运筹学第六章
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运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
《运筹学》第六章网络计划方法
关键路径分析
什么是关键路径?
是需要在规定时限内完成的，不 能被延误的最长任务序列。
为什么重要?
因为这条路径上的任何延误都会 导致整个项目的延误。
如何确定?
通过计算出每个任务的最早开始 时间和最晚结束时间，从而找出 关键路径。
项目进度管理
1
制订进度计划
确定任务的完成时间，为项目进度的管
进度监控
2
理提供基础。
风险管理的好处?
有助于降低项目失败风险，增强 规划的稳健性，避免额外成本损 失和延迟。
关键路径法和PERT/CPM方法的比较
相似点
都是用来解决项目延误问题、进行进度计划、任务分析等。
不同点-PERT/CPM
适合单一的大规模计划，对时间的估计更加准确，适合波动较大的工作。
不同点-关键路径法
更适合复杂的工作计划，可以快速有效地过滤重要的任务，以使项目进度良好地推进。
运筹学网络计划方法
运筹学网络计划是一个强大的项目管理工具，能够帮助团队更好地理解项目， 并更好地规划工作。
定义
1 网络计划
是指通过图形化的方式，展现了项目中各项 任务的工作量、执行时间以及任务间的依赖 关系。
2 网络计划方法
是利用网络图形的结构，为项目管理提供项 目的计划、实施、控制和组织，以确保项目 的顺利开展。
网络计划在实际项目中的应用
1
建筑
对建筑贸易来说，它是一种标准的工具，用于确定工作任务，减少延误、提早完 成。
2
IT 项目
在软件和硬件开发过程中，它被广泛使用，以便跟踪任务、减少重叠和缺陷，并 计划偏差管理方法。
3
制造业
网络计划可帮助管理、确定生产期、调度工作、支持制造商的计划和进度控制。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
运筹学第六章
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
圈：起点和终点重合的链
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具弱的连通图
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
《运筹学》第六章排队论习题及答案
《运筹学》第六章排队论习题及答案《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念；（5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来⾃两个⽅⾯，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，⼜将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流；（5）在排队系统中，⼀般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对⼤量实际系统的统计研究，这样的假定⽐较合理；（6）⼀个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运⾏⾜够长的时间后，系统将进⼊稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长⽆限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的⽅差⼤⼩有关，当服务时间分布的⽅差越⼤时，顾客的平均等待时间就越长；（10）在机器发⽣故障的概率及⼯⼈修复⼀台机器的时间分布不变的条件下，由1名⼯⼈看管5台机器，或由3名⼯⼈联合看管15台机器时，机器因故障等待⼯⼈维修的平均时间不变。
3．某店有⼀个修理⼯⼈，顾客到达过程为Poisson 流，平均每⼩时3⼈，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求：（1）店内空闲的时间；（2）有4个顾客的概率；（3）⾄少有⼀个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）等待服务的顾客数；（6）平均等待修理的时间；（7）⼀个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
运筹学(首都经济贸易大学)第六章 运输问题
（a）
（b） （c）
（d）
（e）
有关闭回路的一些重要结果
定理6-1 设 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , , xis js xis j1是一个闭
回路，则该闭回路中的变量所对应的系数列
向量 Pi1 j1 , Pi1 j2 , Pi2 j2 , Pi2 j3 , , P P is js is j1 具有下面的
3. m+n-1个变量构成基变量的充要条件 是它们不构成闭回路。
定义6.1 凡是能排成
x , x , x , x , , x x i1 j1 i1 j2 i2 j2 i2 j3
is js is j1
(6-2)
或
x , x , x , x , , x x i1 j1 i2 j1 i2 j2 i3 j2
其对应的列向量
p , i1 j1 p , i1 j2 p , i2 j2 pi2 j3 , , p , is js pis j1
线性相关
pi1 j1 pi1 j2 pi2 j2 pi2 j3 , pis js pis j1
ei1 em j1 ei1 em j2 ei2 em j2 ei2 em j3 eis em js eis em j1
A
1
1
1 1
1 1 1 am
1
b1
1
b2
1
1
1 bn
证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是 零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此
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1
4
1-3
5
1-4-7
1-4-5-8 575 150
10
175
最短路线为650
175
200 350
425
8
225
27
3
7
图论
【例1】用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
1-2 v2 3 v1-2-4 4 5 4 1 2 2 2 v3 1-2-3 4 4 v5 1-2-5 5 v6 1-2-5-6 7
例如
性质1：任何树至少有一个悬挂节点 性质2：具有n个顶点的树的边恰好为(n-1)条 性质3：任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通图是树图。 树图的任意两个点之间有一条且仅有一条唯一的通路，是最脆弱 的连通图
14
图论
v4 v1
【例】树的形成
v5
v2 已知在五个城市间架设电话线，要求任何两个城市都 v3 可以通话（允许通过其它城市），并且电话线的条数最少。 方案一 v4 方案二 v4 方案三 v4 v5
v4
此为最小树杈，最小线路长度为15
24
练习：求最小树杈
5 2 2 3 3 3 2 2 3 3 4 2 2
1 2
5
25
图论
§6.3
最短线路问题
一、起点到终点的最短距离
当通过网络的各边所需时间、距离或费用为已知时，找出从入 口到出口所需的最少时间、最短距离或最少费用的路径问题，称做 网络的路线问题。 （一）狄克斯彻(Dijkstra)算法（适用于wij≥0） （二）逐次逼近算法思想（适用于有wij≤0）
5
7
8
4
12 4-6-5-7
7 6-5-7
32
答案：1-2-3-5-7或1-2-3-6-5-7路长16
图论
【例3】求5年内，哪些年初购置新设备，使5年内的总 费用最小。
第i年度 购置费 设备役龄 维修费用 1 11 0-1 5 2 11 1-2 6 3 12 2-3 8 4 12 3-4 11 5 13 4-5 18
6
5-8-10 400
200
9
400 250 8-10 150
100
1
4
275
175
5
7-8-10
10
150
3-5-8-10
600 200
最短路线为650
375
8
225
3
350
7
29
图论
【例2】
2-5-7 2-4-6-7
10
5-7
3 7
2 1-3-6-7
12 5 2
5
6 3
4-6-7
8 4
2
1 3-6-7
100 600
500
200 5
600
400
1100 1100 2 900 7
此为最小树杈，最小线路长度为2400
20
图论
避圈法(普赖姆法)
4
300 1000 100 600 200 700
6
1.供水管 道的阀门
3
500
600
5
400 1100
7
2
900
此为最小树杈，最小线路长度为2400
21
图论
2
3
1 v1 0 5
28
图论
2、从后向前推：给出了从vs到任意一个点vj的最短路。 求起点到终点的最短路线问题，可采用从终点开始逐步逆向推
算
2-6-9-10 600 300 275 200 6-9-10 300 9-10 100
2
1-4-6-9-10 650 100 150 175 4-6-9-10 500
e3
v3 e4 v4 v8 链：是一个点、边交错序列, 如（v1 ,e1 ,v2 ,e2 ,v4 ) 路：如果链中每个项点都不相同, 则称为路，如（v1 ,e1 ,v2 ,e2 ,v4 )
圈：若起始点和终点是同一个点的链称为圈。例如(v1 ,e1 ,v2 ,
e2 ,v4 ,e3 ,v3 ,e4 ,v1 ) 。
22
v1 16 v2 16 v3
30
17
41
v4
23 17 31
v5 18 v6
22
30 41
23
W23 =11+5=16
W24 =11+5+6=22
W25 =11+5+6+8=30 W26 =11+5+6+8+11=41 35
8 2
v3
v3
破圈法
避圈法
16
图论
破圈法(克鲁斯喀尔法)
破圈法：任选一个圈，从圈中去掉杈最大的一条边。在余下的 图中重复这个步骤，直到得到一连通的不含圈的图为止。 例：已知连接五个城市的公交线路图，在要在五个城市间架设 电话线，为了便于维修要求电话线必须沿公路架设，并且电话 线总长度最小。 v 1
v1
v2 v3
v5 v1
v5
v2 v3
v1
v2 树
v3
不连通
有圈
问题：如何构建才能是最短路径的树—最小枝权树问题
15
图论
二、求最小树杈问题
最小树杈问题是关于在一个网络中，从一个起点出发 到所有点，找出一条或几条路线，以使在这样一些路线中 所采用的全部支线的总长度是最小的，或铺设费用最少。 求图的最小树杈问题的方法有“破圈法”和“避圈 法”。 v2 e6 v2 e1 e6 e4 e1 v4 e v1 e4 e3 7 v 1 v5 v4 e5 v5 e2 e e
环：如果边的两个端点相重，称该边为环，如e10；如果两个端点之 间的边多于一条, 称为具有多重边，如[v2, v4] ,无环，无多重边的图为 简单图。
6
图论
v1
e4 v3
e1
v5 e5 e3 e6
v2
e8 e9 e2
v1
v 6 e 1 e5
e2 v5 e7 e6
v2
e9
v7
e10 v6 e8
e7
v4 e10
30
v4
v3 此为最小树杈，最小线路长度为54
18
图论
【又例】
在住宅小区安装供水管道。求最小线路。
700
4 300 1.供水 管道的 阀门 100 600
6
1000 3
500 400 1100 2 900
19
200
5
600
7
图论
破圈法(克鲁斯喀尔法)
300
4 1000 3
700
6
1.供水管 道的阀门
得到第一次就座方案是（1，2，3，4，5，6，7，1），继 续寻求第二次就座方案时就不允许这些顶点之间继续相邻， 因此需要从图中删去这些边。 1 7 2 方案二：
1-3-5-7-2-4-6 3
6
5
4
11
图论
得出第二次就座方案是（1，3，5，7，2，4，6，1），那 么第三次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从 图中删去这些边。 1 7 2 方案三：
解：（1）分析：可行的购置方案（更新计划）是很多的， 如：1） 每年购置一台新的，则对应的费用为： 11+11+12+12+13 +5+5+5+5+5 = 84 2）第一年购置新的，一直用到第五年年底，则总费用为： 11+5+6+8+11+18 = 59 显然不同的方案对应不同的费用。 33
图论 （2）方法：将该问题化为最短路问题，用点vi表示第i年初购买 一台新设备，并虚设点v6表示第五年年底。然后求这个赋权有 向图的最短路。 求解步骤： 1）画赋权有向图： 设 Vi 表示第i年初，（Vi ,Vj ）表示第i年初购买新设备用到 第j年初（j-1年底），而Wij 表示相应费用，则5年的一个更新计 划相当于从V1 到V6的一条路。 2）求解 （标号法）
10 25 9 15 20 30
v5
12
此为最小树杈 最小线路长度为：
v2
20+15+10+9=54
v4
17
v3
图论
避圈法(普赖姆法)
避圈法：从任意一个节点开始，选一条杈较小的边连接，以后 每一步中，总从未被选取的边中选一条杈尽可能小，且与已选
边不构成圈的边。
v1
10 25
v2
20
9
15
v5
12
2 1 2 1 C 1 E 1 3
A
2
B
D 1 F
B D
C F
E D
A
4
图论
§6.1 图的基本概念与模型
图是反映研究对象之间相互关系的一种工具。是在纸上 用点和线画出的各种各样的示意图。
张家口
承德 戊 丁
密云
怀柔 北京 通县 原平 灵丘 保定 太原 石家庄 塘沽 乙 甲
秦皇岛
丙
天津
图的最基本的要素是点以及点与点之间的一些连线，点表示我们要 研究的对象，线表示对象之间的某种特定关系。 如图中点和线赋与具体的含义和权重，称为网络图。
1-4-7-3-6-2-5 3
6
5
4
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图论
得到第三次就座方案是（1，4，7，3，6，2，5，1），那 么第四次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从 图中删去这些边，只留下7点孤立点，所以该问题只有三个 1 就座方案。 7 2
6
3
5
4
13
图论
§6.2 树图和图的最小部分树
一、树的性质
树：一个无圈的连通图称为树。