第四章公钥密码学技术
2084公钥密码基础
设(x)是小于x的素数的个数,则
(x)
x ,且当x lnx
,(xx)
1
lnx
在各种应用中，我们需要大的素数,如100位的素数
素数是构成整数的因子，每一个整数都是由一个或几个素数 的不同次幂相乘得来的。
6
3.最大公约数
a和b的最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整 数，记为gcd(a,b)。 – 如：gcd(20,24)=4 , gcd (15,16)=1
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离散对数（指标）
某素数p，有本原根a，且： X1=a1mod p，X2=a2mod p ，…，Xp-1=ap-1mod p， 则：x1≠x2≠…≠ xp-1 令：S={x1,x2,…, xp-1}，T={1,2,…,p-1} 则：S=T 对于任意整数b，有b≡r (mod p) (0≤r≤p-1) 所以，对于b和素数p的本原根a，有唯一的幂i，使得：
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5.除法
设整数a，b，c，n(n ≠0)，且gcd(a,n)=1。 如果ab≡ac (mod n)，那么b≡c (mod n)
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4.2.2 欧几里德算法(Euclid)
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最 大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理： gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
推论：给定两个素数p, q,两个整数 n,m，使得n=pq, 0<m<n ；则对于任意整数k ，下列关系成立： m kф(n)+1 ≡ m (mod n)
例如：p=2，q=3，n=6，m=4 ，ф(6)=2
(42×2+1 ＝ 45＝1024 )≡4 (mod 6)，k=2 18
4.2.6 离散对数
公钥密码技术理论及应用介绍
公钥密码技术理论及应用介绍公钥密码技术是现代密码学中的重要分支，它采用了一种非对称加密的方式，使得加密和解密的操作可以使用不同的密钥进行。
这种技术的应用非常广泛，涉及到网络通信、数字签名、身份认证等领域。
本文将对公钥密码技术的理论基础以及其在实际应用中的具体场景进行介绍。
公钥密码技术的理论基础主要建立在数论和复杂性理论的基础之上。
其中最为重要的基础是大数分解问题和离散对数问题。
大数分解问题是指将一个大的合数分解为其素数因子的问题，而离散对数问题则是指在一个有限域中找到一个数的离散对数的问题。
这两个问题的困难性是公钥密码技术的基础，因为只有在这些问题难以解决的情况下，公钥密码技术才能够保证其安全性。
在公钥密码技术中，每个用户都有一对密钥，分别是公钥和私钥。
公钥可以公开给其他用户使用，而私钥则只有用户自己知道。
当用户想要向其他用户发送加密的消息时，他可以使用接收者的公钥对消息进行加密，而只有接收者拥有对应的私钥才能够解密消息。
这种非对称加密的方式使得通信双方可以在不共享密钥的情况下进行安全的通信。
除了加密和解密的功能之外，公钥密码技术还可以用于数字签名和身份认证。
数字签名是指用户可以使用自己的私钥对消息进行签名，而其他用户可以使用发送者的公钥来验证签名的有效性。
这样可以确保消息的完整性和真实性。
而在身份认证中，用户可以向其他用户证明自己的身份，只需要使用自己的私钥对一些特定的信息进行签名，而其他用户可以使用发送者的公钥来验证签名的有效性，从而确认发送者的身份。
公钥密码技术在实际应用中有着广泛的应用。
在网络通信中，公钥密码技术可以用于保护数据的机密性和完整性。
用户可以使用对方的公钥对通信内容进行加密，从而确保只有对方能够解密消息。
在电子商务中，公钥密码技术可以用于保护交易的安全性，防止信息被窃取或篡改。
在数字签名中，公钥密码技术可以用于保证文件的完整性和真实性，防止文件被篡改。
在身份认证中，公钥密码技术可以用于验证用户的身份，防止冒充他人进行非法操作。
公钥密码技术及其应用
公钥密码技术及其应用
公钥密码技术是一种加密和解密的方法，使用一对密钥：一个公钥用于加密，另一个私钥用于解密。
其优点在于公钥可以公开分发，使得密钥分发的难题得到解决。
公钥密码技术有两个主要的用途：加密和数字签名。
当用于加密时，信息发送者用公钥对明文信息进行加密，信息接受者用私钥解密。
公钥密码技术能够满足保密性的需求。
另一方面，数字签名可以用于验证数字信息或文档的真实性。
数字签名可以用来满足完整性、身份验证以及不可抵赖性的需求，例如，可以用来验证数字信息或文档是否被篡改过，或者确认其来源是否可靠。
此外，公钥密码体制还可以用于密钥交换。
通信双方可以交换会话密钥，这有几种不同的方法，这些方法都使用通信一方或双方的私钥。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅公钥密码技术相关论文或咨询密码学专家。
公钥加密技术名词解释
公钥加密技术名词解释
公钥加密技术，也称为非对称密钥加密，是一种使用一对唯一性密钥进行加密和解密的方法。
这两把密钥分别是公钥和私钥，它们在数学上相关联，使得使用公钥加密的信息只能用私钥解密，反之亦然。
这种技术的特点是加密和解密使用的是两个不同的密钥，因此被称为非对称加密算法。
在公钥加密体制中，公钥是公开的，任何人都可以使用公钥对信息进行加密处理后发送给另一个人。
接收者使用自己的私钥进行解密。
这样，任何人都能够发送加密信息，但只有拥有相应私钥的人才能解密和阅读信息。
公钥加密技术在保障信息安全方面起着重要的作用，例如在Internet上交换敏感数据报文时，发送者使用接收者的公钥对数据进行加密，只有接收者使用自己的私钥才能解密。
此外，公钥加密技术还解决了密钥的发布和管理问题，是商业密码的核心。
常见的公钥加密算法有RSA算法（由Rivest、Shamir和Adleman姓氏首字母缩写而来）、ElGamal和背包算法等。
第四章公钥密码体制
RSA公钥密码算法（续）
如果A要发送信息M给B，A和B之间用以 下方式进行通信： 计算密文 C = EK p (M ) →发送C给B→从A 接收C→计算明文 M = DKs (C) . 一般要求p，q为安全质数，现在商用的 安全要求为n的长度不少于1024位 。
B
B
RSA公钥密码算法（续）
算法的安全性分析 1. 如果密码分析者能分解 n 的因子 p 和 q ，他就可以 求出φ (n ) 和解密的密钥 d ，从而能破译RSA，因此破 译RSA不可能比因子分解难题更困难。 2. 如果密码分析者能够不对 n 进行因子分解而求得，则 可以根据 de ≡ 1 mod φ (n ) 求得解密密钥 d ，从而破译RSA。因为 2 p + q = n − φ (n ) + 1 p − q = ( p + q) − 4n 所以知道φ (n ) 和 n 就可以容易地求得 p 和 q ，从而成 功分解 n ，因此，不对 n 进行因子分解而直接计算 φ (n ) 并不比对 n 进行因子分解更容易。
椭圆曲线算法
1985年Koblitz和Miller提出在密码学中应用椭 圆曲线的思想，使其成为构造公开密钥密码系 统的一个有利工具。其安全性是基于椭圆曲线 上的离散对数计算的困难性。 优点：椭圆曲线上离散对数的计算要比有限域 上离散对数的计算更困难。与RSA相比，椭圆 曲线密码体制能用较短的密钥达到较强的安全 性，这样实现上能节省系统资源。
RSA公钥密码算法
RSA是Rivet，Shamir和Adleman于1978年在美 国麻省理工学院研制出来的，它是一种比较典 型的公开密钥加密算法。 基础 大数分解和素性检测——将两个大素数相乘在 计算上很容易实现，但将该乘积分解为两个大 素数因子的计算量是相当巨大的，以至于在实 际计算中是不能实现的。
密码学中的公钥密码算法及其应用
密码学中的公钥密码算法及其应用密码学是一门研究通信安全和信息保密的科学，而公钥密码学算法则是其中最为重要的一种算法。
公钥密码学算法是指在加密和解密过程中，使用不同的密钥来实现。
本文将介绍公钥密码学算法的基本概念和应用。
一、公钥密码学算法概述公钥密码学算法也称为非对称密码学算法，它是一种使用两个密钥来进行加密和解密的算法。
这两个密钥是一对，一个称为公钥，一个称为私钥。
其中，公钥是公开的，任何人都可以知道，私钥则是秘密的，只有拥有者才会知道。
公钥密码学算法的加密过程是这样的：发送方使用接收方的公钥对数据进行加密，接收方使用自己的私钥对加密数据进行解密。
这样，就可以保证通信内容的安全性和保密性。
二、公钥密码学算法的分类公钥密码学算法分为两种类型：基于离散对数问题的算法和基于椭圆曲线问题的算法。
1、基于离散对数问题的算法基于离散对数问题的算法包括RSA和DH两种算法。
RSA算法是由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman于1977年发明的。
它主要是利用了大数分解的难度来保证信息的安全性，而公钥就是由两个大素数的乘积得出的。
DH算法是Diffie和Hellman在1976年提出来的，它主要是利用数论中离散对数问题的难度来保证信息的安全性，而公钥则是通过一定计算得出的。
2、基于椭圆曲线问题的算法基于椭圆曲线问题的算法包括ECIES和ECDSA两种算法。
ECIES算法是可扩展加密标准中的一种，它主要是利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和解密，公钥就是椭圆曲线上的一个点。
ECDSA算法是可扩展数字签名算法中的一种，它主要是利用椭圆曲线上的点运算来实现数字签名的生成和验证。
三、公钥密码学算法的应用公钥密码学算法在信息安全领域有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1、TLS/SSL协议TLS/SSL协议是一种用于保护互联网通信安全的协议。
在TLS/SSL协议中，使用公钥密码学算法来实现通信内容加密和身份认证的过程，从而保证通信的安全性和保密性。
公钥密码学
公钥密码学公钥密码学是一种通用的加密技术，用于保护用户数据，保证私密性和安全性。
它是一种非对称加密技术，意思是，它使用一对密钥公开的公钥和保密的私钥来加密和解密信息。
它可以用来保护网络通信等。
公钥密码学的发明者是美国数学家兼集合理论专家Whitfield Diffie和加拿大数学家Martin Hellman于 1976年。
他们被称为Diffie-Hellman对，或仅称为Diffie-Hellman。
他们的原理是在数学上基于离散对数问题，这是一个求解以费马小定理为基础的问题，它由他们提出。
费马小定理说，在具有质数参数的数论环上，一个大整数的任意次幂都等于另一个大整数，只要它们不相等。
不同的加密系统使用一种称为“秘密双方协议”的技术，通过共享一些信息，双方可以安全地通信。
Diffie-Hellman协议使用公钥密码学来加密它们的会话，重点是发送方使用接收方的公开密钥来加密数据，而接收方使用自己的私钥解密数据。
与其他安全性算法相比，公钥密码学有许多优势。
首先，它更安全，因为它使用非对称密钥，而不是对称密钥，可以更好地保护用户数据。
其次，它提供了更高的安全性，因为攻击者无法从用户传输的信息中推断出加密的密钥。
第三，它拥有更多的功能，可以有效地实现签名功能，防止信息抵赖。
在当今日新兴网络技术领域，公钥密码学发挥着重要作用。
许多机密信息传输方案都使用公钥密码学来保护网络安全。
公钥密码学也用于互联网支付系统，以及基于手机的缴费系统，从而保护支付信息的安全性。
公钥密码学已经成为当今社会日新月异的发展的重要技术，它为社会的发展和安全安全提供了坚实的技术支持，同时也为网络传输提供了坚强的保护。
随着技术的发展，人们应该充分了解公钥密码学在社会发展中所起的作用，并一如既往地努力改进和发展这一技术，以满足当今社会的不断变化的安全需求。
信息安全概论第四章公钥密码体制
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Diffie-Hellman密钥交换算法 密钥交换算法
Diffie和Hellman在其里程碑意义的文章中， 虽然给出了密码的思想，但是没有给出真正意 义上的公钥密码实例，也既没能找出一个真正 带陷门的单向函数 然而，他们给出单向函数的实例，并且基于此 提出Diffie-Hellman密钥交换算法
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常用的公开密钥算法
公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 基于整数分解难题（IFP）的算法体制 基于整数分解难题（IFP）的算法体制(RSA) 基于离散对数难题（DLP）算法体制 基于离散对数难题（DLP）算法体制(ElGamal) 基于椭圆曲线离散对数难题（ ECDLP ） 的算法体制 基于椭圆曲线离散对数难题 （ ECDLP） (ECC)
3
4.1 公钥密码体制的基本原理
对称算法的不足
（1）密钥管理量的困难 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时， 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时，则n个用户需 C(n,2)=n(n-1)/2个密钥 当用户量增大时， 个密钥， 要C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户量增大时，密钥空 间急剧增大。 间急剧增大。如: n=100 时， C(100,2)=4,995 n=5000时 n=5000时， C(5000,2)=12,497,500 （2）密钥必须通过某一信道协商，对这个信道的安全 密钥必须通过某一信道协商， 性的要求比正常的传送消息的信道的安全性要高
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公开密钥密码的重要特性
加密与解密由不同的密钥完成 Y: X: Y = EKU(X) X = DKR(Y) = DKR(EKU(X))
加密: X 解密: Y
知道加密算法,从加密密钥得到解密密钥在计算上 , 是不可行的 两个密钥中任何一个都可以用作加密而另一个用 作解密(不是必须的) X = DKR(EKU(X))
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基于公钥算法的密钥交换
公钥基本结构PKI定义基于公钥的密钥交换步骤如下： ①发件人获得收件人的公钥； ②发件人创建一个随机机密密钥（在对称密钥加密中使
用的单个密钥）； ③发件人使用机密密钥和对称密钥算法将明文数据转换
为密文数据； ④发件人使用收件人的公钥将机密密钥转换为密文机密
密钥； ⑤发件人将密文数据和密文机密密钥一起发给收件人； ⑥收件人使用其私钥将密文机密密钥转换为明文； ⑦收件人使用明文机密密钥将密文数据转换为明文数据。
①φ(n)=(7-1)(17-1)=96，选择e=5, gcd(5,96)=1， ②在这里选择公钥Pk=5； ③计算d，d*e=1 mod 96；d=77，可以得到私钥
Sk=77。 ④如果明文m=19，根据计算的公钥Pk=5和私钥
Sk=77，我们可以对明文进行加密和解密： ⑤加密：195 mod 119 = 66；66是被加密的密文； ⑥解密：6677 mod 119 = 19；19是被解密的明文。
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非对称密钥加密 加密/解密使用的密钥 不相同 慢
大于明文长度
没问题
等于参与者个数，因此 伸缩性好
可以用于加密/解密(保 密性)和用于数字签名 （完整性与不可抵赖性）
理想的加密机制 解决方案安全完全 加密/解密速度快 生成的密文长度要小 伸缩性好，不能引入更多复杂性 要解决密钥发布问题
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常规加密和公开密钥加密的比较
特征 加密/解密使用的密钥 加密/解密的速度 得到的密文长度 密钥协定和密钥交换 所需密钥数和消息参 与者个数的关系
用法
对称加密
加密/解密使用的密 钥相同
快
通常等于或小于明文 长度
大问题
大约为参与者个数的 平方，因此伸缩性不 好 N(N-1)/2
主要用于加密/解密 (保密性)，不能用于 数字签名（完整性与 不可抵赖性）
仅仅知道密码算法和加密密钥而要确定解密密钥，在 计算上是不可能的。
两个相关密钥中任何一个都可以用作加密而让另外一 个用作解密。（某些算法，比如RSA，具有的特性）
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非对称密钥加密算法的特点： 非对称密钥加密算法算法基于数学函数而不是替代
和置换。 非对称密钥加密算法中的密钥是非对称的，它用到
解密 B收到这个报文后就用他的私有密钥(保密密钥)解密报文。 其他所有收到这个报文的人都无法解密它，因为只有 B 才有 B的私有密钥。 P=DKRB[c]
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非对称密钥加密算法用于加密：
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非对称密钥加密算法用于鉴别： 1. 如果A想给B发送一个签名报文，他就用自己的私有(保
密)密钥加密这个报文。 2. B收到这个报文后就用A的公开密钥鉴别该报文。
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RSA算法实现的步骤如下： 假设甲为实现者 甲寻找两个大素数p和q (2)甲计算n=p·q 和φ(n)=(p-1)(q-1) (3)甲选择一个随机数e (0<e< φ(n))，满足
gcd(e,φ(n))=1 (4) 甲使用辗转相除法计算d=e-1 modφ(n)
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RSA算法举例： 设 p=7，q=17，n=7*17=119，因此参数T定义为 T={n=119}。由此可以计算：
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RSA加密/解密算法 RSA加密： 将明文数字化并分组，使明文分组m满足： 0≤m＜n。
对每块进行加密变换：c=EKU(m)=me mod n 解密过程： m=DKR(c)=cd mod n RSA体制下，加密算法和解密算法之间，有下面的关系
成立： DKR(EKU(m))=(me)d=m mod n EKU(DKR(m))=(md)e=m mod n
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非对称密钥加密过程中的重要步骤如下： 产生密钥
网络中的每个端系统都产生一对用于它将报文进行加密 和解密的密钥。 公开密钥 每个系统都通过把自己的加密密钥放进一个登记本或者 文件来公布它。另一个密钥则是私有的(保密)。
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加密 如果A想给B发送一个报文，他就用B的公开密钥加密这 个报文。 C=EKUB[p]
两个不同的密钥，这对于保密通信、密钥分配和鉴 别等领域都有着深远的影响。 非对称密钥加密算法成功地解决了计算机网络安全 的身份鉴别、数字签名等问题，推动了包括电子商 务在内的一大批网络应用的不断深入发展。 使密钥管理变得容易了,用户可以容易地从对称密码 系统中删除。 加密和解密较对称密钥加密算法慢。
RSA是分组密码体制。 RSA是基于整数分解难题的算法体制，即两个大素数
很容易相乘，而对得到积因子则很难。RSA中的私钥 和公钥基于大素数（100位以上），算法本省很简单， 但实际难度在于RSA选择和生成私钥和公钥。
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生成密钥 ①首先任意选取两个大素数p、q，使：n=pq n称为模 则欧拉函数φ(n)为：φ(n)=(p-1)(q-1) ②然后，任意选取一个与φ(n)互素的小整数e作为公开的 加密指数。 ③由e求出秘密的解密指数d： de = k(φ(n))+1 = 1 mod φ(n) ④ 公钥(n,e); 私钥(n,d) 因子p、q与私钥一起保存或销毁。
第4章 公钥密码学技术
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1.公开密码学概述 2.RSA 算法 3.Diffie-Hellman密钥交换算法 4.公开密钥基础设施PKI 5.密钥管理
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公钥密码学是1976年由Diffie和Hellman在其 “密码学新方向”一文中提出 。
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公开密钥密码系统的原理 公开密钥算法要求每个参与方拥有用一对密钥，一个公开， 另一个保密。用一个密钥进行加密，而用另一个不同但是 有关的密钥进行解密。这些算法有以下重要特性：
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1.公开密码学概述 2.RSA 算法 3.Diffie-Hellman密钥交换算法 4.公开密钥基础设施PKI 5.密钥管理
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RSA公钥算法是由Rivest, Shamir和Adleman在1978 年提出来的。RSA是公开密钥密码系统中最常用的是 RSA算法(Rivest,Shamir源自Adleman)。精品课件
RSA算法的安全性分析
建议选择p和q大约是100位的十进制素数，模n的长 度要求至少是512比特。