．【详解】解：抛物线的标准方程为，，张口向上，准线方程为，应选： D．【点睛】在解答的过程中间充分运用抛物线的方程与性质是解题的重点．3. 命题“，使”的否认为（）A.，B.，C.，D.，【答案】 A由于全称命题的否认是特称命题，因此命题“，使”的否认为“，使”，应选 A.4. 由点引圆的切线的长是（）．A. B. C. D.【答案】 C【分析】点到圆心的距离为，圆的半径为依据勾股定理可得切线长为，应选 C.5. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则 a 的值为A. B. C.3 D.【答案】 B【分析】【剖析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可获得所求值．【详解】解：函数的导数为，可得在点处的切线斜率为3，由切线与直线垂直，可得，应选： B．【点睛】本题考察导数的运用：求切线的斜率，考察两直线垂直的条件：斜率之积为，考察方程思想，属于基础题．6. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A. B. C. D.【答案】 D【剖析】求得椭圆的焦点，可得双曲线的，由双曲线的渐近线方程可得， b 的关系，解方程可得aa ，b 的值，从而获得所求双曲线的方程．【详解】解：椭圆 的焦点为，可得双曲线的，即， 由双曲线的渐近线方程为 ，可得 ， 解得，，则双曲线的方程为 ．应选： D ．【点睛】本题考察双曲线的方程和性质，主假如渐近线方程和焦点，同时考察椭圆的方程和 性质，考察运算能力，属于基础题．7. 已知互不重合的直线, 互不重合的平面 , 给出以下四个命题 , 错误 的命题是（）．．A.若 , , ,则B. 若 , ,则//C.若,,,则D.若,,,则【答案】 B 【分析】 【剖析】由线线平行的性质定义能判断A 的正误；由面面平行的性质，可判断B 的正误，由线面垂直的性质，即可判断C 的正误，由线面平行的性质，即可判断D 的正误 .【详解】由题意，在A 中，若 , ,, 则由面面垂直和线面垂直的性质可得 ，因此是正确的；在B 中，若,, 则或 //，因此不正确的；在C 中，若,, , 则由线面垂直的判断定理和性质定理，即可得，因此是正确；在 D中，如下图，若,,, 过直线作平面订交的平面，记，可得，从而因此是正确的，应选B.【点睛】本题主要考察了线面地点关系的判断与证明，此中解答中熟记点、线与面的地点关系的判断定理和性质定理，联合几何体的构造特点是解答的重点，侧重考察了推理与论证能力，属于中档试题 . 8. 实数 x ， y 知足 ，则的取值范围是A. B. C.D.【答案】 C 【分析】 【剖析】 设，则与圆由交点 在依据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得． 【详解】解：设 ，则与圆由交点，圆心 到直线的距离，解得．应选： C ．【点睛】本题考察了直线与圆的地点关系，属中档题．9. 已知过抛物线的焦点F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 ， B 两点，A，则 p 的值为A.2B.4C.D.8【答案】 C 【分析】 【剖析】设直线 AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可获得p．【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，直线 AB的方程为，代入可得，，由抛物线的定义可知，，，，解得．应选： C．【点睛】本题考察了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考察直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．10. 我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如下图的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A.2B.4C.D.【答案】 D【分析】【剖析】由已知求出三棱柱外接球的半径，获得，进一步求得AB，再由棱锥体积公式联合基本不等式求最值．【详解】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．应选： D．【点睛】本题考察多面体的体积、均值定理等基础知识，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11. 已知定义在上的函数知足，此中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】令，，求出函数的导数，依据函数的单一性求出m的范围即可．【详解】解：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故，应选： C ．【点睛】本题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用以及转变思想，是一道中档题．12. 已知双曲线的左、 右极点分别为， 点 F 为双曲线的左焦点， 过点AF 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C 于 、 Q 两点，连结 PB 交 y 轴于点P连结 ， 延伸线交于点 ，且 ，则双曲线的离心率为AE EAQFMCA.B. 2C. 3D. 5【答案】 C【分析】 【剖析】利用已知条件求出P 的坐标，而后求解 E 的坐标，推出 M 的坐标，利用中点坐标公式获得双曲线的 a ， c 关系，由离心率公式可得所求值．【详解】解：由题意可得 ，，，可得 BP 的方程为：， 时，，，，则 AE 的方程为： ， 则 ，由 ，可得 M 是线段 QF 的中点，可得 ， 即 ，即，则，应选： C ．【点睛】本题考察双曲线的简单性质的应用，考察转变思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13. 在棱长为 1 的正方体 中，与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ______．【答案】【分析】【剖析】作出正方体，易知即为所求角，简单得解．【详解】解：正方体中，底面 ABCD，即为与底面 ABCD所成角，易知，，故答案为：．【点睛】本题考察了斜线与平面所成角，属简单题．14. 已知函数，则的单一递加区间为______．【答案】【分析】【剖析】求出函数的导数，解对于导函数的不等式，求出函数的递加区间即可．【详解】解：的定义域是，，令，解得：，故在递加，故答案为：．【点睛】本题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用，是一道基础题．15. 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______．【答案】【分析】【剖析】由几何体的三视图获得该几何体是由底面直径为2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分构成，由此能求出该几何体的体积．【详解】解：由几何体的三视图获得该几何体是由底面直径为2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分构成，该几何体的体积为：．故答案为：．【点睛】本题考察几何体的体积的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意三视图的合理运用．16. 设，分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为 ______．【答案】【分析】【剖析】依据条件求出a，和 c 的值，联合椭圆的定义进行转变，利用三点共线的性质进行求解即可．【详解】解：椭圆中的，即焦点坐标为，，点 M在椭圆的外面，则，当且仅当M，，P三点共线时取等号，故答案为：，【点睛】本题主要考察椭圆定义的应用，利用椭圆定义转变为三点共线是解决本题的重点．三、解答题（本大题共 6 小题，共70.0 分）17. 已知命题；命题q：对于x的方程有两个不一样的实数根．若为真命题，务实数m的取值范围；若为真命题，为假命题，务实数m的取值范围．【答案】（ 1）；（2）【分析】【剖析】依据为真，则p 真 q 真，求出命题p， q 为真命题的等价条件即可为真命题，为假命题，则命题p， q 一个为真命题，一个为假命题，议论即可【详解】解：当命题 q 为真时，则，解得若为真，则 p 真 q 真，，解得，即实数 m的取值范围为若为真命题，为假命题，则p， q 一真一假，若 p 真 q 假，则，解得；若 p 假 q 真，则，解得综上所述，实数m的取值范围为【点睛】本题主要考察复合命题真假关系的应用，求出命题p， q 为真命题的等价条件是解决本题的重点．18. 已知方程C：，若方程 C表示圆，务实数m的范围；在方程表示圆时，该圆与直线l ：订交于M、N两点，且，求m的值．【答案】（ 1）；（2）【分析】【剖析】依据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得m的取值范围，即可得答案；依据题意，由圆C的方程剖析圆心，求出圆心到直线的距离，联合直线与圆的地点关系可得，解可得 m的值，即可得答案．【详解】解：依据题意，若方程C：表示圆，则有，解可得，即 m的取值范围为；依据题意，方程C：，其圆心为，圆心到直线的距离，若圆 C与直线 l ：订交于M、N两点，且，则有，解得；则．【点睛】本题考察直线与圆的地点关系，波及二元二次方程表示圆的条件以及弦长的计算，属于基础题．19. 如下图，在直三棱柱中，为正三角形，，M是的中点，N 是中点．证明：平面；若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长．【答案】（ 1）看法析；（ 2）【分析】【剖析】连结，利用中位线得线线平行，从而得线面平行；设底面边长为a，转变三棱锥的极点为M，利用体积不难列出方程求得 a 值．【详解】解：证明：连结C，是的中点，又 N是的中点，C，又平面，平面，平面解：，是的中点，到平面的距离是 C到平面的距离的一半，如图，作交 AB于 P，由正三棱柱的性质，易证平面，设底面正三角形边长为a，则三棱锥的高，，解得．故该正三棱柱的底面边长为．【点睛】本题考察了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．求的分析式．求在上的最小值．【答案】（ 1）；（2）【分析】【剖析】由题意获得对于a， b 的方程组，求解方程组即可确立函数的分析式；联合中求得的函数分析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确立函数的最小值即可．【详解】，．曲线在点 P 处的切线方程为，即在处有极值，因此，由得，，，因此由知．令，得，．当时，，单一递加；当时，；单一递减；当时，，单一递加 .．又因，因此在区间上的最小值为．【点睛】本题主要考察由函数的切线方程确立函数分析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．21. 如图，中，，ACDE是边长为 6 的正方形，平面底面ABC．求证：平面 EAB；求几何体 AEDCB的体积．【答案】（ 1）看法析；（ 2） 36【分析】【剖析】推导出，平面ABC，由此能证明平面EAB．取 AC的中点 G，连 BG，推导出平面ACDE，由此能求出几何体AEDCB的体积．【详解】证明：为正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ACDE，平面 ABC，．又，，．解： 取 AC 的中点 G ，连 BG ， ，且 ，，且，又平面平面 ABC平面 ACDE ， 几何体 AEDCB 的体积【点睛】本题考察线面垂直的证明，考察几可体的体积的求法，考察空间中线线、线面、面 面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察数形联合思想，是中档题．22. 已知椭圆 ：， 为 C 的下极点， F 为其右焦点， 点 的坐标为，CPG且，椭圆 C 的离心率为．求椭圆 C 的标准方程；已知点 ，直线 l ： 交椭圆 C 于不一样的两点 A ，B ，求 面积的最 大值． 【答案】（ 1） ；（ 2） 1【分析】【剖析】由离心率公式及题中条件可得 a ， b ， c 的方程，解得 a ，b ，即可获得所求椭圆方程；设直线 l 的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，联合基本不等式，可得所求最小值． 【详解】解： 由题意得 ，即有， ，，，，所求椭圆的方程为 ；设直线 l 的方程为，由 ，得 ，得，即或，设，，则，，又由题意得，到直线的距离，的面积，当且仅当，即时取等号，且此时知足，因此的面积的最大值为1．【点睛】本题考察椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考察直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考察基本不等式的运用：求最值，考察化简运算能力，属于中档题．。
交大附中高二上期末详解(2020.1)
交大附中高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．复数z 满足i 1z ⋅=，则Im z = ． 2．已知抛物线24y x =，则其焦点坐标为 ． 3．若i12a z =（i 为虚数单位，0a >），且3||55z =，则a 的值为 ． 4．直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点(1,10)A ，则双曲线的方程是 ． 7．点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点， 则||PQ 的最小值为 ．8．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥uuu r uuu r，若12PF F △的面积为4，则b = ．9．已知a b +∈R 、，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于 ．10．已知曲线2cos ,5:0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩．上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ， 则OP OQ ⋅uuu r uuu r的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图像上一动点，若P 、A 两点之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ．12．已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:(0)O x y r r +=>，设点A为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B 、C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r = ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“1z z +∈R ”是“||1z =”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ） A ．1||1,Re ,2z z z z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C ≥B ．1||1,Re ,2z z z z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭C ≤≥C ．1||1,Im ,2z z z z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C ≥D ．1||1,Im ,2z z z z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭C ≤≥15．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 16．曲线2222:19045x y x y ⎛⎫Γ--+-=⎪⎝⎭，要使直线()y m m =∈R 与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(3,3)-C ．553,,333⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭U U三、解答题17．已知实系数一元二次方程2(,)x ax b a b ++∈R 的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z ．（1）求复数z ，以及实数,a b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、2λ、2λλ-在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅uuu r uuu r uuu r 的值．18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、 C ，且||||||30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040v 秒．（注：信号每秒传播0v 千米）（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐 标系（如图），根据题设条件求观察员所有可能出现 的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收信号的时间相同，求观 察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离； （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为 圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望， 扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆22:11x y m m Γ+=+，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当1m =且1k =时，求点M 、N 的坐标；（2）当2m =时，设EM DM λ=uuu u r uuuu r ，EN DN μ=uuu r uuu r ，求证：λμ+为定值，并求出该值．20．设抛物线2:2(0)y px p Γ=>，00(,)D x y 满足202y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ．（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知椭圆22:11612x y Ω+=，双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A 、B 两点，求OA B △的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中,k m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量0A C BD +=uuu r uuu r r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 1．1- 2．1(0,)16 3．1 4．1arctan 25．5(,1)(,)2-∞+∞U 6．2291y x -=7．2 8．2 9．18 10．19 11．1-或10 12．65【第11题解析】2013江苏高考13题设P 点的坐标为1,(0)x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则222222111||()=22PA x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令1(2)t x t x=+≥，则222||()2(2)PA t a a t =-+-≥．① 当2a ≤，2t =时，2||PA 取得最小值．此时22(2)28a a -+-=，解得1a =-，3a =（舍）； ② 当2a >，t a =时，2||PA 取得最小值．此时228a -=，解得10a =，10a =-（舍）． 故满足条件的实数a 的所有值为1-或10．【第12题解析】考虑如图的特殊位置，000(0,2),(,),(,)(0)A B x r C x r x --->且220194x r +=，02:2A B r l y x x +-=，则2220(2)211914A B O l d r r r r x →===+⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，解得65r =．二、选择题13．B 14．D 15．A 16．C【第15题解析】设直线方程为1x my =+，代入抛物线方程得22(42)10x m x -++=， 由题意，2124220x x m m +=+=⇒=，∴选Ａ．【第16题解析】曲线Γ即229x y +=或22221(9)45x y x y -=+≥的部分曲线Γ的图形如图所示，易得553,,333m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，∴选C ．三、解答题17．（1）2i z =，0a =，4b =；（2）设(,)m ni m n λ=+∈R ，则22222()22122m n m n mni i m n mn λ⎧-==-+=⇒⇒==±⎨=⎩ ①1i λ=+时，22i λ=，21i λλ-=-，则(1,1),(0,2),(1,1)OA OB OC ===-uuu r uuu r uuu r ， ()2OA OB OC +⋅=-uuu r uuu r uuu r，②1i λ=--时，22i λ=，213i λλ-=--，则(1,1),(0,2),(1,3)OA OB OC =--==--uuu r uuu r uuu r，()2OA OB OC +⋅=-uuu r uuu r uuu r， 综上，()2OA OB OC +⋅=-uuu r uuu r uuu r．18．（1）设观察员出现的位置为点(,)P x y ，则0040||||40||60PB PA v A B v -=⋅=<=， ∴点(,)P x y 为双曲线的左支，易得其方程为221(20)400500x y x -=-≤；（2）此时P 为线段AC 的垂直平分线y x =-与221(20)400500x y x -=-≤的交点，解得P -，||OP =（3）||PC ===r至少是19．（1）(0,1)M ，41(,)33N --；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由EM DM λ=uuu u r uuuu r ，EN DN μ=uuu r uuu r 可知向量对应的横坐标相等，从而可得1212,11x x x x λμ==++，联立直线与椭圆方程可得2222(32)6(36)0k x k x k +++-=，∴212221226323632k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12121212231x x x x x x x x λμ+++==+++．20．（1）2211112220()y px y y y px yy p x x ⎧=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩，其中2112y px =，∴221111484(2)0y px y px ∆=-=-=，得证； （2）∵切线A D 、BD 都过点D ，∴由方程思想，知直线00()y y p x x =+表示直线AB ， ∵(4,4)A 在抛物线上，∴2p =，由（1）知切线A D 的方程为42(4)y x =+， 令1x =-，则32y =，即3(1,)2D -，从而直线AB 的方程为32(1)2y x =-，将其代入抛物线方程可得24y x =，可得2340y y --=，∴1y =-或4y =，点B 的坐标为1(,1)4-；（3）设00(,)()D p y y -∈R ，则由（2）的分析可知直线AB 的方程为0()y y p p x =-+（*）， （*）式对任意的0y 都成立，∴0y =，从而x p =，即所求的定点坐标为(,0)p ．21．（1）221412x y -=；（2）设直线l 的方程为3x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线l 与椭圆Ω的方程，得22(34)18210t y ty ++-=，12212218342134t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∴121||||2OA BS OE y y =⋅-==△， 令234(4)t n n +=≥，则OA BS =△ 当92n =时，OA B S △取得最大值； （3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由0A C BD +=uuu r uuu r r，可知1342x x x x -=-，从而有1234x x x x +=+（*），联立直线l 与椭圆Ω的方程，得222(43)8(448)0k x kmx m +++-=，22101612m k ∆>⇒<+，122843kmx x k +=-+，联立直线l 与双曲线Γ的方程，得222(3)2(12)0k x kmx m -+++=， 222220330412k k m k ∆>⎧≠⎧⇒⎨⎨-≠>-⎩⎩，34223km x x k +=--， 由（*）式，得0km =，又考虑到222234121612k k m k ⎧≠⎨-<<+⎩以及,k m ∈Z ，①0k =时，212m <，∴0,1,2,3m =±±±， ②0m =时，23k <，∴0,1k =±，注意到0m k ==情况有重复，∴满足条件的直线l 共有9条．。
2020-2021学年上海市控江中学高二数学文月考试题含解析
2020-2021学年上海市控江中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．D．4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【分析】利用已知条件求出A、B的中点的横坐标即可．【解答】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，AB中点的横坐标为：，则AB中点到y轴的距离为：．故选：B．2. 下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：B【考点】F6：演绎推理的基本方法；F7：进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A是演绎推理，C、D为类比推理．只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选B3. 已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠?，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值．【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，若A∩B≠?，则a=2或a=3，故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．4. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法参考答案：D5. 以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2参考答案：A【考点】轨迹方程．【分析】本题宜借助图形，由图知|OP|2=|OC|2﹣|PC|2，设P（x，y），表示出三个线段的长度，代入等式整理即得．【解答】解：根据题意画出示意图，设圆心为C，切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，故点P的轨迹方程为x2+y2=3故选A6. 已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增，如果且，则的值（）A、恒大于0B、恒小于0C、可能为0D、可正可负参考答案：B7. 关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件[学*科*网]C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：D略8. 对于两个变量进行回归分析时，分别选择了4个模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）A 模型1，相关指数为0.89B 模型2，相关指数为0.98C 模型3，相关指数为0.09D 模型4，相关指数为0.50参考答案：B9. 已知,则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A10. 若函数不是单调函数，则实数的取值范围（）A． B． C ． D ．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合有且只有一个元素,则实数a的取值集合是___________.参考答案：或【分析】讨论两种情况，结合判别式为零即可得结果.【详解】当时，，合题意；当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得．综上，当或时，集合只有一个元素，故答案为.【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及元素与集合的关系，属于中档题.集合的表示方法，主要有列举法、描述法、图示法、区间法，描述法表示集合是最常用的方法之一，正确理解描述法并加以应用的关键是一定要清楚：1,、元素是什么；2、元素的公共特性是什么.12. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e 的取值范围为 ．参考答案：解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．13. 已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝6，则的最大值为_____参考答案：2 【分析】由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定的最大值即可.【详解】，，且；，当且仅当时取等号；；；的最大值为2．故答案为：2．14. 过直线y =x 上一点作圆的两条切线l 1，l 2当l 1，l 2关于直线y =x 对称时，l 1，l 2的夹角的大小为 ▲ ．参考答案：15. 复数z 满足方程i ＝1－i ，则z ＝________.参考答案：－1＋i16. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_________.参考答案： a<0.略17. 中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（2，0）的椭圆的标准方程是__________.参考答案：或三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年广东省八区联考高二上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省八区联考高二上册期末数学试题一、单选题110y ++=的倾斜角是A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【正确答案】C【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.10y ++=的斜率为k ==，因此，该直线的倾斜角为23π，故选C.本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2．准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（）A ．24y x =-B ．28y x=-C ．24y x=D ．28y x=【正确答案】B【详解】试题分析：由题意得，抛物线28y x =-，可得4p =，且开口向左，其准线方程为2x =.故选B ．抛物线的几何性质．3．双曲线2212x y -=的离心率是（）A ．32BCD 【正确答案】B【分析】由双曲线的方程知22,a b 再由222c a b =+求得2c ，即可求得双曲线的离心率.【详解】由双曲线2212x y -=知，222,1a b ==则2223c a b =+=，则离心率2c e a ===.故选：B4．经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程是（）A ．23130x y +-=B ．23120x y +-=C ．230x y -=D ．2350x y --=【正确答案】B【分析】联立方程计算交点为()3,2，根据直线垂直得到23k =-，得到直线方程.【详解】280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，故直线交点为()3,2，直线3240x y -+=的斜率132k =，故垂直于它的直线斜率23k =-，故所求直线方程为()2323y x =--+，整理得到23120x y +-=.故选：B5．在三棱柱11ABC A B C -中，M ，N 分别为11A C ，1B B 的中点，若1MN xAB y AC z AA =++则(),,x y z =（）A ．111,,22⎛⎫-- ⎝⎭B ．111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】利用空间向量的运算法则得到11122MN AB AC AA --=，得到答案.【详解】11111122MA A A AB BN M AC AA B N A AA =+++=--++111122AB AC AA x AB y AC z AA =--=++ ，故111,,22x y z ==-=-.()11,,1,,22x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故选：A6．动圆P 过定点M (0，2)，且与圆N ：()2224x y ++=相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（）A ．()22103x y y -=<B ．2213x y -=C ．()22103y x y -=<D ．2213y x +=【正确答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P 的轨迹方程.【详解】圆N ：()2224x y ++=的圆心为()0,2N -，半径为2，且4MN =设动圆P 的半径为r ，则,2PM r PN r ==-，即2PM PN MN -=<.即点P 在以,M N 为焦点，焦距长为24c =，实轴长为22a =，虚轴长为2b =的双曲线上，且点P 在靠近于点N 这一支上，故动圆圆心P 的轨迹方程是()22103x y y -=<故选：A7．椭圆2212516x y +=的一个焦点是F ，过原点O 作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A ，B 两点，则ABF △的周长的最小值是（）A ．14B ．15C ．18D ．20【正确答案】C【分析】不妨取F 为左焦点，1F 为右焦点，连接1AF ，1BF ，则1AFBF 为平行四边形，ABF △的周长大于等于22a b +，计算得到答案.【详解】如图所示：不妨取F 为左焦点，1F 为右焦点，连接1AF ，1BF ，则1AFBF 为平行四边形，ABF △的周长为122218AF BF AB AF AF AB a AB a b ++=++=+≥+=，当A ，B 为椭圆上下顶点时等号成立.故选：C8．已知数列{n a }满足11a =，()1112022nn n na a ++-=-，记数列{n a }的前n 项和为n S ，则2023S =（）A ．506B ．759C ．1011D ．1012【正确答案】A【分析】根据数列递推公式()1112022nn n na a ++-=-可知，当n 为偶数时，即可出现分组求和()()123202220232023S a a a a a =++⋅++⋅⋅+，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.【详解】由递推公式()1112022nn n na a ++-=-可得，23120222a a -=+；45120224a a -=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅20222023202212022a a +-=；而()()12320202302222322022200042022122212112S a a a a a ++++⎪⎛⎫=++⋅⋅⋅++=+-⋅⋅⋅ ⎝⎭()2101212101110620221250650=-++⋅⋅⋅+=-=故选：A二、多选题9．已知()1,1,2a =-，()2,2,4b =-- ，则（）A ．a =B ．()23,3,6a b -=-C ．a b⊥ D ．a ∥b【正确答案】AD【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.【详解】对A ，因为()1,1,2a =- ，所以a = A 正确；对B ，()()()21,1,222,2,45,5,10a b -=----=-，故B 不正确；对C ，()()1,1,22,2,4228120a b ⋅=-⋅--=---=-≠，所以,a b 不垂直，故C 不正确；对D ，()()2,2,421,1,22b a =--=--=-，所以a ∥b ，故D 正确.故选：AD.10．数列{}n a 满足110a =，()122n n a a n -=-≥，则（）A ．数列{}n a 是递减数列B ．28n a n =+C ．点(,n n a )都在直线212y x =-+D ．数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为32【正确答案】AC【分析】根据数列的递推关系式()122n n a a n -=-≥，可判断数列的单调性及，可判断A ；又可得数列{}n a 为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C ；由等差数列的前n 项和公式结合二次函数的性质，即可求得n S 的最大值，可判断D.【详解】数列{}n a 满足110a =，()122n n a a n -=-≥，即()1202n n a a n --=-<≥，所以数列{}n a 是递减数列，故A 正确；且数列{}n a 是以110a =为首项，2d =-为公差的等差数列，所以()()()111012212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+，则点(,n n a )都在直线212y x =-+上，故B 不正确，C 正确；数列{}n a 的前n 项和()()2121021211121112224n n a a n n nS n n n +-+⎛⎫===-+=--+⎪⎝⎭，又因为*11N 2n =∉，所以5n =时，530S =，6n =时，630S =，则n S 的最大值为30，故D 不正确.故选：AC.11．过双曲线C ：2214y x -=的左焦点1F 作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，则（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．点1F 到双曲线C 的渐近线的距离为4C ．直线l 的斜率k 取值范围是{}22k k -<<D ．若1AF 的中点在y 轴上，则直线l的斜率k =【正确答案】ACD【分析】双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，A 正确，计算点到直线的距离得到B 错误，根据渐近线得到斜率k 取值范围是{}22k k -<<，C 正确，确定A)4A或)4A-，计算斜率得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，正确；对选项B：()1F ，取渐近线方程为20x y +=，距离为2d =，错误；对选项C ：渐近线方程为2y x =±，故斜率k 取值范围是{}22k k -<<，正确；对选项D ：1AF 的中点在y 轴上，则A2514y-=，得到4y =±，故)4A或)4A-，()1F，斜率为k =.故选：ACD三、解答题12．过直线l ：40x y ++=上的动点P 分别作圆C 1：222x y +=与圆C 2：()2268x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则（）A ．圆C 1上恰好有两个点到直线l的距离为B ．|PA |C ．12PC PC +的最小值为D ．直线l 上存在两个点P ，使得2PB PA =【正确答案】BCD【分析】确定两圆圆心和半径，()10,0C到直线的距离为d =1r =，A正确，1PC的最小值为BC 正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D 正确，得到答案.【详解】圆C 1：222x y +=，圆心()10,0C，半径1r 圆C 2：()2268x y -+=，圆心()26,0C，半径2r =对选项A ：()10,0C到直线的距离为d =1r =+，故只有1个点满足条件，错误；对选项B：PA =1PC=PA，正确；对选项C ：设()10,0C 关于直线的对称点为()00,Q x y ，则0001 4022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得0044x y =-⎧⎨=-⎩，故()4,4Q --，1222PC PC PQ PC QC +=+≥==对选项D ：2PB PA =，即224PB PA =，即()222222114PC r PC r -=-，设(),P x y ，则()()22226842x y x y -+=+--，整理得到()22216x y ++=，轨迹为圆心为()2,0-，半径为44=，直线和圆相交，有2个交点，正确.故选：BCD四、填空题13．经过点()31A ，，且与直线250x y +-=平行的直线的方程为___________.【正确答案】270x y +-=【分析】根据直线平行得到2k =-，得到()231y x =--+，整理得到答案.【详解】直线与直线250x y +-=平行，则2k =-，直线方程为()231y x =--+，即270x y +-=.故270x y +-=14．若数列{n a }为等差数列，2820a a +=，则数列{n a }的前9项和9S =__________.【正确答案】90【分析】利用等差数列的性质得到()28992a a S +⨯=，代入数据计算得到答案.【详解】()()192899920990222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故9015．图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点O 离水面l 的距离为___________.【正确答案】23【分析】建立直角坐标系，直线l 交抛物线于,A B 两点，抛物线方程为22x py =-，()0p >，()2,A m -，对应的坐标为()4,2m --，代入抛物线，解得答案.【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线l 交抛物线于,A B两点，抛物线方程为22x py =-，()0p >，设()2,A m -，水面下降2m 后，水面宽8m ，对应的坐标为()4,2m --，则()421622pm p m =-⎧⎨=--⎩，解得323p m =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故拱顶点O 离水面l 的距离为23.故2316．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是1,AD B B 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内(包括边界)，若1//B P 平面1A MN ，则CP 长度的最大值为__________.【分析】以正方体的顶点A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面1A MN 的法向量，设(),,0P x y ，且[],0,1x y ∈，求1B P，根据1//B P 平面1A MN ，可得,x y 满足的等式关系，并用y 表示x ，确定y 的取值范围，利用空间中两点距离公式得CP ，结合二次函数的性质，即可确定CP 长度的最大值.【详解】如图，以正方体的顶点A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()()11110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C D ，110,,0,1,0,22M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭动点P 在底面正方形ABCD 内(包括边界)，则设(),,0P x y ，且[],0,1x y ∈则()11,,1B P x y =-- ，设平面1A MN 的法向量为(),,n a b c =，又11111,0,,0,,122A N A M ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则1111002210202a c A N n a c A M nbc b c ⎧-=⎧⎪⎧⋅==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=-=⎩⎪⎩，令2c =，则()1,4,2n = 因为1//B P 平面1A MN ，所以()()11,,11,4,21420B P n x y x y ⋅=--⋅=-+-=，即430x y +-=，则[]430,1x y =-+∈，所以13,24y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则CP ===由二次函数的性质可得当12y =时，12CP =，34y=时，142CP =>，所以CP 长度的最.故答案为五、解答题17．在等差数列{}n a 中，49a =-，76a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，求使不等式0n S >成立的n 的最小值.【正确答案】(1)13n a n =-(2)26【分析】（1）根据等差数列公式得到112a =-，1d =，得到通项公式.（2）计算212522n S n n =-，解不等式得到答案.【详解】（1）等差数列{}n a 中，1493a a d ==-+，7166a a d =+=-，故112a =-，1d =，故()121113n a n n =-+-⨯=-.（2）()2112512222n n n S n n n -=-+=-，0n S >，即2125022n n ->，解得25n >，故n 的最小值为2618．已知圆C 经过()10A -，，()23B ，两点，且圆心C 在直线240x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)过点()32，的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，如果PQ =，求直线l 的方程.【正确答案】(1)()2229x y -+=(2)3x =或3410x y --=.【分析】（1）计算AB 的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.【详解】（1）3121AB k ==+，,A B 的中点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 的垂直平分线为1322y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即2y x =-+，2 240y x x y =-+⎧⎨--=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，故圆心为()2,0C ，半径3R ==，故圆方程为()2229x y -+=.（2）当直线l 斜率不存在时，此时PQ =3x =；当直线l 斜率存在时，设直线方程为()32y k x =-+，即320kx y k --+=，PQ =，故圆心到直线的距离为1d =，解得34k =，故直线方程为3332044x y --⨯+=，即3410x y --=.综上所述：直线l 的方程为3x =或3410x y --=.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2BC AB BB ===，点E 是1BB 的中点.(1)求1BD 与AE 所成角的余弦值；(2)求1BD 与平面ACE 所成角的正弦值.【正确答案】(2)21【分析】（1）根据长方体以A 为原点，1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求解1,BD AE，按照异面直线夹角余弦公式求解1BD 与AE 所成角的余弦值即可；（2）由（1）求平面ACE 的法向量与直线1BD 的方向向量1BD，再利用空间向量坐标运算解求得1BD 与平面ACE 所成角的正弦值.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2BC AB BB ===，如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()()()11110,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,2,2,0,2,2,4,2,0,4,2,2,0,1A B C D A B C D E ，所以()()12,4,2,2,0,1BD AE =-=，则111cos ,30BD AE BD AE BD AE ⋅==-⋅，则1BD 与AE所成角的余弦值为30（2）设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，又()()2,4,0,2,0,1AC AE == ，()12,4,2BD =-，所以024022020AC n x y x yx z z x AE n ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩ ，令1y =，则()2,1,4n =-所以111cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅，故1BD 与平面ACE所成角的正弦值为21.20．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，19a =，()139N n n S S n +*=+∈.(1)求证:数列{n a }是等比数列；(2)若3log n n b a =，n n n c a b =，求数列{n c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)证明见解析；(2)2(21)394n n n T ++⨯-=．【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得数列{}n a 的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；（2）由错位相减法求和．【详解】（1）139n n S S +=+，2n ≥时，139n n S S -=+，相减得：13n n a a +=，又19a =，221939S a a =+=+,213a a =,所以13n na a +=，*n ∈N ,所以{}n a 是等比数列，首项是9，公比是3；（2）由（1）得11933n n n a -+=⨯=，3log 1n n b a n ==+，1(1)3n n c n +=+⋅，2312333(1)3n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，则3412323333(1)3n n n T n n ++=⨯+⨯++⨯++⨯ ，相减得231222333(1)3n n n T n ++-=⨯+++-+⨯ 29(139(1)313n n n +⨯-=+-+⨯-）291(322n n +=-+⨯，∴2(21)394n n n T ++⨯-=．21．如图，在三棱锥-P ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABC .(1)求点B 到平面PAC 的距离；(2)在线段PC 上是否存在异于端点的点M ，使得平面PAC 和平面MDE 夹角的余弦值为7若存在，确定点M 的位置；若不存在，说明理由.【正确答案】(2)存在点M ，使得平面PAC 和平面MDE M 为PC 中点【分析】（1）根据线面关系证得,PD DB PD DE ⊥⊥，BC DE ⊥，则以D 为原点，,,DB DE DP分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面PAC 的法向量与PB，即可求得点B 到平面PAC 的距离；（2）由（1）知平面PAC 的法向量，设PM PC λ=，且()0,1λ∈，利用空间向量的坐标求平面MDE 的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得λ的值，从而确定M 的位置.【详解】（1）连接PD ，因为PBC 为正三角形，又D 为BC 中点，所以PD BC ⊥，因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ⋂平面ABC BC =，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ，又,DB DE ⊂平面ABC ，所以,PD DB PD DE ⊥⊥，因为90ABC ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以//DE AB ，AB BC ⊥，所以BC DE ⊥，则如图，以D 为原点，,,DB DE DP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，因为4AB BC ==，则()()()()(()0,0,0,2,0,0,2,0,0,2,4,0,0,0,20,2,0D B C A P E -，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由于(()2,0,,4,4,0PC AC =--=-- ，则0204400PC n x x x y x y AC n ⎧⎧⎧⋅=--==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--==-⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩ ，令1z =，则()n =又(2,0,PB =- ，则点B 到平面PAC的距离为7PB n n ⋅==；（2）由（1）可知()n =是平面PAC 的一个法向量，由题可设PM PC λ=，且()0,1λ∈，则(()2,02,0,PM λλ=--=-- ，所以(()()0,0,2,0,2,0,22DM DP PM λλ=+=+--=-，设平面MDE 的法向量为(),,m a b c = ，由于()0,2,0DE =，则()2000200a c DM m a c DE mb b λ⎧⎧⎧-+-=⋅==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪=⎪⎪⎩⎩=⎩ ，令c λ=，则),0,m λ=，所以cos ,7n m n m n m ⋅===⋅ ，整理得22310λλ-+=，解得12λ=或1λ=（舍），故存在点M ，使得平面PAC 和平面MDE夹角的余弦值为7，此时M 为PC 中点.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点,A B 为椭圆C 上的两点，O 为坐标原点，32OA OB k k ⋅=-，求OA OB ⋅ 的取值范围.【正确答案】(1)22184x y +=(2)[]1,1-【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.【详解】（1）由题意可得2a =，22b c =，又因为椭圆中222a b c =+，所以a =2b =，2c =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）当直线AB 斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为y kx m =+，联立2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124280k x kmx m +++-=，()()222216412280k m k m ∆=-+->，即2284k m +>，所以122412km x x k -+=+，21222812m x x k -=+，因为121232OA OBy y k k x x ⋅==-，所以()212122343212m y y x x k --=-=+，又因为()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m=++=+++222222222848121212m km m k k km m k k k ---=⋅+⋅+=+++，所以()222223481212m m k k k ---=++，即2223k m +=，所以()222212122222234284423211212121221m m m k OA OB x x y y k k k k k -----⋅=+=-===-++++++ ，因为2112k ≤+，所以2211112k -<-+≤+，即11OA OB -<⋅≤ ，当直线AB 斜率不存在时，设(),A m n ，(),B m n -，m -<<0m ≠，所以32OA OB n n k k m m ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2223n m =，又因为A 在椭圆上，则2228m n +=，所以22m =，23n =，所以221OA OB m n ⋅=-=-，综上OA OB ⋅的取值范围为[]1,1-.。
河南高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．若的展开式中的常数项为－20，则a =（ ） 6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．2B ．－2C ．1D ．－1 【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621r r r r T C a x -+=⋅⋅620r -=3r =可得展开式的常数项为：，解得：. 63320C a ⋅-=1a =-故选：D.2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一111,,101520盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（ ）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A 1，A 2，A 3分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，P =，P =，P =， ()1A 510()2A 310()3A 210P =，P =，P =； ()1|B A 110()2|B A 115()3|B A 120则由全概率公式，所求概率为P =P +P +P()B ()()11|A P B A ()()22|A P B A ()()33|A P B A =×+×+×=0.08. 510110310115210120故选：A3．的值等于0121834521C C C C ++⋯++A ．7351B ．7355C ．7513D ．7315【答案】D 【详解】原式等于，故选D.433344452122......7315C C C C C ++++==4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()2a =12b ⎛= ⎝ a b A ． B ． C ． D ．)()(14⎛ ⎝【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】在上投影向量 a b)212a b a b b b⋅=⋅===r r r r r r 故选：A5．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为C 22221x y a b+=0a b >>()00,P x y ．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C C 心率为（ ）A ．BCD12【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大， (),0a ±2minb R a =()0,b ±则，因为，所以，所以，2max a R b =max min 8R R =228a b b a =⨯2a b =e =故选：C.6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小2:4C y x =F PC ()2,2A PA PF +值为 （ ）A B ．2 C D ．3【答案】D【分析】求出抛物线C 的准线l 的方程，过A 作l 的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l ：，显然点A 在抛物线C 内，过A 作AM ⊥l 于M ，交抛2:4C y x ==1x -物线C 于P ，如图，在抛物线C 上任取不同于点P 的点，过作于点N ，连PF ，AN ，， P 'P 'P N l '⊥,P A P F ''由抛物线定义知，，||||||||||||||||||||PA PF PA PM AM AN P A P N P A P F ''''+=+=<<+=+于是得，即点P 是过A 作准线l 的垂线与抛物线C 的交点时，min (||||)||2(1)3PA PF AM +==--=取最小值，PA PF +所以的最小值为3.PA PF +故选：D7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 16141312【答案】A 【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，2242=62=12C A ⋅⨯要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能. 22=2A所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率. 21126P ==故选：A 8．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ）A ．种B ．种 10201280C ．种D ．种15601680【答案】C【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"2,2,1,1"共有种分配方法； 22464422C C A 1080A ⨯=若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"3,1,1,1"共有种分配方法.3464C A 480⨯=故共有种分配方法.10804801560+=故选：C9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动221:2440C x y x y ++++=222:4210C x y x y +-++=M N 1C 2C 点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）P :2l y x =+MP NP+A ．B ． CD333-3【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点1C 2C 1C l C 'C '与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问M '1C M P C '2C 题，据此分析可得答案．【详解】圆，即，圆心为，半径， 221:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--1R =圆，即，圆心为，半径， 222:4210C x y x y +-++=()()22214x y -++=()2,1-2r =设点关于直线对称的点为()1,2--:2l y x =+(),a b 则 ，解得：， 21121222b a b a +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩41a b =-⎧⎨=⎩圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为1C :2l y x =+C '()4,1-1R '=， ()()22411x y ++-=设圆上的点与圆上点对称，则有，C 'M '1C M PM PM '=原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，P C '2C连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，2C C 'l P P PN PM '+此时，即的最小值为，233PN PM C C ''+=-=MP NP +3故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆1C :2l y x =+()()22411x y ++-=P 和圆上的动点距离之和最小值问题.C '2C 10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为次.假1k +设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p 值能使得混合检测方式()01p p <<10k =优于逐份检测方式.（参考数据：）（ ）lg 0.7940.1≈-A ．0.1B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】A【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要Y ()E Y 检测的总次数，知，利用求解可得p 的范围，即可得出选项. X ()10E X =()()E Y E X <【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，11.，， ()()1011P Y p ==-()()101111P Y p ==--故Y 的分布列为： Y1 11 P()101p -()1011p --()()()()10101011111111101E Y p p p ∴=⨯-+⨯--=-⨯⎦-⎡⎤⎣设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X ，则()10E X =要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需()()E Y E X <即，即，即 ()101110110p -⨯-<()101110p ->0.1011p -->又，lg 0.7940.1≈-，lg0.7941010.794p >=∴-，.0.79.140206p ∴=<-00.206p <<∴故选：A.二、多选题11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E 、F 、G 、111ABC A B C -1AB BC BB ==M 分别为的中点．则（ ）1111B C A B AB BC ，，，A ．与平面B ．与所成角为 1GB 11ACC A 1AB 1BC 3πC ．平面EFBD ．平面⊥平面 1//A M 1AB C 1A MC 【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB ，根据线面平行的判定定理可判断C ，利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥1AB ⊥，然后根据面面垂直的判定定理即得．1A BC 【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：2AB =，()()()()()()110,2,00,0,02,0,00,1,02,0,20,0,2A B C G C B ，，，，， ∴，，，，，()10,1,2GB =- ()2,2,0AC =- ()10,0,2CC = ()12,0,2BC = ()10,2,2AB =- 设平面ACC 1A 1的法向量为(),,n x y z = 则有，令x ＝1，则， 122020n AC x y n CC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ()1,1,0n =r 则，111cos ,n GB n GB n GB ⋅=== ∴与平面，A 错误； 1GB 11ACC A∵， 1111111cos ,2BC AB BC AB BC AB ⋅=== ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为，则夹角为，B 正确； 12π3如图2：连接，设，连接OF ，1EF BE B M ，，1BE B M O =E 、M 分别为的中点，则且，11B C BC ，1//B E BM 1B E BM =∴为平行四边形，则O 为的中点，1EMBB 1MB 又∵F 为的中点，则，11A B 1//OF A M平面EFB ，平面EFB ，OF ⊂1A M Ë∴平面EFB ，C 正确；1//A M 由题可知平面即为平面，1A MC 1A BC 由题意可得：，1BC AB BC BB ⊥⊥，又，平面， 1AB BB B Ç=AB ，1BB ⊂11ABB A ∴平面，BC ⊥11ABB A 平面，则，1AB ⊂11ABB A 1BC AB ⊥又∵为正方形，则，11ABB A 11A B AB ⊥又，平面，1BC A B B ⋂=,BC 1A B ⊂1A BC 所以平面，平面，1AB ⊥1A BC 1AB ⊂1AB C ∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D 正确.1AB C 1A BC 1AB C 1A MC 故选：BCD ．12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A ，与半椭圆()3,0F ()0y t t =>交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A B ．点关于直线的对称点在半圆上 F 12y x =C ．面积的最大值是 ABF △)914D ．线段AB 长度的取值范围是(0,3+【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；求出关于直线F的对称点即可判断B ；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，12y x =,A B ABF △判断C ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断D ；【详解】由题意得半圆的方程为，()22+90x y x =≤设椭圆的方程为， ()222210,0x y a b x a b+=>>≥所以 ，所以， 33b c =⎧⎨=⎩218a =a =所以椭圆的方程为． ()2210189x y x +=≥A ．椭圆的离心率是，故A 正确； c e a ===B ．设关于直线的对称点为， ()3,0F 12y x =(),m n 可得且， 23n m =--113222m n +=⨯解得，即对称点为， 912,55m n ==912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭因为半圆的方程为，()22+90x y x =≤所以对称点为不在半圆上，故B 错误； 912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．由题得面积， ABF △1||2S AB t =⨯设，())22111,,9,03A x t x t x t ∴+=∴=<<设 ()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴所以，||AB =所以12S t t =⨯=，当且仅当时等号成立，故C 正确； )914≤=t =D ．当时，时，，0t →||3AB →+3t →||0AB →所以线段AB 长度的取值范围是，故D 正确；(0,3+故选：ACD.三、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =()5,0曲线的标准方程为__________.C 【答案】 221916x y -=【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解. 43b a =5c =a b 【详解】双曲线的渐近线方程为， ()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =可得，其右焦点为，可得，又， 43b a =()5,05c =222c a b =+解得，，3a =4b =则双曲线的方程为：． C 221916x y -=故答案为：． 221916x y -=14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过112AA =AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点.当底面ABC 水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设的面积为x ，底面ABC 水平放置时，液面高为hABC A 则水的体积为 1121294V x x x =-⨯=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，解得9V x h x =⋅=9h =故答案为:9 15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】 67【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.D B C =⋃【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D 为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，D B C =⋃B C 又，，， ()11223225710C C C P A C +==()122515C P AB C ==()11222525C C P AC C ==故. ()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=故答案为：. 67【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）；()()()P AB P B A P A =（2）；()()()n AB P B A n A =（3）转化为古典概型求解.四、双空题16．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数()2nn x *⎫+∈⎪⎭N n =最大的项________． 【答案】 9925376x -【分析】由题意得：，得，又二项式的展开式通项为：()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n =，得即可解决. 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩【详解】由题意得：，解得：或，()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n=10-因为，n *∈N 所以（舍去），从而， 10n =-9n =因为二项式的展开式通项为：， 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭所以系数为，要求其最大值，9C 2rr⋅所以只要满足，即， 11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()119!9!22!9!1!10!9!9!22!9!1!8!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+-⎩解得：， 172033r ≤≤因为， r ∈N 所以，6r =所以系数最大项为69362792C 5376T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：9；925376x -五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知圆：．xOy C 22(1)(2)9x y ++-=(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程； l 10kx y k -+-=C M M (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值． C ()11,P x y C Q PQ PO=PQ 【答案】(1)； 210x y --=【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直l ()1,1M CM 线即可；（2）根据题意得到，即，即，化简22||9PQ PC =-22||9PO PC =-22221111(1)(2)9x y x y +=++--得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值. P 220x y --=O PO 【详解】（1）直线的方程变形为，l ()()110k x y -+-=令，解得，1010x y -=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以无论取何值，直线过定点， k l ()1,1M 又因为圆的圆心，C ()1,2C -因为过点的最短弦与垂直，且直线CM 的斜率， M CM 211112CM k -==---所以最短弦所在直线的斜率为，2故最短弦的直线方程为，即；()121y x -=-210x y --=（2）由于，2222||||9PC PQ r PQ =+=+所以，22||9PQ PC =-又，PQ PO =所以，22||9PO PC =-所以，化简得，22221111(1)(2)9x y x y +=++--11220x y --=所以点的轨迹方程为， P 220x y --=因为，PQ PO =所以取得最小值，即取得最小值， PQ PO点到直线的距离 O 220x y --=d即的最小值为．PQ 18．甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，23，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为()01p p <<. 295p (1)求的值；p (2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.【答案】(1)35(2) 1930【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得.【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两()01p p <<胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局21=p p 且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得1222(1)p p p =-C 2122C (1)p p p +-=295p p =. 35（2）设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则1A 2A B ，，，，所以()112P A =()212P A =()123P A B =()235P A B =.()()()()()1122121319==232530P B P A P B A P A P B A =+⨯+⨯19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且X Y 和的分布列如下表：X YX 0 1 2P 35 110 310Y 012P1231015试对这两名工人的技术水平进行比较． 【答案】乙的技术更稳定．【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较. 【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为 X ，()3130120.751010E X =⨯+⨯+⨯=．()()()()22231300.710.720.70.8151010D X =-⨯+-⨯+-⨯=工人乙生产出次品数的均值和方差分别为 Y ，()1310120.72105E Y =⨯+⨯+⨯=．()()()()22213100.710.720.70.612105D Y =-⨯+-⨯+-⨯=由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技()()E X E Y =()()D X Y D >术更稳定．20．如图，在四棱锥中，平面平面，是P ABCD -PAD ⊥,2,4,ABCD PA AD BD AB ====BD的平分线，且.ADC ∠BD BC ⊥(1)若点为棱的中点，证明：平面；E PC BE A PAD (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值. P AB D --60 PBD PCD 【答案】(1)证明见解析.(2). 35【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；,CB DA F PF BE PF ∥(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.AD O 【详解】（1）延长交于点，连接， ,CB DA F PF 在中，CDF A 是的平分线，且， BD Q ADC ∠BD BC ⊥是等腰三角形，点是的中点，∴CDF A B CF 又是的中点，E PC ，BE PF ∴∥又平面平面，PF ⊂,PAD BE ⊄PAD 直线平面.∴BE A PAD（2）在中，， ABD △2,4,AD BD AB ===则，即，90BAD ∠=BA AD ⊥由已知得， 60,8BDC BDA CD ∠∠=== 又平面平面平面 PAD ⊥,ABCD BA ⊂ABCD 所以平面，即，BA ⊥PAD BA PA ⊥所以以为二面角的平面角，PAD ∠P AB D --所以，60PAD ∠= 又，所以为正三角形，2PA AD ==PAD A 取的中点为，连，则平面 AD O OP ,OP AD OP ⊥⊥,ABCD 如图建立空间直角坐标系，则，()()()()(1,0,0,1,,5,,1,0,0,A B C D P --所以，(()(),2,,4,DP BD DC ==--=- 设分别为平面和平面的法向量，则()()111222,,,,,m x y z n x y z ==PBD PCD ，即，取，则，00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111020x x ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩11y =-)1,1m =-- ，即，取，则，00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222040x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩21y=)1n =- 所以.3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅则平面和平面所成夹角的余弦值为.PBD PCD 3521．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数 51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；X X （2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、a 38a =39a =40a =、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；41a =42a =X p X （2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为， a 当时，，； 38a =386228X =⨯=515010p ==当时，，； 39a =396234X =⨯=101505p ==当时，，； 40a =406240X =⨯=101505p ==当时，，； 41a =40617247X =⨯+⨯=202505p ==当时，，， 42a =40627254X =⨯+⨯=515010p ==故的所有可能取值为、、、、， X 228234240247254故的分布列为：XX 228 234 240 247 254P 110 15 1525110故. 11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则甲公司送餐员日平均工资为元，80439.7238.8+⨯=因为乙公司送餐员日平均工资为元，， 241.8238.8241.8<所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.22．已知点，点M 是圆A ：上任意一点，线段MB 的垂直平分线交半径MA()10B ,()22116x y ++=于点P ，当点M 在圆A 上运动时，记P 点的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)作轴，交轨迹E 于点Q （Q 点在x 轴的上方），直线与轨迹E 交于BQ x ⊥():,l x my n m n =+∈R C 、D （l 不过Q 点）两点，若CQ 和DQ 关于直线BQ 对称，试求m 的值.【答案】(1)22143x y +=(2) 2m =【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E 的方程；（2）先将直线的方程与轨迹E 的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到l 0CQ DQ k k +=的关系式，从而求得m 的值.m n 、【详解】（1）圆的圆心，半径，()22:116A x y ++=()1,0A -4r =点为线段的垂直平分线与半径的交点，，P MB MA PM PB ∴=，42PA PB PA PM AM AB ∴+=+==>=点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，P ∴E A B ()222210x y a b a b +=>>则，，所以，，24a =22c =2a =1c =b =因此，轨迹的方程为.E 22143x y +=（2）设、，轴，点在轴的上方，()11,C x y ()22,D x y BQ x ⊥ Q x 将代入方程，可得，则， 1x =22143x y +=32y =±31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立可得， 223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mny n +++-=，可得，()()222236123440m n m n ∆=-+->2234n m <+由韦达定可得，. 122634mn y y m +=-+212231234n y y m -=+因为、关于直线对称，则，CQ DQ BQ 0CQ DQ k k +=则，()()1212211233332201101122y y x y x y x x --⎛⎫⎛⎫+=⇒--+--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又，，11x my n =+22x my n =+则，()12123213302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭即， 222312362133034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅--+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简得： ，即()2328440m n m n +--+=()()23220m m n -+-=则或，2m =3220m n +-=当时，，3220m n +-=312n m =-此时，直线的方程为，l 331122x my m m y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭直线过点，不合题意.l 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，.2m =。
2022-2023学年重庆市高二上期末考试数学模拟试卷附答案解析
2022-2023学年重庆市高二上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共10小题）1．（2020秋•重庆期末）下列四个命题中真命题的是（）A．∃x∈Z，0＜3x＜3B．∃x∈Z，4x+1＝0C．∀x∈R，x2﹣4＝0D．∀x∈R，x2+x+6＞02．（2020秋•重庆期末）已知直线l过点P（0，0）、Q（1，），则直线l的倾斜角为（）A．B．C．D．3．（2020秋•重庆期末）命题p：“∀x∈（0，），sin x＜tan x”的否定￢p为（）A．B．C．D．4．（2020秋•重庆期末）如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．圆锥D．圆柱5．（2020秋•重庆期末）已知实数a，b，m满足，记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数f（x）＝，且x≠0）的最小值为（）A．2（1﹣e2）B．2（1+e2）C．D．6．（2020秋•重庆期末）已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（）A．B．C．D．7．（2008•东城区一模）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（2019秋•北碚区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，，，O是平面B1HN，平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点，设，则x+y+3z＝（）A．B．C．D．9．（2019秋•渝中区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点M（2，0）的直线交抛物线C于A，B两点，若|AM|＝2|MB|且|AF|＝5，则|BF|＝（）A．1B．2C．3D．4 10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图所示，直平行六面体ABCD﹣A1BC1D1的所有棱长都为2，∠DAB＝60°，过体对角线BD1的截面S与棱AA1和CC1分别交于点E、F，给出下列命题中：①四边形BED1F的面积最小值为；②直线EF与平面BCC1B1所成角的最大值为；③四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值；④点B1到截面S的距离的最小值为．其中，所有真命题的序号为（）A．①②③B．①③④C．①③D．②④二．多选题（共2小题）11．（2020秋•重庆期末）给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若•＜0，则＜，＞是钝角B．若为直线l的方向向量，则λ（λ∈R）也是直线l的方向向量C．若＝+，则可知＝2D．在四面体P﹣ABC中，若•＝0，•＝0，则•＝012．（2020秋•重庆期末）某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为﹣”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论正确的有（）A．k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）B．﹣1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（不含与x轴的交点）C．k＜﹣1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（不含与x轴的交点）D．k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（不含与x轴的交点）三．填空题（共4小题）13．（2020秋•重庆期末）已知点A（2，3，5），B（0，1，7），则线段AB的中点M的坐标为，线段AM的长为．14．（2020秋•重庆期末）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体有四个顶点在圆锥母线上，其余四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10cm，高为10cm．打印所用原料密度为1.2g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．（π取3.14）15．（2014•瓦房店市校级模拟）已知向量＝（x2，x+1），＝（1﹣x，t），若函数f（x）＝•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为．16．（2020秋•重庆期末）已知三棱锥A﹣BCD，三条侧棱长相等且两两互相垂直，则侧棱与底面所成的角的正切值．四．解答题（共6小题）17．（2020秋•重庆期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝9与直线l：y＝x+b．（1）若b＝2，直线l与圆相交于A、B，求弦长|AB|；（2）若直线与圆无公共点，求b的取值范围．18．（2020秋•重庆期末）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，点M是线段PD上一点．（1）若OM∥平面PAB，指出M的位置并证明；（2）若PO⊥平面ABCD，证明：AC⊥OM．19．（2020秋•重庆期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，c＝5，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．20．（2020秋•重庆期末）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）求三棱锥C﹣C1DE的体积；（2）求异面直线MN与C1D所成角的余弦值．21．（2018•衡阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．22．（2020秋•重庆期末）已知数列{a n}满足：a1＝3，且对任意的n∈N*，都有1，a n，a n+1成等差数列．（1）证明数列{a n﹣1}等比数列；（2）已知数列{b n}前n和为S n，条件①：b n＝（a n﹣1）（2n+1），条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列{b n}前n项和S n．2022-2023学年重庆市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020秋•重庆期末）下列四个命题中真命题的是（）A．∃x∈Z，0＜3x＜3B．∃x∈Z，4x+1＝0C．∀x∈R，x2﹣4＝0D．∀x∈R，x2+x+6＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；反证法；逻辑推理．【分析】根据全称命题和特称命题的概念，结合不等式和方程判断即可．【解答】解：对于A，0＜3x＜3⇔0＜x＜1⇒在0和1之间，不存在整数，所以A错；对于B，4x+1＝0⇔x＝﹣∉Z，所以B错；对于C，当x＝0时，02﹣4≠0，即x2﹣4＝0不成立，所以C错；对于D，因为x2+x+6＝（x+）2+＞0在R上恒成立，所以D对；故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键，属基础题．2．（2020秋•重庆期末）已知直线l过点P（0，0）、Q（1，），则直线l的倾斜角为（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】由题意根据直线的斜率公式，先求出直线l的斜率，再根据直线的斜率和倾斜角的定义，求得它的倾斜角．【解答】解：∵直线l过点P（0，0）、Q（1，），则直线l的斜率为k＝＝，故它的倾斜角为，故选：B．【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的斜率公式，属于基础题．3．（2020秋•重庆期末）命题p：“∀x∈（0，），sin x＜tan x”的否定￢p为（）A．B．C．D．【考点】命题的否定．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为．故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（2020秋•重庆期末）如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．圆锥D．圆柱【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象．【分析】几何体放置不同，则三视图也会发生改变．三棱柱，四棱柱（特别是长方体），圆柱的正视图都可以是矩形．【解答】解：三棱柱，四棱柱（特别是长方体），圆柱的正视图都可以是矩形，圆锥不可能．故选：C．【点评】几何体放置不同，则三视图也会发生改变．考查了学生的空间想象力．5．（2020秋•重庆期末）已知实数a，b，m满足，记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数f（x）＝，且x≠0）的最小值为（）A．2（1﹣e2）B．2（1+e2）C．D．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．【分析】由已知得，结合（a+b）2≥4ab，可求出m的取值范围．求f'（x），设g（x）＝e x（x﹣1）+1，求g'（x），研究g（x）的单调性和最值，从而可f（x）的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得，又（a+b）2≥4ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以m2﹣4（m2+m﹣1）≥0，所以3m2+4m﹣4≤0，解得，因为，所以，设g（x）＝e x（x﹣1）+1，则g'（x）＝xe x，当x∈[﹣2，0）时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，所以当时，g（x）min＝g（0）＝0，即当时，g（x）≥0恒成立，所以当且x≠0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在[﹣2，0）上单调递增，在上单调递增，所以当x＝﹣2时，函数f（x）取得最小值，且，故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．6．（2020秋•重庆期末）已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的性质．【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF＝α，∠MOR＝β，用a，b 表示tanα，tanβ，再求出tan2β，由，得|MN|＝5|FM|，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF＝α，∠MOR＝β∵，|OF|＝c，a2+b2＝c2，∴|OM|＝a，|FM|＝b，，∴．又∵|OM|＝a，∴．又由，得|MN|＝5|FM|，即，结合a2+b2＝c2，整理可得12a2＝5c2，即离心率．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．7．（2008•东城区一模）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算．【解答】解析：建立坐标系如图．则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）．＝（﹣1，0，2），A＝（﹣1，2，1），cos＜＞＝．所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题主要考查用向量法求异面直线所成的角．8．（2019秋•北碚区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，，，O是平面B1HN，平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点，设，则x+y+3z＝（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理；共线向量与共面向量．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性表示与共面定理列出方程组求出x+y和z的值，再求和．【解答】解：棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，，，设＝x+y+z＝x+y+z，∵O，A，C，M四点共面，O，H，N，B1四点共面，∴，解得x+y＝，z＝，∴x+y+3z＝+＝，故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性运算与共面定理的应用问题，是中档题．9．（2019秋•渝中区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点M（2，0）的直线交抛物线C于A，B两点，若|AM|＝2|MB|且|AF|＝5，则|BF|＝（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由抛物线的对称性设直线AB的斜率大于0，A在x轴上方，由抛物线性质到焦点的距离等于到准线的距离可得AF用坐标表示，求出A的横坐标，代入抛物线求出A 的纵坐标，再由若|AM|＝2|MB|，求出B的坐标，代入抛物线的方程求出p的值，再由抛物线性质到焦点的距离等于到准线的距离全部BF的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的对称性，设A在x轴上方，斜率大于0，由题意|AF|＝5，可得，x1+＝5，所以x1＝5﹣，代入抛物线的方程可得y1＝；若|AM|＝2|MB|，可得x1﹣2＝2（2﹣x1），y1＝﹣2y2，可得x2＝，y2＝﹣，所以|BF|＝x2+，将B点坐标代入抛物线的方程y22＝2px2，即（﹣）2＝2p（），解得：p ＝2，所以|BF|＝+＝2，故选：B．【点评】考查抛物线的性质，属于中档题．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图所示，直平行六面体ABCD﹣A1BC1D1的所有棱长都为2，∠DAB＝60°，过体对角线BD1的截面S与棱AA1和CC1分别交于点E、F，给出下列命题中：①四边形BED1F的面积最小值为；②直线EF与平面BCC1B1所成角的最大值为；③四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值；④点B1到截面S的距离的最小值为．其中，所有真命题的序号为（）A．①②③B．①③④C．①③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算．【分析】在①中，当E、F分别是棱AA1和CC1的中点时，四边形BED1F的面积取最小值为；在②中，连结AC，BD，交于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出当EF∥AC时，直线EF与平面BCC1B1所成角的最大值为；在③中，＝，由CC1∥AA11∥平面BB1D1．得四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值；在④中，点B1到截面S的距离的最小值为．【解答】解：在①中，当E、F分别是棱AA1和CC1的中点时，BD1＝＝＝2，EF＝AC＝＝2，此时，四边形BED1F的面积取最小值为：＝＝，故①正确；在②中，连结AC，BD，交于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，1，0），C（﹣，0，0），B1（0，1，2），设AE＝a，CF＝b，（0≤a≤2，0≤b≤2），则E（，0，a），F（﹣，0，b），＝（﹣，﹣1，0），＝（0，0，2），＝（2，0，a﹣b），设平面BCC1B1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设直线EF与平面BCC1B1所成角为θ，则sinθ＝＝≤，∴当a＝b时，即当EF∥AC时，直线EF与平面BCC1B1所成角的最大值为，故②错误；在③中，＝，∵CC 1∥AA11∥平面BB1D1．∴四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值，故③正确；在④中，＝（），＝（﹣，﹣1，b），＝（0，0，2），设平面S的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（，1，），此时点B1到截面S的距离的最小值为：d＝＝＝，当a＝2，b＝0时，d min＝＝．故④正确．故选：B．【点评】本题考查真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．二．多选题（共2小题）11．（2020秋•重庆期末）给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若•＜0，则＜，＞是钝角B．若为直线l的方向向量，则λ（λ∈R）也是直线l的方向向量C．若＝+，则可知＝2D．在四面体P﹣ABC中，若•＝0，•＝0，则•＝0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用；逻辑推理．【分析】本题以向量内积判断A，以直线方向向量概念判断B，经向量线性运算判断C，以四面体中线面位置关系判断D．【解答】解：对于A，当＝﹣时，若•＝﹣1＜0，但＜，＞＝π，不是钝角，所以A错；对于B，当λ＝0时，λ＝，不是直线l的方向向量，所以B错；对于C，＝+⇒⇒⇒⇒＝2，所以C对；对于D，如图，过P作PO⊥平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，连AO交BC 于N，连BO交AC于T，⇒PC⊥BC⇒AN⊥BC，同理，CM⊥AB⇒O为△ABC垂心，所以BT⊥AC⇒PB⊥AC，从而•＝0，所以D对；故选：CD．【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了向量基本概念及基本运算，考查了空间线面位置关系，属中档题．12．（2020秋•重庆期末）某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为﹣”拓展为“斜率之积为常数k（k≠0）”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论正确的有（）A．k＜0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）B．﹣1＜k＜0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（不含与x轴的交点）C．k＜﹣1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（不含与x轴的交点）D．k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（不含与x轴的交点）【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】设M（x，y），求出AM，BM所在直线的斜率，由题意可得y2＝k（x2﹣25），对k分类讨论可得结论．【解答】解：设M（x，y），则k AM＝，k MB＝，由题意可得，，故y2＝k（x2﹣25）．若k＝﹣1，方程化为y2+x2＝25，表示了以原点为圆心，5为半径的圆（除A，B点）；若﹣1＜k＜0，方程化为，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）；若k＜﹣1，方程化为，表示焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；k＞0时，方程化为，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）．综上可知，BCD正确．故选：BCD．【点评】本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．三．填空题（共4小题）13．（2020秋•重庆期末）已知点A（2，3，5），B（0，1，7），则线段AB的中点M的坐标为（1，2，6），线段AM的长为．【考点】空间中的点的坐标；空间两点间的距离公式．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【分析】利用线段中点坐标公式、两点间距离公式直接求解．【解答】解：∵点A（2，3，5），B（0，1，7），∴线段AB的中点M的坐标为（1，2，6），线段AM的长为|AM|＝＝．故答案为：（1，2，6），．【点评】本题考查线段中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（2020秋•重庆期末）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体有四个顶点在圆锥母线上，其余四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10cm，高为10cm．打印所用原料密度为1.2g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为478g．（π取3.14）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【分析】设正方体的棱长为a，由题意得＝，解得a＝5，求出该模型的体积，由此能求出制作该模型所需原料的质量．【解答】解：如图，是几何体的轴截面，设正方体的棱长为a，则＝，解得a＝5，∴该模型的体积为：V＝﹣53≈398.33（cm3）．∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1.2≈478（g）．故答案为：478．【点评】本题考查圆锥、正方体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（2014•瓦房店市校级模拟）已知向量＝（x2，x+1），＝（1﹣x，t），若函数f（x）＝•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为t≥5．【考点】函数单调性的性质与判断；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．【解答】解：∵＝（x2，x+1），＝（1﹣x，t），∴f（x）＝•＝x2（1﹣x）+t（x+1）＝﹣x3+x2+tx+1，∴f′（x）＝﹣3x2+2x+t，∵函数f（x）＝•在区间（﹣1，1）上是增函数，∴f′（x）＝﹣3x2+2x+t≥0在（﹣1，1）上恒成立，∴t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，而函数y＝3x2﹣2x，x∈（﹣1，1）的值域为[，5）∴t≥5故答案为：t≥5【点评】本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．16．（2020秋•重庆期末）已知三棱锥A﹣BCD，三条侧棱长相等且两两互相垂直，则侧棱与底面所成的角的正切值．【考点】直线与平面所成的角．【专题】转化思想；定义法；空间角；逻辑推理．【分析】将三棱锥A﹣BCD正方体中，设三棱锥的侧棱长为1，过点A作平面BCD的垂线，垂足为O，利用O为重心的性质求出OD，再利用勾股定理求出AO，在△ADO中，利用边角关系求解即可．【解答】解：三棱柱A﹣BCD，三条侧棱长相等且两两互相垂直，不妨直接将三棱锥放入正方体中，设三棱锥的侧棱长为1，则AB＝AB＝AD＝1，CD＝BC＝BD＝，过点A作平面BCD的垂线，垂足为O，则O为△BCD的重心，所以，由勾股定理可得，，又侧棱与底面所成的角为∠ADO，在Rt△ADO中，tan∠ADO＝，所以侧棱与底面所成的角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查了空间角的求解，主要考查了直线与平面所成角的求解，涉及了三棱锥几何性质的应用以及正方体与三棱锥关系的应用，是中档题．四．解答题（共6小题）17．（2020秋•重庆期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝9与直线l：y＝x+b．（1）若b＝2，直线l与圆相交于A、B，求弦长|AB|；（2）若直线与圆无公共点，求b的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．【分析】（1）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（2）由圆心到直线的距离大于半径列式求解b的范围．【解答】解：（1）圆C的圆心坐标为C（0，1），到直线l的距离d＝，则写出|AB|＝；（2）若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即3＜，解得b＜1﹣3或b＞1+3．∴b的取值范围是（﹣∞，1﹣3）∪（1+3，+∞）．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础题．18．（2020秋•重庆期末）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，点M是线段PD上一点．（1）若OM∥平面PAB，指出M的位置并证明；（2）若PO⊥平面ABCD，证明：AC⊥OM．【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．【分析】（1）由题意可知OM∥PB，结合O是BD的中点，可得M是PD的中点．（2）由题意可证明PO⊥AC，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证明AC⊥平面PBD，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥OM．【解答】解：（1）当M是PD的中点，OM∥平面PAB．证明如下：∵OM∥平面PAB，OM⊂平面PBD，平面PAB∩平面PBD＝PB，∴OM∥PB，又∵O是BD的中点，∴M是PD的中点．（2）证明：∵PO⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PO∩BD＝O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，又∵OM⊂平面PBD，∴AC⊥OM．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．19．（2020秋•重庆期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，c＝5，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【分析】（1）利用余弦定理，二倍角公式对已知等式进行化简，可得，再由特殊角的三角函数值即可得解；（2）由（1）及，得，由三角形的周长求得a+b＝7，再由余弦定理可解得ab的值，进而求得三角形的面积．【解答】解：（1）由余弦定理知，a2+b2﹣c2＝2ab cos C，因为，所以，即．又0＜C＜π，所以或，所以或．（2）由（1）及，得，因为a+b+c＝12，且c＝5，所以a+b＝7，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab×cos，即25＝49﹣3ab，所以ab＝8，所以△ABC的面积S＝ab sin C＝×8×sin＝．【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用三角形面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（2020秋•重庆期末）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）求三棱锥C﹣C1DE的体积；（2）求异面直线MN与C1D所成角的余弦值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】数形结合；等体积法；转化法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算．【分析】（1）由已知直接利用等体积法求三棱锥C﹣C1DE的体积；（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明NQ∥MB且NQ＝MB，可得∠C1DE为异面直线MN与C 1D所成角（或其补角），求解三角形可得DE＝，，，再由余弦定理可得异面直线MN与C1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）设C1到平面CDE的距离为h，由等体积法可得，，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，即CC1为C1到平面CDE的距离为h，∴＝＝；（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，∵N为A1D的中点，∴NQ∥AA1且NQ＝AA1，∵M为BB1的中点，∴MB∥AA1且MB＝，可得NQ∥MB且NQ＝MB，∴NQBM为平行四边形，得QB∥MN，又QB∥DE，∴NM∥DE，∴∠C1DE为异面直线MN与C1D所成角（或其补角），在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，∴DE＝，，，∴cos∠C1DE＝．∴异面直线MN与C1D所成角的余弦值为．【点评】本题考查多面体体积与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算能力，是中档题．21．（2018•衡阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．【考点】椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形ABF2F1面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）易知椭圆过点，所以，①…（2分）又，②…（3分）a2＝b2+c2，③…（4分）①②③得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为．…（6分）（Ⅱ）设直线l1：x＝my﹣1，它与C的另一个交点为D．与C联立，消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，…（7分）Δ＝144（m2+1）＞0.，…（9分）又F2到l1的距离为，…（10分）所以．…（11分）令，则，所以当t＝1时，最大值为3．…（14分）又所以四边形ABF2F1面积的最大值为3．…（15分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．22．（2020秋•重庆期末）已知数列{a n}满足：a1＝3，且对任意的n∈N*，都有1，a n，a n+1成等差数列．（1）证明数列{a n﹣1}等比数列；（2）已知数列{b n}前n和为S n，条件①：b n＝（a n﹣1）（2n+1），条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列{b n}前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由条件可知1+a n+1＝2a n，即a n+1﹣1＝2（a n﹣1），从而得出数列{a n﹣1}等比数列；（2）选择条件①：，利用错位相减法即可得出数列{b n}前n和为S n；选择条件②：，利用错位相减法即可得出数列{b n}前n和为S n．【解答】解：（1）证明：由条件可知1+a n+1＝2a n，即a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），且a1﹣1＝2，∴{a n﹣1}是以a1﹣1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，∴，则；（2）选择条件①：，，，两式相减可得，，，化简得；选择条件②：，，，两式相减可得，，化简得．【点评】本题考查等差数列的性质，等比数列的证明，错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年浙江省台州市高二上学期期末数学试卷及答案(解析版)
绝密★启用前2020-2021学年浙江省台州市高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．直线20x y -+=的倾斜角为（） A ．45° B ．60°C ．120°D ．135°答案：A【分析】先利用直线的方程求出直线的斜率，再利用斜率的定义求倾斜角即可. 解：直线方程为20x y -+=，即2y x =+，故斜率1k =， 设倾斜角为α，则[)0,απ∈，tan k α=，故tan 1α=，45α∴=︒. 故选：A.2．若空间一点()1,0,11M a -+在z 轴上，则a =（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2答案：C【分析】利用空间中z 轴上的点横纵坐标均为零，计算即可.解：空间一点()1,0,11M a -+在z 轴上，故10a -=，即1a =，此时坐标为()0,0,2M 满足题意. 故选：C.3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A ．14y x =± B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±答案：C【分析】根据双曲线渐近线方程的求法进行求解即可．解：解：因为2214y x -=，令2204y x -=，解得2y x =± 故选：C4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则直线AD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．12B．22C．5D．25答案：D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的余弦值；解：解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则()0,0,0D，()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,1E，所以()2,0,0DA=，()2,0,1BE=-，设直线AD与直线BE 所成角为θ，所以25cos25DA BEDA BEθ===故选：D5．已知圆()()221:2416C x y-++=，圆222:230C x y x++-=，则两圆的公切线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【分析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.解：因为圆()()221:2416C x y-++=，圆()222:14C x y++=，所以()()22121245C C=--+-=，12126,2R R R R+=-=，所以121212R R C C R R-<<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B6．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，且l α⊥，则“l β⊥”是“//αβ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；解：解：因为l α⊥，l β⊥，α，β是两个不同的平面，所以//αβ，故充分性成立； 若//αβ，l α⊥，所以l β⊥，故必要性成立； 故“l β⊥”是“//αβ”的充分必要条件； 故选：C7．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是x 轴正半轴上的一点，线段FM交抛物线于点A ，过A 作l 的垂线，垂足为B .若BF BM ⊥，则FM =（）A ．52B ．3C ．72D ．4答案：B【分析】先利用方程得求得焦点坐标和准线方程，设点(,0)M m ，()00,A x y ，再利用点()00,A x y 在抛物线与直线上列方程，解出0,x m ，最后利用距离公式计算FM 即可. 解：如图所示，抛物线24x y =中，()0,1F ，:1l y =-，依题意设(,0)M m ，()00,A x y ，00x >，则2004x y =，故200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1B x -，因为BF BM ⊥，即BF BM ⊥，而()()00,2,,1BF x BM m x =-=-， 所以()0020BF BM x m x ⋅=-+=，直线:11x y FM m +=，A 在直线上，故200:14x x FM m +=，即02044x m x =-，代入上式即得000024420x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝-⎭，化简整理得4200280x x +-=，即()()2200240xx -+=，故202x =，而00x >，故02x =，故()2422242m ==-，即(22,0)M ，所以FM =()()22220013-+-=.故选：B.点评：本题解题关键在于利用点()00,A x y 既在抛物线上，又在直线上，构建关系式，求解出点M 即突破难点.8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A ．16B ．13C ．12D ．23答案：A【分析】把三视图放在正方体里还原原图，即可求解.解：如图所示，三视图恢复原图为三棱锥， 则111111326V =⨯⨯⨯⨯=； 故选：A.9．如图，在侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，122AB AC AA ==，D ，E 分别是棱AB ，11B C 的中点，F 是棱1CC 上的一动点，记二面角D EF B --的大小为α，则在F 从1C 运动到C 的过程中，α的变化情况为（）A ．增大B ．减小C ．先增大再减小D ．先减小再增大答案：D【分析】作出二面角D EF B --的平面角12D D D ∠并证明，然后设4BC =，CF t =，(04)t ≤≤，求出11DD =，并在平面11B BCC 上以11B C ，1B B 为,x y 轴建立平面直角坐标系，用解析法求得12D D ，然后求得21124tan 8DD t D D t α+==+，设224()(8)t f t t +=+，利用导数得出()f t 的单调性，得α的变化趋势． 解：过D 作1DD BC ⊥交BC 于1D ，因为三棱柱侧棱垂直底面，所以1BB ⊥面ABC ，1DD ⊂面ABC ， 所以11BB DD ⊥， 又1BB BC B =，1,BB BC ⊂面11BB C C ，所以1DD ⊥面11BB C C ，EF ⊂面11BB C C ，所以1DD EF ⊥， 过D 作2DD EF ⊥交EF 于2D ，连接12D D ，12DD DD D =，12,DD DD ⊂平面12DD D ，所以EF ⊥平面12DD D ，又12D D ⊂平面12DD D ，所以12EF D D ⊥，所以12D D D ∠是二面角D EF B --的平面角，即12D D D ∠α=， 由1DD ⊥面11BB C C ，12D D ⊂面11BB C C ，得112DD D D ⊥，因为90BAC ∠=︒，12AB ACAA ==，所以11BC AA BB ==， 即11BB C C 是正方形，D 是AB 中点，则1D 是BC 的四等分点．设4BC =，则111DD BD ==，在平面11B BCC 上以11B C ，1B B 为,x y 轴建立平面直角坐标系， 如图，则1(1,4)D ，(2,0)E ，设(4,)F t ，04t ≤≤，2EF tk =，直线EF 的方程为(2)2t y x =-，即220tx y t --=， 1D 到直线EF 的距离为12228244t t D D t t --==++，21124tan 8DD t D D t α+==+，设224()(8)t f t t +=+，则38(21)()(8)t f t t -'=+， 当102t ≤<时，()0f t '<，()f t 递减，当142t <≤时，()0f t '>，()f t 递增． 所以tan α先减后增，而α为锐角，所以α先减后增．故选：D ．点评：方法点睛：本题考查求二面角问题，解题关键是作出二面角的平面角，注意作图与证明，设出边长4BC =，1C F t =，求出1DD 和2DD ，求出tan α，引入函数后用导数求出函数的单调性并得出二面角的变化趋势．10．如图，1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线与圆2222x y a b +=+在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且1213F P F Q =，则双曲线的离心率为（）A 10B 17C 39D 37答案：A【分析】连接21,PF QF ,设1PF n =由条件可得12PF PF ⊥，可得2222n b an =-，由条件有则23F Q n =，由双曲线的定义可得123QF a n =+.在12FF Q △中，21cos 2nQF F c∠=-，由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠，可得22263b an n =-，可解得n a =，从而可得答案.解：连接21,PF QF ，设12PF F θ∠=,设122F F c =，1PF n =，由双曲线的定义可得22PF a n =+.由条件可得12PF PF ⊥，则()22224n a n c ++=，即2222n b an =-在12F F P 中，12cos cos 2n PF F cθ∠== 由1213F P F Q =，则23F Q n =，由双曲线的定义可得123QF a n =+. 在12F F Q △中，21cos cos 2nQF F cθ∠=-=-由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠ 即()()22223342322n a n n c n c c+=++⨯⨯⨯所以22263b an n =-结合上面得到的式子：2222n b an =-，可得n a =所以12,3PF a PF a ==，则()()2232aa a c +=，即22104a c =所以210542e ==，即10e =故选：A点评：关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解答本题的关键是由条件设1PF n =由条件可得12PF PF ⊥，可得2222n b an =-，在12F F Q △中，21cos 2nQF F c∠=-，由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠，即()()22223342322na n n c n c c+=++⨯⨯⨯，所以22263b an n =-，属于中档题. 二、填空题11．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，1PA =，2PB =，且ABC 6，则PC 的长为___________. 答案：2【分析】依题意建立空间直角坐标系，设()0PC m m =>，表示出AC ，AB ，根据()22211sin 22ABCSAC AB CAB AC AB AC AB=⋅∠=⨯⋅-得到方程，计算可得；解：解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设()0PC m m =>，则()0,1,0A ，()2,0,0B ()0,0,C m ，所以()0,1,AC m =-，()2,1,0AB =-，所以()22211sin 622ABCSAC AB CAB AC AB AC AB=⋅∠=⨯⋅-=，即()22115162ABCSm=⨯+⨯-=，所以24m =，解得2m =故答案为：2点评：本题考查空间向量的应用，对于三角形ABC 的面积可以利用向量法()22211sin 22ABCSAC AB CAB AC AB AC AB=⋅∠=⨯⋅-进行转化计算；12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义：1212PQ x x y y =-+-.若点1,0A ，点B 为椭圆2212x y +=上的动点，则AB 的最大值为__________________. 31【分析】设点(),B x y 取0x <，0y >，1AB x y d =-+=只需直线1y x d =+-与椭圆2212x y +=相切即可求d 最大值.解：设点(),B x y ，则1AB x y =-+，因为求AB 最大值故取0x <，0y >， 所以11AB x y x y =-+=-+，设1d x y =-+，则求d 最大值，只要直线1y x d =+-与椭圆2212xy +=相切即可，联立方程组22112y x d x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 ()()223412120x d x d +-+--=由()()2216112[212]0d d ∆=----=解得 31d =+.故答案为：31+点评：思路点晴：将AB 转为直线方程，再根据直线与椭圆相切求得最大值. 13．如图，在ABC 中，1AC =，3BC =，2C π=，点D 是边AB （端点除外）上的一动点.若将ACD △沿直线CD 翻折，能使点A 在平面BCD 内的射影A '落在BCD △的内部（不包含边界），且73A C '=.设AD t =，则t 的取值范围是________________.答案：1213(,)2-. 【分析】由已知分析可得，A '在过A 与CD 的垂线AE 上，且在以C 为圆心，以7为半径的圆弧上，且在BCD ∆内部．然后求出极端情况，即A '在BC 上与在AB 上的t 的值，即可求得t 的取值范围． 解：解：如图，AA '⊥平面BCD ，过A '作A E CD '⊥，连接AE ，可得A E CD '⊥，即A '在过A 与CD 的垂线AE 上，又73A C '=A '在以C 7为半径的圆弧上，且在BCD ∆内部． 分析极端情况：①当A '在BC 上时，90ACE CAE ∠+∠=︒，90CAE CA A ∠+∠'=︒，可得CA A ACE ∠'=∠，设为α，在Rt △CA A '中，sin tan cos ααα===，且22sin cos 1αα+=，可得3sin 4α=，cos 4α=． 设ECB β∠=，CDA γ∠=，则90αβ+=︒，30γβ=+︒，则sin cos 4βα==，3cos sin 4βα==，1133sin sin(30)cos 2248γβββ+∴=+︒=+=+⨯=． 在CDA ∆中，由正弦定理可得：sin sin AC AD γα=，即1sin sin tγα=，得3sin 3sin 2t αγ===； 当A '在AB 上时，有CD AB ⊥，此时11cos 60122t AC =⋅︒=⨯=． A '在BCD ∆的内部（不包含边界），t ∴的取值范围是1(2，故答案为：1(2． 点评：本题的关键点在于找到点A '的两个临界位置，并根据几何关系求解. 三、双空题14．已知空间向量()2,1,2a =-，()1,0,3b =-，则a =__________，a b +=_________.答案：3()1,1,5-【分析】利用空间向量的模长的计算公式和线性运算法则直接计算即可. 解：因为空间向量()2,1,2a =-，()1,0,3b =-，所以(223a =+=，()()21,10,231,1,5a b +=--++=-.故答案为：3；()1,1,5-.15．已知直线1:230l mx y +-=与2:310-+=l x y .若12//l l ，则m =________；若12l l ⊥，则m =_______.答案：6-23【分析】根据12//l l 可得出关于m 的等式与不等式，可解得m 的值；由12l l ⊥可得出关于m 的等式，可解得此时m 的值.解：已知直线1:230l mx y +-=与2:310-+=l x y .若12//l l ，则23311m -=≠-，解得6m =-； 若12l l ⊥，可得320m -=，解得23m =.故答案为：6-；23.点评：结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=. （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠； （2）2112210A A l B B l +⇔=⊥.16．己知圆锥的底面积为2cm π，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________cm 2. 答案：2π43π，利用勾股定理可以求出圆锥的母线，再利用侧面积公式即可求侧面积；作圆锥的截面，利用相似三角形对应边成比例求出内切圆的半径，即为圆锥内切球的半径，即可求球的表面积. 解：设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ， 由题意可得2r ππ=，可得1r =，由勾股定理可得：2l ==， 所以圆锥的侧面积为122S rl πππ==⨯⨯=，作圆锥的轴截面如图所示：AB 、AC 分别与圆O 相切于,M N 两点， 设圆O 半径为R ，连接,OM ON ，则90ANO AMO ∠=∠=， 过点A 作AD BC ⊥，则90ANO ADC ∠=∠=，DAC NAO ∠=∠， 所以ADC ANO ，所以NO AO DC AC =，即31R R -=3R =，所以圆锥的内切球半径为3R =， 所以圆锥的内切球的表面积为22344433S R πππ⎛==⨯= ⎝⎭，故答案为：2π；43π点评：关键点点睛：本题求内切球的表面积即需要求内切球的半径，利用空间想象能力作出圆锥的轴截面即可利用相似三角形求出内切圆的半径即为内切球的半径. 17．已知平面内两点()1,0A -，()3,0B ，动点P 满足1PA PB ⋅=，则点P 的轨迹方程为________，点P 到直线34120x y ++=的距离的最小值为________. 答案：22240x y x +--=35；【分析】设(),P x y ，将1PA PB ⋅=利用数量积的坐标表示即可求得点P 的轨迹方程；利用圆的性质可知圆心到直线34120x y ++=的距离减去圆的半径即可得最小距离. 解：设(),P x y ，则()1,PA x y =---，()3,PB x y =--， 所以()()2131PA PB x x y ⋅=---+=， 整理可得：22240x y x +--=，由22240x y x +--=可得()2215x y -+=，所以圆心为()1,0，半径5r =圆心()1,0到直线34120x y ++=的距离为22334d ==+，由圆的性质可得：点P 到直线34120x y ++=的距离的最小值为35d r -=-， 故答案为：22240x y x +--=；35-点评：关键点点睛：求圆上的点到直线距离的最值转化为圆心到直线的距离减去半径即得最小值，加上半径即得最大值. 四、解答题18．已知圆C 的圆心为()2,1，且经过坐标原点. （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线10x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，求AB . 答案：（Ⅰ）()()22215x y -+-=；（Ⅱ）23AB =. 【分析】（Ⅰ）首先求出圆的半径r OC =，即可求出圆的方程； （Ⅱ）求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算可得； 解：（Ⅰ）解：由题意知，圆的半径415r OC ==+=， 所以，圆的标准方程为()()22215x y -+-=. （Ⅱ）解：圆心()2,1C 到直线10x y +-=的距离211211d +-==+，22223AB r d =-=.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，1O 是底面1111D C B A 的中心.（Ⅰ）求证：1//O B 平面1ACD ；（Ⅱ）求二面角1D AC D --的平面角的余弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ，可证11//O B D O ，即可得证；（Ⅱ）依题意可得1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角，再根据锐角三角函数计算可得；解：（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ， 由长方体的性质知11BO O D =，且11//BO O D ， 故四边形11BO D O 是平行四边形， 所以11//O B D O .又因为1D O ⊂平面1ACD ，1O B ⊄平面1ACD ， 所以1//O B 平面1ACD .（Ⅱ）解：设122AB BC AA ===，由长方体底面ABCD 是正方形，得DO AC ⊥. 因为11D A D C =，O 是AC 的中点，所以1D O AC ⊥， 所以1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角. 在直角三角形1D DO 中，190D DO ∠=︒，易得11=D D ，221122222DO BD ==+=()()222211523D O D C OC =-=-=得116cos DO D OD D O ∠== 所以二面角1D AC D --6. 点评：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>.O 为坐标原点，()2,0C 为椭圆的右顶点，A ，B 在椭圆上，且四边形OACB 是正方形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点M 恰在线段AB 上，求k 的取值范围.答案：（Ⅰ）221443x y +=；（Ⅱ）11,,33k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）将点代入椭圆方程结合2222,a a b c ==+即可得出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程消去y 得到x 的一元二次方程，由韦达定理得12023231x x km x k +==-+，因为PQ 的中点恰在线段AB 上得2313k m k+=-结合()01,1y ∈-解不等式即可.解：（Ⅰ）解：由题意，2a =，又由椭圆过点()1,1得21114b +=，解得243b =. 所以椭圆的方程为221443x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2234x y +=， 得()222316340k x kmx m +++-=()()2222Δ36431340k m k m =-+->，得2212340k m -+>.设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,M x y .12023231x x km x k +==-+，00231my kx m k =+=+. 因为PQ 的中点恰在线段AB 上，所以23131kmk -=+， 得2313k m k+=-所以021313m y k k ==-+，由()01,1y ∈-， 得1113k -<-<，解得11,,33k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点评：在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； ②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，1AB AD CD ===，2BC =.平面PBD ⊥平面ABCD ，PBC 为等边三角形，点E 是棱BC 上的一动点.(Ⅰ)求证：CD ⊥平面PBD ；(Ⅱ)求直线PE 与平面PAD 所成角的正弦值的最大值. 266. 【分析】(Ⅰ)作BC 中点F ，连接,DF AF 交于点M ，先证四边形ABFD 是菱形，进而得到CD BD ⊥，再通过面面垂直的性质定理即可得到CD ⊥平面PBD ； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法表示出直线PE 与平面PAD 所成角的正弦值，根据表达式，即可求出最大值. 解：解：（Ⅰ）证明：如图所示：作BC 中点F ，连接,DF AF 交于点M ， 则由1,2AD BC ==知：//AD BF 且AD BF =，∴四边形ABFD 是平行四边形，又1AB AD ==，∴四边形ABFD 是菱形，故AF BD ⊥，在BDC 中，,F M 分别为,BC BD 的中点， 故//FM CD , 即CD BD ⊥， 又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD平面ABCD BD =，CD平面PBD ；（Ⅱ）如上图所示：以点D 为原点，分别以DB ，DC 所在的直线为x 轴，y 轴，以过点D 垂直于底面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，由题意知，31,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，)3,0,0B ，()0,1,0C ，过点P 作直线1PP 与BD 垂直，且11PP BD P ⋂=.PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，1PP ∴⊥平面ABCD ，又PB PC =，即11PB PC =，∴点1P 在线段BC 的中垂线上，由对称性可知：A ，1P ，C 三点共线，由11P AD PBC ∽△△，得：112BP BC PD AD ==，1BP ∴=， 又由2PB =，得：13PP =， ∴点P的坐标为⎝⎭，3DP ⎛= ⎝⎭，31,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PAD 的法向量(),,n x y z =DP n DA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 即3033102x z x y+=⎪⎪⎨-=，令x =，则12,6,2n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 设BE BCλ=，则[]0,1λ∈，则2,3PE DE DP DB BC DP λλλ⎛⎛=-=+-=- ⎝⎝，设直线PE 与平面PAD 所成角为θ，则sin cos ,3333PE n PE n PE nθ⋅===⋅⎛≤.当12λ=时取等号， ∴直线PE 与平面PAD .点评：方法点睛： 求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.22．如图，过点()0,1P -的直线1l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点（A 在第一象限），且交x 轴于点M ，过点A 的直线2l 交抛物线于另一点C ，且交x 轴于点N ，1k ，2k 分别是直线1l ，2l 的斜率，且满足1220k k +=.记AMN ，ABC 的面积分别为1S ，2S.（Ⅰ）若12k =，求2l 的方程；（Ⅱ）求12S S 的取值范围.答案：（Ⅰ）450x y +-=；（Ⅱ）12,45⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）依题意可得直线1l 的方程为21y x =-，代入抛物线方程，即可求出A 点坐标，从而求出直线2l 的方程； （Ⅱ）设点A 的坐标为()()2,0a aa >，则直线PA 的斜率为21a a +，表示出直线PA 的方程，联立消元、利用韦达定理求出B y ，同理可表示出C y ，则()()()21221254A B A c A A AM AN y y a S S AB AC y y y y a a ⋅+==⋅=⋅--++，再利用二次函数的性质计算可得；解：（Ⅰ）解：由12k =，知直线1l 的方程为21y x =-，代入抛物线方程2y x =，得2201y y --=，解得1y =或12-，所以()1,1A ，又由2124k k =-=-， 得直线2l 的方程为()141y x -=--，即450x y +-=.（Ⅱ）解：设点A 的坐标为()()2,0a aa >，直线PA 的斜率为21a a +， 直线PA 方程为211a y x a +=-，代入抛物线2y x =，消去x ， 得()22210a y a y a +--=，由韦达定理得21B a a y a ⋅=-+， 所以1B a y a =-+. 因为1220k k +=，所以直线2l 的方程为()()2221a y a x a a +-=--， 代入抛物线2y x =，消去x ，得()()22221320a y a y a a ++-+=.由韦达定理得()()23221c a a a y a +⋅=-+，所以()()3221C a a y a +=-+. 12A A A B A cAM AN y y S S AB AC y y y y ⋅==⋅⋅--. ()()()()()222125432121a a a a a a a a a a a +==+++++++ 令1t a =+，则1a t =-，1t >. ()()212222221115114529S t S t t t t t ===+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭. 由()10,1t ∈，知1212,45S S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 所以12S S 的取值范围是12,45⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点评：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．。
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控江中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．经过点(1,0)，且以(2,5)d =r为一个方向向量的直线l 的方程为 ．2．过点(4,3)，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为 ．3．焦点为(-与的等轴双曲线的方程为 ．4．平面上到两定点(4,0)与(4,0)-的距离之和为8的动点的轨迹方程为 ．5．若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为实数k 的值为 ．6．已知t 是实数．设向量(3,4)a =r，向量(2,1)b =r ．若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为 ． 7．直线25y x =+被圆22(1)(2)14x y -+-=所截得的弦AB 的长度为 ．8．设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点(2,0)B 为定点．若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为 ．9．椭圆2221(04)16x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m ．若7M m =，则b = ．10．设P 是双曲线22136x y -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点．若1212()()72F P F P F P F P +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则1||F P =u u u r__________．11．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点111,,A B C 满足：1()A A A B A C λ=+u u u u r u u u r u u u r，1()BB BC BA λ=+u u u u r u u u r u u u r ，1()CC CA CB λ=+u u u u r u u u r u u u r．若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为__________．12．在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为(0,2)-、(2,2)、(5,2)-．该平面上的动点P 满足123||||||2019PF PF PF ++=．已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为__________（只需写出满足题意的一个方程）．二、选择题13．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）． （A ）(,20)-∞（B ）(,5)-∞（C ）(5,)+∞（D ）(20,)+∞14．设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ）． （A ）35（B ）35（C ）95（D ）9515．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”．如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处．从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T ．根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）． （A ）A 点处 （B ）B 点处 （C ）C 点处 （D ）D 点处16．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点．设(2,0)A ，(0,1)B ．命题甲：若||||A P A Q =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若||||BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称．关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）． （A ）甲和乙都是真命题（B ）甲是真命题，乙是假命题 （C ）甲是假命题，乙是真命题（D ）甲和乙都是假命题三、解答题17．已知向量1(1,2)e =r 与2(4,2)e =r是平面上的一组基向量．（1）设向量(1,4)v =-r ，试用向量1e r 与2e r表示v r ；（2）设t 是实数，向量(6,)b t =r ．设b r 与1e r 的夹角为α， b r 与2e r的夹角为β．若αβ=，求t 的值．18．已知m 为实数．设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-． （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上．19．设双曲线Γ的方程为2214y x -=．（1）设l 是经过点(1,1)M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点．若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R ．试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由．20．已知抛物线P 的焦点为(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-．若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“向心三角形”．（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．21．设椭圆E 的方程为2212x y +=．斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，||A B 为直径作圆S ．（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=．参考答案一、填空题1．5250x y --= 2．43250x y +-= 3．22144x y -= 4．0,(44)y x =-≤≤5．34 6．52 7．6 8．222y x =- 9．7 10．73 11．2312．210x y +-=【第9题解析】由椭圆“近日、远日”的相关知识，得4M a c c =+=+，4m a c c =-=-， 由7M m =，解得3c =，∴227b a c =-=． 【第10题解析】221212121212()()72||||(||||)(||||)72F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=⇒-=-+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r， 由双曲线定义知12||||223F P F P a -==u u u r u u u u r ，∴12||||123F P F P +=u u u r u u u u r ，于是可得1||73F P =u u u r．【第11题解析】记A BC △的重心为G ， 则由题意，A BC △与111A B C △关于G 中心对称， 即11112()()2323A G A A AB AC A B A C λλ=⇒+=+⇒=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．【第12题解析】易得1323||||5F F F F ==，∴123F F F △为等腰三角形， 于是由动点P 的轨迹是轴对称图形，猜测对称轴为123F F F △ 底边12F F 上的高所在直线，其方程为210x y +-=．二、选择题13．B 14．C 15．A 16．B【第16题解析】乙的反例：||||5BP BQ ==，(2,0)P ，252(,)3Q -．三、解答题17．（1）设(1,2)(4,2)(1,4)x y +=-，即41,22 4.x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得3x =，1y =-． 故123v e e =-r r r．（4分）（注：直接写出答案建议给满分）（2）11cos ||||e b e b α⋅==r r r r （7分）22cos ||||e b e b β⋅=r r r r（9分）因,[0,]αβπ∈，故题意即242622tt ++=， （11分） 解得t 的值为6．（14分）18．（1）1l 与2l 平行的一个必要条件为系数行列式221608mD m m==-=， 解得4m =±．（2分） 当4m =时，两直线重合，不合题意． （4分） 当4m =-时，两直线的确平行，因此m 的值为4-． （6分）（2）212828x m D m m m ==-++-，2142y D m mm ==--, 因此两直线的交点为21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭．（10分）因此，点A 在直线210x y --=上． （14分） 19．（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，和双曲线Γ的确有且仅有一个公共点． （1分） 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1(1)y k x -=-，与Γ的方程联立，得到224(1)40x kx k --+-=．整理得222(4)2(1)((1)4)0k x k k x k +-+---=． （3分） 因此2k =±满足题意．（4分）而当2k ≠±时，题意即判别式22224((1)(4)((1)4))0k k k k ∆=-+--+=，解得52k =． 因此l 的方程为1x =，或210x y --=，或230x y +-=，或5230x y --=． （6分） （2）（解法一） 由双曲线及其渐近线关于一坐标轴的对称性，不妨设,A B 均在渐近线2y x=上．进而设(,2)A u u ，(,2)B v v ．设点P 的坐标为00(,)x y ，其中22014y x -=．这样，点Q 的坐标为00(2,4)u x u y --，点R 的坐标为00(22,44)v u x v u y -+-+．（10分） 而220011(22)(44)4v u x v u y -+-+--222222000000(22)2(22)(22)(22)44y y v u x v u x v u v u y x ⎛⎫=-++------- ⎪⎝⎭-00(22)(2)v u x y =--，注意到v u ≠，故若点R 在Γ上，则002y x =．（12分）但此时22004y x -=，矛盾，因此点R 不在Γ上．（14分） （解法二）由于2QP QA =u u u r u u u u r ，2QR QB =u u u r u u u r，故2PR A B =u u u r u u u r ，因此直线PR 平行于直线AB ．（10分）根据双曲线的性质，平行于渐近线的直线与双曲线的交点不超过一个，而P 已经是Γ上的点，故点R 不在Γ上． （14分）20．（1）抛物线P 的方程为24y x =．（1分）假设这样的“向心三角形”存在，则其第三个顶点的坐标应为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-．（3分）但是点(2,2)-不在抛物线P 上，矛盾． 因此这样的“向心三角形”不存在．（4分）（2）设直线AB 的方程为4y x m =+，与24y x =联立，整理得20y y m -+=．因此121y y +=，121211(44)22mx x y m y +=+=--．（6分） 由123123(,)(3,0)x x x y y y ++++=得31124m x =+，31y =-．（8分）代入方程24y x =，得1211m =+，解得5m =-，因此直线AB 的方程为45y x =-．（10分）（3）（解法一）设直线BC 的方程为x ny m =+．将该方程与24y x =联立，得2440y ny m --=．由与直线BC 和抛物线P 相交，故判别式216()0n m ∆=+>．（12分）故234y y n +=，从而22342x x n m +=+，因此点A 的坐标为2(423,4)n m n --+-． 因点A 在抛物线P 上，故221616812n n m =--+，故2342m n =-+． （14分）结合20n m +>，得212n <． 故点A 的横坐标22224234842n m n n n --+=-+=<．（16分）（解法二）设,,A B C 三点的坐标分别为2,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4c c ⎛⎫⎪⎝⎭．由题意，22212a b c ++=，且0a b c ++=． 因此222222(12)2()()a b c b c a -=++=≥．（13分） 故28a ≤，而当28a =时，b c =，与,B C 不重合相矛盾,（14分） 因此点A 的横坐标24a 小于2．（16分）21．（1） 设直线l 的方程为y x m =+，与方程2212x y +=联立，得222()20x x m ++-=，整理得2234(22)0x mx m ++-=．判别式221624240m m ∆=-+>当且仅当(m ∈． （2分） 此时，12223x x m+=-，因而1223y y m +=．因此，圆心C的轨迹方程为20,x y x ⎛+=<< ⎝⎭．其轨迹为一直线在椭圆E 内的部分．（5分） （2）在(m ∈的前提下，圆S 经过原点当且仅当12120x x y y +=． （7分）而2121212122()x x y y x x m x x m +=+++ 22244433m m m -=-+243m =-，（9分）故S经过原点当且仅当m =． 因此直线l的方程为y x =，或y x =-．（11分）（3）在(m ∈的前提下，原点O 到圆心C的距离为|||OC m ，而圆S的半径为1||2A B == （14分）因此，圆上任一点P 到圆心的距离不大于|||||OC CP m += 设||,0,2m πθθ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，则2|arccos3m θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因此||OPS 内含或内切于圆223x y +=．（18分）。