第九章正弦稳态电路分析
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正弦稳态电路分析和功率计算
2
Y = 0.1 + j0.2S
0.025F 0.1S
0.02F
十、利用相量图求解电路
例 如图所示电路，uS 2US cost ，求输出电压 uO(t) 对 uS(t) 的相位关系。
C
解：（一）解析法
+
+
1
uS
R uO
–
–
（二）相量图法
U O②
I jC
+ US
U C
R
+ UO
–
–
I ①
③ U C
直流电阻电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
21I
m1
R
22I
m2
R 2mImm
uS22
R m1Im1 R m2Im2 R mm Imm uSmm
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
ZZ1211IImm11
Z12I m 2 Z 22I m 2
Z1m I mm Z 2 m I mm
U S11 U S22
Zm1Im1 Zm2Im2 Zmm Imm U Smm
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
+2000–i1 i2
uS
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
第9章 正弦稳态电路的分析(答案)
第9章 正弦稳态电路的分析 答案例 如图所示正弦稳态电路，已知I1=I2=10A,电阻R 上电压的初相位为零，求相量•I 和•S U 。
解： 电路中电阻R 和电容C 并联，且两端电压的初相为0。
由电阻和电容傻姑娘的电压与电流的相位关系可知：电阻电流•1I 与电压•R U 同相，电容电流•2I 超前电压•R U 相角90○，故ο0101∠=•I A ο90102∠=•I A由KCL 方程，有 ()101021j I I I +=+=•••A由KVL 方程，有 ︒•••∠==++-=+=9010010010010010010101j j I I j U S V例 如图所示正弦稳态电路，R 1=R 2=1Ω。
（1）当电源频率为f 0时，X C2=1Ω，理想电压表读数V 1=3V ，V 2=6V ，V 3=2V,求I S 。
（2）电路中电阻、电容和电感的值不变，现将电源的频率提高一倍，即为2 f 0，若想维持V 1的读数不变，I S 问应变为多少如果把电源的频率提高一倍，而维持V1的读数不变，即R1上的电压有效值U R1＝3V，那么R1上的电流的有效值I也不变，此时仍把•I设置为参考相量，故︒•∠=03I A。
由于L和C1上的电流•I不变，根据电感和电容上电压有效值与频率的关系，电源的频率提高一倍，电感上电压表的读数增大一倍，而电容上电压表的读数降为原来的一半，故电源得频率提高一倍，X C2也降为原来得一半，即所以例如图所示正弦稳态电路，已知I1＝10A，I2=20A，R2=5Ω，U=220V,并且总电压•U与总电流•I同相。
求电流I和R，X2，X C的值。
例 如图所示正弦稳态电路，已知有效值U 1=1002V, U=5002V ，I 2=30A ，电阻R=10Ω，求电抗X 1，X 2和X 3的值。
由电路可得两边取模得已知2550=U V ，所以6002=U V ，故有。
电路第9章 正弦稳态电路的分析
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
§9-1
阻抗和导纳
Y—复导纳；|Y| —复导纳的模；y—
导纳角； G —电导(导纳的实部)；
B —电纳(导纳的虚部)；
| Y | G 2 B 2 转换关系： 或 B y arctan G
I
相量图：选电压为参考向量，
u 0
y
IG
.
IB U
I I G2 I B2 I G2 (I C I L )2
注意
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
§9-1
阻抗和导纳
+ I R U -
等效电路
IR
1 jC eq
I B
（3）wC<1/wL，B<0，y<0，电路为感性，电流落后电压；
1 Y 0.0128 50.20 Z 78.150.20 0.0082 j0.0098 S 1
R’
L’
1 1 1 0.102mH R 122 L 0.0098 G 0.0082
§9-1
阻抗和导纳
① 一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、
y
IG
I
.
U
.
I I I I (I L IC )
2 G 2 B 2 G
2
IC .
IL
§9-1
阻抗和导纳
I
+
IR
R
j Leg
等效电路
I B
U -
（4）wC=1/wL，B=0，j y =0，电路为电阻性， 电流与电压同相。
I
C
IL
I IG
电阻电容电感相位
+
•
I
2
，因此该三电
流相量构成直角三角形，这样可求出I 。
[评注] 若二端口电路上的电压与电流同相，则该电路的阻抗和导纳的虚部均为零。
例9.4 如图9.4所示正弦稳态电路，已知有效值U1=100 2 V, U=500 2 V，I2=30A，电阻R=10Ω，求电抗X1，X2和X3的值。
•
分析 将 U 2 设置为参考相量，从而找出电路中电压和电流之间的相量关系；对相量关系取模找出有效值之间的关系。
分析
•
由于总电压 U
与总电流
•
I
•
同相，所以并联支路两端的电压 U1
和总电流
•
I
也同相，故并联支路导纳的虚部为零，这样可以得到一个含有待求变量X2，XC
的方程。再根据两个并联分支电压相等列出第二个含有待求变量X2，XC的方程，联立可求出X2，XC的值。由于
•
I 1 落后
•
I
相角
90°
，以及
•
I
=
•
I1
第九章 正弦稳态电路的分析
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第九章 正弦稳态电路的分析
一、内容提要：
本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。首先，引入阻抗、导纳的概念和电路的相量图。其次，通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路的定理的相量描述和应用，介绍正 弦电流电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率和复功率，以及最大功率的传输问题。最后，介绍了电路的谐振现象和电路的频率响应。
定律。
例9.2 如图9.2所示正弦稳态电路，R1=R2=1Ω。 （1）当电源频率为f0时，XC2=1Ω，理想电压表读数V1=3V，V2=6V，V3=2V,求IS。 （2）电路中电阻、电容和电感的值不变，现将电源的频率提高一倍，即为2 f0，若想维持V1的读数不变，IS问应变为多少？
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第9节 正弦稳态电路的叠加
例4-9-1 试用叠加定理求图4-9-1(a)所示电 路的电压 uC.已知:u s = 50 2 sin t , is = 10 2 sin(t + 300 ),
L = 5H , C = 1 F 3
二,多个不同频率正弦激励的电路
对于不同频率正弦激励的电路,整体不符合单一频 率的条件,不能采用相量法. 在运用叠加定理求每一激励单独作用的响应时, 在运用叠加定理求每一激励单独作用的响应时,则 可作出不同频率下的相量模型运用相量法求解.在 可作出不同频率下的相量模型运用相量法求解 求得各激励单独作用的分响应相量后,将其转换成 转换成 对应的正弦函数形式,然后叠加得出总响应. 对应的正弦函数形式 注意:在作不同频率下的相量模型时,对于同一个L,C 元件在各个相量模型中的感抗和容抗是不相同的, 例如,设有频率分别为ω1,ω2的两个激励,则其感 抗和容抗分别为 : 1 1 ω1 L , ω 2 L , ω C ω C 1 2
所以i 的有效值为
1 05 0 45 2 2 + = 0 808 A I = I1 + I 3 = 2 2
2 2
平均值 一个非正弦周期量的平均值为
1 A0 = T
∫ f (t ) d t
0
T
实际中,常把周期量的绝对值在一个周期内平均值定义为
1 Aav = T
∫
T
f (t ) = A0 + ∑ AKm sin( Kωt +ψ k )
k =1
∞
f (t ) = A0 + ∑ AKm sin( Kωt +ψ k )
k =1
∞
式中k=1,2,3……; A0称为直流分量 直流分量; 直流分量 A1msin(ωt+Ψ1)的频率与非正弦周期量f(t)的频率相同,称 为基波分量或一次谐波 基波分量或一次谐波; 基波分量或一次谐波 其余各相的频率为非正弦周期量f(t)的频率的整数倍,统 称为高次谐波 高次谐波. 高次谐波 在工程上,一般只需要取前几项之和,近似表征非正弦 周期函数.
9章_正弦稳态电路的分析n
9 正弦稳态电路的分析
9-1 阻抗和导纳 9-2 电路的相量图 9-3 正弦稳态电路的分析 9-4 正弦稳态电路的功率 9-5 复功率 9-6 最大功率传输
一、复阻抗Z
9-1 阻抗和导纳
I
+
U
无源 线性
-
I
+
U
Z
-
正弦激励下的无独立源线性网络，定义其入端等效复阻抗Z:
Z
UI
U I
(u
Z 2Ω I=8A ?
两个阻抗并联时,在什么情况下:
1 1 1 成立。
Z Z1 Z2
1. 图示电路中,已知 X L XC R 2Ω 电流表A1的读数为3A,
试问(1)A2和A3的读数为多少? + A1 A2 A3 (2)并联等效阻抗Z为多少? U L R C -
2. 如果某支路的阻抗 Z (8 j6)Ω, 则其导纳
阻抗三角形(impedance triangle)
|Z|
z
R
z > 0
X或
R
z
X |Z|
z < 0
| Z |
R2 X 2
φ arctan X R
R = |Z|cos z X = |Z|sin z
阻抗Z可以用加压求流法计算（含受控源），也可以用复阻 抗的串并联等效计算。
UL超 前I90°
由相量图可求得：
V 读数为141V
UL
100I1 10
U
45°I 45°
100UAB
10 2 I2
练习题
一、 如图电路中，已知：
i
u(t) 10cos(400π t 60o) V
9-1 阻抗和导纳 9-2 电路的相量图 9-3 正弦稳态电路的分析 9-4 正弦稳态电路的功率 9-5 复功率 9-6 最大功率传输
一、复阻抗Z
9-1 阻抗和导纳
I
+
U
无源 线性
-
I
+
U
Z
-
正弦激励下的无独立源线性网络，定义其入端等效复阻抗Z:
Z
UI
U I
(u
Z 2Ω I=8A ?
两个阻抗并联时,在什么情况下:
1 1 1 成立。
Z Z1 Z2
1. 图示电路中,已知 X L XC R 2Ω 电流表A1的读数为3A,
试问(1)A2和A3的读数为多少? + A1 A2 A3 (2)并联等效阻抗Z为多少? U L R C -
2. 如果某支路的阻抗 Z (8 j6)Ω, 则其导纳
阻抗三角形(impedance triangle)
|Z|
z
R
z > 0
X或
R
z
X |Z|
z < 0
| Z |
R2 X 2
φ arctan X R
R = |Z|cos z X = |Z|sin z
阻抗Z可以用加压求流法计算（含受控源），也可以用复阻 抗的串并联等效计算。
UL超 前I90°
由相量图可求得：
V 读数为141V
UL
100I1 10
U
45°I 45°
100UAB
10 2 I2
练习题
一、 如图电路中，已知：
i
u(t) 10cos(400π t 60o) V
电路原理第9章
1
U Lo I o U co I o
Us 0L j 0 L j 0 L j Us R R
Us 1 1 j Us j 0 C R j （或1/ω 0CR）称为回路的品质 因素，用Q表示。 U R 0 、 LO 、 、 与 I 的相位关系 串联揩振时， U U CO U O O 如下图所示。
图 并联谐振电路
其导纳模为：
Y
相应的阻抗模：
1 1 1 2 ( ) 2 R X L XC
1 Z 1 2 1 1 2 ( ) ( ) R X L XC
可以看出：只有当XL=XC 时|Z|=R，电路呈电 阻性。由于R-L-C并联，所以这时又称为并联谐振。 1 故并联谐振的条件是XL=XC，即当ω0L= 时发 OC 生并联谐振。其谐振频率为：
图 电感与电容的并联谐振电路
其电压电流相量图如图所示 从图相量中看出
I C I RL sin
即：
U Xc U R XL
2 2
XL R2 X L
2
整理后：
0 L 0C 2 R ( 0 L) 2
图 L C并联谐振时电压 电流相量图
上式就是发生谐振 的条件。可以得到谐振 时的角频率为：
与外加电压U S 同相。 （3）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的Q 倍。
U Lo I o U co I o
Us 0L j 0 L j 0 L j Us R R
Us 1 1 j U j 0 C R j 0 C 0 CR s
5）相量（图）仅适用于单频率正弦电源激励下电路的稳 态响应分析，而不能用于正弦电源接入后电路暂态响应的 计算；
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有以下基本关系
U U
|Z|
L 1 C
U R
U L U C I
RLC 串联电路中的“三角形”
如图所示的RLC并联:
如图
i(t)
iR(t)
+
+R
u(t) uR(t)
_
_
ic(t)
+C uC(t)
_
iL(t)
+L uL(t) _
I I R I L I CU R j U LU 1 (R 1j 1 Lj C )U
0 .02 2 141 .5o 6 3 (A )
I
4 .4 7 -6 3 .4 o
100
9-5 正弦稳态电路的功率
i
二
+
端
u
口
网
_
络
图 9-11 线 性 一 端 口 (无 独 立 源 )
+ I
二 端
U
口 网
_
络
图 9-11 线 性 一 端 口 (无 独 立 源 )
u (t) U m co t s )( 2 U co t s )(
ICj0.51 03U 1
有
U 1
10(V) 4
u 1(t) 1 0 2co 1s0 t( 0 4o0 )5 V
已知：电路如图所示，R1 1 R20.70 7 L0.05 H C1C20.1F
us(t)102co2st0V
求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t)
i1(t)
(R
jL2
1 jC1
)I2
1 jC1
I1
jL2I3
0
((1j400j2j100)Ij110)(I2 j1(0)Ij210)Ij140I3j208I300j60 (j40j20j60)I3 20I2 j40I10
(
jL1
jL2
1 jC2
)I3
jL2I2
jL1I1
0
故
jj1300II11
j10I2 j40I3 (10 j10)I2
I +
I L
R U
I C -jX C
_
jX L
感性负载
I C
U
2 1
I
I C I L
7．计算
ICILsi n1Isi n2UcPo1ssi n1UcPo2 ssi n2
P
(t U
g 1tg 2)
IC
U g1t
g2)
四、无功功率
1 ．定义—— QUsI in 2．单位——乏或千乏，var或kvar 3．意义——用来表征电源与阻抗中的电抗分 量进行能量交换的规模大小。当Q>0时，表 示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或 电磁能存储起来；当Q<0时，表示电抗向电 源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放 出来。
相量图
j C
I
I L I C
I R
U
U
例题分析
已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。
证明：（（21））改如变果电R 阻 R1C的值，，则U 可a以b在0.不5U改S,变且Uu
ab ab
超前u S 90o。
的同时，改变U
对
ab
u
S
的
相位差
解∶1 .作相量电路模型 2 .作相量图 将输入电压作为参考相量
i(t)Imco ts2Ico ts
一、瞬时功率
p(t) dw u(t) i(t) dt
U m cos(t ) I m cos t U m I m [cos( 2t ) cos ]
2 UI[cos( 2t ) cos ]
若取关联参考方向，则p表征流入 该网络的能量变化率
I C 1 j C 1 U 1 j 2 9 . 3 4 3 . 1 o 2 7 1 . 6 8 5 . 8 9 o ( A 2 ) I C 2 j C 2 U 2 j 2 3 . 5 1 7 . 4 o 2 7 . 5 1 2 0 5 . 4 o 1 7 . 1 0 1 5 . 6 o ( A 4 ) 9
i1
i1
i1
n
Pi 0
i 1
n
Qi 0
i 1
9 – 7 最大功率传输
含 源
+ I
二 端
U L
ZL
网
_
络
ZS +
U S _
+ I
U L
ZL
_
1 ．当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得
最大功率的条件是ZL=ZS’，即负载阻抗与电源内阻 抗互为共轭复数时，负载获得最大功率：
PL max
U
2 S
iC 1(t) 1.6 88 2co 2ts 05 (.9 2 o)A iC 2(t) 7 .15 2 co 2ts 0 1 (.4 6 o )A 9
iL (t) 1.6 22 9co 2ts 0 1 (.3 1 o)A 3
6．已知：电路如图所示，R10 C1 50F
C2
50F 6
L2 10mH u s(t) 10 2 c0o 2s 0 t ( 3 0 .9 o 6 0 )V
L
i2(t)
is(t)102si2nt0A
j
iC1(t)
iC2(t)
R1
1
is(t)
-10j
C1
C2
R2
+
us(t) _
-j0.5
-j0.5
+
10
_
0.707
解∶
1 1
(
R1
jL
1 1
)U 1
1 jL
U 2
U S R1
jC1
(
1 R2
1 jL
1 1
)U 2
jC2
1 jL
U 1
I S
(111j
等效模型）时，90o P CUcIo 9so00
5 ．平均功率的意义 “平均功率”又称“有功功率”，表征
单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化 为其他形式的并且消耗掉的能量。
三、功率因数
1 ．定义
cos，其中的角度为单口网络的阻抗
角，即单口网络的端口电压超前端口电流的 相角大小。 2．提高感性负载功率因数的意义
+
I 1
+
R
r
us _
a + uab - b
r
C
U s
R a
+
U ab
r -b
_
r
-1/ C
I 1 R
U ab
I 2
I 2 r
U C U S
I 2 r
9 - 4 正弦稳态电路的分析 基本关系-----相量电路模型-----直流分析方法
U 0
I 0
ZU I |Z|RjX YU I |Y|GjB
， 已知：电路如图所示 R1R250 0 L1H C0.5F a 9
1 00o 19o 0 2.2 42.66o
101(0o 9o 02.66o) 2.24
4.4 76.34o(V)
100
j200
Zo
Zo
j200100(j50)j200j100
100j50
2j1
-j50
Zo
20j16o0()
2 0 + j1 6 0
戴维南等效相模型
+
I U oc 4 .4 76.4 3 o 4 .4 76.4 3 o4 .4 76.4 3 o RZ o 10 (2 0 0j16 ) 012 j0 16020 50 .1 3o3_
QSsin
S
U U
Q
|Z|
L
1 C
U L U C
R
U R
P
图 RLC 串联电路中的三个“三角形”
9 - 6 复功率
1 ．定义——
U Uu
I* Ii
S ~U I*PjQ
2．意义——简化几种功率的计算。即可以通过复功率的计算直接得出 有功功率、无功功率及视在功率的结果。
3 . 复功率守恒
S~n S~i n Pi j n Qi 0
五、视在功率
1 ．定义——单口网络的端口电压与端口电 流的有效值的乘积，其数学表达式为
1 S UI 2UmIm
2．单位——伏安或千伏安，VA或kVA 3．意义——一般用来表征变压器或电源设备 能为负载提供的最大有功功率，也就是变压 器或电源设备的容量。
4 功率三角形
有如图关系
S P2 Q2
PScos
j10.5)U1
1j U2
10 1
(0.71071j j10.5)U2 1j U1 (j10)
则
U 19.34 32 .1 7 o(V)
U 23.57 152 .4o(0 V )
得
I I 2 1 I U S S R U R 1 2 2 U 1 j1 1 0 9 0 .2 3 3 .5 4 3 2 7 1 .1 o 7 .4 5 2 o 6 .1 6 0 .1 8 6 9 .7 1 5 5 o( 3 .A 4 1 ) o (A )4
I L U 1 j L U 2 j( 9 .3 4 3 .2 1 o 7 3 .5 1 7.4 2 5 o ) 1 0 .6 2 9 1.1 3 o ( A )3
有
i1 (t) 6 .18 2 c 5o 2t s 0 6 (.7 5 o)A
i2(t) 6 .19 2c3o 2ts 0 1 (.4 o)A 4
求：各个支路电流
i3(t)
C2
-j6 0
L1 20mH
i5(t) L1