最小生成树与最短路径问题
图与网络的运筹学实验报告
图与网络的运筹学实验报告图与网络的运筹学实验报告引言：图与网络是运筹学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本实验旨在通过实际案例，探讨图与网络在运筹学中的应用，并通过运筹学方法对问题进行求解和优化。
一、图与网络的基本概念1.1 图的定义与表示图是由节点和边组成的数学模型，它可以用来描述各种实际问题。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示。
1.2 网络的定义与分类网络是图的一种特殊形式，它的边具有权重或容量等属性。
根据边的属性不同，网络可以分为最短路径网络、最小生成树网络、最大流网络等。
二、图与网络在运筹学中的应用2.1 最短路径问题最短路径问题是图与网络中的经典问题之一。
通过运筹学方法，可以求解两点之间的最短路径，并找到最优解。
2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在图中找到一棵包含所有节点的树，并使得树的边权重之和最小。
通过运筹学方法，可以有效地解决最小生成树问题。
2.3 最大流问题最大流问题是在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
通过运筹学方法，可以确定网络中的最大流，并进行优化。
三、实际案例分析3.1 交通网络优化以城市交通网络为例，通过建立图模型，可以对交通流量进行优化调度，减少交通拥堵和能源消耗。
3.2 物流配送优化以物流配送为例，通过建立网络模型，可以优化货物运输路径，减少运输成本和时间。
3.3 电力网络优化以电力网络为例，通过建立图模型，可以优化电力输送路径，提高电网的稳定性和可靠性。
四、运筹学方法的求解4.1 最短路径求解算法常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以高效地求解最短路径问题。
4.2 最小生成树求解算法常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们可以高效地求解最小生成树问题。
4.3 最大流求解算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，它们可以高效地求解最大流问题。
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题是指在给定的地图或路网上，寻找一条最优路径或最短路径，使得车辆从起点到终点能够在最短时间或最小代价内到达目的地。
常见的车辆路径问题包括最短路问题、最小生成树问题、最优化路径问题等。
以下是常见的车辆路径问题的求解方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的经典算法，它通过不断更新起点到各个节点的最短距离来求解最短路径。
该算法适用于路网较小的情况。
2. Floyd算法：Floyd算法是一种求解任意两点间最短路径的算法，它通过动态规划的思想，逐步计算出任意两点之间的最短路径。
该算法适用于路网较大的情况。
3. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它通过估计每个节点到终点的距离，来选择最优的扩展节点。
该算法适用于需要考虑路况等因素的情况。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法，它通过模拟蚂蚁在路径上的行走过程，来寻找最优路径。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它通过不断交叉、变异、选择等操作，来寻找最优解。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
以上是常见的车辆路径问题的求解方法，不同的问题需要选择不同的算法来求解。
算法解决问题的步骤经典案例
算法解决问题的步骤经典案例算法是解决问题的一种方法和步骤。
经典的案例中，算法一般包括以下步骤：问题定义、问题分析、算法设计、算法分析和算法实现。
下面，我们将介绍几个经典问题案例，并详细说明每个步骤的具体内容。
一、最小生成树问题问题定义：给定一个连通的无向图，每个边都有一个权重，需要找出一棵包含所有顶点但总权重最小的生成树。
问题分析：首先，需要理解连通图和生成树的概念。
然后，要明确最小生成树的定义和目标。
算法设计：可以使用Prim算法或Kruskal算法来解决最小生成树问题。
Prim算法从一个任意的顶点开始，逐步扩展生成树，选择与当前生成树相连的最小权重边。
Kruskal算法则是不断选择权重最小的边，直到生成树包含所有顶点为止。
算法分析：分别分析Prim算法和Kruskal算法的复杂度，比较两个算法的优劣。
算法实现：编写Prim算法和Kruskal算法的代码，并对其进行测试和调试。
二、背包问题问题定义：给定一系列物品和一个固定大小的背包，每个物品都有一个重量和一个价值。
需要确定一个最佳组合，使得背包能够装载最大价值的物品，同时不超过背包的重量限制。
问题分析：需要理解背包问题的定义和背包的限制条件。
可以将其分为01背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。
算法设计：对于01背包问题，可以使用动态规划算法来解决。
从第一个物品开始，计算每个物品是否放入背包，使得总价值最大。
对于完全背包问题，也可以使用动态规划算法来解决，但需要考虑每个物品可以重复选择的情况。
对于多重背包问题，可以将其转化为01背包问题来解决。
算法分析：分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率和适用情况。
算法实现：编写动态规划算法来解决背包问题，并对其进行测试和调试。
三、图的最短路径问题问题定义：给定一个加权有向图，需要找到一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
问题分析：需要理解最短路径的定义和目标。
可以使用Dijkstra 算法或Bellman-Ford算法来解决最短路径问题。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度
第一段：克鲁斯卡尔算法是一种求解最小生成树问题（MinimumSpanningTreeProblem）和求最短路径问题（ShortestPathProblem）的算法，是图论中最常用的算法之一。
它
有效地找到一幅给定的加权图中的最小生成树，并对相关的最短路径问题提供了优化的解决方案。
本文将讨论克鲁斯卡尔算法的时间复杂度，包括它的最佳情况和最坏情况。
第二段：克鲁斯卡尔算法的时间复杂度在最佳情况下是线性的，即O(n)。
具体而言，如果一个图中存在一个可以完全覆盖所有边的
最小生成树，则克鲁斯卡尔算法只需要遍历一次图来找到最小生成树，所以它的时间复杂度是O(n)。
第三段：然而，在最坏情况下，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度是平方的，即O(n2)。
这是因为最坏情况下，算法将遍历图中的所有边，一共有O(n2)个边，这样它将在遍历完所有边之后才能完成寻找最小生成树的过程，所以它的时间复杂度是O(n2)。
第四段：此外，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度还可能受到图的形状和连接方式的影响，这可能会严重影响算法的运行时间。
例如，如果一个图的边比较多，但是连接方式却比较规则，这样算法能够更快地找到最小生成树，导致克鲁斯卡尔算法的时间复杂度低于最坏情况下的O(n2)。
第五段：总而言之，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度由图的状况决定。
它在最佳情况下是线性的，即O(n)，在最坏情况下则是平方的，
即O(n2)。
然而，它的时间复杂度还可能受到图的形状和连接方式的影响，有时可能低于最坏情况下的O(n2)。
bp算法例题
bp算法例题
以下是BP算法的一些例题:
1. 最小生成树:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中最小的生成树。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从根节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,同时记录当前节点的前缀和
- 对于每个相邻节点,计算它的最小权重向量与当前节点的最小权重向量的商,得到当前节点的权重向量
- 根据权重向量更新生成树
- 重复步骤直到生成树为空
2. 最短路径问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点到另一个节点的最短路径。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点到另一个节点的最短路径
- 根据最短路径更新权重向量,并返回最短路径
3. 最小费用最大流问题:
设网络有n个节点,有m条边,求网络中从任意一个节点去往另一个节点的最小费用最大流。
步骤:
- 设BP机初始状态为全0,初始权重为0
- 从任何节点开始遍历网络,每次更新当前节点的最小权重向量,记录当前节点的前缀和
- 计算从当前节点去往另一个节点的最小费用最大流
- 根据最小费用最大流更新权重向量,并返回最小费用最大流
这些例题只是BP算法的一些典型应用,实际上BP算法还可以用于解决其他类型的问题,例如网络拓扑优化、约束优化等。
信息学竞赛中的数学知识与应用技巧
信息学竞赛中的数学知识与应用技巧信息学竞赛在培养学生的计算机科学素养和解决问题能力方面起到了关键作用。
然而，我们不能忽视数学在信息学竞赛中的重要性。
本文将探讨数学在信息学竞赛中的知识和应用技巧。
一、离散数学与图论离散数学作为数学的一个重要分支，在信息学竞赛中扮演着重要角色。
图论作为离散数学的一个重要分支，在解决问题时发挥着关键作用。
许多信息学竞赛的问题可以转化为图论问题，因此，掌握好图论的基本概念和算法是至关重要的。
1. 图的表示与遍历在解决图论问题时，首先需要了解图的表示方法。
常用的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
使用邻接矩阵可以方便地查找两个节点之间的边的关系，而使用邻接表可以更有效地存储大规模图的信息。
在了解了图的表示方法后，我们需要学会如何遍历图。
常用的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
这两种算法在解决图相关问题时经常用到，对于信息学竞赛非常有帮助。
2. 最短路径和最小生成树最短路径和最小生成树是信息学竞赛中常见的问题类型。
Dijkstra 算法和Floyd算法是解决最短路径问题的经典算法。
Prim算法和Kruskal算法是解决最小生成树问题的经典算法。
熟练掌握这些算法可以帮助我们更好地解决与图相关的问题。
二、概率与统计在信息学竞赛中，概率与统计也是一个重要的数学知识点。
学生需要掌握概率论和统计学的基本概念，以便解决与概率和统计相关的问题。
1. 概率计算与统计分析在解决与概率相关的问题时，我们需要掌握概率的基本计算方法，如加法原理、乘法原理和条件概率等。
此外，对于离散型和连续型随机变量的概率分布函数的掌握也是重要的。
在解决与统计相关的问题时，我们需要掌握统计学的基本概念和统计分析方法。
常见的统计分析方法包括均值、方差、标准差、相关系数和回归分析等。
2. 概率与统计在信息学竞赛中的应用概率与统计在信息学竞赛中的应用非常广泛。
例如，在解决数据压缩、遗传算法和机器学习等问题时，概率与统计的知识经常被用到。
曼哈顿距离最小生成树
曼哈顿距离最小生成树曼哈顿距离最小生成树（ManhattanMinimumSpanningTree）是一种在多维空间（N维空间）里寻找最小代价连接任何两个点的有效算法。
它使用曼哈顿距离作为代价并且能够在多维空间中解决最短路径问题。
曼哈顿距离是一种特殊的距离度量，用来测量在一个N维空间中任意两点之间的距离。
它能够很好地表达在有权重约束的多维空间中任意点之间的最短路径。
曼哈顿距离最小生成树以贪心算法的形式实现，能够有效地解决多维空间中的最短路径问题。
它的核心思想是从一个现有的最小生成树开始，不断的增加新的元素来加强和扩展树的结构。
曼哈顿距离最小生成树的基本步骤如下：（1）从空树开始，任意选取一个节点作为初始节点。
（2）以曼哈顿距离为标准，从剩余的n-1个节点中找出与初始节点距离较近的节点，从而构成一个最小生成树。
（3）重复步骤（2），直至最小生成树中包含所有节点，此时得到了一颗曼哈顿距离最小生成树。
曼哈顿距离最小生成树的一个重要特性是它有一个非常直接的应用：它能够帮助我们解决计算最短路径的问题，也就是计算从某个固定起点到任意终点的最短路径。
使用曼哈顿距离最小生成树来计算最短路径的过程如下：（1）先构造一颗曼哈顿距离最小生成树。
（2）对最小生成树中每条边计算曼哈顿距离，并保存到一个表中。
（3）对最小生成树中每个节点，根据曼哈顿距离计算出从起点到该节点的最短距离，并保存到一个表中。
（4）搜索表中最短路径，找到从起点到终点的最短路径，也就是从起点到终点的最短路径。
曼哈顿距离最小生成树在多维空间中解决最短路径问题时，具有非常强大的功能。
它能够快速、高效地找到任意两点之间的最短路径，而无需考虑权重的约束。
这样，它就成为了一种非常有效的最小代价连接算法，在多维空间中广泛应用。
总的来说，曼哈顿距离最小生成树是在多维空间中解决最短路径问题的一种经典算法。
它使用曼哈顿距离作为代价，能够快速、高效地找到任意两点之间的最短路径，而无需考虑权重的约束。
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Hu Junfeng
30
存储结构
• 图采用邻接矩阵表示法，其中对角线元素初值均取0。 • 算法中，将放入集合Ｕ中结点对应的关系矩阵中对角线元 素值修改为1； • 设置一个数组dist，dist[ｉ]用于存放v0到顶点vｉ的最短路 径及其最短路径长度（计算过程中为距离值）∶ ypedef struct { AdjType length; /* 最短路径长度 */ int prevex; /*从v0到达vi(i=1,2,…n-1)的最短路 径上vi的前趋顶点*/ }Path; Path* dist;
Hu Junfeng
21
例题∶用Kruskal方法构造图的最小生成 树
• 集合E中的边按权递增顺序排列为∶
(v1, v2 5), (v1, v3 6), (v2, v3 6), (v0, v1 10), (v1, v5 11), (v3, v5 14), (v3, v4 18), (v0, v4 19), (v0, v5 21), (v4, v5 33)
v0 21 v5 19 33 14 6 6 v4 18 v3 v2 10 11 v1 5
Hu Junfeng
22
①初始时，T为只有6个顶点的非连通图。
②边(v1, v2)的两个顶点v1，v2分别属于两个连通分量，将边 (v1, v2)加入T。 ③同理，将边(v1, v3)加入T。 ④由于边(v2, v3)的两个顶点v2，v3属于同一个连通分量，因 此，舍去这条边。 ⑤同理将边(v0, v1)、(v1, v5)加入T，边(v3, v5)舍去，边(v3, v4) 加入T。 这时T中含的边数为5条，成为一个连通分量，T就是G的一 棵最小生成树。
Hu Junfeng
23
Hu Junfeng
24
算法框架
• T=(V,φ) while(T中所含边数<n-1) { 从E中选取当前最短边(u,v)； 从E中删去边(u,v)； if( (u,v)加入T中后不产生回路) 将边(u,v)加入T中； }HuFra bibliotekJunfeng
25
最短路径问题
• 如果图中从一个顶点可以到达另一个顶点，则称这两个顶 点间存在一条路径。从一个顶点到另一个顶点间可能存在 多条路径，而每条路径上经过的边数并不一定相同。 • 如果图是一个带权图，则路径长度为路径上各边的权值的 总和，两个顶点间路径长度最短的那条路径称为两个顶点 间的最短路径，其路径长度称为最短路径长度。
② 在构造最小生成树的过程中定义一个类型为Edge的数组 mst∶Edge mst[n-1]; 其中n为网络中顶点的个数，算法结束时，mst中存放求出的最小生成 树的n-1条边。
Hu Junfeng
12
例子：mst∶Edge mst[n-1];
已知带权图G及其邻接矩阵如图所示 请构造该图的最小生成树
v0 21 v5 19 33 14 6 6 v4
Hu Junfeng
10 11
v1 5 v2
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 18 0 33
21 11 14 33 0
15
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} } mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} }
3
v0 21
10 11 v5 14
v1 5 6 6 v2
n -3
19
图 —— 最小生成树与最短路径问题
2009/05/14
Hu Junfeng
基于邻接表的图操作运算
Hu Junfeng
2
基于邻接表的图操作运算
Hu Junfeng
3
Hu Junfeng
4
主要内容
• • • • • • 生成树的概念（spanning tree） Prim算法 Kruskal算法 最短路径问题 Dijkstra算法 Floyd算法
i 0 j i j i 1
n2
n2
n2
2 O(1)
i 0 j i
n2 n2
• 整个算法的时间复杂度为O(n2)
Hu Junfeng
19
贪心算法一般思路
• • • • • 初态（起点） 候选对象集合 贪心选择算法（按当前状态） 可行评估函数 目标函数
Hu Junfeng
33
v4
18
v3
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 18 0 33
21 11 14 33 0
Hu Junfeng
16
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {1,5,11} , {3,4,18}}
比较 2
v0 21 v5 19 33 14 6 6 v4
Hu Junfeng
②
③
10 11
v1 5 v2
n -2
18 v3
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 18 0 33
21 11 14 33 0
则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u,v)。
MST必包含连通图中任意两个顶点划分之间的最小权的边。 （任意割集中的最小边）
Hu Junfeng
9
MST性质证明（反证法）
• 边(u,v)是图G中所有一个端点在U里，另一端点在V-U里的边 中权值最小的边。
• 假设：存在G的一棵最小生成树不包括此边。
v0 21
10 11 v5 14
v1 5 6 6 v2
19
33
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 18 0 33
21 11 14 33 0
v4
Hu Junfeng
Hu Junfeng
11
最小生成树的构造
• 准备工作： ① 设图采用邻接矩阵表示法表示，用一对顶点的下标(在顶点表中的下 标)表示一条边，定义如下∶
typedef struct{ int start_vex, stop_vex;/* 边的起点和终点 */ AdjType weight; /* 边的权 */ }Edge;
Hu Junfeng
5
生成树（支撑树）的概念
GraphMatrix graph = {
6,
{ {0, 10, M, M, 19,21}, {10, 0, 5, M, M, 11},
0 1 2
{M, 5, 0, M, M, M},
{M, M, M, 0, 18, 14}, {19, M, M, 18, 0, 33}, {21, 11, M, 14, 33, 0}
Hu Junfeng
31
修正距离值的方法
如果加入顶点vmin为中间顶点后 dist[i].length > dist[min].length + G.arcs[min][i]
则将顶点vi的距离值改为
dist[min].length + G.arcs[min][i] 并修改路径上vi的前趋顶点： dist[i].prevex = min
Hu Junfeng
26
Dijkstra算法
——Single Source/All Destinations • Dijkstra算法求解从顶点 v0出发到其它各顶点最短 路径。
San Denver Francisco 800 2 1 300 1000 1700 New Orleans 7 Chicago 1200 3 1500 1000 Boston 4
• 网络（带权图）的生成树中生成树各边的权值加起来称 为生成树的权，把权值最小的生成树称为最小生成树。
(简称为MST)。
Hu Junfeng
8
MST性质
• G=(V，E)是一个网络，U是顶点集合V的一个真子集。 • 如果u∈U，v∈V-U，且边(u,v)是图G中所有一个端点 在U里，另一端点在V-U里的边中权值最小的边，
Hu Junfeng
32
例子： 初始状态V = {v0}
• 结果dist[n]为{{0, 0}, {50, 0}, {10, 0}, {MAX, -1}, {45, 0}, {MAX, -1} }
Hu Junfeng
33
②．在集合V-U中找出距离值最小的顶点v2，将 顶点v2加入集合U中。
250
5 New York
1400 900
0 Los Angeles
1000
6 Miami
27
Hu Junfeng
基本思想
• 设置一个集合U，存放已求出最短路径的顶点，VU是尚未确定最短路径的顶点集合。 • 每个顶点对应一个距离值，集合U中顶点的距离值 是从顶点v0到该顶点的最短路径长度； • 集合V-U中顶点的距离值是从顶点v0到该顶点的只 包括集合U中顶点为中间顶点的最短路径长度。
Hu Junfeng
28
初始状态：
• 集合U中只有顶点v0，顶点v0对应的距离值为0，集合 V-U中顶点vi的距离值为边(v0, vi) (i=1,2,…,n-1)的权， 如果v0和vi间无边直接相连，则vi的距离值为∞。
Hu Junfeng
29
处理框架：
（1）在集合V-U中选择距离值最小的顶点vmin加入集合U； （2）对集合V-U中各顶点的距离值进行修正：如果加入顶 点vmin为中间顶点后，使v0到vi的距离值比原来的距离值 更小，则修改vi的距离值。 （3）重复（1）（2）操作，直到从v0出发可以到达的所有 顶点都在集合U中为止。