正余弦定理判断三角形形状
正、余弦定理与三角形形状判断附答案
正、余弦定理与三角形形状判断附答案一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。
二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。
三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。
常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以及正弦值的比可以直接化为边的比值。
1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。
2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。
3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。
4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰三角形。
5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。
6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。
已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。
根据余弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。
利用正余弦定理三角形形状的判断
又Ａ，Ｂ，Ｃ∈(０，π)，所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ， 从而三角形ＡＢＣ为正三角形．
法二？
变1.在ABC中，a, b, c为边长，A，B，C为a,
b, c所对的角，若 a b c , sin B sin C sin A
试判断ABC的形状.
例3、在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状．
4
2
1 (b c)2 1 bc(1 sin A) 0
4
2
1 (b c)2 0, 1 bc(1 sin A) 0
4
2
b c 1 sin
A
0
A
2
且b
c
作业点评： 在ABC中， 若b2 ac, 则B的取值范围？
A B C为等腰直角三角形.
旧知回顾： 正余弦定理，及其推论
三角形形状的判断
在ABC中， 有a cos A b cos B, 试判断此三角形的形状 。
利用正余弦定理推论进行边角互化！ 划归思想！！！
类例：1.在ABC中，已知a2 tan B b2 tan A, 试判断ABC的形状.
变1''.已知方程x2 (b cos A)x a cos B 0的两根 之积等于两根之和，且a, b为ABC的边， A，B为a, b的对角， 试判断ABC的形状.
方法小结：三角形形状的判断主要是利 用正弦余弦定理边角互化，化成纯粹的 角或纯粹的边，实现“纯粹化”
这一“纯粹化”的方法，不光可用在形 状的判断上，也可在解三角形中也可应 用。
思考提升：
例4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
4
解：S 1 (b2 c2 ) 1 bc sin A
解：由正弦定理及余弦定理，得
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
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考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
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考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正、余弦定理判定三角形的形状
正、余弦定理之判定三角形的形状一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。
二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。
三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。
1、已知在△ABC 中，A c b cos ∙=，试判断△ABC 的性状。
2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。
3、已知在△ABC 中，C a b sin ∙=，且)2sin(B a c -∙=π，试判断△ABC 的形状。
4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=∙，试判断△ABC 的性状。
5、已知在△ABC 中，C B A cos sin 2sin ∙=，且C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 的性状。
6、已知在△ABC 中，3bc a)-c c)(b b (a =+++，且cosC 2sinB sinA ∙=，试判断△ABC 的性状。
7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。
8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。
9、已知在△ABC 中，c C b B a A cos cos sin ==，试判断△ABC 的性状。
10、已知在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -∙+=+∙-，试判断△ABC 的性状。
11、在△ABC 中，B a C B A c b a sin 3)sin sin )(sin (∙=-+++，且B a A b cos cos ∙=∙，试判断△ABC 的性状。
如何判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角 的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断． 可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中， ， ，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中， ，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知 ， 而 ， ，所以 ，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而 ，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈， 所以22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2A B +=， 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+， 因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为： ， 所以，整理得 ，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。
正弦余弦定理判断三角形形状专题
，则 △ ABC 的形状为（
）
A ． 等边三角形 B． 等腰直角三角形
C．
13．△ABC 的三个内角 A 、B、C 成等差数列，
等腰或直角三角形
D． 直角三角形
，则 △ ABC 一定是（ ）
A ． 直角三角形 B． 等边三角形
C． 非等边锐角三角形
D ． 钝角三角形
14．在 △ABC 中，P 是 BC 边中点， 角 A 、B、C 的对边分别是 a、b、c，若
A ． 钝 角三角形
B ． 直角三角形
C． 锐 角三角形D ． 等 Nhomakorabea边三角形
9．（ 2014?黄冈模拟）已知在 △ ABC 中，向量 与 满足（
+
） ? =0，且
?
= ，则 △ ABC 为（ ）
A ． 三边均不相等的三角形 B． 直 角三角形 C． 等腰非等边三角形
D． 等边三角形
10．（ 2014?奉贤区二模）三角形 ABC 中，设 = ， = ，若 ?（ + ）＜ 0，则三角形
形的形状为（
）
A ． 锐 角三角形
C． 等 腰直角三角形
B ． 钝角三角形 D ． 等腰三角形
考点 ：三 角形的形状判断． 专题 ：计 算题；解三角形． 分析：将已知式平方并利用
sin2A+cos
2
A=1
，算出
sinAcosA= ﹣
得到 A 为钝角，由此可得 △ ABC 是钝角三角形． 解答：解：∵ sinA+cosA= ，
2．（ 2014 秋 ?郑州期末） 若 △ ABC 的三个内角 A 、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC ，则 △ABC （） A ． 一 定是锐角三角形 B ． 一 定是直角三角形 C． 一 定是钝角三角形 D． 可 能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
正弦定理、余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ；2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A asin ＝Bb sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形.巩固练习1．在中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状.3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ 巩固练习1．已知在ABC ∆中，2,6,45==︒=∠BC AB A在ABC ∆中，213,2tan tan +=-=c b bb c B A ，求三内角2．在ABC ∆中，已知B C A 2=+，32tan tan +=⋅C A ，求A 、B 、C 的大小，又知顶点C 的对边C 上的高等于34，求三角形各边a 、b 、c 的长．知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值．【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=πsin sin sin sin cos cos cos cos 2222221336ααββααββ-++-+=221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值.2．在中，a ，b ，c 分别是的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且，求的大小及的值．3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积．例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2cA bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222cb a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得C B A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，R 为外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+=，90A =.故为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c b b c b c ab ac ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c bc ac ab+-+-=⋅⋅，即22b c +22222222()()4a b c a c b a ⎡⎤+-++-⎣⎦=也即222b c a +=，故为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得A A b B B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得AAB B B A cos sin sin cos sin sin 22=,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800-2B,即A=B 或A+B=900.∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22=,即Ab a cos cosB =,又由余弦定理得bcac b b a 22ac b -c a 222222-+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2, ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABC AC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有bc B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理：B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-A C C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ①又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b 则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c 若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin 2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ）成等比数列 又 在中，由余弦定理得（II ）在中，由正弦定理得 ．3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A 7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD =则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中 由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A 化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD AD C B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=， 所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--， 将tan 2tan A B =代入上式并整理得 22tan 4tan 10B B --=.解得2tan 2B =，舍去负值得2tan 2B +=，从而tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD= 2AB 边上的高等于2。
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所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
【点评】 依据已知条件中的边角关系判断三角形形 状时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系， 通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状；
例1
在△ABC中，角A、B、C所对 的边为a、b、c,已知 acosB=bcosA，试判断三角形 的形状
例2
在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 若ba＝ccoossBA，试确定△ABC 的形状．
【解析】由ba＝ccoossBA，得 acosA＝bcosB， 所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系， 从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A＋B＋C＝π 这个结论．
正余弦定理判断三角形形状源自1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系 入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化 边为角或化角为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋ c2 或 A 为最大角，且 A<90°.