2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数sin sin y x x =-的值域是（ ） A ．{}0 B ．[]22-, C ．[]0,2 D ．[]2,0-

【答案】D

【解析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域. 【详解】

因为0,sin 0

sin sin 2sin ,sin 0x y x x x x ≥?=-=?

， 由正弦函数的值域可知20-≤≤y ， 故选：D 【点睛】

本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题． 2．已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移

3

π

个单位得到函数4sin 23y x π??=+ ???；②函数cos 26y x π?

?=+ ??

?的图像关于直线22k x ππ=-，()

k Z ∈成轴对称其中（ ） A ．①真②真 B ．①真②假

C ．①假②真

D ．①假②假

【答案】D

【解析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断② 【详解】

①将函数4sin 2y x =图像向左平移

3

π

个单位得到函数24sin 2()4sin(2)33

y x x ππ

=+=+，故①假；

②函数cos 26y x π?

?=+ ??

?的图像的对称轴方程为2,6x k k Z ππ+=∈，解得

212

k x ππ

=

-，k Z ∈，故②假. 故选：D 【点睛】

本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题. 3．已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ?

?

?

?=++- ? ??

???

是偶函数”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要不充分

C ．充要

D ．非充分非必要

【答案】C

【解析】利用函数为偶函数()()f x f x -=即可求解. 【详解】

根据题意可得()()f x f x -=

sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ???????

?-++--=++- ? ? ? ????????

?，

即sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ??

?????

?--

-+=++- ? ? ? ??

???????， ()()sin sin 044a b x a b x ππ??

?

?++

++-= ? ????

?， 所以()2sin sin

04a b x π?

?

+= ??

?

，

对于任意x ∈R ，恒成立， 则0a b +=.

“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ??

?

?=++- ? ??

???

是偶函数”的充要条件. 故选：C 【点睛】

本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题. 4．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，

()5sin ,01

4211,14x

x x f x x π???

≤≤ ?????

=????+> ????

?，若关于x 的方程()()()()2

55660f x a f x a a R -++=∈????有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范

围是（ ）

A

．01a <≤或54a = B ．01a ≤≤或54

a = C ．01a <<或5

4

a =

D ．5

14

a <≤

或0a = 【答案】C

【解析】运用偶函数的定义可得()f x 在0x <的解析式，作出函数()f x 的图象，由

25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6

()5

f x =

，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a 的情况，即可得到a 的范围． 【详解】

函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，

当0x 时，5sin()(01)42

()1()1(1)4

x x x f x x π???=??+>??，

当0x <时，5sin(),10()4

241,1

x x x f x x π?--?

=??+<-?． 作函数()f x 的图象，

由于关于x 的方程2

5[()](56)()60f x a f x a -++=，

解得()f x a =或6()5

f x =

， 当01x 时，()[0f x ∈，5

]4，1x >时，()(1f x ∈，5)4

．

由65

154<

<，则6()5

f x =有4个实根， 由题意，只要()f x a =有2个实根，

由图象可得当01a <时，()f x a =有2个实根，

当5

4

a =时，()f x a =有2个实根． 综上可得：01a <或5

4

a =．

故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．

二、填空题

5．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______. 【答案】2

【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积． 【详解】

因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度， 所以

21

1222

r r ??=∴= 故答案为2． 【点睛】

本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力． 6．()5sin 24f x x π??

=- ??

?

的单调减区间是___________. 【答案】[,]()88

k k k 3π7π

π+

π+∈Z 【解析】根据正弦函数的单调性直接求解即可. 【详解】

因为()5sin 24f x x π??

=- ??

?

， 令2232242

x k k π

π

π

ππ≤-

≤+

+

，k Z ∈ 解得3788

x k k ππππ≤≤++，k Z ∈， 所以函数()5sin 24f x x π??

=- ??

?

的单调递减区间为[,]()88

k k k 3π7π

π+

π+∈Z ， 故答案为：[,]()88

k k k 3π7π

π+

π+∈Z

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题. 7．方程2cos210x -=的解集是___________. 【答案】{|6

x x k π

π=+

或,}6

x k k Z π

π=-

∈

【解析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】

由2cos210x -=可得：

1cos 22

x =

， 所以223

x k π

π=+或223

x k π

π=-

，()k ∈Z

即6

x k π

π=+

或6

x k π

π=-

故答案为：{|6

x x k π

π=+或,}6

x k k Z π

π=-

∈

【点睛】

本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 8．若()cos 2cos3f x x =-，则()sin75f ?=___________.

【答案】2【解析】由诱导公式可知sin75cos15?=?，所以()()sin75cos15f f ?=?，直接代入公式即可求出结果. 【详解】

()()sin 75cos152cos 4522

f f ?=?=-?=-

.

故答案为：22

-【点睛】

本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题. 9．不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______ 【答案】10,2??????

【解析】由反余弦函数的定义域及单调性可得111111x x x x -≤≤??

-≤-≤??<-?

，再求解即可.

【详解】

解：由函数arccos y x =是定义在[]1,1-的减函数， 又arccos arccos(1)x x >-，

则11

1111x x x x

-≤≤??

-≤-≤??<-?

，解得：102x ≤<，

即不等式的解集为：10,2??

????

，

故答案为10,2??????

. 【点睛】

本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.

10．在ABC ?中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________. 【答案】

3

π 【解析】利用正弦定理有：2

2

2

b a

c a c +≥+，则2221

cos 22

a c

b B a

c +-=

≤，则角B 的最小值是

3

π

． 11．已知()4cos 5

αβ+=，()3

cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.

【答案】-7

【解析】根据()4cos 5

αβ+=

，()3

cos 5αβ-=-，利用两角和与差的余弦公式展开，

再两式相加 、相减分别得到cos cos αβ、sin sin αβ，然后利用商数关系求解. 【详解】

因为()4cos 5

αβ+=

，()3

cos 5αβ-=-，

所以43

cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=-，

两式相加得：1

cos cos 10

αβ=，

两式相减得：7sin sin 10

αβ=-， 所以tan tan 7αβ=-， 故答案为：-7 【点睛】

本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．函数()cos2f x x =，,02x ??

∈-????

π的反函数是___________. 【答案】1

()arccos 2

f x x =-

【解析】根据反余弦函数的定义及,02x ??

∈-????

π，利用偶函数性质求解即可. 【详解】

因为,02x ??

∈-????

π， 所以2[],0x π∈-

由()cos2cos(2)f x x x ==-，且[]20,x π-∈ 所以2arccos x y -=，即1

arccos 2

y x =- 故答案为：1

()arccos 2

f x x =- 【点睛】

本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.

13．已知m 是实常数，若{

}

2

cos sin 0x x x m ++=≠?，则m 的取值范围是___________. 【答案】5[,1]4

-

【解析】由题意可转化为2sin sin 1m x x =--有解，换元求函数的值域即可. 【详解】

由2cos sin 0x x m ++=可得：

2sin sin 1m x x =--，

若{

}

2

cos sin 0x x x m ++=≠?， 则方程2sin sin 1m x x =--有解， 令sin t x =，11t -≤≤， 则2

2

155

1()[,1]2

44

y t t t =--=--∈-， 所以只需5

[,1]4

m ∈-， 故答案为：5[,1]4

- 【点睛】

本题主要考查了含sin x 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.

14．ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=?，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.

【答案】3

c =

或04c <≤ 【解析】利用正弦定理表示c 为sin C 的函数，即可求解. 【详解】

由正弦定理可得sin sin a C c A =

,20,3C π??

∈ ???

, 又60A ∠=?，4a =， 所以

c =

在20,3C π??∈ ???

有唯一解，

故c =

或04c <≤

故答案为：3

c =或04c <≤ 【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.

15．已知函数()()()

sin 0,0,f x A x b A ω?ω?π=++>><的最大值为4，最小值

为0，最小正周期为

2

π，直线3x π

=是其图像的一条对称轴，且

42f f ππ????

< ? ?????

，则

()f x 的解析式为___________.

【答案】()2sin 426f x x π??

=+

+ ??

?

【解析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求,A b ，根据周期公式求ω，再代入对称轴3

x π

=，求?，最后再验证，确定函数的解析式.

【详解】

14f π??= ???

【点睛】

本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型. 16．在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3

C π

<

；③若

cos cos a b

B A

=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则

tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.

【答案】②④⑤.

【解析】①取45,105A B =?=?验证可判断；

②由2a b c +>及基本不等式求cos C 的范围，从而可判断； ③由

cos cos a b

B A

=和正弦定理可判断； ④若sin cos A B <，则sin sin 2A B π??

<-

???

，结合正弦函数的单调性可判断； ⑤若tan tan 1A B >，则可判断出A 、B 、C 均为锐角，由

()tan tan tan tan +=1tan tan A B

C A B A B

+=--

-，结合均值定理可判断tan tan tan 1A B C >.

【详解】

解：①令45,105A B =?=?，则tan tan A B ≥，但sin sin sin75A B <=?，故①错误.

②若2a b c +>，则2

2

2a b c +??-<- ???

，

()2

2

2

22222326212cos 22882

a b a b a b ab a b c ab ab C ab ab ab ab +??

+- ?+-+--??=>=≥=

，

cos y x =在()0,π递减，所以3

C π<，故②正确；

③由正弦定理及cos cos a b B A =，得sin 2sin 2A B = 所以A B =或2A B π

+=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故③错误.

④由sin cos A B <，则,0,

2A B π?

?

∈ ??

?

，

0,22B π

π??

-∈ ???，sin sin 2A B π??<- ???

，所以,2

2

A B A B π

π

<

-+<

，则ABC 为钝角三角形，故④正确.

⑤若tan tan 1A B >，则,0,

2A B π?

?

∈ ??

?

，()sin sin cos cos ,cos 0A B A B A B >+<，,2A B ππ??+∈ ???，0,2C π??

∈ ???

，tan 0C >，

()tan tan ,tan tan +=1tan tan A B

C A B C A B A B

π+=--=--

-，

所以

tan tan tan tan tan tan 2tan 2A B C C A B C =++≥>+>，

所以tan tan tan 1A B C >，故⑤正确 综合以上有②④⑤正确 故答案为：②④⑤. 【点睛】

根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.

三、解答题 17．已知tan 2α=. （1）求tan 4πα??

+

??

?

的值； （2）求

2sin 2sin sin cos cos 21

α

αααα+--的值.

【答案】（1）3-；（2）1

【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．

（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公

式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．

试题解析：（Ⅰ）tan tan

214tan() 3.4121

1tan tan 4

π

απ

απα+++

=

==--?-

（Ⅱ）原式22

2sin cos sin sin cos 2cos a

ααααα=+- 2

2tan tan tan 2α

αα=+- 2221222

?==+-． 【考点】（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用

18

．已知函数()4tan sin(

)cos()23

f x x x x π

π

=--

（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44

ππ

-

上的单调性与最值.

【答案】（1）定义域π

{|π,}2

x x k k ≠+∈Z ，T π=；

（2）单调递增：[,]124ππ-

，单调递减：[,]412

ππ

--，最大值为1，最小值为2-； 【解析】试题分析：(1)简化原函数，()π2sin 23f x x ?

?

=-

??

?

结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值. 试题解析：

(

)4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ???????

?=--=-=-- ? ? ? ????????

?

2

πsin2sin22sin 23x x x x x ?

?=+==- ??

?

； （1）()f x 的定义域：{|,}2

x x k k Z π

π≠+∈，最小正周期2π

π2

T =

= ； （2）

()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ????????

??∈-?-∈-?+∈-?∈- ?????????????????

，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ??-

????，单调递减：,412π

π??--????

，

19．如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于

3

π

，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；

（2）设COPθ

∠=，求POC

?面积的最大值及此时θ的值.

【答案】（1）

113

2

PC

-+

=；（2）

6

π

θ=时，()

Sθ3

【解析】（1）在POC

?中，

2

3

OCP

π

∠=，2,1

OP OC

==，由余弦定理即可求边长PC；

（2）在POC

?中，利用正弦定理，得到

3

CPθ

=，

3

3

OC

π

θ

??

=-

?

??

，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.

【详解】

（1）在POC

?中，

2

3

OCP

π

∠=，2,1

OP OC

==，

由222

2

2cos

3

OP OC PC OC PC

π

=+-?，

得230

PC PC

+-=，解得

113

PC

-+

=

（2）∵//

CP OB，∴

3

CPO POB

π

θ

∠=∠=-，

在POC

?中，由正弦定理得

sin sin

OP CP

PCOθ

=

∠

，即

2

2sin

sin

3

CP

πθ

=

，

∴

3

CPθ

=，又2

sin

sin

3

3

OC OP

π

π

θ

=

??

-

?

??

，

3

3

OC

π

θ

??

=-

?

??

，

记POC

?的面积为()

Sθ，则

12

()sin

23

S CP OC

π

θ=?，

13

sin

2323

333

ππ

θθθθ

????

=-?=?-

? ?

????

2

1sin 2sin cos

2θθθθθθ?=

-=????

sin 22)6πθθθ=+

-=+-

∴6

π

θ=

时，()S θ【点睛】

本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.

20．某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πω?ω??

?=+>>< ??

?在某

一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.

（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的

1

3

，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，

2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.

【答案】（1）详见解析（2

【解析】（1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出()f x 的解析式． （2）利用sin()y A x ω?=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用条件以及余弦定理、基本不等求得ABC 面积的最大值． 【详解】

（1）请将上表数据补充完整，如表：

根据表格易知2M =，·027·2π

ω?πω?π?+=????+=??，解得13

6ωπ??=????=-??

，

故()2sin()36

x f x π=-

． （2）将函数()f x 的图象每一点的横坐标缩短到原来的1

3

倍，纵坐标不变， 得到函数(

)2sin()6

g x x π

=-

的图象，

在ABC 中，若g （A ）2sin()16

A π

=-

=，

1

sin()62A π∴-=，

3

A π

∴=

，

2BC =，

故由余弦定理可得

22242?·cos 2?··BC AC AB AC AB A AC AB AC AB AC AB ==+--=， ·4AC AB ∴，

ABC ∴面积为113

···sin ?4?222

AC AB A ∠=

故ABC 【点睛】

本题主要考查五点法作图，sin()y A x ω?=+的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．

21．已知函数()()

sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π??

=- ???

. （1）求a 的值；

（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）

（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]

0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）9-（2）证明见解析（3）存在正整数505n =，理由见解析. 【解析】（1）计算4

x π

=

时()f x 的值，从而解得a 的值；

（2）根据()()f x f x π+=，求得()f x 的最小正周期为π；

（3）根据()f x 的最小正周期为π，且[0x ∈，)π内有4个零点，可解得n ． 【详解】

（1）函数()(sin cos )4sin 29f x a x x x =+++，

令4

x π

=

4913++=-9a =-；

（2）

()9[sin()cos()]4sin 2()99(sin cos )4sin 29()

f x x x x x x x f x ππππ+=-++++++=-+++=，

所以()f x 的最小正周期为π．

（3）存在正整数505n =，使得()0f x =在区间[0，]n π内恰有2021个零点． 当[0,]2

x π

∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =-+++．

设sin cos ),4

t x x x t π

=+=

+∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，

于是2

()9(sin cos )4sin 29495f x x x x t t =-+++=-+，

令24950t t -+=，得1t =或5

4

t =∈，

于是0,2

x π

=，或00(0)4

x x x π

=<<

或02x x π

=

-，其中0sin()48

x π+=， 当(

,)2

x π

π∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =--++．

设sin cos ),4

t x x x t π

=-=

-∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，

于是2

()9(sin cos )4sin 294913f x x x x t t =--++=--+，令249130t t --+=，

解得1t =或134t =-

?，故()f x 在(,)2

x π

π∈没有实根． 综上讨论可得，()0f x =在[0，)π上有4个零点，

=?+，

而202145051

0,505π有2021个零点.

所以函数在[]

【点睛】

f x=在本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断()0 [0,)π上有4个零点是解题的关键，属于难题.