公钥密码学与RSA-422
公钥密码学及RSA
给定 M = 88 加密:
C = 887mod 187 =(884 mod187)(882 mod187 ) (881mod187) =11
解密:
M = 1123 mod 187=88
公钥密码体制的加密
公钥密码体制的认证
A向B发送消息X A的公钥为KUa,私钥为KRa “加密”: Y = EKRa(X) （数字签名） “解密”： X = DKUa(Y) 思考：能保证消息的保密性吗？ 请问：利用公钥密码体制，n个用户通信
需要多少个密钥？
公钥密码体制的认证
具有保密与认证的公钥体制
除了要指定n的大小外,研究者还提出了 其他一些限制条件，为了防止可以很容 易地分解n，RSA算法的发明者建议p 和q还应满足下列条件
1. P和q的长度应仅相差几位。这样对 1024位的密钥而言，p和q都应约在 1075到10100之间
2. (p-1)和(q-1)都应有一个大的素因子。
3. gcd(p-1, q-1)应该比较小
关于公钥密码的几种误解
公钥密码比传统密码安全？ ➢ 事实上,任何加密方法的安全性依赖于密
钥的长度和破译密文所需要的计算量。 从抗密码分析的角度看，原则上不能说 传统密码优于公钥密码，也不能说公钥 密码优于传统密码
公钥密码是通用方法,所以传统密码已经 过时？
➢ 由于现有的公钥密码方法所需的计算量 大，所以取缔传统密码似乎不太可能
三种数学攻击方法
分解 N=p.q, 因此可计算出 ø(N),从而确定d 直接确定ø(N)，然后找到d 直接确定d
由N确定ø(N)等价于因子分解
RSA公钥密码算法
RSA公钥密码算法RSA公钥密码算法RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种公钥密码算法，也是目前公认的最安全的加密算法之一。
它是由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman在1977年提出的，由他们的姓氏命名。
RSA算法是第一个既能用于数据加密、又能用于数字签名的算法。
在RSA加密算法中，生成一对密钥，一个是公开的（称为公钥），一个是保密的（称为私钥）。
公钥和私钥是一对，用公钥加密的数据只能用私钥解密。
用私钥加密的数据只能用公钥解密。
而且公钥是可以公开的，它通常用于加密的数据，私钥通常用于解密的数据，用于签名的也是私钥。
RSA的安全基于大整数分解的难度。
RSA加密算法是非对称加密算法。
“非对称”指的是加密和解密使用的密钥是不同的，即一个用来加密，一个用来解密。
RSA加密算法的实现过程主要包括密钥生成、加密和解密三个部分。
密钥生成。
密钥生成包括选择两个不同的大质数p和q，计算n=p*q，然后计算欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)，然后获得整数e，使得1<e<φ(n)且e与φ(n)互素，e和φ(n)构成一对公钥，然后计算整数d，使得d*e ≡1(mod φ(n))，d和φ(n)构成一对私钥。
其中n是密钥长度，e是公钥指数，d是私钥指数。
加密和解密。
加密过程是明文M经过公钥e加密成密文C：C ≡ M^e(mod n)。
解密过程是密文C经过私钥d解密成明文M：M ≡ C^d(mod n)。
公钥(n, e)用于加密，私钥(n, d)用于解密。
RSA算法的安全性依赖于大数分解的困难性。
即使是今天最快的计算机，在有限的时间内也无法很好地分解一个非常大的、合数的公共模数。
这使得RSA算法成为一种安全可靠的加密方法。
同时RSA算法也被广泛应用于数字签名和密钥交换等领域。
除了加密和解密外，RSA算法还可以用于数字签名，这是因为私钥可以用于对数据进行签名，公钥可以用于验证签名。
422偶校验算法
422偶校验算法【简介】在数字通信系统中，为了确保数据传输的正确性和完整性，通常会在数据帧中加入校验位，以检测和纠正传输过程中的错误。
422偶校验算法是一种广泛应用的校验方法，其名字来源于RS-422通信标准。
本文将详细介绍422偶校验算法的原理、实现、应用场景、优缺点及总结。
【422偶校验算法原理】422偶校验算法是一种基于奇偶性的校验方法，其原理如下：1.在数据帧中，除校验位外，其他所有位都遵循“0”或“1”的规律。
2.校验位根据数据帧中1的个数来确定。
如果1的个数为偶数，校验位为0；如果1的个数为奇数，校验位为1。
例如，一个数据帧为：11010101，其中1的个数为4，为偶数，所以校验位为0。
如果数据帧改为：110101011，1的个数为5，为奇数，所以校验位为1。
【422偶校验算法实现】1.计算校验位：根据数据帧中的1的个数，计算校验位。
2.将校验位添加到数据帧中，形成一个新的数据帧。
3.接收方在接收到数据帧后，计算数据帧中1的个数，并根据奇偶性判断校验位是否正确。
【应用场景】422偶校验算法广泛应用于数字通信系统中，如RS-422、以太网等通信协议。
在这些场景中，422偶校验算法能够有效地检测和纠正传输过程中的错误。
【优缺点】优点：1.简单易懂，实现成本低。
2.对传输过程中的单个位错误具有较高的检测能力。
缺点：1.对连续多个位错误的检测能力较弱。
2.当数据帧长度较短时，校验效果较差。
【总结】422偶校验算法是一种基于奇偶性的校验方法，在数字通信系统中得到了广泛应用。
然而，它也存在一定的局限性，如对连续多个位错误的检测能力较弱。
《无线网络安全技术》研讨课-第三讲
单向函数：
函数值计算很容易 逆计算是不可行的。
单向陷门函数：
函数值计算很容易 若知道某种附加的信息，则逆计算是可行的，否则不 可行。
Principles of PKC
公钥密码的要求
Diffie and Hellman(1976)
1. 密钥对的生成在计算上是容易的 2. 加密在计算上是容易的 3. 解密在计算上是容易的 4. 已知公钥的情况下，攻击者想要确定私钥 在计算上是不可行的 5. 已知公钥和密文的情况下，攻击者想要恢 复明文在计算上是不可行的 6. 加密和解密的顺序可以交换：
a : primitive root
模算术的对数
对任意整数b和素数p的本原根g，存在唯一指数i，有：
b ≡ gi mod p where 0 ≢ i ≢ (p-1)
指数 i 称为：b以g为底模p的离散对数，dlogg,p(b) 。
gdlogg,p(b) = b mod p dlogg,p(1) = 0, (g0 mod p = 1) dlogg,p(g) = 1, (g1 mod p = g)
9099 mod 101 =55
欧拉函数(Euler Totient Function)：对正整数n，欧拉 函数(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
例： (8)=4，(1,3,5,7和8互素)
性质：
(1)(1) = 1 (2)若p为素数，(p) = p-1 (3)若p为素数，a为一非负整数，则有：
ed≡1 mod φ(n) d=e-1 mod φ(n)
发布
发布(e,n)，这是公钥ke d保密，(d, n)是私钥 kd
RSA加密解密
加密
信息安全导论-公钥密码学
• 思路
– 隐藏一个密钥 – 公开另外一个密钥
• 好处
– 不用像DH算法那样来回折腾
公钥密码对应的双重加密
• 任何人只要按一下就能关箱子 • 只有有钥匙才能开箱子 • 如何保守秘密？
– A把信放入箱子 – 按一下关箱子 – B有钥匙可以打开箱子
• Diffie提出了这一思路
– 但是没有找到具体的实现方法
• 团队组成
– 开始研究密钥分发 – 科摩尔来了
科摩尔
• 流亡者 • 原来工作的地方的教授对他研究密钥分发 没有兴趣
密钥分发问题
• 就像第22条军规
– 如果两人想通话：必须加密信息 – 而要加密：发送者必须使用密钥
• 必须事先有共享的秘密
双重加密方案
• 双重加密方案
1.Alice把消息放到箱子里，用自己的锁锁上发送给Bob 2.Bob收到箱子后加上自己的锁，在把箱子返回给Alice 3.Alice除掉自己的锁，再把箱子寄给Bob 4.Bob除掉自己的锁，读取消息
• 私钥如下
RSA加解密过程
• 前提条件
– 加密者拥有公钥K={e,N} – 节密者拥有私钥K-1={d,p,q}
• 对明文M的加密过程
– 计算C=Me mod N（其中0<=M<N ） – C是密文
• 对密文C的解密过程
– 计算Cd mod N,则Cd mod N等于M
• 说明
– RSA 加密解密是可交换的
为什么M=Cd mod N
• 原因
– Cd mod N=(Me mod N) d mod N= Med mod N – 而ed=1mod ø(N)=1+R ø(N) – 所以Med mod N=M(1+R ø(N)) mod N=M*MR ø(N)mod N – 由于Mø(N)modN=1 (fermat定义) – 所以M*MR ø(N)mod N=MmodN=M – 即Cd mod N=M
ch公钥密码学与RSA
X
消息宿
KRa 密钥对源
KUa
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公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换 加密/解密 数字签名 是 是 否 否 否 是
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RSA Dieff
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基本思想和要求*
涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 公钥算法的条件：
A B: Z= DKRa ( EKUb (X))
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公钥密码体制：保密性*
密码分析者 源A
ˆ X ˆR K
b
宿B
消息源
X
Y 加密算法 解密算法
X
消息宿
KUb
KRb 密钥对源
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公钥密码体制：认证*
密码分析者 源A
ˆR K a
宿B
消息源
X
Y 加密算法 解密算法
如果Bob能够用Alice的公钥解密消息，说明 消息却是来自Alice。因为除Alice以外，没有 人拥有Alice的私钥。
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3、用公钥密码实现鉴别+保密
鉴别+保密:
A B: Z= EKUb(DKRa(X))
B:
EKUa(DKRb(Z)) =X
思考：如果将上述两个过程倒过来，会发生 什么情况？即
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本将主要内容
公钥密码学的起源 公钥密码体制的基本原理 有关的数论知识 RSA公钥算法 素数的产生
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4
对称算法的不足
密钥管理量的困难
• 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时，则n个用户需要 C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户量增大时，密钥空间急剧 增大。如: • n=100 时， C(100,2)=4,995 • n=5000时， C(5000,2)=12,497,500
密码学中的公钥密码算法及其应用
密码学中的公钥密码算法及其应用密码学是一门研究通信安全和信息保密的科学，而公钥密码学算法则是其中最为重要的一种算法。
公钥密码学算法是指在加密和解密过程中，使用不同的密钥来实现。
本文将介绍公钥密码学算法的基本概念和应用。
一、公钥密码学算法概述公钥密码学算法也称为非对称密码学算法，它是一种使用两个密钥来进行加密和解密的算法。
这两个密钥是一对，一个称为公钥，一个称为私钥。
其中，公钥是公开的，任何人都可以知道，私钥则是秘密的，只有拥有者才会知道。
公钥密码学算法的加密过程是这样的：发送方使用接收方的公钥对数据进行加密，接收方使用自己的私钥对加密数据进行解密。
这样，就可以保证通信内容的安全性和保密性。
二、公钥密码学算法的分类公钥密码学算法分为两种类型：基于离散对数问题的算法和基于椭圆曲线问题的算法。
1、基于离散对数问题的算法基于离散对数问题的算法包括RSA和DH两种算法。
RSA算法是由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman于1977年发明的。
它主要是利用了大数分解的难度来保证信息的安全性，而公钥就是由两个大素数的乘积得出的。
DH算法是Diffie和Hellman在1976年提出来的，它主要是利用数论中离散对数问题的难度来保证信息的安全性，而公钥则是通过一定计算得出的。
2、基于椭圆曲线问题的算法基于椭圆曲线问题的算法包括ECIES和ECDSA两种算法。
ECIES算法是可扩展加密标准中的一种，它主要是利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和解密，公钥就是椭圆曲线上的一个点。
ECDSA算法是可扩展数字签名算法中的一种，它主要是利用椭圆曲线上的点运算来实现数字签名的生成和验证。
三、公钥密码学算法的应用公钥密码学算法在信息安全领域有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1、TLS/SSL协议TLS/SSL协议是一种用于保护互联网通信安全的协议。
在TLS/SSL协议中，使用公钥密码学算法来实现通信内容加密和身份认证的过程，从而保证通信的安全性和保密性。
公钥密码学
公钥密码学公钥密码学是一种通用的加密技术，用于保护用户数据，保证私密性和安全性。
它是一种非对称加密技术，意思是，它使用一对密钥公开的公钥和保密的私钥来加密和解密信息。
它可以用来保护网络通信等。
公钥密码学的发明者是美国数学家兼集合理论专家Whitfield Diffie和加拿大数学家Martin Hellman于 1976年。
他们被称为Diffie-Hellman对，或仅称为Diffie-Hellman。
他们的原理是在数学上基于离散对数问题，这是一个求解以费马小定理为基础的问题，它由他们提出。
费马小定理说，在具有质数参数的数论环上，一个大整数的任意次幂都等于另一个大整数，只要它们不相等。
不同的加密系统使用一种称为“秘密双方协议”的技术，通过共享一些信息，双方可以安全地通信。
Diffie-Hellman协议使用公钥密码学来加密它们的会话，重点是发送方使用接收方的公开密钥来加密数据，而接收方使用自己的私钥解密数据。
与其他安全性算法相比，公钥密码学有许多优势。
首先，它更安全，因为它使用非对称密钥，而不是对称密钥，可以更好地保护用户数据。
其次，它提供了更高的安全性，因为攻击者无法从用户传输的信息中推断出加密的密钥。
第三，它拥有更多的功能，可以有效地实现签名功能，防止信息抵赖。
在当今日新兴网络技术领域，公钥密码学发挥着重要作用。
许多机密信息传输方案都使用公钥密码学来保护网络安全。
公钥密码学也用于互联网支付系统，以及基于手机的缴费系统，从而保护支付信息的安全性。
公钥密码学已经成为当今社会日新月异的发展的重要技术，它为社会的发展和安全安全提供了坚实的技术支持，同时也为网络传输提供了坚强的保护。
随着技术的发展，人们应该充分了解公钥密码学在社会发展中所起的作用，并一如既往地努力改进和发展这一技术，以满足当今社会的不断变化的安全需求。
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计算复杂性可以被用作设计加密算法的基础，而NP完全问 题则是一个理想的解决途径。
Diffie和Hellman曾推测，密码学可以汲取NP复杂性问题， 通过检验找出NP完全问题中可用于密码的问题。
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信息可通过编码被加密在一个NP完全问题之中，使得要
破译这种密码以普通的方法就要解这个NP完全问题。但
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Diffie和Hellman
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1978年，RSA算法作为第一个比较完善的公钥密码算法面世。
算法的取名采用其创始者Rivest,Shamir和Adleman名字的
首字母，以纪念三位学者对密码学的杰出贡献。
公钥密码技术研究的基本工具不再象对称密码技术那样是代
NP完全问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写 法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是 NP不等于P，还没有人证明:P=NP？，是世界七大数学难题之 一。
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公钥密码算法
公钥密码算法是公钥密码体制的核心。
这些算法基于不同的计算问题，但在理论上都保证了由加密密
信息安全导论
第九章
公钥密码学与RSA
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1
公钥密码体制 RSA公钥密码体制 RSA的安全性
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2
对称密钥（私钥）密码体制中的分组密码和流密码，它们的一
个共同点是加密密钥与相应的解密密钥相同（或者由加密密钥 容易推导得到与之相对应的解密密钥）。 对称密码系统中，消息的发送方和接收方必须在密文传输之前 通过安全信道进行密钥传输。 实际的传输信道安全性并不理想，密钥在传输过程中被暴露的 风险很大，增加了系统的脆弱性。
存在δ，已知δ 时,对给定的任何y，若相应的x存在，则计算 x使y=f(x)是容易的。
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注：1. 仅满足(1)、(2)两条的称为单向函数；第(3)条称为陷门性， δ 称为陷门信息。 2. 当用陷门函数 f 作为加密函数时，可将 f 公开，这相当于公 开加密密钥。此时加密密钥便称为公开钥，记为Pk。 F 函数的
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算法复杂性
算法复杂性用‚大O”的符号来表示，它表示算法复杂性的数量 级。f(n)=O(g(n))意味着存在常数c和n0，使得对一切n≥n0,有 f(n)≤c|g(n)|。 通常按时间（或空间）复杂性对算法进行分类。一个输入的大小 为n的算法被称为是： 线性的： 如果运行时间是O(n) 多项式的：如果运行时间是O(nt),其中t是一个常数 指数的： 如果运行时间是O(th(n)),其中t是一个常数,h(n)是 一个多项式 一般地，一个可以在多项式时间内解决的问题被认为是可解的， 而任何比多项式时间更长的时间，尤其是指数时间，被认为是不 可解的。
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公钥密码的加密变换E(eB,m)与解密交换D(dB,c)应满足： D(dB,c)是E(eB,m)的逆变换，即对任何的明文m有：D(dB,c)= D(dB,E(eB,m))=m； 在已知加密密钥eB时，E(eB,m)的计算不难；在已知解密密钥 dB时，D(dB,c)的计算也不难； 若不知道dB，那么即使知道eB，具体的加密与解密算法过程 及密文c，确定明文的计算是不可行的。
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目前，许多函数被认为是单向函数，然而，还没有通过严
格的证明得到某个函数的确为单向函数这一结论。
可提供单向函数的数学难题是： 整数分解问题（简称IFP）； 离散对数问题（简称DLP）； 椭圆曲线离散对数问题（简称ECDLP,也时被归为离散 对数问题类）。
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注： 1. 从另一个角度考虑，由于令人满意的加密与解密过程都 必须尽可能的迅速，所以更难的问题并不适合用于设计 加密算法。
若使用解密密码，就可能有捷径求解。
为构造这样的密码，秘密的‘陷门’信息必须被嵌在一个 涉及单向函数求逆的计算困难问题中。
单向函数是公钥密码体制的一个重要概念。
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单向陷门函数是满足下列条件的函数f：
计算y=f(x)是容易的； 给定y, 计算x使y=f(x)是困难的； 所谓计算x=f-1(Y)困难是指计算上相当复 杂，已无实际意义。
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公钥加密体制的原理
公钥密码的基本思想是将传统密码的密钥一分为二，分为加密 密钥和解密密钥，而且由计算复杂性确保由加密密钥在计算上 推导出相对应的解密密钥不具有可实现性。 这样，即使是将加密密钥公开也不会暴露解密密钥，不会损害 密码的安全。
于是，可将加密密钥公开（即公钥），而只对解密密钥保密
设计者将δ 保密，用作解密密钥，此时δ 称为秘密钥匙，记为Sk。
由于加密函数是公开的，任何人都可以将信息x加密成y=f(x)，
然后送给函数的设计者（当然可以通过不安全信道传送）；由 于设计者拥有Sk，他自然可以解出x=f-1(y)。
3.单向陷门函数的第(2)条性质表明窃听者由截获的密文y=f(x)
推测x是不可行的。
和KDC之间的密钥如何获得
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密钥管理问题: 在有多个用户的网络中，任何两个用户之 间都需要有共享的加密密钥，当网络中的用户n很大时， 需要管理的密钥数目是非常大。 没有签名功能: 当主体A收到主体B的电子文挡(电子数据) 时，无法向第三方证明此电子文档确实来源于B。
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2016/2/28
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公钥密码的最大优点同时也是最重要的创新之处在于针对密
钥管理方法的改进。
加密密钥是公开的，任何人都可以采用这些公开的加密 密钥对自己准备传输的消息进行加密。
同时，只有正确的接收方才能用自己所保管的解密密钥 对密文进行解密。解密密钥需要妥善保存。
与对称密钥密码体制相比，公钥体制的密钥在处理和发
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公钥密码体制概述
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公钥密码体制概述
公钥密码体制是密码学研究的一个具有里程碑意义的重要事件。
公钥密码技术又称为双钥密码或非对称密码技术。
1976年由Diffie和Hellman在其<<密码学新方向>>一文中首次提 出公钥密码思想，对密码学的发展起到了极其重要的促进作用。 见划时代的文献： W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976, PP.644-654
（即私钥）。
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至此，密码体制解脱了必须对密钥进行安全传输的束缚，使 密码学的应用前景豁然明朗。 它的主要特点是将加密和解密能力分开，因而可以实现多个 用户加密的信息只能由一个用户解读，或由一个用户加密的 信息而多个用户可以解读。 前者可以用于公共网络中实现通信保密，而后者可以用于实 现对用户的认证。
设计公开密钥密码体制就变成了寻找陷门单向函数。
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构造公钥密码系统的关键是如何在求解某个单向函数的逆函数 的NP完全问题中设置合理的‚后门‛。 并非所有的困难问题都可以用于设计公钥密码系统。 通过检验，人们已经找到若干可用于密码的这类问题，如大 整数分解问题和背包问题、离散对数问题等。 某些被用于设计公钥密码系统的这类问题在计算上的难易程度 也不完全代表该密码系统的强弱程度。
钥得到解密密钥是不可行的。
当然，公钥密码体制的这种安全性理论基础只是基于复杂性理 论的一种计算安全性，非绝Fra bibliotek的安全性。
实际上，在密码学中，绝对的安全一般是不存在的。
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由于利用目前现有的技术无法在多项式时间里对NP完全问题
进行求解，公钥密码思想的首创者Diffie和Hellmen在其研究中
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对称密码体制的缺陷
密钥分配问题：加密者指定一个密钥后，必须得想方设法 把密钥分发出去给解密者，同时还得小心翼翼确保密钥不 被泄露。这是对称密码算法固有的一个矛盾，如何解决呢？
对称密码进行密钥分配的要求： 已经共享一个密钥： 第一个密钥如何获得 利用密钥分配中心：
送上更为方便而且安全。
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邮箱的例子 任何人可以向邮箱投举报信 用户(审计人员)才能打开邮箱，读信的内容
2016/2/28
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涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 公钥算法的条件： 产生一对密钥是计算可行的 已知公钥和明文，产生密文是计算可行的 接收方利用私钥来解密密文是计算可行的 对于攻击者，利用公钥来推断私钥是计算不可行的 已知公钥和密文，恢复明文是计算不可行的 (可选)加密和解密的顺序可交换
个密钥协商协议；
1978年 Rivest,Shamir和Adleman提出应用广泛的RSA算法； 1984年 Shamir提出基于身份的密码体制，没有实现加密体制， 只给出一个基于身份的数字签名算法
2001年 Boneh,Franklin和Cocks分别独立提出基于身份的加密算 法
2003年 Al-Riyami提出的无证书的密码体制
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