运筹学图论
运筹学-图论
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论详细讲解
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
运筹学理论：图论
5②
5
⑥4
3
③8
1 2
2 4
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
7
4
6
⑤10
7
7
4
6
⑤10
3④ 7
3④
例
5②
5 2 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
4
7
4
7
6
⑤10
7
7
4
⑤9
6
3④
3④
例
5②
5 2 4 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
0①
3
4
7
7
4
6
⑤7
7
例
①
题：
①
1
②
11
2 7 5
⑥
③ ② ④ ③ ⑤
3
6 9 ④ 10 4
⑥
8
⑤
破 圈 法（山东师院管梅谷75 Nhomakorabea）首先，把有权图的边按权的递减顺 序排列：a1, a2, …… , an。 再检查a1, 如果去掉a1, 图仍是连通 图, 则去掉a1, 否则令a1= e1,再用 同样方法检查a2 … 如此继续下去, 直到找出有n-1条边的连通图为止
A
D
例如：哥尼斯堡七桥图： d(A)=3 d(B)=3 C d(C)=5 d(D)=3
B
(四) 特殊点:
图论 模型
图论模型图论是运筹学的一个经典和重要分支，专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。
许多优化问题，可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决，比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。
图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。
1936年，匈牙利数学家柯尼希（D. Kӧnig ）出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》，树立了图论发展的第一座里程碑。
近几十年来，计算机科学和技术的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。
9.1 图的基础理论9.1.1 图的基本概念所谓图，概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。
定义为(,)G V E =，V 是顶点的非空有限集合，称为顶点集。
E 是边的集合，称为边集。
边一般用(,)i j v v 表示，其中,i j v v 属于顶点集V 。
以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数，E 表示边的条数。
如图9.1是几个图的示例，其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边，将其表示为(,)G V E =，123{,,}V v v v =，1213{(,),(,)}E v v v v =.23v 45v 34(a)(c)图9.1 图的示意图1.无向图和有向图如果图的边是没有方向的，则称此图为无向图（简称为图），无向图的边称为无向边（简称边）。
如图9.1 (a)和(b)都是无向图。
连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。
如果图的边是有方向（带箭头）的，则称此图为有向图，有向图的边称为弧（或有向边），如图9.1 (c)是一个有向图。
连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v 〈〉，其中i v 称为起点，j v 称为终点。
显然此时弧,i j v v 〈〉与弧,j i v v 〈〉是不同的两条有向边。
图论在运筹学中的名词解释
图论在运筹学中的名词解释一、引言运筹学是一门研究复杂问题的学科，它借助各种数学方法和技术，帮助我们做出最佳的决策。
图论作为运筹学的重要工具之一，被广泛应用于解决各类实际问题。
本文将就图论在运筹学中的几个重要名词进行解释和探讨。
二、图图是图论的核心概念之一。
它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在运筹学中，图可以用来描述和分析各种现实场景。
比如，交通网络可以用图来表示，道路是边，路口是顶点；社交网络可以用图来表示，用户是顶点，社交关系是边。
通过构建和分析图，我们可以揭示事物之间的关联性和特征，并利用这些信息进行决策。
三、路径路径是图论中一个重要概念。
它指的是在图中顶点之间连接的一系列边的序列。
在运筹学中，路径常常被用来表示两个顶点之间的最佳路线或最优解。
比如，在物流配送中，我们需要找到从仓库到目的地的最短路径，以最大程度地降低运输成本和时间。
通过图论的路径算法，我们可以高效地找到这样的最短路径，为物流管理提供有效支持。
四、最小生成树最小生成树是一种特殊的图结构，它是原图的一个子图，包含了所有顶点，但只有足够的边连接这些顶点，并使得整个图的总权重最小。
在运筹学中，最小生成树常常被用于解决资源分配和网络设计等问题。
比如，在电力输送系统中，我们需要将发电站和各个消费点以最短的电网连接起来，以确保电能的高效分配和传输。
通过构建最小生成树，我们可以优化电网的布局，降低能源损耗，提高供电可靠性。
五、网络流网络流是图论中的一个重要概念，它用来描述在一个有向图中通过各个边所能承载的最大流量。
在运筹学中，网络流被广泛应用于流程设计和资源调度问题。
比如，在工厂生产调度中，我们需要在供应链上对原材料、组件和成品进行优化配送，以实现最佳生产效率和降低成本。
通过分析网络流，我们可以确定各个节点的产能和需求，从而优化生产计划和物流调度。
六、最短路径最短路径是图论中的一个重要问题，即在图中找到连接两个顶点的最短路径。
在运筹学中，最短路径经常被用于解决物流和通信等问题。
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
运筹学-第六章 图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
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(a)
图7-5
(b)
(c)
一、求解最小生成树的破圈算法
算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两
条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉 其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余 下的图即为最小生成树，否则返回第1步。
例1： 如何架设电话线，使得耗材最少？
●D
● E
●F
案例2： 某厂办公室在三天内开一个会，请10位领导 第一天上午开幕式A 第三天下午闭幕式F 每天每位领导只能开半天会。
领导
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
内容
A
√√√
√
√√
B
√
√
√√
C
√
√√√
√
D
√
√
√
E
√
√√
F
√√
√
√√
A●
B ●
A-E-B-C-D-F
C●
●D
A-E-C-B-D-F
● E
●F
二、七桥问题
A
哥尼斯堡的 普雷格尔河
C
D
B
提出问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只 走过一次，最后回到出发点。
1973年，欧拉将此问题归结为如图所示的一笔画问 题。
·A
d(A)=3
C·
·D d(B)=3
d(C)=5
·B
d(D)=3
将点看成事物，边看成事物与事物的联系。
秩为奇数的为奇顶点；秩为偶数的为偶顶点。
5 8
避圈法： 最小支撑树=22
5-3 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
• 一、Dijkstra算法 • 1、思路： • 这种算法的基本思路是：假定V1-V2-V3-V4是V1-V4的最短路。 • 2、假设： • 若用dij表示两相邻点i与j的距离，若i与j不相邻，令dij=∞，显然dii=0。 • 3、步骤： • （1）从点s出发，因Lss=0，将此值标注在s旁的小方框内，表示s点已标
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周பைடு நூலகம்v5)
图5-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图5-3就是
一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图7-5中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图7-5中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
至少存在一条链，则G为连通图。 5、回路：若路的第一个点和最后一个点相同，则该
路为回路。
6、赋有的权一权图个 。：数对wi一j，个则无称向图图G为G的赋每权一图条，边wi(j称vi,v为j)，边相(vi应,vj)地上
7、网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点， 指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把D 中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就称为网 络。
第五章 图与网络分析
§1 图与网络的基本概念 §2 最小生成树问题 §3 最短路问题 §4 最大流问题
5-1 图与网络的基本概念
一、图与网络的基本概念
1、图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表
示，图7-1就是一个表示这种关系的图。
如何一个图都可以由边的集合和点的集合所组成。
点——不考虑位置；边——不考虑形状与联系； 欧拉定理：
a、一个图奇顶点的个数为“0”时，可既不重复，也不遗 漏走完所有桥还能回到原处。
b、一个图奇顶点的个数为“2”时，可不重复，不遗漏走 完所有桥但不能回到原处；
c、一个图奇顶点的个数大于“2”时，不可能既不重复， 也不遗漏走完而且回到原处。
案例1：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、 D、E、F六个项目的比赛。如表所示中打的是各运动员报名参
加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名 运动员都不连续地参加两项比赛。
A
B
C
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
A●
B ●
A-C-B-F-E-D
C●
5-2 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图7-4
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图7-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是 树， (c)因为不连通所以也不是树。
(v3)孙
(v1)
e2
赵
e1 (v2)钱 (v5) 周
e4 e3
(v4)李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图7-1
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图5-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图5-3
2、无向图：由点和边构成的图，记作G=（V，E）。 3、有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。 4、连通图：对无向图G，若任何两个不同的点之间，
V2
e4
V4
e1 V1 5
5
1 e3
7 e5
e9 4
V6
5 e2
3 e7 4 e8
2
V3
e6
V5
• （一）破圈法： • 丢边（大边），破圈。 • ∴最少费用为：5+1+2+3+4=15
例2： 如何架设电话线，使得耗材最少？
V2
e4
V4
V1
e1
5
1 e3
5 e2
5 7 e5 2
e9 4
3 e7 4 e8
V6
V3
e6
V5
• （二）避圈法： ∴最少费用为：5+1+2+3+4=15
练习： （a）
5
2
2
32
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
5
破圈法： 最小支撑树=18
5
2
2
32
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
5
避圈法： 最小支撑树=18
（b）
7 5
3 5
6 4
2
3
5 8
破圈法： 最小支撑树=22
（b）
7 5
3 5
6 4
2
3