杨辉三角
杨辉三角斜行求和规律
杨辉三角斜行求和规律
杨辉三角是一个经典的数学概念，它是一个数字三角形，其中每个数字是它正上方的两个数字之和。
除了对角线上的数字1之外，每个数字都等于它正上方的两个数字之和。
例如，杨辉三角的前几行如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
在这个问题中，我们要找出杨辉三角斜行求和的规律。
斜行求和是指从三角形的顶部到底部，沿着非对角线的路径求和。
例如，在上面的杨辉三角中，斜行求和的路径可以是：1, 2, 3, 6, 10, 10, 4, 1 (从顶部到底部)。
假设第n 行有n 个数字，那么第n 行斜行求和的和S_n 可以表示为：
S_n = Σ(i=0 到n-1) (2i + 1)
其中Σ表示求和符号，i 是从0到n-1 的整数。
现在我们要找出S_n 的规律。
根据给定的杨辉三角，我们可以观察到斜行求和的规律。
对于第n 行，斜行求和的和S_n 可以表示为：S_n = n^2
这个规律对于任何正整数n 都成立。
古代数学杨辉三角
杨辉三角，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的历史可追溯至北宋时期的数学家贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
南宋时期，数学家杨辉在《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
在欧洲，这个三角形被称为帕斯卡三角形，是法国数学家帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间。
以上内容仅供参考，建议查阅关于古代数学的书籍获取更全面和准确的信息。
杨辉三角公式
杨辉三角公式杨辉三角公式：杨辉三角是一种有序数列，由17世纪数学家杨辉发现，又称“谢尔宾斯基三角形”。
它有许多有趣和实用的数学性质，比如它的求和公式，这就是杨辉三角公式。
杨辉三角公式是一个强大的数学工具，它可以用来解决许多复杂的数学问题。
这个工具可以帮助人们理解世界上许多自然规律所构成的数学模型以及它们背后的逻辑。
杨辉三角公式的使用范围也非常广泛，几乎可以涉及几乎所有的学科。
杨辉三角公式是一个简单而实用的公式，它可以用来快速计算杨辉三角中任意一行的和。
其中，每一行和的定义如下：在杨辉三角的每一行中，一个数字是一个新的数字和它左右两边的数字之和，即：Tn = Tn-1 + (n+1)，其中，Tn表示第n行的和，Tn-1表示第n-1行的和，n表示行号。
杨辉三角公式也有许多其他的数学性质，这些性质可以帮助人们用杨辉三角解决许多复杂的数学问题。
这些性质有：（1）杨辉三角的每一行中，第n个位置的数字是 n上它左右两边的数字的积；（2）对于第 n，第 n 个位置的数字有 1；（3）在每一行中，第一个和最后一个数字为 1；（4）杨辉三角的总和规律公式是 Tn = (n+1)Tn-1，其中Tn表示第n行总和，Tn-1表示第n-1行总和，n表示行号。
上面是杨辉三角公式及其一些基本的数学性质，深入研究杨辉三角公式可以发现更多的有趣的性质，比如《纳米杨辉三角》，它使用了高级的数学技巧，以及《三角平方和》，它把杨辉三角的求和公式应用到了平方和的计算中。
杨辉三角的数学性质有很多，可以用来解决许多复杂的数学问题，因此，学习杨辉三角公式和它的数学性质对学生来说非常重要。
此外，学习杨辉三角公式有助于学生提高其分析和推理能力，培养其数学思维能力，加深对数学基础知识和高级数学技巧的理解，为今后学习科学和数学打下扎实的基础。
综上所述，杨辉三角公式及其数学性质是学习数学的重要部分，它可以帮助学生提高数学分析和推理能力，培养数学思维能力，为学习科学和数学打下良好的基础。
杨辉三角—知识点详解
杨辉三⾓—知识点详解杨辉三⾓杨辉三⾓（欧洲叫帕斯卡三⾓）是⼀个很奇妙的东西，它是我国数学家杨辉在1261年发现的，欧洲的帕斯卡于1654年发现，⽐我国的巨佬数学家杨辉晚了393年。
（在此show⼀下我的爱国情怀）铺垫知识(1)⼆项式系数⼆项式系数，定义为(1+x)n展开之后x的系数。
通常来讲，⼆项式系数代表的是从n件物品中，⽆序地选取k件的⽅法总数，如果你读过我全排列的博客，那么你会发现，这就是我们定义的“组合数”。
证明也⽐较简单：我们假设上述的n=4，k=2，通过组合数公式可以得出组合数为6.假如我们把(1+x)4展开并标记每⼀个x，就会得到：(1+x1)(1+x2)(1+x3)(1+x4)上式等于：(1+x1)⋯(1+x4)=⋯+x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4+⋯我们发现，假如把标记去掉，这个x2的系数正好等于6.也就证明了：(1+x)n中x k的系数正好等于从n个元素中选取k个元素的组合数（C k n）.杨辉三⾓性质杨辉三⾓（帕斯卡三⾓），是⼆项式系数在三⾓形中的⼏何排列。
我们看⼀发杨辉三⾓的图，并在此图上进⾏后续的讲解：（版权：转载⾃百度）我们从这张杨辉三⾓⽰意图上发现，杨辉三⾓的每⾏⾏⾸与每⾏结尾的数都为1.⽽且，每个数等于其左上及其右上⼆数的和。
这样我们发现，杨辉三⾓左右对称。
那么我们就可以通过这些基本概念把这个杨辉三⾓同我们所说的组合数即⼆项式系数联系在⼀起：通过刚才的知识铺垫，我们发现，第i⾏的第j个数，我们可以⽤C j i来表⽰从i个元素中选取j个元素的组合数。
（注意，这⾥的第i⾏是从0计数）并且，由于对称性，我们可以发现，杨辉三⾓中第n⾏的第m个数恒等于本⾏的第n-m+1个数。
与⼆项式系数知识点进⾏结合，我们会发现(1+x)n展开后，各次数的系数正好对应第n⾏的每⼀项。
杨辉三⾓代码实现的递推公式在很多题⽬中，我们常常需要⽤打表的形式先处理出杨辉三⾓矩阵，然后再以此为基础进⾏程序求解。
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解杨辉三角是中国古代数学宝库中的一颗明珠，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
杨辉三角是由中国数学家杨辉在13世纪发现并命名的，但实际上它的起源可以追溯到更早的时期。
这个三角形的形式非常简单，但它蕴含的数学规律却非常复杂。
在本文中，我们将深入探讨杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用。
让我们来看一下杨辉三角的形式。
它是一个由数字构成的三角形，第一行只有一个数字1，接下来的行每一行的数字都是上一行相邻两个数字之和。
例如，第二行有两个数字1，第三行有三个数字1，第四行的两个1之间的数字是上一行两个1之和，即2，以此类推。
这种规律一直延续到三角形的最后一行，最后一行的数字就是杨辉三角的第n行。
杨辉三角的规律不仅仅是一些数字的排列，它还有一些非常有趣的数学性质。
首先，杨辉三角的每一行都对应着二项式系数的展开式中的一项。
例如，第n行的数字依次是1、n、n(n-1)/2、n(n-1)(n-2)/6，以此类推。
这个性质可以通过数学归纳法来证明，但我们不会在文章中提到具体的证明过程。
除了二项式系数的性质，杨辉三角还有一些其他有趣的应用。
其中之一是计算组合数。
组合数是指从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
在杨辉三角中，第n行的第m个数字就是从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
这个性质可以通过杨辉三角的定义和组合数的定义来证明。
杨辉三角还有一些其他的应用，例如在概率论中的二项分布、多项式定理的展开、计算幂等等。
这些应用都与杨辉三角的数学规律密切相关，但我们不会在文章中详细讨论它们。
总结一下，杨辉三角是中国古代数学的宝贵遗产，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
它不仅仅是一种数字的排列，还有一些非常有趣的数学性质和应用。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理。
希望本文能够帮助大家更好地理解杨辉三角的知识，并对数学产生更浓厚的兴趣。
注：本文旨在介绍杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用，不涉及具体的数学证明和计算过程。
杨辉三角公式记忆口诀
杨辉三角公式记忆口诀杨辉三角可是数学里一个挺有意思的东西呢！说到杨辉三角的公式记忆口诀，那咱们可得好好唠唠。
先来讲讲杨辉三角是啥。
简单说，它就是一个三角形的数阵，每行数字都是通过特定规则生成的。
但别被这看似复杂的外表吓到，其实掌握了规律和口诀，就会发现它挺好玩的。
比如说，杨辉三角每行数字左右对称。
这就像咱们照镜子，左边和右边是一样的。
还有啊，每行数字的开头和结尾都是 1 ，就像每次跑步比赛的起点和终点，固定不变。
那记忆口诀到底是啥呢？“肩挑两数积之和，上下相加写下方”。
这口诀听起来有点玄乎，咱来细说说。
比如说，要得到杨辉三角某一行的数字，就看它上面一行。
除了开头和结尾的 1 ，中间的每个数字都是它肩膀上两个数字的和。
就像我有一次教学生的时候，有个小家伙怎么都不明白，我就拿糖果给他举例。
假设第一行有 1 颗糖，第二行是 1 、 1 ，就像 1 颗糖变成了 2 颗，那第三行是 1 、 2 、 1 ，这中间的 2 就是上面 1 + 1 得来的。
这孩子一听，眼睛一下子亮了，“哦！原来是这样！”再比如说，要快速写出好几行杨辉三角，那就用上“上下相加写下方”。
从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字相加的结果。
这就像是搭积木，一层一层往上加。
还有哦，杨辉三角和二项式定理也有关系。
二项式展开后的系数，就是杨辉三角里对应的那一行数字。
这个知识点刚开始学的时候可能会觉得有点绕，但多练习练习，就会发现其中的妙处。
我记得之前有个学生，刚开始学杨辉三角的时候总是记不住，做题也错得一塌糊涂。
我就专门给他开小灶，每天让他默写几行杨辉三角，然后给他讲解其中的规律。
慢慢地，他找到了感觉，后来在考试中遇到相关的题目，一下子就做对了，那高兴劲儿，就像中了大奖似的。
总之，杨辉三角的公式记忆口诀虽然简单，但要真正掌握，还得多练习、多琢磨。
只要用心，相信大家都能轻松搞定这个有趣的数学小玩意儿！。
“杨辉三角”简介
“杨辉三角”简介
上述三角形数表称为“杨辉三角”，它呈现了二项式展开式各项系数的规律．如表中第三行为二项式
的各项的系数：1，2，1．
又如表中第四行为二项式的各项
的系数：1，3，3，1．
“杨辉三角”中数的排列规律是：每一行两端都是1，其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和，如
这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的．据他的著作里记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现．因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”．
在西方，称这个数表为“帕斯卡三角形”．帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表,发表则在1665年．这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年．。
杨辉三角的现实例子
杨辉三角的现实例子1. 你知道杨辉三角吗？它在组合数学里可是超级重要的存在呢！就像我们搭积木，每一层的积木数量都有着特定的规律，杨辉三角就是这样神奇。
比如说在计算彩票的组合可能性时，杨辉三角就像一个神奇的指南，帮助我们理解其中的奥秘。
2. 嘿，杨辉三角可不仅仅是书本上的东西哦！它就像一个隐藏在生活中的密码。
比如在排队买东西的时候，我们可以通过杨辉三角来计算不同排列方式的可能性，这难道不酷吗？3. 哇塞，杨辉三角啊！它就好像是一把解开很多难题的钥匙呢。
像是在分配任务的时候，根据杨辉三角的规律可以更合理地安排人员和任务，难道不是吗？4. 你想过杨辉三角在建筑设计中的作用吗？它好比是建筑师手里的魔法棒呀！当设计一个大楼的结构时，杨辉三角能帮助确定最佳的支撑点分布，多神奇啊！5. 杨辉三角啊，那简直就是数学世界里的一颗璀璨明珠！就像我们玩游戏要遵守规则一样，很多数学问题都要遵循杨辉三角的规律呢。
比如计算比赛的场次安排，用杨辉三角就能快速搞定，你说厉害不厉害？6. 哦哟，杨辉三角可牛了！它就如同一个智慧的小精灵藏在数学里。
想想看，在计算投资组合的风险时，杨辉三角就能发挥大作用，这可太妙了吧！7. 嘿呀，杨辉三角可不是吃素的！它好像是我们生活中隐藏的好帮手。
在安排聚会座次的时候，依据杨辉三角来安排，会更加有序和有趣呢，不是吗？8. 哇哦，杨辉三角啊！简直就像一个神秘的宝藏等待我们去挖掘。
在设计图案的时候，杨辉三角的规律能创造出独特又美丽的作品，超级神奇呀！9. 杨辉三角真的太有意思啦！它其实就在我们身边，默默发挥着巨大的作用，就像一个低调的大师。
我们真应该好好去探索和发现它更多的神奇之处呀！我的观点结论是：杨辉三角在众多领域都有着意想不到的应用，它真的非常神奇且重要！我们要重视和运用好它。
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杨辉三角
教学设计思想：
这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。
（1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。
（2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。
培养他们的交流与协作的能力。
（3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。
教学 目标：
1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。
2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。
在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。
教学过程：
一 引入
今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。
（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整）
二 杨辉简介
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家
和数学教育家。
在13世纪中叶活动于
苏杭一带，其著作甚多。
其中《详解九章算术》
中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”，
杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用.
三 探讨杨辉三角的性质 •
••++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6
43223245665
432234554
3223443
22332
221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b
a b a b a
提问：刚才我们是怎样将杨辉三角补充完整的？是根据什么样的规律？ （见课件）
让学生归纳规律：
1杨辉三角的基本性质
杨辉三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上
的两个数字相加. 即r n r n r n
C C C 111---+=
2 杨辉三角的对称性
杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.即r n n r n C C -= 观察杨辉三角形各行的每一个数字，与二项式展开式相比，有什么
特点？观察各行数字的和，有什么规律？
（学生经过思考、讨论，归纳结论）
(a +b )n =1 a n +1n C a n-1b+2n C a n-2b+……+r n C a n-r b r +……+1-n n C ab n-1+1 b n
3 杨辉三角第n 行各数的特点
（1）杨辉三角的第n 行中的数对应于二项式(a +b )n 展开式的二项式系数
（2）杨辉三角的第n 行数字的和等于2n 。
提问：是用什么方法得到的？（观察→归纳→猜想）
杨辉三角中各数字的特点，如果我们从斜向观察会发现更加奇妙的数字特点。
下面大家观察下图中个各斜线中数字的和，算出前面的几个，归纳一般结论。
即各斜线中数字的和为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……
4 如图斜线中各数字的和，从第3条斜线中数字起，其后各斜线中的和 是前两条斜线中数字之和。
指出：（1）构成一个从第三项起，每项是前两项之和的数列。
即 )2(12≥=+--n a a a n n n
第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1 第0行 1
第2行 1 2 1 第3行
1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1 … … …… … … …… ……
这是著名斐波那契数列。
斐波那契及斐波那契数列。
斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利 ,是中世纪第一位伟大的
数学家.“斐波那契兔子问题”见他所著的《算盘书》。
斐波那契兔子问题
“有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？”
（学生先计算出前1个月、2个月、3个月、4个月、5个月各有多少只兔子，依次写出，从而算出第12个月共有多少只兔子）
斐波那契数列）（3）斐波那契数列的有趣性
斐波那契数列有许多有趣的性质，在大自然中，在我们的实际生活中有着非常广泛和实际的应用。
1963年美国创季刊《Fibonaui`s季刊》，专门用斐波那契数列研究探讨自然、社会生活中的现象。
2002年的“非典”重新唤起人们对数学的热爱。
受过数学训练的人，都很容易回忆起多数数学建模教科书里都有的“传染病模型”一章 ,非典正是按照斐波那契数来传染的。
植物中的斐波那契数列，如图可以看见那上面有许多螺
旋。
很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋
从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时
针方向的。
可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共有13
条，而逆时针旋转的则有21条。
它们也并不随机，它
们是斐波那契数列中的相邻数字。
还有如向日葵的花盘
中籽的排列、卷心菜的叶的排列、树枝在生长过程中的
增长数……大自然在应用着斐波那契数列！都是为了获
取更多的生长空间，实现生长的最优化！
杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理及逻辑推理的方法，一定会发现更多的规律。
大家经常研究其他数学或生活实际问题，创造能力必将大大提高。
有兴趣了解更多杨辉三角的内容的同学，可以课下参照课本继续研究杨辉三角的有关知识，还可以上网浏览杨辉三角其它的有趣介绍、斐波那契数列的神奇性。
四课堂回顾
1杨辉三角的有关性质（1）两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加（2）每一行中的数字左右对称（3）杨辉三角的第n行中的
数对应于二项式(a+b)n展开式的系数
（4）杨辉三角的第n行数字的和等于2n。
中国古代数学的辉煌成就杨辉三
角蕴含的有趣的数量关系和神奇的斐波那契数列
参照课本继续研究杨辉三角的性质
②上网或看书，查阅杨辉三角其它的有趣介绍、斐波那契数列的神奇性。