上海市控江中学2018-2019学年高一下学期数学期中考试卷(PDF)
2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
【答案】C
【解析】利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
二、填空题
5．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
【答案】2
【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
6． 的单调减区间是___________.
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
8．若 ，则 ___________.
【答案】 .
【解析】由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
【答案】 或
【解析】利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若扇形的圆心角为2π3，半径为2，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，3分）若点P（-3，y）是角α终边上的一点，且sinα=−45，则y=___ ．3.（填空题，3分）已知sinα+cosα= 23，则sin2α的值为___ ．4.（填空题，3分）若等差数列{a n}中，a6=3，{a n}的前n项和为S n，则S11=___ ．5.（填空题，3分）若cosα=35且tanα＜0，则cos(π2−α) =___ ．6.（填空题，3分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为___7.（填空题，3分）将式子cosα+√3sinα化成Acos（α+φ）（其中A＞0，φ∈[-π，π））的形式为___ ．8.（填空题，3分）若π＜α＜3π2且cosα=−45，则tanα2=___ ．9.（填空题，3分）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2+7，n∈N*，则数列{a n}的通项公式a n=___ ．10.（填空题，3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为___ ．11.（填空题，3分）若tanα，tanβ是方程x2+4√3x+5=0的两根，且α、β∈(−π2，π2)，则α+β=___ ．12.（填空题，3分）已知k是正整数，且1≤k≤2019，则满足方程：sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°•…sink°的k有___ 个．13.（单选题，3分）若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（）A.tan（π+α）=tan（-α）B. cot(π2+α)=−sinαcosαC. cscα=1sin(π−α)D.（secα-1）（secα+1）=tan2α14.（单选题，3分）若sinθ2=513，cosθ2=−1213，则角θ的终边在第（）象限．A.一B.二C.三D.四15.（单选题，3分）在平面直角坐标系中，AB̂，CD̂，EF̂，GĤ是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A. AB̂B. CD̂C. EF̂D. GĤ16.（单选题，3分）对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}＞M，那么下列命题正确的是（）A.若{a n}＞M，则数列{a n}各项均大于或等于MB.若{a n}＞M，{b n}＞M，则{a n+b n}＞2MC.若{a n}＞M，则{a n2}＞M2D.若{a n}＞M，则{2a n+1}＞2M+117.（问答题，0分）已知tanα=2．（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin2αsin2α−cos2α+1的值．18.（问答题，0分）已知{a n}为等差数列，a3+a8=10，a6=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求a2+a5+a8+…+a68的值．19.（问答题，0分）已知0＜x＜π2＜y＜π，sin(x+y)=513．（1）判断tanx+tany的正负性，并说明理由；（2）若tan x2=12，求cos2x和cosy的值．20.（问答题，0分）对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2−θ0)+⋯+cos2(θn−θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．（1）若集合Ω={π3，π4}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；（2）若集合Ω={π3，2π3，π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合Ω={π4，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．21.（问答题，0分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n= 1a n，n∈N*，若c3，c k，c m成等差数列（k、m为正整数且3＜k＜m），求k和m 的值；（3）设B n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数p，使得3a n≥64(B n+1)+p对一切n∈N*均成立？若存在，求出p的最大值；若不存在，说明理由．2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）若扇形的圆心角为 2π3 ，半径为2，则扇形的面积为___ ． 【正确答案】：[1] 4π3【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：∵扇形的圆心角为 2π3 ，半径为2， ∴扇形的面积为S= 12 ×××22× 2π3 = 4π3 ． 故答案为： 4π3 ．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）若点P （-3，y ）是角α终边上的一点，且 sinα=−45 ，则y=___ ． 【正确答案】：[1]-4【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求出y 的值．【解答】：解：∵点P （-3，y ）是角α终边上的一点， 且 sinα=−45 = √9+y 2，则y=-4， 故答案为：-4．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3.（填空题，3分）已知sinα+cosα= 23 ，则sin2α的值为___ ． 【正确答案】：[1] −59【解析】：把所给的条件平方，再利用二倍角公式求得 sin2α 的值．【解答】：解：∵已知sinα+cosα= 23 ，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α= 45 ， 解得 sin2α=- 59 ， 故答案为- 59 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题． 4.（填空题，3分）若等差数列{a n }中，a 6=3，{a n }的前n 项和为S n ，则S 11=___ ． 【正确答案】：[1]33【解析】：根据题意，由等差数列的前n 项和公式分析可得S 11= (a 1+a 11)×112=11a 6，计算即可得答案．【解答】：解：根据题意，在等差数列{a n }中，S 11= (a 1+a 11)×112=2a 6×112=11a 6=33， 故答案为：33．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题． 5.（填空题，3分）若 cosα=35 且tanα＜0，则 cos (π2−α) =___ ． 【正确答案】：[1]- 45【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算求解．【解答】：解：∵ cosα=35 ＞0，且tanα= sinαcosα ＜0， ∴sinα＜0∴ cos (π2−α) =sinα=- √1−cos 2α =- 45． 故答案为：- 45 ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．6.（填空题，3分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为___ 【正确答案】：[1]3【解析】：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．【解答】：解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7= a1(1−27)1−2=381，解得a1=3．故答案为：3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.（填空题，3分）将式子cosα+√3sinα化成Acos（α+φ）（其中A＞0，φ∈[-π，π））的形式为___ ．【正确答案】：[1] 2cos(α−π3)【解析】：直接结合辅助角公式即可化简．【解答】：解：cosα+√3sinα =2（12cosα+√32sinα) =2cos（α−13π），故答案为：2cos（α−13π）．【点评】：本题主要考查了辅助角公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，3分）若π＜α＜3π2且cosα=−45，则tanα2=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用半角的正切公式求得tan α2的值．【解答】：解：若π＜α＜3π2且cosα=−45，∴sinα=- √1−cos2α =- 35，则tanα2 = 1−cosαsinα= 1+45−35=-3，故答案为：-3．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角的正切公式的应用，属于基础题．9.（填空题，3分）数列{a n }的前n 项和S n 满足： S n =n 2+7 ，n∈N*，则数列{a n }的通项公式a n =___ ．【正确答案】：[1] {8，n =12n −1，n ≥2．【解析】：根据题意，在数列{a n }的S n 公式中令n=1，可得a 1的值，当n≥2时，分析可得a n =S n -S n-1=2n-1，验证a 1是否满足a n =2n-1，综合即可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }的前n 项和S n 满足： S n =n 2+7 ，n∈N*， 当n=1时，a 1=S 1=1+7=8，当n≥2时，a n =S n -S n-1=（n 2+7）-[（n-1）2+7]=2n-1， 而a 1=8不满足a n =2n-1； 故 a n ={8，n =12n −1，n ≥2 ；故答案为： {8，n =12n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，注意验证n=1是否满足，属于基础题．10.（填空题，3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为___ ．【正确答案】：[1] n 2−n+62【解析】：首先找出前n-1行正整数的个数，前n-1行整数共有1+2+…+（n-1）个，然后找出第n 行第3个数．【解答】：解：前n-1行共有正整数1+2+…+（n-1）个，即 n 2−n2个， 因此第n 行第3个数是全体正整数中第 n 2−n2 +3个，即为n 2−n+62．故第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n 2−n+62．【点评】：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力．11.（填空题，3分）若tanα，tanβ是方程x2+4√3x+5=0的两根，且α、β∈(−π2，π2)，则α+β=___ ．【正确答案】：[1] −23π【解析】：由已知结合方程的根与系数关系及两角和的正切公式即可求解tan（α+β），然后结合角α+β的范围即可求解．【解答】：解：由题意可得，tanα+tanβ=-4 √3＜0，tanαtanβ=5＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，又∵α、β∈(−π2，π2)，所以α，β ∈(−12π，0)，所以α+β∈（-π，0），所以tan（α+β）= tanα+tanβ1−tanαtanβ = −4√31−5= √3，所以α+β=- 2π3．故答案为：- 2π3．【点评】：本题主要考查了方程的根与系数关系及两角和的正切公式的应用，属于中档试题．12.（填空题，3分）已知k是正整数，且1≤k≤2019，则满足方程：sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°•…sink°的k有___ 个．【正确答案】：[1]11【解析】：由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k 的个数．【解答】：解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，寻找规律是解答该题的关键，属基础题．13.（单选题，3分）若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（）A.tan（π+α）=tan（-α）B. cot(π2+α)=−sinαcosαC. cscα=1sin(π−α)D.（secα-1）（secα+1）=tan2α【正确答案】：A【解析】：利用诱导公式，同角三角函数基本关系式逐一化简求解即可．【解答】：解：对于A，左边=tan（π+α）=tanα≠tan（-α）=右边，故不成立；对于B，左边=-tanα=- sinαcosα=右边，故成立；对于C，左边= 1sinα = 1sin(π−α)=右边，故成立；对于D，左边=（1cosα -1）（1cosα+1）= 1cos2α-1= sin2αcos2α=tan2α=右边．故选：A．【点评】：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．14.（单选题，3分）若sinθ2=513，cosθ2=−1213，则角θ的终边在第（）象限．A.一B.二C.三D.四【正确答案】：D【解析】：先求出θ2的范围，可得θ的范围，从而得出结论．【解答】：解：若sinθ2=513，cosθ2=−1213，则2kπ+ 5π6＜θ2＜2kπ+π，k∈Z，∴4kπ+ 5π3＜θ＜4kπ+2π，故角θ为第四象限角，故选：D．【点评】：本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，不等式的性质，属于基础题．15.（单选题，3分）在平面直角坐标系中，AB̂，CD̂，EF̂，GĤ是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A. AB̂B. CD̂C. EF̂D. GĤ【正确答案】：C【解析】：根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．【解答】：解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键．16.（单选题，3分）对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}＞M，那么下列命题正确的是（）A.若{a n}＞M，则数列{a n}各项均大于或等于MB.若{a n}＞M，{b n}＞M，则{a n+b n}＞2MC.若{a n}＞M，则{a n2}＞M2D.若{a n}＞M，则{2a n+1}＞2M+1【正确答案】：D【解析】：举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}＞M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．【解答】：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}＞2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为-3，此时{a n2}＞M2不正确，C错误；D中，若{a n}＞M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}＞2M+1正确．故选：D．【点评】：本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}＞M．17.（问答题，0分）已知tanα=2． （1）求 tan (α+π4) 的值； （2）求sin2αsin 2α−cos2α+1的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解． （2）由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】：解：（1）∵tanα=2， ∴ tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanα•tanπ4=2+11−2=−3 ；（2）∵tanα=2，∴ sin2αsin 2α−cos2α+1=2sinαcosαsin 2α+2sin 2α=2tanα3tan 2α=23•1tanα=13 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18.（问答题，0分）已知{a n }为等差数列，a 3+a 8=10，a 6=6． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 68的值．【正确答案】：【解析】：（1）依题意：由a 3+a 8=10，a 6=6得方程组： {2a 1+9d =10a 1+5d =6 （a 1，d 为首项和公差）联立解得即可得出．（2）易知a 2+a 5+a 8+…+a 68也为等差数列求和；且该数列项数为 n =68−23+1=23 项，首项a 2=-2，公差为3d=6，利用求和公式即可得出．【解答】：解：（1）依题意：由a 3+a 8=10，a 6=6得方程组： {2a 1+9d =10a 1+5d =6（a 1，d 为首项和公差） 解得： {a 1=−4d =2，∴通项公式为：a n =2n-6（n∈N*）；（2）易知a 2+a 5+a 8+…+a 68也为等差数列求和； 且该数列项数为 n =68−23+1=23 项，首项a 2=-2，公差为3d=6．∴ a 2+a 5+a 8+⋯+a 68=23×(−2)+23×222×6=1472 ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.（问答题，0分）已知 0＜x ＜π2＜y ＜π ， sin (x +y )=513． （1）判断tanx+tany 的正负性，并说明理由； （2）若 tan x 2=12 ，求cos2x 和cosy 的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据同角三角函数关系进行化简，结合三角函数符号与角的关系进行判断即可．（2）利用三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．【解答】：解：（1）∵sin （x+y ）=sinxcosy+cosxsiny ，∴tanx+tany= sinx cosx + siny cosy = sinxcosy+cosxsiny cosxcosy = sin (x+y )cosxcosy = 513cosxcosy， ∵0＜x ＜ π2 ， π2 ＜y ＜π， ∴cosx ＞0，cosy ＜0， 则tanx+tany= 513cosxcosy ＜0．（2）由 tan x2=12，得tanx=2tanx 21−tan 2x2= 43 ，∵0＜x ＜ π2，∴cosx= 35，sinx= 45，则cos2x=2cos 2x-1=2× 925 -1=- 725 ∵0＜x ＜ π2 ， π2 ＜y ＜π，∴ π2 ＜x+y ＜ 3π2 ， 则由 sin (x +y )=513．得cos （x+y ）=- 1213，则cosy=cos （x+y-x ）=cos （x+y ）cosx+sinx （x+y ）sinx=- 1213×35 + 513×45 =- 1665 ．【点评】：本题主要考查三角函数的化简和求值，结合同角的三角函数关系以及三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，考查学生的运算能力，难度中等． 20.（问答题，0分）对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn }和常数θ0，定义： μ=cos 2(θ1−θ0)+cos 2(θ2−θ0)+⋯+cos 2(θn −θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．（1）若集合 Ω={π3，π4} ，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”； （2）若集合 Ω={π3，2π3，π} ，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合 Ω={π4，α，β} ，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．【正确答案】：【解析】：由新定义结合三角函数公式分别计算可得．【解答】：解：（1）当集合为 Ω={π3，π4} ，θ0=0时， 集合Ω相对θ0的“余弦方差μ= cos 2(π3−0)+cos 2(π4−0)2= 38；（2）当集合 Ω={π3，2π3，π} 时， 集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差” μ= cos 2(π3−θ0)+cos 2(2π3−θ0)+cos 2(π−θ0)3= (12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos 2θ03=12cos 2θ0+32sin 2θ0+cos 2θ03= 12∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12；（3）当集合Ω={π4，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π）时，集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”μ= cos 2(π4−θ0)+cos2(α−θ0)+cos2(β−θ0)3= 13•[（12+cos2α+cos2β）cos2θ0+（1+sin2α+sin2β）sinθ0cosθ0+（12+sin2α+sin2β）sin2θ0]要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且12+cos2α+cos2β = 12+sin2α+sin2β由α∈[0，π），β∈[π，2π）取α= 7π12，β= 11π12可满足上式．【点评】：本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属中档题．21.（问答题，0分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n= 1a n，n∈N*，若c3，c k，c m成等差数列（k、m为正整数且3＜k＜m），求k和m 的值；（3）设B n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数p，使得3a n≥64(B n+1)+p对一切n∈N*均成立？若存在，求出p的最大值；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设已知两数列的公差为d，公比为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项公式；（2）求得c n，由等差中项的定义可得k关于m的式子，运用分离常数，结合整数解，可得所求值；（3）运用等比数列的求和公式可得B n，假设存在实数p，使得3a n≥64(B n+1)+p对一切n∈N*均成立，由参数分离和构造数列，结合单调性，可得所求最大值．【解答】：解：（1）依题意，设已知两数列的公差为d，公比为q，q＞0，由a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7，有 {1+d +q 2=71+2d +q =7 ，解出： {d =2q =2 ，∴a n =2n-1， b n =2n−1 ，n∈N*；（2）∵ c n =12n−1 ，由c 3，c k ，c m 成等差数列，可得2c k =c 3+c m ， 得 22k−1=15+12m−1 （k 、m 为正整数且3＜k ＜m ）， 化简得 k =11m−32m+4，又3＜k ＜m 得 3＜k =11m−32m+4＜m ， 得m ＞3， k =11m−32m+4=112−252m+4，当k 为正整数时，2m+4=50，m=23，此时k=5；（3）由等比数列的求和公式可得 B n =1−2n1−2=2n −1 ，假设存在实数p ，使得 3a n ≥64(B n +1)+p 对一切n∈N*均成立， 则32n-1≥64•2n +p 对一切n∈N*成立， 即p≤32n-1-2n+6对一切n∈N*成立， 即求32n-1-2n+6在n∈N*的最小值．由g （n ）=32n-1-2n+6，g （1）=-125，g （2）=-229，g （3）=-269，g （4）=1163，g （5）=17643，…，可得g （n ）为先减后增数列， 当n=3时取最小值为-269．∴存在p ，且最大值为-269满足题意．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，以及数列的单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
控江中学2019学年第二学期高一数学期中测试（完成时间9:20-11:10共110分钟 总分150分） 得分______________一、填空题（每题5分）1.圆心角为1rad 的扇形面积为2，则这个扇形的半径为___________.2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________. 3.方程2cos210x -=的解集是___________.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin75f ︒=___________.5.不等式()arccos arccos 1x x >-的解集是___________.6.在ABC △中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是___________.7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________. 8.函数()cos2f x x =，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的反函数是___________. 9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.10.ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC △恰有一个，则c 的取值范围是___________.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________. 12.在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题： ①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥； ②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a bB A=，则ABC △为等腰三角形； ④若sin cos A B <，则ABC △为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）. 二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（ ）A.{}0B.[]2,2-C.[]0,2D.[]2,0-14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称 其中（ ） A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假15.已知,a b R ∈，“0a b +=”是“()sin sin 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（ ）条件. A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（ ）A.01a <≤或54a =B.01a ≤≤或54a = C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a = 三、解答题（14+14+14+16+18） 17.已知tan 2α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.18.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域和最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性和最值. 19.如图，在扇形AOB 中，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C （不包含端点），过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC △面积的最大值及此时θ的值.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如下表所示.（1）请将上表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC △的面积S 的的最大值.21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.。
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(解析版)
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题一、填空题(每题3分,共36分)1. 函数()2sin 3y x =的最小正周期是_________. 【答案】23π 【解析】 【分析】直接由周期公式得解．【详解】函数()2sin 3y x =的最小正周期是：2233T ππ== 故填：23π 【点睛】本题主要考查了()sin y A x B =++ωϕ的周期公式，属于基础题．2. 已知点P ()11，在角α的终边上,则sin cos αα-=_______.【答案】0 【解析】 【分析】求出P 到原点的距离r ，利用三角函数定义得解．【详解】设P 到原点的距离r ，则r ==所以sinα=，cos α=， 所以sin cos 0αα-=-= 【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题．3. 已知扇形的周长为10cm ，面积为42cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为________ . 【答案】12【解析】试题分析：设扇形的的半径、弧长分别为,R l ，则14,{2210,Rl R l =+=解得1,{8,R l ==（舍）或4,{2,R l ==．所以答案应填：2142l R ==． 考点：１、扇形的面积；２、弧长公式．4. 在△ABC 中,若tan sin 0A B ＜，则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形. 【答案】钝角 【解析】 【分析】整理tan sin 0A B ＜得sin sin 0cos A BA＜，利用sin 0,sin 0A B >>可得cos 0A <，问题得解．【详解】因为tan sin 0A B ＜，所以sin sin 0cos A BA＜， 又(),0,A B π∈,所以sin 0,sin 0A B >>，所以cos 0A < 所以A ∠为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题． 5. 若3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】35【解析】 【分析】直接由三角函数的诱导公式得解． 【详解】因为cos sin sin 4424ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题． 6. 若02πα＜＜，=_______. 【答案】0 【解析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解． 【详解】由题可得：sin 2sin cos22ααα=，2cos 2cos12αα=-，因为02πα＜＜，所以042απ＜＜，所以0sin cos 22αα<<=sincossincos2cos022222ααααα+-=+-=【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题． 7. 已知tan 2，α=则2sin sin cos 1ααα-+=_______. 【答案】75【解析】 【分析】将2sin sin cos ααα-整理成22tan tan tan 1ααα-+，问题得解． 【详解】因为2sin sin cos 1ααα-+=2sin sin cos 11ααα-+22222sin sin cos cos sin cos co 1s ααααααα+=+- 22tan tan 1tan 1ααα-=++. 将tan 2α=代入上式可得：222227sin sin cos 11215ααα--+=+=+【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题．8. 方程lg sin x x =的实数根的个数是______. 【答案】6如下图，由于函数y ＝lg|x |是偶函数，所以它的图象关于y 轴对称．9. 若223sin 2sin 2sin αβα+=，则22sin cos αβ+的取值范围是________. 【答案】913,109⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】由223sin 2sin 2sin αβα+=整理可得：222sin 2sin 3sin βαα=-，由此可得20sin 3α≤≤，对22sin cos αβ+消元可得：2225sin cos sin sin 12αβαα+=-+，令sin t α=，把问题转化成函数2512y t t =-+，20,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值域问题，从而得解．【详解】由223sin 2sin 2sin αβα+=得：2222sin 2sin 3sin 0βαα≥=-≥ 解得：20sin 3α≤≤. ∴22y=sin cos αβ+=22sin 1sin αβ+-2222sin 3sin 5sin 1sin sin 122ααααα-=+-=-+令sin t α=，20,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2512t y t ∴=-+，20,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当15t =时，2min 5119125510y ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭=，当23t =时，2max 52213123310y ⎛⎫⨯-+=⎪⎝⎭=. 所以22sin cos αβ+的取值范围是913,109⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，考查了二次函数的性质及换元法，考查计算能力，属于中档题． 10. 若()33sin cossin cos 02αααααπ--∈＞，，，则α的取值范围是________.【答案】53,,,24242ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】对33sin cos sin cos αααα--＞因式分解可得：()sin cos sin cos 0αααα-⋅>，作出：()y=sin ,cos ,0,2y αααπ=∈的图象，由图解不等式即可．【详解】由33sin cos sin cos αααα--＞可得：()()22sin cos sin sin cos cos sin cos αααααααα-+⋅+-＞，整理得：()sin cos sin cos 0αααα-⋅>，在同一坐标系中作出()y=sin ,cos ,0,2y αααπ=∈的图象如下：当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα<，sin 0,cos 0αα>>，不满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅> 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα>，sin 0,cos 0αα>>， 满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα>，sin 0,cos 0αα><， 不满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα>，sin 0,cos 0αα<<，满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>.当53,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα<，sin 0,cos 0αα<<， 不满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos αα<，sin 0,cos 0αα<>， 满足()sin cos sin cos 0αααα-⋅>. 所以α的取值范围是53,,,24242ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了因式分解及转化能力，考查三角函数的基本性质，还考查了分类思想，属于中档题．11. 已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____． 【答案】163【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， 函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值， 可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为：163.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ＜时，()f x 单调递增，已知()10f -=，设()2sin cos 2g x x m x m ，=+-集合()|002M m x g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜，集合()|002N m x f g x π⎧⎫⎡⎤⎡⎤=∈⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜，则M N =________.【答案】()4-+∞ 【解析】 【分析】由已知可得：1x <-时，()0f x <，01x <<时，()0f x <，将()0f g x ⎡⎤⎣⎦＜转化成()1g x <-或()01g x <<，即可将M N ⋂转化成：()|02A m x g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜-1，即可转化成：2max2cos 2cos x m x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦对任意，成立，令2cos t x =-，整理得：max 24t m t ⎡⎤⎛⎫-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用基本不等式即可得解．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x ＜时，()f x 单调递增,且()10f -= 所以1x <-时，()0f x <，01x <<时，()0f x <， 所以()0f g x ⎡⎤⎣⎦＜可化为：()1g x <-或()01g x <<， 所以集合()|002N m x f g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意，，有＜可化为：集合()()101|02N m x g x g x π⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣<-⎦<⎩⎭<对任意，，有或， 所以MN =A =()|021g x m x π⎧⎫⎡⎤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩<-⎭对任意，，有即：2sin cos 21x m x m +-<-02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦对任意，恒成立.即：22cos2cosxmx-<-2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦对任意，恒成立，即：2max2cos2cosxmx⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦记22cos2cosxyx-=-，令2cost x=-，则[]1,3t∈,且cos2x t=-，代入得：22424224y t tt t⎛⎫=-++≤-⋅+=-+⎪⎝⎭，当且仅当2t=时，等号成立．所以max224y=-+，所以224m-+<，所以M N=()422,-+∞【点睛】本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分离法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题．二、选择题(每题4分,共16分)13. 若cos0tan0＞，＜，αα则α在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.【详解】由于cos0α>，故角α为第一、第四象限角.由于tan0α<，故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.14. 函数()siny xωφ=+的部分图像如图,则ωφ、可以取的一组值是A.26ππωφ==， B.24ππωφ==，C. 44ππωφ==，D. 544ππωφ==， 【答案】C 【解析】 试题分析：∵，∴，4πω=，又由142ππϕ⨯+=得4πϕ=.15. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果22tan tan a Ab B=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【详解】利用正弦定理得22sin sin cos sin sin cos AB ABBA =，化简得sin cos sin cos A AB B =， 即11sin 2sin 222A B =，则22A B =或22A B π+=，解得A B =或2A B π+= 故ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选：C【点睛】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题16. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是（ ）A. (0,0)B. (0,1)C. (-1,0)D. (0,-1)【答案】B 【解析】 【分析】由,P Q 两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点P 所转的弧度，即可确定点P 位置. 【详解】因为点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P 所转过的弧度为2019673336622ππππ==+， 由终边相同的角的概念可知，20196π与2π终边相同，所以此时点P 位于y 轴上，故点P 的坐标为()0,1.答案为()0,1【点睛】本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点P 位置，即可求解，属于基础题型.三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17. 已知()11tan tan 27αββ-==-，，求tan α的值． 【答案】13【解析】 【分析】将α变成()αββ-+，利用两角和的正切公式展开，将()11tan tan 27αββ-==-，代入即可得解． 【详解】()tan tan ααββ=-+⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan αββαββ-+=-- 112711127-=+⨯13= 【点睛】本题主要考查了构造思想及两角和的正切公式，考查计算能力，属于中档题． 18. 在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C对边，且222sin .b A c a -+=(1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=； （2【解析】 【分析】（1）整理222sin 3b bc A c a -+=得：222sin 3b c a A +-=，再由余弦定理可得cos sin 3A A =，问题得解．（2）由正弦定理得：R =2sin b R B =，2sin c R C =，再代入ABC S ∆=1sin 2bc A 即可得解．【详解】（1）由题意，得2222cos sin cos tan b c a bc A A A A A +-==⇒=⇒=， ∴3A π=；（2）由正弦定理，得2sinB sinC sin a R R b A c ===⇒=2sin b R B =,2sin c R C =∴2232si 1n s sin sin 24in 2ABCS R A B c A C b ∆===⋅=⎝⎭【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．19. 已知函数()223cos 2sin .f x x x x =+(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (2)若()4f，α=求cos2α的值. 【答案】（1）π ()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦； （2）12. 【解析】 【分析】（1）化简()223cos sin f x x x x =+得：()2co 23s 2f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，利用周期公式即可求得周期为π，再利用复合函数及三角函数的性质即可求得()f x 的单调递增区间.（2）由（1）可得cos 231πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得()322k k Z παπ=-∈，问题得解． 【详解】（1）()1cos21cos233sin222x xf x x +-=⋅-+ cos23sin222cos 232x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由[]()22,23x k k k Z ππππ+∈-∈，可得()2,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦， ∴()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦； （2）()()4co 133s 222f k k Z ππαααπ⎛⎫=⇒+=⇒+=∈ ⎪⎝⎭， ()223k k Z παπ∴=-∈∴cos2cos 2cos 2133k ππαπ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式及周期计算，还考查了三角函数的性质及复合函数的单调性规律，还考查了三角函数求值，属于中档题．20. 某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE 为盆裁展示区，沿AB 、AE 修建观赏长廊，四边形BCDE 是盆栽养护区，若BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=33米．(1)求两区域边界BE 的长度；(2)若区域ABE 为锐角三角形，求观赏长廊总长度AB+AE 的取值范围．【答案】（1）6米； （2）观赏长廊总长度AB AE +的取值范围是(63,12⎤⎦（米）.【解析】 【分析】（1）在BCD ∆中应用余弦定理求得3BD =米，利用已知即可求得90BDE ∠=︒，解三角形即可.（2）设ABE θ∠=，由正弦定理即可表示出()sin sin 120AB AE θθ+=+︒-⎤⎦，化简得：()12sin 30AB AE θ+=+︒，结合()30,90θ∈︒︒即可求得(AB AE ⎤+∈⎦.【详解】（1）在BCD ∆中，应用余弦定理，得2222cos 3BD BC CD BC CD BCD BD =+-⋅⋅∠⇒=米， ∵120BCD ∠=︒且BC CD =，∴30CBD CDB ∠=∠=︒，90BDE CDE CDB ∠=∠-∠=︒，从而6BE ==米，（2）设ABE θ∠=，则120AEB θ∠=︒-，由ABE ∆为锐角三角形，得()30,90θ∈︒︒在ABE ∆中，应用正弦定理，得()sin60sin sin 120BE AE ABθθ===︒︒-∴()sin sin 120AB AE θθ+=+︒-⎤⎦()3sin 12sin 302θθθ⎫=+=+︒⎪⎭，∵()30,90θ∈︒︒，∴()3060,120θ+︒∈︒︒，∴()(12sin 30AB AE θ⎤+=+︒∈⎦，即观赏长廊总长度AB AE +的取值范围是(⎤⎦（米）.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题．21. 已知函数()()()sin 20f x x φφπ=+＜＜，其图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()g x 的解析式；(2)若对任意[]120x x t ∈，，，当12x x ＜时，都有()()()()1212f x f x g x g x --＜，求实数t 的最大值； (3)若对任意实数()()0a y g x ωω=，＞在4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上与直线12y 交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围．【答案】（1）()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ； （2）4π； （3）[)12,20.【解析】 【分析】（1）由图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，列方程012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可求得6π=ϕ，即可求得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用平移规律得()3g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解．（2）由题可得()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，求得()()f x g x -的增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，利用[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦即可求得0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，问题得解． （3）()y g x ω=的最小正周期为T πω=，由题可得：4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，的区间长度满足3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解不等式即可．【详解】（1）由题意，得sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，∴6π=ϕ， ∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 从而()3g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5sin 2sin 2366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）对任意[]12,0,x x t ∈，且12x x <，()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，即()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，()()5sin 2sin 266f x g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易得其单调增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由于[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，[]0,,44t ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，从而0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴实数t 的最大值为4π；（3）()5sin 26y g x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππωω==，而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π， 要满足题意，则3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴2012T πππω<=≤，解得[)12,20ω∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题．。
上海控江初级中学数学高一下期中测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．24．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π5．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．40πC ．80πD ．160π7．(0分)[ID ：12345]若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．(0分)[ID ：12341]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．25B ．25C ．25D ．2510．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒； ④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒ 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．113．(0分)[ID ：12403]如图在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A ．[√33,1]B ．[√63,1]C ．[√63,2√23]D ．[2√23,1]14．(0分)[ID ：12406]圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=15．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12461]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．18．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.19．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.20．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____21．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________22．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .23．(0分)[ID ：12498]函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________. 24．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.25．(0分)[ID ：12468]如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题：①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ；④面1PDB 面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题26．(0分)[ID ：12587]如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.27．(0分)[ID ：12557]如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ； （2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．28．(0分)[ID ：12549]已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．29．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.30．(0分)[ID ：12537]如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．B8．A9．A10．B11．B12．A13．B14．A15．B二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两19．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个20．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常21．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球22．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因23．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】24．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力25．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⨯= ⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min PC =，2222+1⎛⎫∴=，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.5．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ， 则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得5R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积9．A【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D SAB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为1，则A1C1=√2,A1C=√3,A1O=OC1=√1+12=√32,OC=√12，所以cos∠A1OC1=32+32−22×32=13,sin∠A1OC1=2√23，cos∠A1OC=32+12−32×√32=−√33,sin∠A1OC=√63.又直线与平面所成的角小于等于90∘，而∠A1OC为钝角，所以sinα的范围为[√63,1]，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.14．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题
上海中学2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学试题卷一、填空题(每题3分,共36分)1.函数()x y 3sin 2=的最小正周期是_________.2.已知点P ()11，在角α的终边上,则=-ααcos sin _______. 3.已知扇形的周长是10cm,半径是4cm,则该扇形的圆心角是_____弧度.4.在△ABC 中,若，＜0sin tan B A 则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.5.若，π534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+α则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα______. 6.若，π＜＜20α则化简=+--++αααcos 22sin 1sin 1_______. 7.已知，2tan =α则=+-1cos sin sin 2ααα_______.8.方程x x sin lg =的实数根的个数是______. 9.若，αβαsin 2sin 2sin 322=+则βα22cos sin +的取值范围是________. 10.若()，π，，＞20cos sin cos sin 33∈--ααααα则α的取值范围是________. 11.已知函数()()，ππ，＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3604sin f f x x f ωω且在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛36π，π(内有最小值无最大值,则=ω_______. 12.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0＜x 时，()x f 单调递增，已知()，01=-f 设()，m x m x x g 2cos sin 2-+=集合()，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g x m M 集合 ()[]，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g f x m N 则=N M ________.二、选择题(每题4分,共16分)13.若，＜，＞0tan 0cos αα则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.函数()ϕω+=x y sin 的部分图像如图,则ϕω、可以取的一组值是A.62π，π==ϕωB.42π，π==ϕω C.44π，π==ϕω D.454π，π==ϕω 15.在△ABC 中,c b a 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边,若，BA b a tan tan 22=则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转611π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分8分)已知()，，71tan 21tan -==-ββα求αtan 的值。
上海市上海中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(无答案)
上海中学2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学试题卷一、填空题(每题3分,共36分)1.函数()x y 3sin 2=的最小正周期是_________.2.已知点P ()11，在角α的终边上,则=-ααcos sin _______.3.已知扇形的周长是10cm,半径是4cm,则该扇形的圆心角是_____弧度.4.在△ABC 中,若，＜0sin tan B A 则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.5.若，π534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+α则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα______. 6.若，π＜＜20α则化简=+--++αααcos 22sin 1sin 1_______. 7.已知，2tan =α则=+-1cos sin sin 2ααα_______.8.方程x x sin lg =的实数根的个数是______.9.若，αβαsin 2sin 2sin 322=+则βα22cos sin +的取值范围是________.10.若()，π，，＞20cos sin cos sin 33∈--ααααα则α的取值范围是________. 11.已知函数()()，ππ，＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3604sin f f x x f ωω且在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛36π，π(内有最小值无最大值,则=ω_______. 12.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0＜x 时，()x f 单调递增，已知()，01=-f 设()，m x m x x g 2cos sin 2-+=集合()，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g x m M 集合 ()[]，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g f x m N 则=N M ________.二、选择题(每题4分,共16分)13.若，＜，＞0tan 0cos αα则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.函数()ϕω+=x y sin 的部分图像如图,则ϕω、可以取的一组值是A.62π，π==ϕωB.42π，π==ϕω C.44π，π==ϕω D.454π，π==ϕω 15.在△ABC 中,c b a 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边,若，BA b a tan tan 22=则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转611π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分8分)已知()，，71tan 21tan -==-ββα求αtan 的值。
2019-2020学年上海市控江中学高一下学期数学期中考试试卷带详解
2019学年第二学期高一数学期中测试一、填空题（每题5分）1.圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________.3.方程2cos 210x -=的解集是___________.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin 75f ︒=___________.5.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.8.函数()cos 2f x x =，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π的反函数是___________.9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.10.ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________.12.在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（）A.{}0 B.[]22-, C.[]0,2 D.[]2,0-14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称其中（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假15.已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（）条件.A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（）A.01a <≤或54a =B.01a ≤≤或54a =C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a =三、解答题：17.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.18.已知函数()4tan sin()cos()323f x x x x ππ=---；（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,44ππ-上的单调性与最值.19.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.x ωϕ+02ππ32π2πx2π72π()f x 02-20（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.2019学年第二学期高一数学期中测试一、填空题（每题5分）1.圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.【答案】2【解析】【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【详解】因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，所以211222r r ⨯⨯=∴=故答案为2．【点睛】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________.【答案】[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z 【解析】【分析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.【详解】因为()5sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2232242x k k πππππ≤-≤++，k Z ∈解得3788x k k ππππ≤≤++，k Z ∈，所以函数()5sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z ，故答案为：[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z 【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.3.方程2cos 210x -=的解集是___________.【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【解析】【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =，所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z 即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin 75f ︒=___________.【答案】222-.【解析】【分析】由诱导公式可知sin 75cos15︒=︒，所以()()sin 75cos15f f ︒=︒，直接代入公式即可求出结果.【详解】()()sin 75cos152cos 45222f f ︒=︒=-︒=-.故答案为：222-.【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.5.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______【答案】10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由反余弦函数的定义域及单调性可得111111x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，再求解即可.【详解】解：由函数arccos y x =是定义在[]1,1-的减函数，又arccos arccos(1)x x >-，则111111x x x x-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得：102x ≤<，即不等式的解集为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.【答案】3π【解析】利用正弦定理有：222b ac a c +≥+，则2221cos 22a cb B ac +-=≤，则角B 的最小值是3π．7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.【答案】-7【解析】【分析】根据()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到cos cos αβ、sin sin αβ，然后利用商数关系求解.【详解】因为()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，所以43cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=-，两式相加得：1cos cos 10αβ=，两式相减得：7sin sin 10αβ=-，所以tan tan 7αβ=-，故答案为：-7【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.函数()cos 2f x x =，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π的反函数是___________.【答案】1()arccos 2f x x =-【解析】【分析】根据反余弦函数的定义及,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，利用偶函数性质求解即可.【详解】因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以2[],0x π∈-由()cos 2cos(2)f x x x ==-，且[]20,x π-∈所以2arccos x y -=，即1arccos 2y x =-故答案为：1()arccos 2f x x =-【点睛】本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.【答案】5[,1]4-【解析】【分析】由题意可转化为2sin sin 1m x x =--有解，换元求函数的值域即可.【详解】由2cos sin 0x x m ++=可得：2sin sin 1m x x =--，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则方程2sin sin 1m x x =--有解，令sin t x =，11t -≤≤，则221551()[,1]244y t t t =--=--∈-，所以只需5[,1]4m ∈-，故答案为：5[,1]4-【点睛】本题主要考查了含sin x 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.10.ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.【答案】3c =或04c <≤【解析】【分析】利用正弦定理表示c 为sin C 的函数，即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin a C c A =,20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,又60A ∠=︒，4a =，所以c =在20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一解，故3c =或04c <≤故答案为：833c =或04c <≤【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________.【答案】()2sin 426f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求,A b ，根据周期公式求ω，再代入对称轴3x π=，求ϕ，最后再验证，确定函数的解析式.【详解】14f π⎛⎫=⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.12.在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.【答案】②④⑤.【解析】【分析】①取45,105A B =︒=︒验证可判断；②由2a b c +>及基本不等式求cos C 的范围，从而可判断；③由cos cos a bB A=和正弦定理可判断；④若sin cos A B <，则sin sin 2A B π⎛⎫<-⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性可判断；⑤若tan tan 1A B >，则可判断出A 、B 、C 均为锐角，由()tan tan tan tan +=1tan tan A BC A B A B+=---，结合均值定理可判断tan tan tan 1A B C >.【详解】解：①令45,105A B =︒=︒，则tan tan A B ≥，但sin sin sin 75A B <=︒，故①错误.②若2a b c +>，则222a b c +⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，()22222222326212cos 22882a b a b a b ab a b c ab ab C ab ab ab ab +⎛⎫+- ⎪+-+--⎝⎭=>=≥，cos y x =在()0,π递减，所以3C π<，故②正确；③由正弦定理及cos cos a b B A =，得sin 2sin 2A B =所以A B =或2A B π+=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故③错误.④由sin cos A B <，则,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以,22A B A B ππ<-+<，则ABC 为钝角三角形，故④正确.⑤若tan tan 1A B >，则,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin cos cos ,cos 0A B A B A B >+<，,2A B ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0C >，()tan tan ,tan tan +=1tan tan A BC A B C A B A Bπ+=--=---，所以tan tan tan tan tan tan 2tan 2A B C C A B C =++≥>+>，所以tan tan tan 1A B C >，故⑤正确综合以上有②④⑤正确故答案为：②④⑤.【点睛】根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（）A.{}0 B.[]22-, C.[]0,2 D.[]2,0-【答案】D 【解析】【分析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.【详解】因为0,sin 0sin sin 2sin ,sin 0x y x x x x ≥⎧=-=⎨<⎩，由正弦函数的值域可知20-≤≤y ，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称其中（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】D 【解析】【分析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②【详解】①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数24sin 2()4sin(2)33y x x ππ=+=+，故①假；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程为2,6x k k Z ππ+=∈，解得212k x ππ=-，k Z ∈，故②假.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.15.已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（）条件.A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要【答案】C 【解析】【分析】利用函数为偶函数()()f x f x -=即可求解.【详解】根据题意可得()()f x f x -=sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()sin sin 044a b x a b x ππ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin sin04a b x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，对于任意x ∈R ，恒成立，则0a b +=.“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（）A.01a <≤或54a = B.01a ≤≤或54a =C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a =【答案】A 【解析】【分析】运用偶函数的定义可得()f x 在0x <的解析式，作出函数()f x 的图象，由25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6()5f x =，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a 的情况，即可得到a 的范围．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x 时，5sin()(01)42()1(1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ ，当0x <时，5sin(),10()4241,1x x x f x x π⎧--⎪=⎨⎪+<-⎩．作函数()f x 的图象，由于关于x 的方程25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6()5f x =，当01x时，()[0f x ∈，54，1x >时，()(1f x ∈，5)4．由65154<<，则6()5f x =有4个实根，由题意，只要()f x a =有2个实根，由图象可得当01a <时，()f x a =有2个实根，当54a =时，()f x a =有2个实根．综上可得：01a <或54a =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．三、解答题：17.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.【答案】（1）3-；（2）1【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）tan tan214tan() 3.41211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-（Ⅱ）原式222sin cos sin sin cos 2cos a ααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-2221222⨯==+-．考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用18.已知函数()4tan sin()cos(23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,44ππ-上的单调性与最值.【答案】（1）定义域π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-；【解析】试题分析：(1)简化原函数，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.试题解析：()4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πsin2sin22sin 23x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭；（1）()f x 的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，最小正周期2ππ2T ==；（2）()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-⇒-∈-⇒+∈-⇒∈- ⎪⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减：,412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，19.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.【答案】（1）1132PC -+=；（2）6πθ=时，()S θ取得最大值为33【解析】【分析】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由余弦定理即可求边长PC ；（2）在POC ∆中，利用正弦定理，得到CP θ=，3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.【详解】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由22222cos 3OP OC PC OC PC π=+-⋅，得230PC PC +-=，解得12PC -=；（2）∵//CP OB ，∴3CPO POB πθ∠=∠=-，在POC ∆中，由正弦定理得sin sin OP CP PCO θ=∠，即22sin sin 3CPπθ=，∴CP θ=，又2sin sin 33OC OPππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记POC ∆的面积为()S θ，则12()sin 23S CP OC πθ=⋅，13sin 2323ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos sin 2sin cos 22θθθθθθ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭sin 2cos 2sin(233363πθθθ=+-=+-∴6πθ=时，()S θ取得最大值为3.【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.x ωϕ+02ππ32π2πx2π72π()f x 02-20（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.【答案】（1）详见解析（2【解析】【分析】（1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出()f x 的解析式．（2）利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用条件以及余弦定理、基本不等求得ABC 面积的最大值．【详解】（1）请将上表数据补充完整，如表：x ωϕ+02ππ32π2πx2π2π72π5π132π()f x 0202-0根据表格易知2M =，·027·2πωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得136ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故()2sin(36x f x π=-．（2）将函数()f x 的图象每一点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，得到函数()2sin(6g x x π=-的图象，在ABC 中，若g （A ）2sin()16A π=-=，1sin(62A π∴-=，3A π∴=，2BC = ，故由余弦定理可得22242··cos 2···BC AC AB AC AB A AC AB AC AB AC AB ==+--= ，·4AC AB ∴ ，ABC ∴面积为113···sin ·4·222AC AB A ∠= ，故ABC 面积的最大值为【点睛】本题主要考查五点法作图，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）9-（2）证明见解析（3）存在正整数505n =，理由见解析.【解析】【分析】（1）计算4x π=时()f x 的值，从而解得a 的值；（2）根据()()f x f x π+=，求得()f x 的最小正周期为π；（3）根据()f x 的最小正周期为π，且[0x ∈，)π内有4个零点，可解得n ．【详解】（1）函数()(sin cos )4sin 29f x a x x x =+++，令4x π=，得4913++=-9a =-；（2）()9[sin()cos()]4sin 2()99(sin cos )4sin 29()f x x x x x x x f x ππππ+=-++++++=-+++=，所以()f x 的最小正周期为π．（3）存在正整数505n =，使得()0f x =在区间[0，]n π内恰有2021个零点．当[0,]2x π∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =-+++．设sin cos 4t x x x t π=+=+∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，于是2()9(sin cos )4sin 29495f x x x x t t =-+++=-+，令24950t t -+=，得1t =或54t =∈，于是0,2x π=，或00(04x x x π=<<或02x x π=-，其中0sin()48x π+=，当(,)2x ππ∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =--++．设sin cos ),4t x x x t π=-=-∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，于是2()9(sin cos )4sin 294913f x x x x t t =--++=--+，令249130t t --+=，解得1t =或134t =-∉，故()f x 在(,)2x ππ∈没有实根．综上讨论可得，()0f x =在[0，)π上有4个零点，而202145051=⨯+，所以函数在[]0,505π有2021个零点.【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断()0f x =在[0,)π上有4个零点是解题的关键，属于难题.。