最小生成树的两种算法
数据结构(Java版)图2(最小生成树)
最小生成树举例
A
50 60 52 65 50
C
45 42 30 50
A
C
45
B
40
D
G
B
40 50
D
42 30
G
E
70
F
E
F
(a) 无向带权连通图G
(b) 无向带权图G 的最小生成树T
从最小生成树的定义可知，构造n个顶点的无向带权连 通图的最小生成树，必须满足如下三个条件： ① 必须包含n个顶点。 ② 有且仅有n-1条边。 ③ 没有回路。
）
将ej边加入到tree中；
}
实践项目
设计一个程序实现Prim和Kruskal算法.
表5-1 lowcost[ ]数组数据变化情况 表5-2 closest[ ]数组数据变化情况
扫描次数
closest[0]
closest[1]
closest[2]
closest[3]
closest[4]
closest[5]
求最小生成树算法
普里姆算法（Prim） (从点着手)
适合于求边稠密的最小生成树 适合于求边稀疏的最小生成树
克鲁斯卡尔算法（Kruskal）（从边着手）
普里姆算法（Prim）思想
1.
2.
3.
4.
令集合U=｛u0｝（即从顶点u0开始构造最小生 成树），集合T=｛｝。 从所有顶点u∈U和顶点v∈V-U的边权中选择最 小权值的边(u,v)，将顶点v加入到集合U中，边 (u,v)加入到集合T中。 如此重复下去，直到U=V时则最小生成树构造完 毕。 此时集合U就是最小生成树的顶点集合，集合T 就是最小生成树的边集。
最小生成树的Prim算法以及Kruskal算法的证明
最⼩⽣成树的Prim算法以及Kruskal算法的证明Prime算法的思路：从任何⼀个顶点开始，将这个顶点作为最⼩⽣成树的⼦树，通过逐步为该⼦树添加边直到所有的顶点都在树中为⽌。
其中添加边的策略是每次选择外界到该⼦树的最短的边添加到树中（前提是⽆回路）。
Prime算法的正确性证明：引理1：对于连通图中的顶点vi，与它相连的所有边中的最短边⼀定是属于最⼩⽣成树的。
引理2：证明：假设最⼩⽣成树已经建成；(vi, vj)是连接到顶点vi的最短边，在最⼩⽣成树中取出vi，断开连接到vi的边，则⽣成树被拆分成1、顶点vi2、顶点vj所在的连通分量（单独⼀个顶点也看作⼀个独⽴的连通分量）3、其余若⼲个连通分量（个数⼤于等于0）三个部分现在要重建⽣成树，就要重新连接之前被断开的各边虽然不知道之前被断开的都是哪⼏条边，但是可以通过这样⼀个简单的策略来重建连接：将vi分别以最⼩的成本逐个连接到这若⼲个互相分离的连通分量；具体来说，就是要分别遍历顶点vi到某个连通分量中的所有顶点的连接，然后选择其中最短的边来连接vi和该连通分量；⽽要将vi连接到vj所在的连通分量，显然通过边(vi, vj)连接的成本最低，所以边(vi, vj)必然属于最⼩⽣成树（如果连接到vi的最短边不⽌⼀条，只要任意挑选其中的⼀条(vi, vj)即可，以上的证明对于这种情况同样适⽤）。
这样我们就为原来只有⼀个顶点vi的⼦树添加了⼀个新的顶点vj及新边(vi, vj)；接下来只要将这棵新⼦树作为⼀个连通⼦图，并且⽤这个连通⼦图替换顶点vi重复以上的分析，迭代地为⼦树逐个地添加新顶点和新边即可。
Kruskal算法：通过从⼩到⼤遍历边集，每次尝试为最⼩⽣成树加⼊当前最短的边，加⼊成功的条件是该边不会在当前已构建的图中造成回路，当加⼊的边的数⽬达到n-1，遍历结束。
Kruskal算法的正确性证明：Kruskal算法每次为当前的图添加⼀条不会造成回路的新边，其本质是逐步地连接当前彼此分散的各个连通分量（单个顶点也算作⼀个连通分量），⽽连接的策略是每次只⽤最⼩的成本连接任意两个连通分量。
§ 最小生成树 —普里姆算法-V1
§ 最小生成树—普里姆算法-V1普里姆算法（Prim's algorithm）是最小生成树算法中的一种，用于解决无向连通加权图的最小生成树问题。
该算法首先将一个节点加入到生成树中，之后每次选择与当前生成树连接的权值最小的边所连接的节点加入到生成树中，直到所有的节点都加入到生成树中。
以下是普里姆算法的详细步骤：1.创建一个集合 usedNodes 来存储已经使用的节点以及一个集合unusedNodes 来存储未使用的节点。
2.选择一个起始节点，将其加入 usedNodes 集合中，并将与之直接相连的边加入到一个集合unusedEdges中。
3.重复以下步骤，直到 unusedNodes 集合为空：(1)从 unusedEdges 集合中选出一条权值最小的边，并将其加入到usedEdges 集合中。
(2)选出这条边所连接的节点 node，将其加入到 usedNodes 集合中。
(3)从 unusedEdges 集合中删除与这个节点相连的边，如果某条边的两个端点都已经在 usedNodes 集合中，那么也将这条边删除。
最终，usedEdges 集合中存储的就是最小生成树的边集。
该算法的时间复杂度是 O(mlogn)，其中 m 为边数，n 为节点数。
由于该算法每次只会从 unusedEdges 集合中选出一条边，因此它比 Kruskal 算法更适用于稠密图。
普里姆算法和 Kruskal 算法是两种常用的最小生成树算法。
虽然它们解决同一个问题，但它们的实现原理和具体实现细节上有所不同。
因此，在选择最小生成树算法时需要根据具体情况进行选择。
信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件
5
71
4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
22 16
5
3
7
1
4
min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
2
1
2
12
8
10
9
5
6
3
1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
74
ppt课件
16
Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
mst检测原理
mst检测原理
MST（最小生成树）是用于在一个带权无向连通图中找到一棵生成树，使得树的所有边的权重之和最小。
常用的MST算法有Prim算法和Kruskal算法，下面分别介绍它们的工作原理：
1. Prim算法：
- 选择一个起始节点作为生成树的根节点，并将其加入集合V（已访问节点集合）。
- 在集合V与剩余节点的边中选择一条权重最小的边，并将其对应的节点加入集合V。
- 重复上一步骤，每次选择与集合V中节点相连的权重最小的边，并将对应的节点加入集合V，直到集合V包含了图中的所有节点。
- 最终得到的生成树即为最小生成树。
2. Kruskal算法：
- 将图中的所有边按照权重从小到大进行排序。
- 依次选取权重最小的边，若将该边加入当前的生成树中不会形成回路，则将该边加入生成树。
- 重复上一步骤，直到生成树中包含了图中的所有节点。
- 最终得到的生成树即为最小生成树。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，它们的目标都是选择权重最小的边，并构建一个连通的生成树，直到生成树包含了图中的所有节点。
不同之处在于Prim算法是基于节点的选择，而Kruskal算法是基于边的选择。
这两种算法的时间复杂度都与图中的边数E和节点数V相关。
Prim算法适用于稠密图，时间复杂度为O(V^2)或O(VlogV)；Kruskal算法适用于稀疏图，时间复杂度为O(ElogE)或O(ElogV)。
MST算法在网络设计、电力传输网络、路径规划等领域有广泛的应用，通过构建最小生成树，可以实现高效的资源利用、减少成本和提升系统性能。
最小生成树问题(共7张PPT)
个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
最短路径与最小生成树的区别
最短路径与最小生成树的区别
在图论中，最短路径和最小生成树是两个重要的概念。
它们都是用来解决图中节点之间的距离问题，但是它们的解决方法和目的却有所不同。
最短路径问题是指在一个有向或无向加权图中，找到从一个节点到另一个节点最短的路径。
最短路径可以使用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法来解决。
这类问题通常是求出从一个节点到其他节点的最短距离，通常用于网络路由、GPS导航等应用。
最小生成树问题是指在一个无向加权图中，找到一个生成树，使得该树中的所有边权之和最小。
最小生成树可以使用Prim算法和Kruskal算法来求解。
这类问题通常是在需要将图连接起来的场合，比如铺设电缆、通信网络等场合。
因此，最短路径问题和最小生成树问题虽然都与计算节点间距离有关，但是它们的解决方法和应用场景却有很大的差异。
在具体应用中，需要根据实际情况选择合适的算法和方法来解决问题。
- 1 -。
最小生成树（普里姆算法）
最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。
⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。
⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。
如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。
具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。
如1作为起点。
visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。
所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。
⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。
克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程
克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程好嘞，今天咱们来聊聊克鲁斯卡尔算法，这个家伙可是构造最小生成树的一把好手。
想象一下，你有一大堆城市，它们之间都有些路，你想用最短的钱和时间把这些路全连起来，这个问题就像是给你一根绳子，让你拼命省着点儿往城市间拉。
你得把所有的路都列出来，然后按照路的长度从短到长来排队。
这样，你就能优先考虑最短的路，节省成本。
比如说，你有一条短短的小路，连接着两个城市，你肯定先铺这条，因为这样最省事，也最省力气。
克鲁斯卡尔算法就是这么个操作，先从最短的路开始连，每连一条路，看看会不会形成环。
形成环的话，就要放弃这条路，换一条次短的，直到你把所有的城市都连起来，但不会形成回路为止。
这样一来，你手里就有了一张最小生成树的地图，这可不是说拿个树枝拼凑的，而是用最合理的方法把所有城市间的联系都搞定了。
有人说这算法像个抠门的人一样，总是要省着点儿花，可这不是省小气，这是精打细算，让每一块钱都花在该花的地方上。
克鲁斯卡尔就像是个精明的理财顾问，给你规划一套最划算的路线，别看他一本正经的，其实心里也有点小聪明，一眼就看出哪条路最值得铺。
想象一下，你手里的路条子越来越多，每一条都是一种选择，你要选对的，不然一不小心可能会给城市之间搞出个乱七八糟的环。
克鲁斯卡尔就像是个懂得捡便宜货的老江湖，他眼光独到，总能一眼看出哪些路最适合先连。
不过，也别以为这算法只能玩玩路，其实它背后的原理，就是避免你贪心，拼命把所有的路都连起来，然后却陷入无限循环。
克鲁斯卡尔就是要让你学会放下那些不合算的选择，每一步都谨慎小心，毕竟谁不想把路走顺当了呢？所以啊，克鲁斯卡尔可不是什么复杂的大师傅，他就是个用心良苦的小算盘，帮你在城市间的小路上玩出了个省时省力的好办法。
他的原则就是小路先连，尽量不要重复造轮子，这样才能保证你在城市之间的行走路线最有效率。
克鲁斯卡尔不仅是个算法，更像是个精明的小商贩，每一分每一毫都能算得清清楚楚，让你的路线规划不但省心，还省力。
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最小生成树的两种算法包括：
1. Prim算法：
Prim算法是一种选择点加入树的算法。
首先选择任意一点作为树的第一个节点，然后枚举与它相连的所有点，将两点之间的边权记为这个点到生成树的距离，选择距离最近的点加入生成树，然后枚举与之相邻的节点，用边权更新该节点的距离，使距离等于两个节点之间的边的权重和。
再继续加入当前离生成树最近的点，在更新它相邻的点，以此类推，直到所有点全部加入生成树。
这样就求出了最小生成树。
2. Kruskal算法：
Kruskal算法也称为“加边法”。
首先把图中的所有边按代价从小到大排序，把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林，按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点应该属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
重复以上步骤，直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。
这样就可以得到最小生成树。
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