第十章定性选择模型(计量经济学,潘省初)

尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值： 0或1，可是该学生的的拟合值或预测值为0.8。我们 将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。因 此，该生决定读研的可能性或概率的估计值为0.8。 需要注意的是，这种概率不是我们能观测到的数字， 能观测的是读研还是不读研的决定。
对斜率系数的解释也不同了。在常规回归中，斜 率系数代表的是其他解释变量不变的情况下，该解释 变量的单位变动引起的因变量的变动。而在线性概率 模型中，斜率系数表示其他解释变量不变的情况下， 该解释变量的单位变动引起的因变量等于1的概率的 变动。
log F (zi ) 1 F (zi )
exp(zi )
exp(zi )
log 1 exp(zi ) log
1 exp(zi )
1 exp(zi )
1 exp(zi ) exp(zi )
1 exp(zi )
1 exp(zi )
exp(zi )
log 1 exp(zi ) 1
须乘以 3，才能与probit模型得到的估计值相比较
（正态分布标准差为1）。
二．Probit模型
Probit模型可以解决很多线性概率模型中遇到的问 题。如我们在前面指出的，线性概率模型会给出小于 0或大于1 的这种不可能的概率估计值，Probit模型所 依据的是累积正态概率分布，将避免这类问题的发生， 同时它给出接近0或1的概率估计值的机会也要小于线 性概率模型。与线性概率模型相比，Probit模型更准 确地描述我们打算研究的许多决策过程。如图10-1所 示
正确预测观测值的百分比

正确预测的观测值数 观测值总数
100
需要指出的是，这个测度也不是很理想，但预测结
果的好坏，并非定性选择模型唯一关心的事，这类模 型常被用于研究影响人们进行某个决策的因素。让我 们来看一个竞选的例子。假设候选人甲和乙二人竞选 某市市长，我们可以用一个二元选择模型来研究影响 选民决策的因素，数据见表10－1，模型为：
从表10－3可看出，30个观测值中，27个（或90%） 预测正确。选甲的14人中，12人（或85.7%）预测正 确。选乙的16人中，15人（或93.8%）预测正确。
是0.58，表明模型解释了因变量的58%的变动， 这与R 290%的正确预测比例相比，低了不少。注意表10 －3中有一些拟合值大于1或小于0。这是我们前面指 出的这类模型的缺点之一，这些拟合值是概率的估计 值，而概率永远不可能大于1或小于0。
（3） 另一个问题是扰动项不是正态分布的。事实 上，线性概率模型的扰动项服从二项分布。
（4）此外，线性概率模型存在异方差性。扰动项
的方差是 p(1 p) ，这里 p 是因变量等于1的概率，
此概率对于每个观测值不同，因而扰动项方差将不 是常数，导致异方差性。可以使用WLS法，但不是 很有效，并且将改变结果的含义。
线性概率模型存在的问题
（1）线性概率模型假定自变量与Y=1的概率之间存 在线性关系，而此关系往往不是线性的。 （2）拟合值可能小于0或大于1，而概率值必须位于 0和1的闭区间内。
回到有关读研的例子。假设学生乙的GPA为4.0， 家庭收入为20万美元，则代入（10.3）式，Y的拟合 值为
Yˆ 0.7 0.4 4.0 0.002 200 1.3 （10.5）
log exp(zi )

zi
1 exp(zi )
结合（10.9）式，对于logit模型，有：
log pi
1 pi
0
k
ij X ij
j 1
上式的左端是机会（odds）的对数，称为对数机
会比率（log-odds ratio），因而上式表明对数机会
比率是各解释变量的线性函数，而对于线性概率模
从而得到一个不可能的结果（概率值大于1）。假设 另有一个学生丙的GPA为1.0，家庭收入为5万元，则 其Y的拟合值为 -0.2，表明读研的概率为负数，这也 是一个不可能的结果。
解决此问题的一种方法是，令所有负拟合值都等 于0，所有大于1的拟合值都等于1。但也无法令人十 分满意，因为在现实中很少会有决策前某人读研的 概率就等于1的情况，同样，尽管某些人成绩不是很 好，但他去读研的机会仍会大于0。线性概率模型倾 向于给出过多的极端结果：估计的概率等于0或1。
k
1 F[(0 j Xij )] j 1
其中F是u的累积分布函数。
如果u的分布是对称的，则 1 F(z) F(z) ，我们
可以将上式写成
k
Pi F (0 j X ij ) j 1
(10.9)
我们可写出似然函数：
L Pi (1 Pi ) Yi 1 Yi 0
CAND1i 0 1INCOMEi 2 AGEi 3MALEi ui
其中：
1 如果第i个选民投候选人甲的票
CAND1i 0 如果第i个选民不投候选人甲的票
（10.6）
INCOMEi 第i个选民的家庭收入（单位：千美元）
AGEi 第i个选民的年龄
1 男性 MALEi 0 女性
R 2 = 0.58
Adjusted R2 = 0.53
Residual Sum of Squares =3.15
F-statistic = 11.87
t-Statistic -2.65 3.25 3.08 0.02
p-Value 0.01 0.00 0.00 0.98
如表10－2所示，INCOME的斜率估计值为正，且 在1%的水平上显著。年龄和性别不变的情况下，收入 增加1000元，选择候选人甲的概率增加0.0098。
对每个观测值，我们可根据（10.3）式计算因变量 的拟合值或预测值。在常规OLS回归中，因变量的拟 合值或预测值的含义是，平均而言，我们可以预期的 因变量的值。但在本例的情况下，这种解释就不适用 了。假设学生甲的平均分为3.5，家庭年收入为5万美 元，Y的拟合值为
Yˆ 0.7 0.43.5 0.00250 0.8 （10.4）
型， pi为各解释变量的线性函数。
如果（10.9）式中 ui 服从正态分布，我们得到的
是probit模型（或normit模型），在这种情况下，累
积分布函数为：
F(zi )
zi /
1 exp( t2 )dt
2
2
(10.12)
无论是probit模型还是logit模型，极大似然函数 （10.10）都伴随着非线性估计方法，目前很多计量 经济分析软件已可用于probit和logit分析，用起来很 方便。
GPA的系数估计值0.4意味着家庭收入不变的情况 下，一个学生的GPA增加一个点（如从3.0到4.0）， 该生决定去读研的概率的估计值增加0.4。
INCOME的系数估计值0.002表明，一个学生的成 绩不变，而家庭收入增加1000美元，该生决定去读研 的概率的估计值增加0.002。
LPM模型中，解释变量的变动与虚拟因变量值为1 的概率线性相关，因而称为线性概率模型。
其中：
1 第i个学生拿到学士学位后三年内去读研
Yi 0
该生三年内未去读研
GPAi 第i个学生本科平均成绩
INCOMEi 第i个学生家庭年收入（单位：千美元）
设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计 上显著）：
Yˆi 0.7 0.4GPAi 0.002INCOMEi （10.3）
AGE的斜率估计值也在1%的水平上显著。在收入 和性别不变的情况下，年龄增加1岁，选择候选人甲的 概率增加0.016。MALE的斜率系数统计上不显著，因 而没有证据表明样本中男人和女人的选票不同。
我们可以得出如下结论：年老一些、富裕一些的选 民更喜欢投票给候选人甲。
表10－3给出CAND1的拟合值，每个大于等于0.5的 拟合值计入CAND1为1的预测，而小于0.5的拟合值则 计入CAND1为0的预测。
由于累积正态分布和累积logistic分布很接近，
只是尾部有点区别，因此，我们无论用（10.11）还
是（10.12），也就是无论用logit法还是probit法，
得到的结果都不会有很大不同。可是，两种方法得
到的参数估计值不是直接可比的。由于logistic分布
的方差为
2
3
，因此，logit模型得到的的估计值必
若Yi* 0 其它
（10.8）
这就是Probit和Logit方法的思路。Probit模型和 Logit模型的区别在于对（10.7）式中扰动项u的分布 的设定，前者设定为正态分布，后者设定为logistic分 布。
（10.7）式与线性概率模型的区别是，这里假设潜 变量的存在。例如，若被观测的虚拟变量是某人买车
表10-2 两候选人选举线性概率模型回归结果 Dependent variable：CAND1
Variable
Coefficient
Standard error
Constant
-0.51
0.19
INCOME
0.0098
0.003
AGE
0.016
0.0053
MALE
0.0031

0.13
Observations：30
这看上去与典型的OLS回归模型并无两样，但区 别是这里Y只取0和1两个值，观测值可以是个人、公 司、国家或任何其他横截面个体所作的决定。解释变 量中可以包括正常变量和虚拟变量。
下面用一个关于是否读研究生的例子来说明如何 解释线性概率模型的结果。模型为：
Yi 0 1GPAi 2INCOMEi ui (10.2)
第十章 定性选择模型
我们在第四章中曾介绍解释变量为虚拟变量的模 型，本章要讨论的是因变量为虚拟变量的情形。在这 种模型中，因变量描述的是特征、选择或者种类等不 能定量化的东西，如乘公交还是自己开车去上班、考 不考研究生等。在这些情况下，因变量是定性变量， 我们可以用定义虚拟变量的方法来刻画它们。这种因 变量为虚拟变量的模型被称为定性选择模型 （Qualitative choice models）或定性响应模型 （Qualitative response models）。