2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值课件1 新人教B版选修1-1
函数的单调性与其导数的关系：
在某个区间（a,b）内，如果 f (x) 0 ，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增；
如果 f (x) 0 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单 调递减。
学习目标
1、理解函数的极值点和极值的概念。 2、结合函数图像，了解函数的极值与其导数 的关系。 3、会求不超过三次的多项式函数的极值。
自学检测1 观察函数图像，回答以下问题： y f (x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f (x2 )
O a x1
x2
x3 x4
b
x
（1）找出函数图像中的极大（小）值点、极大（小）值。
（2）说明极值点处的导函数值。
（3）在极值点附近，函数的导数符号有什么规律？
（4）思考：极大值一定大于极小值吗？
2、判断对错
（1）函数的极值在区间端点处取得。
（ ×）
（2）函数的极小值一定小于它的极大值。
（ ×）
（3）f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值。（ × ）
（4）极值点一定出现在定义区间的内部。
（√ ）
（5）如果 f (x) 0 ，且在x0附近的左侧 f ( x ) 0 ，右侧 f (x) 0 ，
那么f(x0)是极大值。
（× ）
自学指导二：
认真阅读书本P28--P29练习以上的内容，完成以下问
题，自学时间为4分钟。
求函数y=f(x)的极值的方法是：
解方程 f ( x ) 0 ，当 f ( x ) 0时， （1）如果在x0附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，那么f(x0) 是极大值。 （2）如果在x0附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0 ，那么f(x0)是 极小值。
自学指导一：
请带着以下问题，认真阅读课本P26--27页，自学时间3 分钟，看谁完成的又快又好。 1、探究：图1.3-10回答下面问题： （1）函数y=f(x)在点 a，b的导数值是多少？ （2）函数y=f(x)在点 a，b的函数值与这些点附近的函 数值有什么关系? （3）在点a,b附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？ 2、极值点、极值的概念。
自学检测2：
求下列函数的极值。 （1） f(x)= x2-x-2 （2） f(x)= x3-27x
探究：函数f(x)=x3 是否存在极值？
课堂小结：
你学到了哪些知识？
1、函数极值的定义。 2、求函数极值的步骤。
当堂训练：
1、下列说法正确的是
（）
A.若f(x0)>0，则称f(x0)为f(x)的极小值 B.若f(x0)<0，则称f(x0)为f(x)的极大值 C.若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)<f(x0) D.若函数f(x)在区间（a,b）内有极值，那么f(x，请求出极值； 如果没有，请说明理由 （1） f (x) 1 x3 4
3
（2）f (x) 1 x3 x2 4x
3
（3）f(x)=3x-x3
高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理1.函数的极值（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。
如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.(2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.(3)求可导函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数 ;①求出方程的定义域内的所有实数根；①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。
①根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：①求在内的极值；①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
考点探究)(x f x 0x 0f (x )<f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 0x 0f (x )>f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '¢f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ÎI f (x )£f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ÎI f (x )³f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,考向1 利用导数研究函数的极值 【例】已知函数x x x f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值.题组训练1.函数的极大值是________，极小值是________．2.已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求f (2)的值。
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.2
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
已知极值求参数
已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都取 得极值．
(1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
高效测评 知能提升
横看成岭侧成峰，远近高低各不同． 不识庐山真面目，只缘身在此山中． 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最 高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定 是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令 f′(x)＝0，由题设知 x＝1 与 x＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴11－ ×23－＝23－＝23ab3，. ∴a＝－12，b＝－2.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
x
(－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
由表可以看出：
当 x＝－1 时，函数有极小值，且 f(－1)＝－22－2＝－3； 当 x＝1 时，函数有极大值，且 f(1)＝22－2＝－1.
高中数学_利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思
你能总结出利用导数求解函数极值的方法吗？【课题】《利用导数研究函数的极值》【学情分析】从学生的认知角度来看：1、在学习本节前，学生已有导数的概念及运算做基础，还学习了利用导数研究函数的单调性。
初步具备了运用导数研究函数的能力，但还不够深入，在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
2、学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的，而且学生自主探究、总结归纳问题的能力还不够理想，把实际问题抽象成数学问题的能力也有所欠缺，需要在老师的引导下进行学习3、本节课又为下节课的求最值做了很好的铺垫。
但对本部分的知识学生的理解能力不足，发现问题能力上可能很难满足本节课的要求。
但学生对新知识兴趣高，肯下功夫、思维活跃，会为本节课的顺利推进提供一定的保障。
从学生的能力储备来看：1、高二下学期的学生已经对高中数学体系有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、全班交流，培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。
2、学生已经具备了类比一类事物归纳总结另一类事物的共同点与不同点的能力；能够利用提供的实际问题情境和合适的探究材料主动探究出本节知识点。
《利用导数研究函数的极值》效果分析【课题】《利用导数研究函数的极值》【学习效果测评】【学习效果分析】一、优化教学目标，落实学习任务优化教学目标是课堂教学实施素质教育的前提。
本节课在目标确定上，都没有照搬“教参”，而是知识、能力、情感三个方面深入挖掘，精心设计。
在教学目标的落实上，认真钻研教材立足一个“细”字；挖掘教材立足一个“深”字；备写教案立足一个“精”字；设计师生活动立足一个“实”字；教法选择立足一个“活”字，使教学目标有重点，有层次，有启发性、实用性和指导性。
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-3-2利用导数研究函数的极值
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
a 3 (2010· 北京文，18)设函数 f(x)＝3x ＋bx2＋cx＋d(a>0)， 且方程 f′(x)－9x＝0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a＝3 且曲线 y＝f′(x)过原点时，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求 a 的取值范围．
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f(x0)是极小值．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值． [解析] f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ 单调递增 －1 0 10 (－1,3) － 单调递减 3 0 －22 (3，＋∞) ＋ 单调递增
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(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 当 x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当 x∈(1,2)时，f′(x)<0；
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c， 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c， 因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，
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得．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
2018年秋高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与
3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]函数f (x )的极小值是( )图338A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝3，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝1【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3,令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．的图象有三个不同的交点，即方程1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图339所示，则函数f(x)( )图339A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：上只有极小值f (1)＝12，无极大值．本文档仅供文库使用。
第三章 导数及其应用3-2利用导数研究函数的性质
6 (1)若 Δ＝12－8a ＝0，即 a＝± . 2
2
当
a x∈－∞，3或
a x∈3，＋∞时，f
′(x)>0，
此时 f(x)在(－∞，＋∞)为增函数． 6 所以 a＝± 满足． 2
(2)若 Δ＝12－8a2<0，恒有 f ′(x)>0，f(x)在(－∞，＋ 3 ∞)上为增函数．所以 a > ， 2
(理)(2010·广东省东莞市模拟)已知函数f(x) 的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f(x) 的图象最有可能的是( )
解析：由图可知，当x>0时，f ′(x)<0，∴函 数f(x)的图象在(0，＋∞)上是单调递减的； 当x<－2时，f ′(x)<0，∴函数f(x)的图象在 (－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A 符合，故选A. 答案：A
重点难点 重点：1.用导数判定函数单调性的方法 2．函数极值的概念及求法、函数的最值 难点：导函数的图象与函数单调性的关系
知识归纳 1．函数的单调性 (1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果 f ′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数； 如果f ′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内为减函 数． (2)①如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x) 等于常数．
答案：3
[例3] 函数f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如下 图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是 ( )
分析：由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下 方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象， 用排除法求解． 解析：由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)<0， f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x) 为增函数． 只有C符合题意，故选C. 答案：C
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数
故 f(x)在(0,1)上单调递增， (1，e]上单调递减． ∴x＝1 是 f(x)的极大值点，且 f(x)极大值＝－1. 又 f(e)＝1－e<－1， ∴f(x)大＝－1，选 B. (2)f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令 f ′(x)＝0 得 x1＝－1，x2＝3，所以 f(x)在 x＝－1 处有极大值 f(－1)＝10， f(x)在 x＝3 处有极小值 f(3)＝－22，在区间端点处 f(－4)＝－71，f(4)＝－15， 比较上述结果得，f(x)在[－4,4]上的最大值为 f(－1)＝10，最小值为 f(－4)＝－71. [答1案2/13]/2021(1)B
x＝1 处分别取得最小值和最大值 8 分
②当 0＜a＜4 时，x2＜1，由(1)知，
f(1x2)/1在3/20[201 ，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减．
所以 f(x)在 x＝x2＝－1＋ 3 4＋3a处取得最大值.10 分 又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以 当 0＜a＜1 时，f(x)在 x＝1 处取得最小值； 当 a＝1 时，f(x)在 x＝0 和 x＝1 处同时取得最小值； 当 1＜a＜4 时，f(x)在 x＝0 处取得最小值.12 分
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含参数的最值问题关键是判断函数在给定区间上的单调性，在判断单调性时多用分 类讨论思想．
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2．若 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是 3，最小值是－29，求 a，b 的值． 解析：f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f ′(x)＝0，得 x＝0，x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
求函数最值的方法 第一步：求函数的定义域． 第二步：求 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0. 第三步：列出关于 x，f(x)，f ′(x)的变化表． 第四步：求极值、端点值，确定最值．
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数
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极大值为 f(1)＝a＋2. 由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象，如图所示， (2)结合图象，当极大值 a＋2＝0 时，有极小值小于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个 交点，即方程 f(x)＝0 恰有两个实数根，所以 a＝－2 满足条件；当极小值 a－2＝0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两 个实数根，所以 a＝2 满足条件． 综上，当 a＝±2 时，方程恰有两个实数根．
5π 6
0
5π－6 3 12
(56π，π) ＋
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝2－x82.
令 f′(x)＝0，得 x1＝2，x2＝－2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2) －2
(－2,0)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－8
因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值－8；
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理 02 课堂(kètáng) 合作探究
03 课后 巩固提升 课时(kèshí)作业
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[自主梳理]
一、极值点与极值
1．极小值点与极小值
如图，函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其
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二、求函数 f(x)极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，那么 f(x0)是极大值． (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)< 0，右侧 f′(x) > 0，那么 f(x0)是极小值．