运筹学图论
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运筹学-图论
以可允许的10个状态向量作为顶点，将可能互相转移的状态用线段连接起 来构成一个图。
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论详细讲解
如果一个图是由点和弧所构成的，那么
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表 示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集
• 1.图的基本概念与基本定理
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E）
其中V={v1,v2,v3,v4}
E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3],
[v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],
图论详细讲解
•
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它
已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设 ，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络 的合理布局等问题，都可以应用图论的方法 ，简便、快捷地加以解决。
边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，
如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间
有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它
们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]
。一个无环，无多重边的图标为简单图，一个 无环，有多重边的图标图称为多重图。
• 1.图的基本概念与基本定理
• 1.图的基本概念与基本定理
综上所述，图论中的图是由点和点与点 之间的线所组成的。通常，我们把点与点之 间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧 。
如果一个图是由点和边所构成的，那么
，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表 示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接 点vi,vj V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。
•
引言
•C
•A
•B
•D
•图8.1 b
运筹学 第八章 图论 - 全
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
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18
图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
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图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
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边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
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24
树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
无向图
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有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
运筹学理论：图论
5②
5
⑥4
3
③8
1 2
2 4
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
7
4
6
⑤10
7
7
4
6
⑤10
3④ 7
3④
例
5②
5 2 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
4
7
4
7
6
⑤10
7
7
4
⑤9
6
3④
3④
例
5②
5 2 4 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
0①
3
4
7
7
4
6
⑤7
7
例
①
题：
①
1
②
11
2 7 5
⑥
③ ② ④ ③ ⑤
3
6 9 ④ 10 4
⑥
8
⑤
破 圈 法（山东师院管梅谷75 Nhomakorabea）首先，把有权图的边按权的递减顺 序排列：a1, a2, …… , an。 再检查a1, 如果去掉a1, 图仍是连通 图, 则去掉a1, 否则令a1= e1,再用 同样方法检查a2 … 如此继续下去, 直到找出有n-1条边的连通图为止
A
D
例如：哥尼斯堡七桥图： d(A)=3 d(B)=3 C d(C)=5 d(D)=3
B
(四) 特殊点:
图论 模型
图论模型图论是运筹学的一个经典和重要分支，专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。
许多优化问题，可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决，比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。
图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。
1936年，匈牙利数学家柯尼希（D. Kӧnig ）出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》，树立了图论发展的第一座里程碑。
近几十年来，计算机科学和技术的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。
9.1 图的基础理论9.1.1 图的基本概念所谓图，概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。
定义为(,)G V E =，V 是顶点的非空有限集合，称为顶点集。
E 是边的集合，称为边集。
边一般用(,)i j v v 表示，其中,i j v v 属于顶点集V 。
以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数，E 表示边的条数。
如图9.1是几个图的示例，其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边，将其表示为(,)G V E =，123{,,}V v v v =，1213{(,),(,)}E v v v v =.23v 45v 34(a)(c)图9.1 图的示意图1.无向图和有向图如果图的边是没有方向的，则称此图为无向图（简称为图），无向图的边称为无向边（简称边）。
如图9.1 (a)和(b)都是无向图。
连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。
如果图的边是有方向（带箭头）的，则称此图为有向图，有向图的边称为弧（或有向边），如图9.1 (c)是一个有向图。
连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v 〈〉，其中i v 称为起点，j v 称为终点。
显然此时弧,i j v v 〈〉与弧,j i v v 〈〉是不同的两条有向边。
图论在运筹学中的名词解释
图论在运筹学中的名词解释一、引言运筹学是一门研究复杂问题的学科，它借助各种数学方法和技术，帮助我们做出最佳的决策。
图论作为运筹学的重要工具之一，被广泛应用于解决各类实际问题。
本文将就图论在运筹学中的几个重要名词进行解释和探讨。
二、图图是图论的核心概念之一。
它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在运筹学中，图可以用来描述和分析各种现实场景。
比如，交通网络可以用图来表示，道路是边，路口是顶点；社交网络可以用图来表示，用户是顶点，社交关系是边。
通过构建和分析图，我们可以揭示事物之间的关联性和特征，并利用这些信息进行决策。
三、路径路径是图论中一个重要概念。
它指的是在图中顶点之间连接的一系列边的序列。
在运筹学中，路径常常被用来表示两个顶点之间的最佳路线或最优解。
比如，在物流配送中，我们需要找到从仓库到目的地的最短路径，以最大程度地降低运输成本和时间。
通过图论的路径算法，我们可以高效地找到这样的最短路径，为物流管理提供有效支持。
四、最小生成树最小生成树是一种特殊的图结构，它是原图的一个子图，包含了所有顶点，但只有足够的边连接这些顶点，并使得整个图的总权重最小。
在运筹学中，最小生成树常常被用于解决资源分配和网络设计等问题。
比如，在电力输送系统中，我们需要将发电站和各个消费点以最短的电网连接起来，以确保电能的高效分配和传输。
通过构建最小生成树，我们可以优化电网的布局，降低能源损耗，提高供电可靠性。
五、网络流网络流是图论中的一个重要概念，它用来描述在一个有向图中通过各个边所能承载的最大流量。
在运筹学中，网络流被广泛应用于流程设计和资源调度问题。
比如，在工厂生产调度中，我们需要在供应链上对原材料、组件和成品进行优化配送，以实现最佳生产效率和降低成本。
通过分析网络流，我们可以确定各个节点的产能和需求，从而优化生产计划和物流调度。
六、最短路径最短路径是图论中的一个重要问题，即在图中找到连接两个顶点的最短路径。
在运筹学中，最短路径经常被用于解决物流和通信等问题。
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
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其他
称矩阵A为网络G的权矩阵。
V5
7
6
4 5
V1
9
V4
2
4
V2
3
0 9 V3 权矩阵A＝ 2 4 7
8
9 2 4 7 0 3 4 0 3 0 8 5 4 8 0 6 0 5 6 0
对于图G=(V,E)，|V|=n，构造一个矩阵 A=(aij)n×n，其中：
第六章 图与网络分析
• 1735年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)发表图论方面的第一篇论文， 解决了著名的哥尼斯堡七桥问题 (Koenigsberg bridges problem)。 • 哥尼斯堡城，普雷格尔河，两岛， 七桥 • 能否一次走过全部七桥，不重复地 回到出发点？
Königsberg (Koenigsberg)
步骤
(7)所有T标号中，T(v5)最小，故令P(v5)=8。记录路径(v2,v5)
(9)所有T标号中，T(v4)最小，故令P(v4)=9。记录路径(v2,v4) (10)T(v6)=min[T(v6),P(v4)+l46]=min[13,9+9]=13 T(v7)=min[T(v7),P(v4)+l47]=min[14,9+7]=14 (11)所有T标号中，T(v6)最小，故令P(v6)=13。记录路径(v5,v6) (12)T(v7)=min[T(v7),P(v6)+l67]=min[14,13+5]=13 T(v8)=min[T(v8),P(v6)+l68]=min[+∞,13+4]=17 (13)所有T标号中，T(v7)最小，故令P(v7)=13。记录路径(v5,v7) (14)T(v8)=min[T(v8),P(v7)+l78]=min[17,14+1]=15 (15)因只有一个T标号T(v8),令P(v8)=15，记录路径(v7,v8)，完毕
v1 v2 v 3 v 4 v5 v6 v7 v8 0 2 5 -3 4 6 0 0 -3 0 7 2 0 4 0 0 0 0
v1 v2
v3 v4 v5 v6 v7
0
2 0
0
2 0
0 -2 0 4
2
5
2
0
2 2
0 0
-3 -3 -3 -3 -3 -3
6 6 3 3 6 3 6 9
11 6 6
14 9
例：已知九个人v1, v2,…v9,v1和 两人握过手，v2,v3,v4各和四个人 握过手，v8和六个人握过手，证 明这九个人中一定可以找出三个 人互相握过手。
图的矩阵表示： 网络(赋权图)G=(V,E)，其边(vi,vj)有权wij， 构造矩阵A=(aij)n×n，其中： aij=
wij
0
(vi,vj)∈E
1
v8 5 v7
2 4 5 3
1
3 v0 4 4 2
1
v4
2
v6
5
v5
避圈法：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总 从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选 取的边不构成圈。
v1 1 v8 5
4 2 4 5 3 1
v2 v0 2
1 3 4 4 2
v3 1 v4 5
v7
v6
v5
将图中的边按由小至大的顺序排列：
奇点
次为奇数的点, 如 v5
图G=(V,E)，若E’是E的子集，V’是V的子集，且E’中 的边仅与V’中的顶点相关联，则称G’=(V’,E’)是G的 一个子图。特别是，若V’=V，则G’称为G的生成子 图(支撑子图)。
v4 (G) v1 v4 (G’) v1
v3
v2
v3
v2
v1 e1
e4
v4 e3
Dijkstra算法步骤： (1)给vs以P标号，P(vs)=0,其余点均给T号, T(vi)=+∞ (2)若vi点为刚得到P标号的点，考虑这样的点 vj:(vi,vj)属于E，且vj为T标号。对vj的T标号 进行如下更改： T(vj)= min[T(vj), P(vj)+lij]
(3)比较所有具有T标号的点，把最小者改为P标 号，即： P(vi)= min[T(vi)]
(6)T(v4)=min[T(v4),P(v3)+l34]=min[9,6+4]=9 T(v5)=min[T(v5),P(v3)+l35]=min[8,6+7]=8
(8)T(v6)=min[T(v6),P(v5)+l56]=min[+∞,8+5]=13 T(v7)=min[T(v7),P(v5)+l57]=min[+∞,8+6]=14
• 破圈法：任取一个圈，从中去掉一条边，再 对余下的图重复直到不再含圈时为止。
• 在图中任取一条边，找到一条与之不构成 圈的边，再找一条前两边不构成圈的边 • 重复直到不再能进行为止
一个乡有九个村，其间道路及各道路长度如图，各边上 的数字表示距离，问如何铺设电线连结各村，用线最短？ v1 v2 v3 1 4
59 40 28 19
30 21
14 15
v1
12 v2
13
20
v3
v4
29 41
v5
22
15
v6
这样问题就变为求从v1到v6的最短路问题。 计算结果：序列{v1,v3,v6}为最短路，路长为49。
aij=
1
0
(vi,vj)∈E
其他
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
V4
V1 V2
V5
0 0 0 A 0 0 0
V6
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
V3
邻接矩阵
当G为无向图时，邻接矩阵为对称阵。
Dijkstra算法采用标号法。 可用两种标号：T标号和P标号，T标号为试探性标号， P标号为永久性标号。 给vi点一个P标号时，表示从vs到vi点的最短路权，vi 点的标号不再改变。 给vi点一个T标号时，表示从vs到vi点的估计最短路权 的上界，是一种临时标号。凡没有得到P标号的点都有 T标号。 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号，当终点 vt得到P标号时，全部计算结束。
v4 e3 v1 v4 e3 v1
端点及关联边 若边e=(u,v)∈E，则称u,v为e的 端点，也称u,v是相邻的，称e是 点u(及点v)的关联边。
e7 v4 e5 v3 e6
e3
e2 e4
v1
e1 v2
环 若图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。如e7 多重边 若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。 如 e1,e2
e5 e6
v5 链 e9 v7 初等链
v2
e2
v6
v3 e7
e8
点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。 在上图中{v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e5,v5,e6,v3,e7,v6 , e8,v7} 是一条链, 但不是初等链。 {v1,e1,v2,e2,v3,e7,v6,e8,v7} 是一条初等链。
a1
v2
v4
路
当链(圈)上的边方向相同时，称为路。
在上图中，1 , a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 }是从v1到v6的一条路。 {v
基本定理
定理1： 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
即
vV
d (v ) 2 E
定理2： 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
若全部点均为P标号则停止。否则
二、逐次逼近算法 该算法可用于图中带有负权的边时，求某指定点v1到 图中任意点的最短路。 例：求下图中v1点到各点的最短路。 v2 2 v1 5 -2 v3 4 -3 6 7 v6 v5 3 4 -1 v7 v8
-3
v4
4
2
j i
lij
P1 P2 P3 P4 P5 P6
哥尼斯堡，原为东 普鲁士 (Prussia) 首 府，现属俄罗斯(飞 地)，名为加里宁格 勒(Kaliningrad)
Story in Kö nigsberg
现德国拜仁 的哥尼斯堡
A
Pregel River
C
D
B
A
欧拉将七桥问题归结为如图所示 的一笔画问题，并证明这是不可 能的
C B
D
6.1、图与网络的基本概念
(v0,v2)=1,
(v0,v6)=2, (v0,v5)=4, (v4,v5)=5
(v2,v3)=1,
(v5,v6)=2, (v0,v8)=4,
(v3,v4)=1,
(v0,v3)=3, (v1,v2)=4,
(v1,v8)=1,
(v6,v7)=3, (v0,v7)=5,
(v0,v1)=2
(v0,v4)=4 (v7,v8)=5
v8
3
-1 0
15 10 10 10
例：某工厂使用一台设备，每年年初都要做出决定，如 果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要 付购买费。试制定一个五年计划，总支出最少。
该设备在各年年初的价格为： 项目 购买费 第1年 11 第2年 12 第3年 13 第4年 14 第5年 14
机器不同役龄的维修费与残值： 使用年数 维修费 残值 0-1 5 4 1-2 6 3 2-3 8 2 3-4 11 1 4-5 18 0
贾代善 贾赦 贾琏 贾政 贾珠 贾宝玉 贾环 贾兰
若图G的生成子图是一棵树，则称该树为G的生 成树(支撑树)。 连通图G=(V,E)，每条边上有非负权L(e)。一 棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成 树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树 (最小支撑树)。 求最小生成树的两种算法： (1)避圈法； (2)破圈法。
称矩阵A为网络G的权矩阵。
V5
7
6
4 5
V1
9
V4
2
4
V2
3
0 9 V3 权矩阵A＝ 2 4 7
8
9 2 4 7 0 3 4 0 3 0 8 5 4 8 0 6 0 5 6 0
对于图G=(V,E)，|V|=n，构造一个矩阵 A=(aij)n×n，其中：
第六章 图与网络分析
• 1735年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)发表图论方面的第一篇论文， 解决了著名的哥尼斯堡七桥问题 (Koenigsberg bridges problem)。 • 哥尼斯堡城，普雷格尔河，两岛， 七桥 • 能否一次走过全部七桥，不重复地 回到出发点？
Königsberg (Koenigsberg)
步骤
(7)所有T标号中，T(v5)最小，故令P(v5)=8。记录路径(v2,v5)
(9)所有T标号中，T(v4)最小，故令P(v4)=9。记录路径(v2,v4) (10)T(v6)=min[T(v6),P(v4)+l46]=min[13,9+9]=13 T(v7)=min[T(v7),P(v4)+l47]=min[14,9+7]=14 (11)所有T标号中，T(v6)最小，故令P(v6)=13。记录路径(v5,v6) (12)T(v7)=min[T(v7),P(v6)+l67]=min[14,13+5]=13 T(v8)=min[T(v8),P(v6)+l68]=min[+∞,13+4]=17 (13)所有T标号中，T(v7)最小，故令P(v7)=13。记录路径(v5,v7) (14)T(v8)=min[T(v8),P(v7)+l78]=min[17,14+1]=15 (15)因只有一个T标号T(v8),令P(v8)=15，记录路径(v7,v8)，完毕
v1 v2 v 3 v 4 v5 v6 v7 v8 0 2 5 -3 4 6 0 0 -3 0 7 2 0 4 0 0 0 0
v1 v2
v3 v4 v5 v6 v7
0
2 0
0
2 0
0 -2 0 4
2
5
2
0
2 2
0 0
-3 -3 -3 -3 -3 -3
6 6 3 3 6 3 6 9
11 6 6
14 9
例：已知九个人v1, v2,…v9,v1和 两人握过手，v2,v3,v4各和四个人 握过手，v8和六个人握过手，证 明这九个人中一定可以找出三个 人互相握过手。
图的矩阵表示： 网络(赋权图)G=(V,E)，其边(vi,vj)有权wij， 构造矩阵A=(aij)n×n，其中： aij=
wij
0
(vi,vj)∈E
1
v8 5 v7
2 4 5 3
1
3 v0 4 4 2
1
v4
2
v6
5
v5
避圈法：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总 从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选 取的边不构成圈。
v1 1 v8 5
4 2 4 5 3 1
v2 v0 2
1 3 4 4 2
v3 1 v4 5
v7
v6
v5
将图中的边按由小至大的顺序排列：
奇点
次为奇数的点, 如 v5
图G=(V,E)，若E’是E的子集，V’是V的子集，且E’中 的边仅与V’中的顶点相关联，则称G’=(V’,E’)是G的 一个子图。特别是，若V’=V，则G’称为G的生成子 图(支撑子图)。
v4 (G) v1 v4 (G’) v1
v3
v2
v3
v2
v1 e1
e4
v4 e3
Dijkstra算法步骤： (1)给vs以P标号，P(vs)=0,其余点均给T号, T(vi)=+∞ (2)若vi点为刚得到P标号的点，考虑这样的点 vj:(vi,vj)属于E，且vj为T标号。对vj的T标号 进行如下更改： T(vj)= min[T(vj), P(vj)+lij]
(3)比较所有具有T标号的点，把最小者改为P标 号，即： P(vi)= min[T(vi)]
(6)T(v4)=min[T(v4),P(v3)+l34]=min[9,6+4]=9 T(v5)=min[T(v5),P(v3)+l35]=min[8,6+7]=8
(8)T(v6)=min[T(v6),P(v5)+l56]=min[+∞,8+5]=13 T(v7)=min[T(v7),P(v5)+l57]=min[+∞,8+6]=14
• 破圈法：任取一个圈，从中去掉一条边，再 对余下的图重复直到不再含圈时为止。
• 在图中任取一条边，找到一条与之不构成 圈的边，再找一条前两边不构成圈的边 • 重复直到不再能进行为止
一个乡有九个村，其间道路及各道路长度如图，各边上 的数字表示距离，问如何铺设电线连结各村，用线最短？ v1 v2 v3 1 4
59 40 28 19
30 21
14 15
v1
12 v2
13
20
v3
v4
29 41
v5
22
15
v6
这样问题就变为求从v1到v6的最短路问题。 计算结果：序列{v1,v3,v6}为最短路，路长为49。
aij=
1
0
(vi,vj)∈E
其他
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
V4
V1 V2
V5
0 0 0 A 0 0 0
V6
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
V3
邻接矩阵
当G为无向图时，邻接矩阵为对称阵。
Dijkstra算法采用标号法。 可用两种标号：T标号和P标号，T标号为试探性标号， P标号为永久性标号。 给vi点一个P标号时，表示从vs到vi点的最短路权，vi 点的标号不再改变。 给vi点一个T标号时，表示从vs到vi点的估计最短路权 的上界，是一种临时标号。凡没有得到P标号的点都有 T标号。 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号，当终点 vt得到P标号时，全部计算结束。
v4 e3 v1 v4 e3 v1
端点及关联边 若边e=(u,v)∈E，则称u,v为e的 端点，也称u,v是相邻的，称e是 点u(及点v)的关联边。
e7 v4 e5 v3 e6
e3
e2 e4
v1
e1 v2
环 若图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。如e7 多重边 若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。 如 e1,e2
e5 e6
v5 链 e9 v7 初等链
v2
e2
v6
v3 e7
e8
点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。 在上图中{v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e5,v5,e6,v3,e7,v6 , e8,v7} 是一条链, 但不是初等链。 {v1,e1,v2,e2,v3,e7,v6,e8,v7} 是一条初等链。
a1
v2
v4
路
当链(圈)上的边方向相同时，称为路。
在上图中，1 , a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 }是从v1到v6的一条路。 {v
基本定理
定理1： 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
即
vV
d (v ) 2 E
定理2： 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
若全部点均为P标号则停止。否则
二、逐次逼近算法 该算法可用于图中带有负权的边时，求某指定点v1到 图中任意点的最短路。 例：求下图中v1点到各点的最短路。 v2 2 v1 5 -2 v3 4 -3 6 7 v6 v5 3 4 -1 v7 v8
-3
v4
4
2
j i
lij
P1 P2 P3 P4 P5 P6
哥尼斯堡，原为东 普鲁士 (Prussia) 首 府，现属俄罗斯(飞 地)，名为加里宁格 勒(Kaliningrad)
Story in Kö nigsberg
现德国拜仁 的哥尼斯堡
A
Pregel River
C
D
B
A
欧拉将七桥问题归结为如图所示 的一笔画问题，并证明这是不可 能的
C B
D
6.1、图与网络的基本概念
(v0,v2)=1,
(v0,v6)=2, (v0,v5)=4, (v4,v5)=5
(v2,v3)=1,
(v5,v6)=2, (v0,v8)=4,
(v3,v4)=1,
(v0,v3)=3, (v1,v2)=4,
(v1,v8)=1,
(v6,v7)=3, (v0,v7)=5,
(v0,v1)=2
(v0,v4)=4 (v7,v8)=5
v8
3
-1 0
15 10 10 10
例：某工厂使用一台设备，每年年初都要做出决定，如 果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要 付购买费。试制定一个五年计划，总支出最少。
该设备在各年年初的价格为： 项目 购买费 第1年 11 第2年 12 第3年 13 第4年 14 第5年 14
机器不同役龄的维修费与残值： 使用年数 维修费 残值 0-1 5 4 1-2 6 3 2-3 8 2 3-4 11 1 4-5 18 0
贾代善 贾赦 贾琏 贾政 贾珠 贾宝玉 贾环 贾兰
若图G的生成子图是一棵树，则称该树为G的生 成树(支撑树)。 连通图G=(V,E)，每条边上有非负权L(e)。一 棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成 树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树 (最小支撑树)。 求最小生成树的两种算法： (1)避圈法； (2)破圈法。