运筹学图与网络(1)
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运筹学基础-网络计划1
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C 无
D A
E B
F B、C
A
1
5
D F E
11
C
B
7 3
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C A、B
D B
E C
F D
A
1
5
C
7
E
11
B
3
D
9
F
第二节 网络时间的计算
网络时间的计算有三种计算方法：图上计算法、表格计 算法和EXCEL计算法。
一、图上计算法
网络图中只能有一个始点和一个终点，使得自网络图的始点 经由任何路径都可以到达终点。
编号的规定
编号应从始事件开始，按照时序依次从小到大对事件编号，直到终 事件。 编号时不允许箭头编号小于箭尾编号。 事件的编号原则 箭尾事件(i)小于箭头事件(j)；一般采用非连续编号，即可空留 出几个号，跳着编，将来有变化时，不致打乱全局。
2. 画网络图(以前图为例)
作业 A B C D E F G H I J 紧接的前项作业 作业时间(周) 2 无 3 无 A，B 4 B 1 A 5 C 3 E，F 2 D，F 7 G，H 6 I 5
第一步：先画出无紧前作业的A、B，给网络始点编号为① 第二步：用一条斜线“\”消去已画入网络图的作业A、B，
尽量避免箭线之间的交叉
为了方便计算和美观清晰，PERT网络图中通过调整布 局，尽量避免箭线之间的交叉。
2 8 2 4 6
7 10
1
9
11
1
5
6
9
11
3
5
7 10 3 4 8
《运筹学》第8章_图与网络分析
V = {v1 ,v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
v5
8
v1
v3
v9
2 4
4
3
7
v4
4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
v5
5
1
5
1
8
v1
7
5 v4 9
v6
6
v7
2
1
12
v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
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4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
运筹学例题-打印版
运筹学例题-打印版⼀、绪论⼀个班级的学⽣共计选修A 、B 、C 、D 、E 、F 六门课程，其中⼀部分⼈同时选修D 、C 、A ，⼀部分⼈同时选修B 、C 、F ，⼀部分⼈同时选修B 、E ，还有⼀部分⼈同时选修A 、B ，期终考试要求每天考⼀门课，六天内考完，为了减轻学⽣负担，要求每⼈都不连续参加考试，试设计⼀个考试⽇程表。
⼆、图解法例1. 某⼯⼚在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的⽣产，已知⽣产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：⼯⼚应分别⽣产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使⼯⼚获利最多？ 3.1例2 某公司由于⽣产需要，共需要A ，B 两种原料⾄少350吨（A ，B 两种材料有⼀定替代性），其中A 原料⾄少购进125吨。
但由于A ，B 两种原料的规格不同，各⾃所需的加⼯时间也是不同的，加⼯每吨A 原料需要2个⼩时，加⼯每吨B 原料需要1⼩时，⽽公司总共有600个加⼯⼩时。
⼜知道每吨A 原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满⾜⽣产需要的前提下，在公司加⼯能⼒的范围内，如何购买A ，B 两种原料，使得购进成本最低？三、单纯形法例1. 某⼚⽣产甲⼄两种产品，各⾃的零部件分别在A 、B 车间⽣产，最后都需在C 车间装配，相关数据如表所⽰：问如何安排甲、⼄两产品的产量，使利润为最⼤。
例2. 某名牌饮料在国内有三个⽣产⼚，分布在城市A1、A2、A3,其⼀级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各⼚的产量、各承销商的销售量及从A i 到B j 的每吨饮料运费为C ij ，为发挥集团优势，公司要统⼀筹划运销问题，求运费最⼩的调运⽅案。
四、线性规划在⼯商管理中的应⽤例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务⼈员数如下：设司机和乘务⼈员分别在各时间段⼀开始时上班，并连续⼯作⼋⼩时，问该公交线路怎样安排司机和乘务⼈员，既能满⾜⼯作需要，⼜配备最少司机和乘务⼈员?例2．⼀家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所⽰。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
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5
(2,4)
35
55
7
1
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(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
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3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
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5 3 5 55 7
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1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
避圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
总造价=1+4+9+3+17+23=57
其他树——搜索树
一、-方法（是人工智能中常用 方法） 例9-8：有n根火柴，甲乙两个依 次可以从中任意取走1根或2根， 但不能不取，取走最后一根火柴 者为胜方，试讨论取胜策略。为 了便于理解，不妨假设n=7。
若甲方胜时得分+1，乙方胜 时甲方得分-1，无凝轮到甲方取 时一定选择能使他进入得分+1状 态。同理轮到乙方取时一定选择 能使甲方进入得分-1状态。
一个子图与生成树的区别是：子图与 原图相比少弧又少点，生成树与原图 相比少弧不少点。
定理 图 G有生成树的充分必要条件为图是连 通图。 定义（最优树） 在赋权图G中，一棵生成树所有树柱上权 的和，称为生成树的权。具有最小权的 生成树，称为最优树（或最小树）。 求最小树的方法有破圈法和避圈法。
例9-7
3 在图中不相邻的两个顶点之间加一条 边，可得一个且仅得一个圈。 4 图中边数有ne=p-1（p为顶点数）
例9-6
g e d f
h
b a c
e d f
b
g
d
f
b
e d
b c
h
b a c
g
d
f
a
定义（生成树）
如果图T是G的一个生成子图，而且T 又是一棵树，则称图T为一棵生成树。 对于分离图，则称为生成森林。
23 v6 28 v5
v1
v2 20
1
v7 36 25 17
4
9 16 v4
15 v3
3
破圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25
D
C
B
例9-2：有7个人围桌而坐，如果 要求每次相邻的人都与以前完全 不同，试问不同的就座方案共有 多少种？ 用顶点表示人，用边表示两者 相邻，因为最初任何两个人都允 许相邻，所以任何两点都可以有 边相连。
1
7 2
6
3
5
4
假定第一次就座方案是 （1，2，3，4，5，6，7，1）， 那么第二次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图 中删去这些边。
e3
e5
v4
e4 e8
v3 e7 v5
V= （ v1， v2，…... v6） E= （ e1， e2，…... e8） （e1）= （v1， v2） （e2）= （v1， v2） （e7）= （v3， v5）
（e8）= （v4， v4）
(e8)= (v4， v4),称为自回路(环)；
v2
v4
v5
（a）的生 成子图
v1 e5
v2 e2
v3
e6
v4 e8
v5
（a）的导 出子图
v1 e5
v2 e1
e6
v5
定义（简单图）如果图中任意 两个顶点之间至多有一条边， 则称为简单图，否则称为多重 图。
定义（有向图）如果图中每一 条边都规定了方向，则称为有 向图。
定义（链）如果图中的某些点、 边可以排列成点和边的交错序 列，则称此为一条链。
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25 17 16
v2
1
v7
4
9
15 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17 16
v2
1
v7
4
9
15 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
e3
v2
v3
e7
e4
e5
e1 v1 v2 v3 v4 1 0 0 -1
e2 -1 0 1 0
e3 1 -1 0 0
e4 0 -1 1 0
e5 0 -1 0 1
e6 0 0 1 -1
e7 0 0 -1 1
对无向图不存在-1 元素 。
9-2
最优树问题
树是一类极其简单而很有用的图。 定义（链）如果图中的某些点、边 可以排列成点和边的交错序列，则 称此为一条链。
第九章
图与网络
引言 图论是专门研究图的理论的一门 数学分支，属于离散数学范畴，与 运筹学有交叉，它有200多年历史， 大体可划分为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九 世纪中叶，处于萌芽阶段，多数问 题围游戏而产生，最有代表性的工 作是所谓的Euler七桥问题，即一笔 画问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二 十世纪中叶，这时，图论问题大 量出现，如Hamilton问题，地图 染色的四色问题以及可平面性问 题等，这时，也出现用图解决实 际问题，如Cayley把树应用于化 学领域，Kirchhoff用树去研究电 网络等.
7
+1 6 +1 5 -1 4 3 +1 +1 3 +1 4 -1 2
+1 -1 5 +1 4 +1 3 -1 2 -1 2 -1 3 -1 1
-1 3 -1 2 1
+1 2 -1
+1 2
+1 1
+1 2
+1 1
+1 2
+1 1
在树形图中，圆圈中数字7 表示轮到甲方取时还有7根，方 框中数字6表示表示轮到乙方取 时还有6根，依次类推。显然， 一旦最后出现方框（1或2）状态 时乙方胜。反之，若最后出现圆 圈（1或2）状态时甲方胜。
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
例9-3：哈密顿（Hamilton）回 路是十九世纪英国数学家哈密顿 提出，给出一个正12面体图形， 共有20个顶点表示20个城市， 要求从某个城市出发沿着棱线寻 找一条经过每个城市一次而且仅 一次，最后回到原处的周游世界 线路（并不要求经过每条边）。
例9-4：一个班级的学生共计选修A、 B、C、D、E、F六门课程，其中一部 分人同时选修D、C、A，一部分人同 时选修B、C、F，一部分人同时选修B、 E，还有一部分人同时选修A、B，期 终考试要求每天考一门课，六天内考 完，为了减轻学生负担，要求每人都 不会连续参加考试，试设计一个考试 日程表。
定义（圈）如一条链中起点和 终点重合，则称此为一条圈。
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 e8 v5 v2 e1 e3 e2 v3
v1
v2 e1 e3
e6
e7 v4 v5
圈 v1 v2 e1 e3
e6
e7 v4 v5
二、图的矩阵表示
一个图非常直观，但是不 容易计算，特别不容易在计算 机上进行计算，一个有效的解 决办法是将图表示成矩阵形式， 通常采用的矩阵是邻接矩阵、 边长邻接矩阵、弧长矩阵和关 联矩阵。
v2
1
v7
4
9 v3
3 v4
v1 23 v6 28
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
v1 23 v6 28
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
v1 23 v6
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
总造价 =1+4+9+3+17+23=57
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
解：以每门课程为一个顶点，共同被选 修的课程之间用边相连，得图，按题意， 相邻顶点对应课程不能连续考试，不相 邻顶点对应课程允许连续考试，因此， 作图的补图，问题是在图中寻找一条哈 密顿道路，如C—E—A—F—D—B，就 是一个符合要求的考试课程表。
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
9.1 图的基本概念
如果V1 V， E1 是E中所有端 点属于V1的边组成的集合，则称 G1是G的关于V1的导出子图；
如果G1=（V1，E1，1）是G= （V，E，）子图，并且V1= V， 则称G1为G的生成子图。
v1 e5
v2 e1 e3 e2
v3
e6 e4 e7
v4 e8
v5
（a） 的子图 v1 e5 e1 e3
4
v2
3 2
v1
5
v3
6
4
v4
v1 v2 v3 v1 v2 v3 v4 0 2 5 6 2 4 3 5 3 0 4
v4 6 4 0
其中表示两点之间不能连接 。
3 弧长矩阵
对有向图的弧可以用弧长 矩阵来表示。其中表示两点 之间没有弧连接 。
v2 1 v1 4 2 3
2
v3
2 1
2
6
A C
D
B
最后，数学家Euler在1736年巧 妙地给出了这个问题的答案，并因 此奠定了图论的基础，Euler把A、B、 C、D四块陆地分别收缩成四个顶点， 把桥表示成连接对应顶点之间的边， 问题转化为从任意一点出发，能不 能经过各边一次且仅一次，最后返 回该点。这就是著名的Euler问题。