广东省2021届高三数学月考试题 文
2021年广东省茂名市第四高级中学高三数学文月考试题含解析
2021年广东省茂名市第四高级中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则（）A．B．C．D．参考答案：A略2. 已知等差数列的前项和为，若，是的值为（）A． B． C． D．参考答案：B3. 已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]参考答案：C【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x，由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期T==π，选项A正确；由2x=kπ可得x=，k∈Z，∴x=是f（x）的一条对称轴，选项B正确；由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+≤x≤kπ+π，∴函数的单调递增区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z，C错误；|f（x）|=|cos2x|，故值域为[0，1]，D正确．故选：C4. 在中，内角A、B、C的对边分别为，且，则A=( )A. B. C. D.参考答案：B略5. 下列命题的说法错误的是 ( )A．若复合命题为假命题，则都是假命题．B．“”是“”的充分不必要条件．C．对于命题则．D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”．参考答案：A【知识点】全称命题；复合命题的真假．A2解析：若为假命题，则至少有一个为假命题．故选A．【思路点拨】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想．值得同学们体会反思．6. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为(A) (B) (C)(D)参考答案：D由余弦定理，得：BC＝＝，设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理：，得r＝2，又，所以，＝，表面积为：＝7. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．参考答案：D8. 若函数恰有2个零点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将问题转化为与恰有个交点；利用导数和二次函数性质可得到的图象，通过数形结合可确定或时满足题意，进而求得结果.【详解】令，则恰有个零点等价于与恰有个交点当时，，则当时，；当时，上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增可得图象如下图所示：若与有两个交点，则或又，即当时，恰有个零点本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围.9. 定义运算,函数 图象的顶点坐标是（），且成等比数列，则的值为 .参考答案： 14 略10. 复数z=（i 是虚数单位），则|z|=( ) A ． 1 B ．C ．D ．2参考答案：B【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==，故选：B ．【点评】本题考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为参考答案：12. 已知各项都为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，若，则a n =____.参考答案：【分析】 利用得到递推关系式，整理可知，符合等差数列定义，利用求出后，根据等差数列通项公式求得结果.【详解】由题意得：则即各项均为正数，即由得：数列是以为首项，为公差的等差数列本题正确结果：【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.13. 若x ，y 满足约束条件，目标函数最大值记为a ，最小值记为b ，则a －b的值为 。
广东省广东实验中学2021届高三数学上学期10月月考试题 理(含解析).doc
广东省广东实验中学2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题：1.设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()R PQ =（ ）A. []2,0-B. (,0)-∞C. (0,)+∞D.(,2)-∞-【答案】D 【解析】分析:先化简集合P 和Q,再求R Q 和()RP Q ⋂.详解：由题得P R =,{|2}Q x x =≥-，所以R Q ={x|x ＜-2}，所以()RP Q ⋂= (),2-∞-，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题{}|lg P y y x ==，表示的是函数的值域. 集合{|Q x y ==表示的是函数的定义域. 2.复数3iz i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A. 131010i + B. 131010i - C. 931010i + D.931010i - 【答案】B 【解析】()()()3-i 13=,333-i 10i i i z i i ⋅+==++ 故复数3i z i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为131010i - 故选B.3.已知向量a ，b 满足||2a =，||4=b ，()a a b ⊥+，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A. 1- B. 2-C. 2D. 1【答案】A【解析】分析：先求a 和b 的夹角，再求向量a 在b 方向上的投影.详解:因为()a ab ⊥+，所以2()424cos ,48cos ,0,a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅=+= 所以12cos ,,,.23a b a b π=-∴=所以向量a 在b 方向上的投影=1cos ,2() 1.2a ab =⋅-=-故答案为：A点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)a 在b 方向上的投影=cos ,cos ,.a a b b a b ≠ 4.已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则21x y x +++的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【详解】分析：先作出不等式组对应的可行域，再化简211(1)111(1)x y x y y x x x +++++--==+++--，最后利用数形结合求21x y x +++的取值范围.详解：由题得不等式组对应的可行域如图所示，211(1)111(1)x y x y y x x x +++++--==+++--,(1)(1)y x ----表示可行域内的点(x,y)和点D （-1，-1）的线段的斜率，由图可知，max min 1(1)0(1)12,0(1)1(1)2BD CD k k k k ----======----,所以21x y x +++的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查线性规划求最值和直线的斜率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)()()x a x a y b y b +--=+--表示点(x,y)和点（-a,-b ）的斜率.5.若函数()()f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【答案】A 【解析】 【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过αβ- 的最小值是2π推出函数的最小正周期，然后得出ω的值，最后得出函数的单调递增区间。
2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x ≤≤D ．{|0x x ≤或12}x ≤<【答案】D【解析】先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果. 【详解】2{|0}(,0][1,)M x x x =-≥=-∞+∞ (,0][1,2)MN ∴=-∞故选：D 【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i【答案】A【解析】先化简复数z ，然后由虚部定义可求． 【详解】()()()()131********i i i ii i i -----===++-﹣1﹣2i ， ∴复数131ii-+的虚部是﹣2， 故选A ． 【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】【详解】【分析】试题分析：若1a =-，则直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则 1a =或，必要性不成立． 【考点】充分必要性．4．设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B 6C ．22D 10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意结合向量的运算法则，可知：()222431416a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C 【解析】【详解】因为1r T +=66((rr r x C x-⋅⋅,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】判断出()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为()()22f xf x <-，【详解】()()1f x x x =+()()()()11f x x x x x f x ∴-=--+=-+=-()f x ∴为奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增；()f x ∴在(],0-∞上也单调递增，即()f x 为R 上的增函数；由()()220f xf x +->()()22f x f x ⇒>--()()22f x f x ⇒>-，22x x ∴>-，解得：2x <-或1x >故选：D. 【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较，属于常考题型.7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A 2215-+ B ．43C 2215+ D ．32【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质得12QF PF ⊥，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率. 【详解】连接1QF ，由12PF F △为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得12QF PF ⊥，由2PF c =知22c QF =．由双曲线的定义知122cQF a =+，在12Rt FQF 中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22284708470a ac c e e ∴+-=∴+-= 2157e +∴=（负值舍去）． 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()sin(22)y f x x ϕ==-的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤，求得04πϕ<≤①．令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=+，Z k ∈，故函数的零点为2k x πϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上， ∴51226k πππϕ-<+<-， ∴512262k k ππππϕ--<<--②． 由①②令1k =-，可得124ππϕ<≤， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．二、多选题9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 【答案】ABC【解析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D. 【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确． 故选：ABC 【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10．对于实数a 、b 、m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b > B ．若a b >，则a ab bC ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【答案】ABCD【解析】首先可根据22am bm >以及20m >判断出A 正确，然后将B 项分为0a b >>、0a b 以及0a b >≥三种情况进行讨论，即可判断出B 正确，再然后通过判断0a m a b m b +->+即可得出C 正确，最后可根据题意得出1a b =以及122a b a a，设()()121f a a a a=+>，通过函数()f a 的单调性即可判断出D 正确.【详解】A 项：因为22am bm >，20m >，所以a b >，A 正确；当0a b 时，22a aa b b b ，当0a b >≥时，22a a ab b b ，综上所述，a ab b 成立，B 正确；C 项：因为0b a >>，0m >， 所以0a m b a b mb a ma m a ab mb ab amb m bb b mb b mb b m，C 正确；D 项：因为0a b >>，ln ln a b =，所以1a b =，1a >，122a b a a， 设()()121f a a a a =+>，因为2120f aa，所以函数()f a 在区间()1,+∞上单调递增， 故13f af ，即()23,a b +∈+∞，D 正确，故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的证明以及导数的灵活应用，考查通过去绝对值证明绝对值不等式，考查化归与转化思想以及函数方程思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.11．已知函数()122log xf x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <.若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c <【答案】ABC【解析】先判断()f x 单调性，根据题设条件，得到()()(),,f a f b f c 的符号，结合零点的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数()1222log 2log xxf x x x =-=+，可知函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则()()(),,f a f b f c 可能()()()0,0,0f b f a f c >><或()()()0,0,0f a f b f c <<<，又由实数0x 是函数()y f x =的一个零点，即()00f x =, 综上可得，只有x c >成立，结合选项，可得不等式中可能成立的是0x a <，0x a >和0x b <. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的概念，以及指数函数、对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，结合函数零点的概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ） A．12= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【答案】AD【解析】根据()()12f x f x =''，即可判断A 选项；再结合均值不等式即可判断其它选项. 【详解】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行， 所以()()12f x f x ''=，1211x x -=-，12=，A 正确； 由基本不等式及12x x ≠，可得12=>12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选：AD本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.三、填空题13．已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】先利用已知条件和同角三角函数的关系求出tan θ的值，再利用正切的二倍角公式可求出tan 2θ的值. 【详解】解：因为cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ===， 所以sin tan 2cos θθθ==-， 所以222tan 2(2)4tan 21tan 1(2)3θθθ⨯-===---，故答案为：43． 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________． 【答案】20【解析】根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果. 【详解】因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为844-=，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 故答案为：20本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________． 【答案】649π【解析】先求出ABC 的外接圆半径，根据题意确定12V V 的最大值取法，再根据12V V 的最大值为3，解得球半径，最后根据球的表面积公式得结果. 【详解】如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ． 设球O 的半径为R ，1OO d =，则2432sin sin 603AC r ABC ===∠︒，即233r =．121313P ABCABCP ABC ABC h S h V V d d S --⋅⋅==⋅⋅所以当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R dV d ⎛⎫+==⎪⎝⎭，即2R d =． 由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 故答案为：649π【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档四、双空题16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A 、B 两点，且5AB =，直线l 经过C 的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．【答案】2【解析】将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p 的值，设点()00,M x y ，可得()200040y x x =≥，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN 的最小值. 【详解】由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=， 又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MNx =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为．故答案为：2；. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A （1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764.【解析】（1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求； 方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 【详解】方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A 1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =，由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==， ∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】 （1）611=a ，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得212d a d =，②又因为0d ≠且由①②可得，11a =，2d =.∴数列的通项公式是21n a n =-（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 12111111(1)23352121n n S b b b n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+--+11(1)221n =-+21nn =+ 所以21n nS n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19．如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，122AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A .（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）105. 【解析】（1）推导出DB ⊥AB 1，1CO AB ⊥，从而AB 1⊥平面BDC ，由此能证明AB 1⊥BC ，（2）以O 为坐标原点，OA ，O 1B ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D BC A --的余弦值． 【详解】解：（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点， 故12tan 2AB B ∠=，2tan 2ABD ∠=，所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=， 于是190BAB ABD ∠+∠=，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥（2）如图，建立空间直角坐标系，则20,3,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26,0,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,33C⎛⎫⎪⎝⎭，6,0,03D⎛⎫⎪⎪⎝⎭可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为()11,2,2n=-而平面BCD的一个法向量为()20,1,0n=设二面角D BC A--的大小为θ，则121210cos5n nn nθ⋅==【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23-.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足//AP OM，//BP ON，求MON△的面积.【答案】（1）(221332x yx+=≠；（2）62.【解析】（1）先设动点坐标，根据条件斜率之积为23-列方程即得解；（2）由平行条件得斜率关系得23OM ONk k=-，即得坐标关系121223y yx x=-；设直线MN的方程x my t =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得韦达定理，代入121223y y x x =-可得22223t m =+，再求三角形面积，将22223t m =+代入化简即得解. 【详解】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23AP BP k k x ⋅==-≠，化简得P的轨迹方程为(22132x y x +=≠.（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//AP OM ，//BP ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅. 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-. 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y+=，得()222324260m ymty t +++-=，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++. 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+.又1212MONSt y y ∆=-=， 所以2MONS∆==，即MON △的面积为定值2.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算分析推理能力》 21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i ）490；（ii ）应该对余下的产品作检验.【解析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()()182220C 1f p p p =-，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意01p <<的条件；（2）先根据第一问的条件，确定出0.1p =，在解（i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()182220C 1f p p p =-. 因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦.令()0f p '=，得0.1p =.当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =； （2）由（1）知，0.1p =.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1Y B ~，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. 22．已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=.（1）经过原点分别作曲线(),()y f x y g x ==的切线12l l 、，若两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<； （2）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）](,2-∞.【解析】（1）求出两条直线的斜率，设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y 1111111e e x y ax a x ⇒==-⇒=-，令11()ln 1m x x x e=-+-利用导数单调性可得答案；（2）构造函数()(1)()h x f x g x =++ln(1)e xx ax =+-+，求其导数利用函数的单调性，得出()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增，又()0(0)1h x h <=，得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）设切线22:l y k x =，切点为()22,x y .则22e x y =，()22222e x y k g x x ===' 22x 22e e 1x x x ⇒=⇒=，2e y =2e k ⇒=.由题意，知切线1l 的斜率为1211e k k ==，方程为1ey x =.设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y . 则()111111y k f x a x x =-='= 1111111e ex y ax a x ⇒==-⇒=-. 又()111ln 1y x a x =--，消去1y ､a 后，整理得1111ln 10ex x -+-=. 令11()ln 1m x x x e=-+-，则 22111()x m x x x x-'=-=. 于是，()m x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.若1(0,1)x ∈，由112e 0e e m ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，()110e m =-<， 则11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.而111e a x =-在11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减， 故211e e a e e--<<. 若()11,x ∈+∞，因为()m x 在区间()1,+∞上单调递增，则()0m e =，所以，1110a x e=-=，这与题设0a >矛盾. 综上，211e e a e e--<<. （2）注意到，()(1)()h x f x g x =++ ln(1)e x x ax =+-+1()e 1x h x a x =++'⇒-.第 1 页 共 6 页 i .当2a ≤时，由1x e x ≥+，则1()e 1x h x a x =+-+' 11201x a a x ≥++-≥-≥+. 于是，()h x 在区间[]0,+∞上递增，()0()1h x h x ≥=恒成立，符合题意. ii .当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +-=-=≥+'+'， 则()h x '在区间[]0,+∞上递增.又(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x '=.于是，()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增.又()0(0)1h x h <=，此时，()1h x ≥不恒成立，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是](,2-∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及结合方程有零点存在得到不等式的证明；考查利用导数处理函数最值和不等式恒成立的问题.。
2021年广东省梅州市梅县高级中学高三数学理月考试卷含解析
2021年广东省梅州市梅县高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U={0，1，2，3，4}，A={1，2，3}，B={2，4}，则?U（A∪B）=（）A． {2} B．{0}C． {2，3，4} D．{1，2，3，4}参考答案：B2. 等于A． B． C． D．参考答案：A3. 下图给出的是计算值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（）A． B． C． D．参考答案：D 4. 若,，则A.,B.,C. ,D. ,参考答案：D略5. 函数的图象大致是（A）（B）（C）（D）参考答案：C6. 函数的图象大致是（）参考答案：C略7. 设为的虚部，为的实部，则（）A．-1 B．-2 C．-3 D．参考答案：A因为，所以；因为，所以；因此，选A.8. 设i是虚数单位，复数，则｜z｜＝A.1B.C.D. 2参考答案：B【知识点】复数代数形式的乘除运算L1解析：复数z====1+i，则|z|=．故选B．【思路点拨】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．9. 已知函数的零点分别是，则的大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：D．试题分析：由题意易知的零点；的零点；的零点，则，故选D．考点：函数的零点问题．10. 已知x，y满足约束条件，且b=﹣2x﹣y，当b取得最大值时，直线2x+y+b=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长为（）A．10 B．2C．3D．4参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出b，然后利用直线与圆的位置关系求解弦长即可．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由b=﹣2x﹣y，得y=﹣2x﹣b，由图可知，当直线y=﹣2x﹣b过B（﹣2，﹣2）时直线在y轴上截距最小，b最大为2×2+2=6，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心（1，2），半径为5，圆心到直线2x+y+6=0的距离为： =2，直线被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长：2=2．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，直线与圆的位置关系的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为______________（用数字作答）.参考答案：24略12. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆Ｃ的极坐标方程为，点的极坐标为，过点作圆Ｃ的切线，则两条切线夹角的正切值是 .参考答案：13. 设F 1，F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点．若AB⊥AF 2，|AB|:|AF 2|=3:4，则椭圆的离心率为 ．参考答案：略14. 函数的反函数 ．参考答案：15. 已知函数，则．参考答案：16. 已知= 。
广东省2021版数学高三上学期文数11月月考试卷A卷
广东省2021版数学高三上学期文数11月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=}，则A∩CRB=（）A . [1，2）B . [1，2]C . （1，2）D . （1，2]2. （2分）(2020·泰安模拟) 设复数满足，则z的虚部为（）A . -1B . -iC .D .3. （2分）已知直线l1：mx+3y+3=0，l2：x+（m﹣2）y+1=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）在等比数列 {an} 中，则=（）A . 2B .C . 2或D . －2 或－5. （2分）已知三棱锥S-ABC，G1 ， G2分别为△SAB，△SAC的重心，则G1G2与△SBC，△ABC所在平面的位置关系是（）A . 垂直和平行B . 均为平行C . 均为垂直D . 不确定6. （2分）在底面半径为3，高为4+2 的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）椭圆+＝1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为（）A .B . 1C .D . 28. （2分） (2016高一下·南平期末) 已知α的终边过点（，﹣2），则sin（π+α）等于（）A . ﹣B .C . ﹣D .9. （2分）将函数y=4x+3的图象按向量平移到y=4x+16的图象，则向量可以为（）A . （3，1）B . （﹣3，﹣1）C . （3，﹣1）D . （﹣3，1）10. （2分） (2017高一下·钦州港期末) 直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A . 4x+y﹣6=0B . x+4y﹣6=0C . 3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0D . 2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=011. （2分）设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则a的值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·珠海期末) 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为________．14. （1分） (2019高二上·洛阳月考) 各项均为实数的等比数列的前项和为 ,已知成等差数列,则数列的公比为________.15. （1分） (2019高一下·广东期末) 已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为________．16. （1分）(2012·上海理) 已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为________．三、解答题 (共7题；共67分)17. （10分） (2019高三上·城关期中) 设数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和，求证：．18. （15分） (2019高二下·舟山期末) 已知正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，高为，M为线段的中点，N为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2019高二上·阜阳月考) 的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.20. （10分） (2017高一上·深圳期末) 已知A（5，﹣1），B（m，m），C（2，3）三点．（1）若AB⊥BC，求m的值；（2）求线段AC的中垂线方程．21. （10分） (2020高二下·南宁期中) 已知函数 .（1）讨论当时，函数的单调性；（2）当对任意的恒成立，其中 .求的取值范围.22. （2分）(2020·合肥模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.23. （10分） (2018高二下·衡阳期末) 已知函数，其中为实数. （1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共67分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
广东省广州市执信中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷含解析
广州市执信中学2021届高三年级第二次月考数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，其中第1题至第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．设集合}221|{<<−=x x A ，}1|{2≤=x x B ，则B A =( ) A ．}21|{<≤−x x B ．}121|{≤<−x x C ．}2|{<x xD ．}21|{<≤x x 2．复数i311−的虚部是( )A ．103−B ．101− C ．101D ．1033．命题“对任意R x ∈都有12≥x ”的否定是( )A ．对任意R x ∈，都有12<xB ．存在R x ∈0，使得120<x C ．存在R x ∈0，使得120≥xD ．不存在R x ∈，使得12<x4．己知双曲线)0,0(1:2222>>=−b a b y a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±=D ．x y ±=5．函数xx x f ||ln )(=的图象大致形状是( )6．己知数列}{n a 满足34,0321−==++a a a n n ，则}{n a 的前10项和等于( ) A ．)31(610−−−B ．)31(9110−− C ．)31(310−−D ．)31(310−+7．设R x ∈，则“052<−x x ”是“1|1|<−x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．249．414=a ，12log 5=b ，91log 31=c ，则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．函数)(x f 的定义域为R ，且)3()(−=x f x f ，当02<≤−x 时，2)1()(+=x x f ；当10<≤x 时，12)(+−=x x f ，则)2021()3()2()1(f f f f ++++ =( ) A ．671B ．673C ．1345D ．134711．（多选）己知函数x x x x f cos sin )(−=，现给出如下结论，其中正确结论个数为( )A ．)(x f 是奇函数B ．0是)(x f 的极值点C ．)(x f 在区间)2,2(ππ−上有且仅有三个零点D ．)(x f 的值域为R12．（多选）如图，在正方体1111D C B A ABCD −中，⊥H A 1平面11D AB ，垂足为H ，则下面结论正确的是( )A ．直线H A 1与该正方体各棱所成角相等B ．直线H A 1与该正方体各面所成角相等C ．垂直于直线H A 1的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D ．过直线H A 1的平面截该正方体所得截面为平行四边形二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．己知向量b a ,满足5||=a ，6||=b ，6−=⋅b a ，则>+<b a a ,cos = .14．若函数)(x f 是定义R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，xx f 4)(=，则)2()25(f f +−= .15．己知α为锐角，且31)6cos(=+πα，则αcos = . 16．己知⎪⎩⎪⎨⎧>≤=ax x ax x x f ,,)(23，若存在实数b ，使函数b x f x g −=)()(有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分）在ABC ∆中，11=+b a ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(1)a 的值：(2)C sin 和ABC ∆的面积.条件①：;71cos ,7−==A c 条件②：.169cos ,81cos ==B A 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题12分）在公比为2的等比数列}{n a 中，4,,432−a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)若n n a n b 2log )1(+=，求数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛+224n b n 的前n 项和n T . 19．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P −中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA ⊥，PD PA =，AD AB ⊥，1=AB ，2=AD ，.5==CD AC(1)求证：⊥PD 平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）如图，己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个顶点为)1,0(B ，离心率为23.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，直线BM 与线BN 的斜率之积为21，证明：直线l 过定点并且求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40<X <8080≤X ≤120X >120 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 22．（本小题满分12分）己知函数).0(1ln)(2>+−=a x ax xx f (1)若)(x f 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；(2)若)(x f 在定义域上有两个极值点21x x 、，证明：.2ln 23)()(21−>+x f x f数学参考答案一、选择题二、填空题13．【答案】3519 14．【答案】-215．【答案】6223+16．【答案】).,1()0,(∞+−∞三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分） 【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+−==b a A c ， )71(7)11(27)11(cos 2222222−⋅⋅−−+−=∴−+=a a a A bc c b a ，8=∴a(2)71cos −=A ，734cos 1sin ),,0(2=−=∴∈A A A π，由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ，36238)811(21sin 21=⨯⨯−==C ba S ，选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A ， 873cos 1sin 2=−=∴A A ，1675cos 1sin 2=−=B B ，由正弦定理得：6167511873sin sin =∴−=∴=a aa Bb A a ，，. (2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C ， 4715476)611(21sin 21=⨯⨯−==C ba S .18．【解】(1)因为4,,432−a a a 成等差数列，所以42423−+=a a a ， 所以4828111−+=a a a ，解得21=a ，所以.2n n a =(2)因为n n a 2=，所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b n n n ， 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++⎪⎭⎫ ⎝⎛−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−=22222)1(112312122112n nT n ， .)1(22)1(112)1(11312121122222222+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++−+−=n n n n19．(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ，连结,,CO PO因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以CO PO ⊥. 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O −，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A −.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=−=−−,02,0z x z y 令2=z ，则.2,1−==y x 所以).2,2,1(−=n又)1,1,1(−=PB ，所以.33,cos −=>=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320．(1)因为一个顶点为)1,0(B ，故1=b ，又离心为23，故23=a c 即2312=−a a ，所以2=a ，故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在，则设),,(),,(n m N n m M −此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =−=−−⨯−=，与题设条件矛盾，故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:，),(),,(2211y x N y x M ，联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=−+++m kmx x k0)14(1622>+−=∆m k ，221418k km x x +−=+∴，22214144k m x x +−=⋅∴. 2111212121122211=−−+=−⋅−=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM ， 0)1())(1(21221212=−++−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m x x m k x x k ，0)1(418)1(41442122222=−++−−++−⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m k km m k k m k ， 化为0322=−+m m ，解得3−=m 或1=m （舍去）．即直线过定点)3,0(−21．解：(I)依题意，2.05010)8040(1==<<=X P P ， 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ，1.0505)120(3==>=X P P ， 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=−+−=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y （单位：万元）①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000=Y ，.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机．当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=−=Y ，因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ，当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ，因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P ．由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机．依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时340016005000=−=Y ， 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ；当12080≤≤X 时，两台发电机运行，此时920080025000=−⨯=Y ， 此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ， 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ， 由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．22．解：(I)x ax x x f +−−=2ln )(，xx ax ax x x f 12121)('2+−−=+−−=，………2分令a 81−=∆．当81≥a 时，0≤∆，0)('≤x f ，)(x f 在),0(∞+单调递减．………4分 当810<<a 时，0>∆，方程0122=+−x ax 有两个不相等的正根21,x x ，不妨设21x x <， 则当),(),0(21∞+∈x x x 时，0)('<x f ，当),(21x x x ∈时，0)('>x f ，这时)(x f 不是单调函数.综上，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知，当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时，)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ，且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +−−+−−=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++−=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ，⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a ， 则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时，)(,0414411)('22a g a a a a a g <−=−=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减， 所以2ln 23)81()(−=>g a g ，即.2ln 23)()(21−>+x f x f ………………………12分。
2021年广东省茂名市高州第一高级中学高三数学文月考试题含解析
2021年广东省茂名市高州第一高级中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）?f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．故选C．【点评】本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f（x）和y=g （x）图象，是解题的关键．2. 已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列、、…中，有理数项的项数为A．42 B．43 C．44 D．45参考答案：B3. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，（a，b，c均为非零整数），且f（a）=a3，f（b）=b3，a≠b，则c=（）A．16 B．8 C．4 D．1参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由f（a）=a3，f（b）=b3列出等式化简即b=1﹣a﹣，因为b为整数，得出a=﹣2，从而求出b与c值．【解答】解：由已知得，①﹣②化简得：a（a+b）（a﹣b）+b（a﹣b）=0，b=﹣a（a+b），即b=1﹣a﹣，a，b，c均为非零整数且a≠b，得为整数，所以a=﹣2，所以a=﹣2，b=4，∵f（﹣2）=﹣8?c=16．故选：A4. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是奇函数D. 当时，函数的值域是[－1,2]参考答案：D试题分析：由题意得，，A：时，，是减函数，故A错误；B：，故B错误；C：是偶函数，故C错误；D：时，，值域为，故D正确，故选D．考点：1．三角函数的图象变换；2．的图象和性质．5. 过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：C略6. 函数在区间上的最大值和最小值分别为 ( )A. B. C. D.参考答案：A略7. 函数y＝ ln(1－x)的定义域为( )A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]参考答案：B8. 设，函数的导函数是，且是奇函数。
广东省广州市中学(高中部)2021年高三数学理月考试题含解析
广东省广州市中学(高中部)2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3 D．f（x）=2﹣x参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=为偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，不满足条件．B．f（x）=x2+1为偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，满足条件．C．f（x）=x3为奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，不满足条件．D．f（x）=2﹣x为非奇非偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．2. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A． B． C．为实数D．为实数参考答案：B 解析：；，反之不行，例如；为实数不能推出，例如；对于任何，都是实数3. 关于函数有下述四个结论：①的最小值为；②在上单调递增；③函数在上有3个零点；④曲线关于直线对称.其中所有正确结论的编号为（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④参考答案：D【分析】根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等．【详解】，①错；当时，，在上不是单调函数，实际上它在上递减，在递增，②错；当时，，函数无零点，当，即时，注意到是偶函数，研究时，，只有，因此在时，函数有三个零点，③正确；，∴曲线关于直线对称，④正确．∴正确结论有③④，故选：D．【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因此我们可以通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如，然后分段研究．4. 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 }，则CuM=A．U B． {1,3,5} C．{3,5,6} D． {2,4,6}参考答案：C，故选C.5. 已知P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是的面积为9，则a+b的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C略6. 已知抛物线，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是( )A. B. C. D.参考答案：C由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得，则，，，由，即，解得.故选C.7. 已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（?R A）∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，0） C．[﹣1，3] D．（3，4）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，集合B={x|0＜x＜4}，∴?R A={x|﹣1≤x≤3}，∴（?R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．8. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A． B.C． D.参考答案：D略9. 设变量x，y满足约束条件.目标函数，则的取值范围为(A)[1,2] (B) (C)[2,11] (D)[0,11]参考答案：B略10. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）参考答案：12. 设变量x 、y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的取值范围是．参考答案：[3，9]【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数的值域．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由图易得目标函数z=2x+y 在（1，1）处取得最小值3 在（3，3）处取最大值9 故Z=2x+y 的取值范围为：[3，9] 故答案为：[3，9]13. 设定义在上的奇函数满足,若,则.参考答案：①,③,④14. 设满足约束条件，若，则实数的取值范围为 ．参考答案：略15. 已知点P （cosθ，sinθ）在直线y=2x 上，则sin2θ+cos2θ= ．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由点P （cosθ，sinθ）在直线y=2x 上，将P 坐标代入直线方程，利用同角三角函数间的基本关系求出tanθ的值，将所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：∵点P （cosθ，sinθ）在直线y=2x 上， ∴tanθ=2，∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos 2θ﹣sin 2θ=+=+==． 故答案为：．16. 已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S k ﹣2=﹣4，S k =0，S k+2=8，则k= ．参考答案：6【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S k ﹣2=﹣4，S k =0，S k+2=8，∴（k ﹣2）a 1+d=﹣4，ka 1+d=0，（k+2）a 1+d=8，联立解出d=1，k=6，a 1=﹣． 故答案为：6．17. 设变量满足，则的取值范围是.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为 ，且不过点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值．
21．（本题满分12分）已知函数
（1）求 的单调区间；
（2）由 得 ，
而 -----------8分
且当 时， .----------------------------------9分
故 的取值范围为 -----------------------------------------------10分
13．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值．
14．已知θ是第四象限角，且 ＝ ，则 ＝________.
15．在 内随机任取一点 ,则 的面积不超过 面积一半的概率是．
16．如图，平面四边形 中， ， ，
， ， ，则四边形 的
面积为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（2）证明：当 时 ；
（3）已知 ，证明：当 时 ．
请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以直角坐标系原点为极点， 轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
令 得 的单调递增区间为 --------------------------------------------2分
令 得 的单调递减区间为 -----------------------------------------3分
（2）即证 时
由（1）可知 ，即有 ----------------------------------------5分
5．非零向量 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．函数 的图象是（ ）
ABCD
8．执行如图所示程序框图，若输入的 ，则输出的 点，点 ，则线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．甲几何体(上)与乙几何体（下）的组合体的三视图如右
（1）求曲线 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程．
（2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围．
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
B
A
D
B
C
A
A
B
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13题: 14题:－ 15题： 16题：
12题：
16题：解:连结
中,
中,
,
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解:(1) , , 成等差数列, ------------------1分
(2) , ---------------------------------------------------------------------------7分
----------------------------------9分
--------------------------------------------------12分
高三数学月考试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知右表所示数据的回归直线方程
为 ，则实数 的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
（2）设直线 ，则 ， ----7分
设 ，则 -----------------------------------9分
为定值。--------------------------------------12分
21.解：（1） , --------------------------------------------------1分
19.解： , ………………2分
又四边形ABCD是正方形， , , ….4分
,又 ， , .-------------------------------------------6分
(2) , 点E为 中点， ----------------------------------------------------------8分
由 及 知 ，即
由（1）可知 恰有一解，记为 ，是 的最大值点，且
由 且 在 单调递增，在 单调递减可得
成立，则当 ， 时
--------------------------------------------------------------12分
22、解：（Ⅰ）由 ，得 ，
∴直线 的直角坐标方程为 --------------------------------------2分
图所示，甲、乙几何体的体积分别为 、 ,则 等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，函数 在(1， )处的切线方程为 ，则 （ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
12．已知 ,若关于 的方程 有四个不同的解 ,且 ,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
-------------------------------------------------------------------3分
--------------------------------------------------------------------------------------4分
记 ， ，则
当 时 ， 单调递增， ，
即 ，从而原不等式成立。--------------------------------------------------7分
（3）设 ，则 ，令 得
-----------------------------------------------------------8分
（2）成绩在 内的学生有 人，记此4人分别为 ，------------6分
成绩在 内的学生有 人，记此2人分别为 ，---------------7分
则从这6人中任选2人的基本事件有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共15个。-----------------------------------------------------------9分
并据此绘制了如图所示的频率分布直方图。
（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机抽取2人，
求至少有1名学生的成绩在 内的概率。
19．（本题满分12分）如图，在底面 为正方形的四棱锥 中， ，点E为 中点且 ．求证：
（1）
（2）若四棱锥 的体积为 ， 求该四棱锥的侧面积．
---------------------------------------------------------------------------------5分
------------------------------------------------------------------------------------6分
17．（本题满分12分）已知数列 是公比为2的等比数列,且 , , 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ,求数列 的前 项和 ．
18．（本题满分12分）某校举行了一次考试，从学生中随机选取了40人的成绩作为样本进行统计。已知这些学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组 ，第二组 ，......，第六组 ，
当 时， 无解；--------------------------------------------2分
当 时，由 得 ，解得 --------------------3分
当 时，由 解得 .----------------------------------------4分
所以 的解集为 .-----------------------------------------5分
曲线 的直角坐标方程为： ，将 代入化简得： -----------------------------------------------5分
（2）曲线 上的任意一点 到直线 的距离
----------------------------------------------------10分
23.解：（1） ----------------------------------1分
由（1）可得： 是三棱锥 的高， ,
…….12分
20.解：（1）抛物线准线为 ，焦点 -----------------------------------1分
设椭圆 的方程为 ，则 ，--------------------3分