运筹学第六章
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运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
《运筹学》第六章网络计划方法
关键路径分析
什么是关键路径?
是需要在规定时限内完成的，不 能被延误的最长任务序列。
为什么重要?
因为这条路径上的任何延误都会 导致整个项目的延误。
如何确定?
通过计算出每个任务的最早开始 时间和最晚结束时间，从而找出 关键路径。
项目进度管理
1
制订进度计划
确定任务的完成时间，为项目进度的管
进度监控
2
理提供基础。
风险管理的好处?
有助于降低项目失败风险，增强 规划的稳健性，避免额外成本损 失和延迟。
关键路径法和PERT/CPM方法的比较
相似点
都是用来解决项目延误问题、进行进度计划、任务分析等。
不同点-PERT/CPM
适合单一的大规模计划，对时间的估计更加准确，适合波动较大的工作。
不同点-关键路径法
更适合复杂的工作计划，可以快速有效地过滤重要的任务，以使项目进度良好地推进。
运筹学网络计划方法
运筹学网络计划是一个强大的项目管理工具，能够帮助团队更好地理解项目， 并更好地规划工作。
定义
1 网络计划
是指通过图形化的方式，展现了项目中各项 任务的工作量、执行时间以及任务间的依赖 关系。
2 网络计划方法
是利用网络图形的结构，为项目管理提供项 目的计划、实施、控制和组织，以确保项目 的顺利开展。
网络计划在实际项目中的应用
1
建筑
对建筑贸易来说，它是一种标准的工具，用于确定工作任务，减少延误、提早完 成。
2
IT 项目
在软件和硬件开发过程中，它被广泛使用，以便跟踪任务、减少重叠和缺陷，并 计划偏差管理方法。
3
制造业
网络计划可帮助管理、确定生产期、调度工作、支持制造商的计划和进度控制。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
运筹学第六章
1
4
1-3
5
1-4-7
1-4-5-8 575 150
10
175
最短路线为650
175
200 350
425
8
225
27
3
7
图论
【例1】用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
1-2 v2 3 v1-2-4 4 5 4 1 2 2 2 v3 1-2-3 4 4 v5 1-2-5 5 v6 1-2-5-6 7
例如
性质1：任何树至少有一个悬挂节点 性质2：具有n个顶点的树的边恰好为(n-1)条 性质3：任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通图是树图。 树图的任意两个点之间有一条且仅有一条唯一的通路，是最脆弱 的连通图
14
图论
v4 v1
【例】树的形成
v5
v2 已知在五个城市间架设电话线，要求任何两个城市都 v3 可以通话（允许通过其它城市），并且电话线的条数最少。 方案一 v4 方案二 v4 方案三 v4 v5
v4
此为最小树杈，最小线路长度为15
24
练习：求最小树杈
5 2 2 3 3 3 2 2 3 3 4 2 2
1 2
5
25
图论
§6.3
最短线路问题
一、起点到终点的最短距离
当通过网络的各边所需时间、距离或费用为已知时，找出从入 口到出口所需的最少时间、最短距离或最少费用的路径问题，称做 网络的路线问题。 （一）狄克斯彻(Dijkstra)算法（适用于wij≥0） （二）逐次逼近算法思想（适用于有wij≤0）
5
7
8
4
12 4-6-5-7
7 6-5-7
32
答案：1-2-3-5-7或1-2-3-6-5-7路长16
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章
OR3 9
2、图的支撑树 支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图， 如果T是一个树，则称T为G的支撑树。 定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连 通的。 求支撑树的方法： 破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。 避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
OR3
18
为了求得公式的解可以运用以下公式： 令： (1)
d (v , v ) w
s j (t ) s j
sj
( j 1,2,..., p )
( t 1)
对t 2,..., k ,
d (v , v ) min d
i （k ) ( k 1) s j
(v s , vi ) wij
w( P0 ) min w( P)
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 13
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs ,..., vi ,..., v j vs ,..., vi
v s 到vi的最短路
适用范围：有向图，且图中有wij﹤0。 假设前提：任意两点vi, vj之间都有一条弧。 （若无，则添加一条虚拟的弧，且其权值为 ＋∞。） v 到v 的最短路 公式来源分析：
s j
vs ,..., vi ,..., v j vs ,..., vi vi ,..., v j
北京
天津
济南
青岛
郑州
徐州
连云港
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
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圈：起点和终点重合的链
Hale Waihona Puke 连通图：图的每一对顶点之间至少存在一条链
完全图：任两点之间均有边相连的简单图
Cn2 =n(n-1)/2
n个端点的完全图，多少条边？
子图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若V1 V2 ，
E1 E2 ，称G1为G2的子图
部分图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若
分树中
2-3避圈法和破圈法
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
1 E
§3最短路问题
3-1Dijkstra算法
基本思路：
V5
V4
V1
V2
V3
步骤：
1. 从s点出发，标号0
2. 找到与s点相邻的所有点中距离最小的一个，设为 r，标号为Lsr=dsr的值 3. 从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未 标号点p，若有Lsp=min{dsp ，Lsr+drp}，对p标号
V1=V2 ，E1 E2 ，称G1为G2的部分图
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通
V7 （乙地） 17 v2 15
（甲地）
6 3
5
v4
4 2 v5
6
V1
10
v3
4
v6
(22)
V7 （乙地）
v2
15
（甲地）
(13)
6 3 v4
17 5 6
V1
(18)
4
(0)
2
v5
10
4
v6
(16)
v3
(10)
(14)
P171
6.7(b)
V2 (9) 1 2 5 8 V3 (8) V5(10) 3 4 10 V6 (14) Vt (13)
4. 重复3，直到t点得到标号
V2 (5)
7 2 7
V5 (7) 3 1 6 V6 (6) V7 (10)
(0) 5 V1
2 V3 (2)
V4 6
(7) 4 2
例 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆
线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给出了 甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长 度（单位：公里）。
图是树
性质4树是最脆弱的连通图
2-2图的最小部分树 部分树：如果G1是G2的部分图，又是树 树枝：图的各边（权重） 最小部分树：树枝总长最小的部分树
定理1 图中任一点i，若j是与i相邻点中距
离最近的，则边(i,j)必含在该图的最小部
分树中
推论 把图的所有点分成V和W两个集合，则 两个集合之间连线的最短边必包含在最小部
e1 =(v1,v1)
环:两个端点重合的边
多重边：两点之间多于一条边
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
第六章 图与网络
图的基本概念 树和图的最小部分树 最短路问题 网络最大流
§1图的基本概念 定义 图G={V,E} 其中V是点的集合，E是边的集合
区别： • 几何图形 • 图G
e1 v1 e2 v2 e6 v4 v6 e4 e5 e7 e3 v3 e8 v5
e2=(v1,v2)或e2=(v2, v1)
Hale Waihona Puke 连通图：图的每一对顶点之间至少存在一条链
完全图：任两点之间均有边相连的简单图
Cn2 =n(n-1)/2
n个端点的完全图，多少条边？
子图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若V1 V2 ，
E1 E2 ，称G1为G2的子图
部分图：图G1={V1,E1}，G2={V2,E2}，若
分树中
2-3避圈法和破圈法
A 2
5 C B 1 3 4
2 S 4
7 5 D 5 7 T
1 E
2 S 4
A 2
5 C B 1 3 4
7 5 D 5 7 T
1 E
§3最短路问题
3-1Dijkstra算法
基本思路：
V5
V4
V1
V2
V3
步骤：
1. 从s点出发，标号0
2. 找到与s点相邻的所有点中距离最小的一个，设为 r，标号为Lsr=dsr的值 3. 从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未 标号点p，若有Lsp=min{dsp ，Lsr+drp}，对p标号
V1=V2 ，E1 E2 ，称G1为G2的部分图
部分图
子图
§2树和图的最小部分树 2-1树的概念与性质 例
山东建筑大学 管理学院 土木学院
土管 工业工程 …
…
教务处
…
定义 连通且无圈的图称为树
性质1 任何树中必存在次为1的点
性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为(n-1)
性质3 任何具有n个顶点、(n-1)条边的连通
V7 （乙地） 17 v2 15
（甲地）
6 3
5
v4
4 2 v5
6
V1
10
v3
4
v6
(22)
V7 （乙地）
v2
15
（甲地）
(13)
6 3 v4
17 5 6
V1
(18)
4
(0)
2
v5
10
4
v6
(16)
v3
(10)
(14)
P171
6.7(b)
V2 (9) 1 2 5 8 V3 (8) V5(10) 3 4 10 V6 (14) Vt (13)
4. 重复3，直到t点得到标号
V2 (5)
7 2 7
V5 (7) 3 1 6 V6 (6) V7 (10)
(0) 5 V1
2 V3 (2)
V4 6
(7) 4 2
例 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆
线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给出了 甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长 度（单位：公里）。
图是树
性质4树是最脆弱的连通图
2-2图的最小部分树 部分树：如果G1是G2的部分图，又是树 树枝：图的各边（权重） 最小部分树：树枝总长最小的部分树
定理1 图中任一点i，若j是与i相邻点中距
离最近的，则边(i,j)必含在该图的最小部
分树中
推论 把图的所有点分成V和W两个集合，则 两个集合之间连线的最短边必包含在最小部
e1 =(v1,v1)
环:两个端点重合的边
多重边：两点之间多于一条边
简单图：无环无多重边的图
链：点边序列u=(v1, e1 , v2, e2 , …, en-1,vn),其
中e1, e2 , …, en互不相同，ei =(vi,vi+1）
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2)
u=(v4, e7 , v3, e4 , v2, e6,v4)
(0) 9 V1
8
V4 7
(11) 3 7
§4网络的最大流
4-1网络最大流的有关概念
1、有向图和容量网络 有向图：D(V,A)
A是弧的集合aij=(vi，vj)
容量网络:网络上的每条弧都给出一个最大通行
能力，称为该弧的容量，记为cij=c(vi，vj)
容量网络中的点：
• 发点s
• 收点t
• 中间点
2、流和可行流
流：网络各条弧上的负载量，记为fij=f(vi，vj)
可行流：
• 容量限制0≤fij ≤cij • 中间点平衡∑fai = ∑fja
一定存在可行流 吗？
v(f)=∑fsj = ∑fjt
网络最大流
第六章 图与网络
图的基本概念 树和图的最小部分树 最短路问题 网络最大流
§1图的基本概念 定义 图G={V,E} 其中V是点的集合，E是边的集合
区别： • 几何图形 • 图G
e1 v1 e2 v2 e6 v4 v6 e4 e5 e7 e3 v3 e8 v5
e2=(v1,v2)或e2=(v2, v1)