第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介
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三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
平衡方程
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
弹性有限元法及应用
Ty Tz
，所受的面积力
Tx Tx T y Ty T z T z
设应力边界的外法线为N，其方向余弦为 l m n ，则：
Tx l x s m xy n xz s s Ty l yx s m y s n yz s T l m n zx s zy s z s z
29
1 有限元法的基础
V wj
V wj
权函数
就可得到近似的积分形式
w A( Na )d w B( Na )d 0
T j T j j
T
w Rd w Rd 0
j
T
重庆大学材料学院
30
1 有限元法的基础
w A( Na )d w1 B( Na )d 0
28
1 有限元法的基础
（2）等效积分形式的近似：加权余量法
对于微分方程和边界条件所表达的物理问题，未知场函 数可以采用试探函数来表示，去求近似解。
u u N i ai Na
i 1
n
N是已知函数，a是待定系数
显然
A( Na ) R B( Na ) R
残差也称为余量
重庆大学材料学院
以矩阵形式表示为：
L σ f 0
T
应
力
外
力
重庆大学材料学院
18
1 有限元法的基础
其中，
x 0 0 L y 0 z 0 0 z 0 y x
力的平衡描述
方程：（针对微体dxdydz） 物理本构方程
力的平衡描述
4 弹性力学轴对称问题的有限元法
4. 彈性力學軸對稱問題的有限元法本章包括以下內容：4.1用虛功方程建立有限元方程 4.2三結點單元位移函數 4.3三結點單元剛度矩陣 4.4載荷移置4.5軸對稱分析舉例4.1用虛功方程建立有限元方程物體的幾何形狀、約束情況及所受的外力都對稱於空間的某一根軸，因此在物體中通過該軸的任何平面都是對稱面，所有應力、應變和位移也對稱於該軸，這類問題稱為軸對稱問題。
研究軸對稱問題時通常採用圓柱坐標系（r ，θ，z ），以z 軸為對稱軸。
圖4.1受均布內壓作用的長圓筒如圖4.1所示的受均布內壓作用的長圓筒，通過Z 軸的一個縱截面就是對稱面。
由於對稱性，軸對問題共有4個應力分量：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=zrz r τσσσσθ}{ （4-1）其中r σ表示沿半徑方向的正應力，稱為徑向應力；θσ表示沿θ方向的正應力，稱為環向應力或切向應力；z σ表示沿z 方向的正應力，稱為軸向應力；zr τ表示在圓柱面上沿z 方向作用的剪應力。
同樣，軸對稱問題共有4個應變分量：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=zrz r γεεεεθ}{ （4-2）其中r ε表示沿半徑方向的正應變，稱為徑向正應變；θε表示沿θ方向的正應變，稱為環向正應變或切向正應變；z ε表示沿z 方向的正應變，稱為軸向正應變；zrγ表示沿r 和z方向的剪應變。
在軸對稱問題中，彈性體內任意一點上，不存在切向位移，只存在徑向位移u 和軸向位移w ，兩個位移分量表示為，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=w u f }{（4-3）在討論彈性力學平面問題的有限元法時，我們先由將彈性體劃分為有限個單元的組合體，由虛功方程得到單元剛度矩陣，集成後得到整體剛度矩陣。
在這裏，我們用虛功方程直接得到軸對稱問題的有限元列式。
由虛功方程可得，外力虛功等於內力虛功或虛應變能， ds p f dxdydz F f dxdydz TsTT}{}{}{}{}{}{***⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=σε（4-4）其中{F}為體力，{p}為面力。
弹性力学问题的有限元法_轴对称问题
A
Wi U j W j U m Wm
S
T
2 r p 0
2013-7-24
11
Ni e R 2π A 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 2r rdrdz Nm 0
T
使用
Ni Li (i, j, m) r Lr L r L r i i j j m m , 得到 2 A ! ! ! Li L j Lmdrdz z ! A
Ri
当
e
0 πA 2ri rj rm 6
(i, j, m)
rc ri r j rm, 则有
1 Wi W j Wm 2πArc 3
2013-7-24 13
面积力 沿单元的jm面
Ni e R 2π A 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0
L j q q 0
0 L j q rdS Nm 0
T
z
m
j i r 2013-7-24
q
14
在 jm面 ,
z
m j i r q
整合,
Ni 0, N j L j , N m Lm r L j rj Lm rm ! ! l Li L j dS l 1!
(i, j , m)
u f N e N i I 2 w
N j I2
N m I 2
e
备注:
平面三角形单元 轴对称三角形单元
x, y
r, z
4
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元分析理论（弹性力学）
如果插值函数选得合适，单元分得越多、越细，得到的计算结果就越精确。当单元数趋于 无穷时，计算结果就收敛于精确解。但是，随着单元数、节点数的增加，计算工作量和存储信 息量就会迅速地增加，因此一般都是根据具体问题对精度的要求，只取一定数量(有限个)的单 元和节点进行分析。由于这种方法需要求解大型联立方程组，因此只是在解决了计算机的运算 速度和存储容量等问题后，这种方法才有实用意义并得到了迅速发展。
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模 块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩 阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定 性好，便于求解，占用的计算机内存也少。 有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的 物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元 法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域 上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石 力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学 科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分 析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模 块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩 阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定 性好，便于求解，占用的计算机内存也少。 有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的 物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元 法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域 上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石 力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学 科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分 析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。
弹性力学空间轴对称问题有限元法
轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，在实际工程中存 在大量的轴对称问题，如飞轮、回转类的压力容器、发动机 汽缸套、烟囱及受内压的球壳等，无限大、半无限大的弹性 体受集中载荷作用时也可以处理为轴对称问题。
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
eT
e
DB
dv
Ve
Fbe NeTf dv
Ve
Fqe NeT f dS Se
Fe 0
BeT0 dv
Ve
Fe 0
BeTD0 dv
Ve
Ke 2
BeT
e
DB
rdrdz
e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
rz
z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
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7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
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E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
有限元法简介.ppt
四边形单元
u4 v4
4 u1
v1
1
u2 v2 2
(82)
u3
v3 3
u2 v2
2
2节点
2×3
3个节点自由度
用处：平面刚架
3节点
3×2
2个节点自由度
用处：平面应力
4节点 2个节点自由度
4×2
用处：平面应力
轴对承单元
板单元 (板弯曲)
三维
三棱柱 (四面体单元)
节点数:3
处理问题对象:
uv1 1
节点自由度:2 轴对承问题
...... ......
......
......
......
......
...... ...... ...... ......
......
......
...... ...... ...... ......
......
0
...... 0
...... [K63]4
1
常数项
xy x2 xy y2
一次项 二次项
x3 x2 y xy2 y3 三次项
x4 x3 y x2 y 2 xy3 y 4 四次项
实例分析 对单元1进行分析
取位移模式 u=α 0+ α 1x 1点： x=0 u=u1 2点： x=l1 u=u2
l1
l2
P
A1
A2
1
2
1
2
3
划分单元
uu12
0 0
ANSYS
预备知识：
1.线性代数（矩阵加、减、乘、除、秩、逆、 分块等）
2.弹性力学
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第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介
一、轴对称问题的定义 (1)几何形状轴对称：要求结构是相对对称轴的受到的载荷和位移约束条件具 有轴对称性。 (3)材料轴对称要求：结构的材料特性具有轴对称性。
二、 轴对称问题基本方程
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。 (l) 柱坐标系(r, θ, z) (u, v, w) 有许多实际工程问题，其几何形状、约束条件以及载荷 都对称于某一固定轴，这类问题为轴对称问题。 (2)基本变量 对于轴对称问题，在柱坐标中的三大 类力学变量为: 位移: ur , wz , (vθ=0)
(下标i, j, m轮换)
用矩阵表示的单元位移为
u Ni w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui w i 0 u j N m w j um wm
四、 三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程：
u a1 a 2 r a 3 z w a4 a5 r a6 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由节点条件可以推出相同的形 状函数矩阵，即
Ni N 0
定义形态函数为
Ni
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
1 (ai bi r ci z ) 2
bj 0 fj 0 0 cj cj bj
式中
ai ci z f i bi r r
{ } [ B] { }e
(i , j, m )
B B( r , z )
用几何矩阵表示单元的应变
[ B] [ Bi
Bj
Bm ]
bi 1 fi [ Bi ] 2 0 ci
0 0 ci bi
由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵
1 E (1 ) 1 [ D] (1 )(1 2 ) 1 0
1 1
1
1 0
1 0
1
0 0 1 2 2(1 ) 0
单元刚度矩阵为
[ K ]e 2 [ B ]T [ D][ B ]rdrdz
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到。
第11章 等参单元
由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状不太 规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复杂的边界上， 有时只能采用不规整单元；但直接研究这些不规整单元则 比较困难，如何利用规整单元（如三角形单元、矩形单元、 正六面体单元）的原理来研究所对应的不规整单元的表达 式? 这将涉及到几何形状映射、坐标系变换(等参变换、 非等参变换)等问题。
应变: 应力: 由于是轴对称问题，所以以上力学参量 只是r和z的函数，与θ无关.
(3) 基本方程
①平衡方程
②几何方程
③物理方程
三、 三结点单元位移函数
轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整 个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三 角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为
u r bi 0 r u 1 fi 0 r w z 2 0 c i zr z c i bi u w z r ui bm 0 w i f m 0 u j 0 c m w j c m bm um wm
等参单元的基本概念
局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。
整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐 标变换得来的，称为实际单元。 单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参 数以及相同的插值函数进行变换，称为等参变换。采用等 参变换的单元，称为等参单元。
一、轴对称问题的定义 (1)几何形状轴对称：要求结构是相对对称轴的受到的载荷和位移约束条件具 有轴对称性。 (3)材料轴对称要求：结构的材料特性具有轴对称性。
二、 轴对称问题基本方程
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。 (l) 柱坐标系(r, θ, z) (u, v, w) 有许多实际工程问题，其几何形状、约束条件以及载荷 都对称于某一固定轴，这类问题为轴对称问题。 (2)基本变量 对于轴对称问题，在柱坐标中的三大 类力学变量为: 位移: ur , wz , (vθ=0)
(下标i, j, m轮换)
用矩阵表示的单元位移为
u Ni w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui w i 0 u j N m w j um wm
四、 三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程：
u a1 a 2 r a 3 z w a4 a5 r a6 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由节点条件可以推出相同的形 状函数矩阵，即
Ni N 0
定义形态函数为
Ni
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
1 (ai bi r ci z ) 2
bj 0 fj 0 0 cj cj bj
式中
ai ci z f i bi r r
{ } [ B] { }e
(i , j, m )
B B( r , z )
用几何矩阵表示单元的应变
[ B] [ Bi
Bj
Bm ]
bi 1 fi [ Bi ] 2 0 ci
0 0 ci bi
由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵
1 E (1 ) 1 [ D] (1 )(1 2 ) 1 0
1 1
1
1 0
1 0
1
0 0 1 2 2(1 ) 0
单元刚度矩阵为
[ K ]e 2 [ B ]T [ D][ B ]rdrdz
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到。
第11章 等参单元
由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状不太 规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复杂的边界上， 有时只能采用不规整单元；但直接研究这些不规整单元则 比较困难，如何利用规整单元（如三角形单元、矩形单元、 正六面体单元）的原理来研究所对应的不规整单元的表达 式? 这将涉及到几何形状映射、坐标系变换(等参变换、 非等参变换)等问题。
应变: 应力: 由于是轴对称问题，所以以上力学参量 只是r和z的函数，与θ无关.
(3) 基本方程
①平衡方程
②几何方程
③物理方程
三、 三结点单元位移函数
轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整 个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三 角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为
u r bi 0 r u 1 fi 0 r w z 2 0 c i zr z c i bi u w z r ui bm 0 w i f m 0 u j 0 c m w j c m bm um wm
等参单元的基本概念
局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。
整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐 标变换得来的，称为实际单元。 单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参 数以及相同的插值函数进行变换，称为等参变换。采用等 参变换的单元，称为等参单元。