公式表_第二波_少年

y
y
y
y
y
cos , y = sin ,并用 d d
替换dxdy，这里注意千万不要忘了前面
积分对称性 定积分对称性
当定积分的积分限关于原点对称时：
1 0 0 1 1
x
－R
0
R
x
0
二重积分对称性
若积分区域 D 关于 x 轴对称，记 x 轴以上区域为 D1 如果被积函数 设 关于 若 若 设
三重积分对称性
积分
D
在 D 上有
ห้องสมุดไป่ตู้
x =u
2
换元
换 x 0 2 限 u 0 4
4
一阶连续偏导数，则
=
1 2
x de
x
1 2
4 0
1 4 1 e du = eu = e 2 2 0
u
= xe x
e x dx = xe x
ex + C
D
Q ( x
P ) dxdy = y
L
Pdx + Qdy
y 的积分限：一条平行于 y轴的直线沿y轴正方向穿 过积分区域，穿入线 1( x ) 为y的积分下限，穿出线 2( x ) 为积分上限。
: f ( x, y , z )
计算公式
2 2 f ( x, y, z ( x, y )) 1 + z x + zy dxdy Dxoy
2 f ( x( y, z ), y, z ) 1 + x y + xz2 dydz D yoz
这种方法有一定的适 用范围：一是截面面积容 易求解，比如截面是圆、 椭圆、三角形等；另外一 点，被积函数是只关于 z 的函数，也就是
�有方向侧，需要判断符号： 当�的正法向量与z轴正方向夹角为 锐角时，符号取“＋”，否则取“－”。
f ( x, y , z ) = g ( z )
x = x( y, z )
D yoz P( x ( y, z ), y, z ) ± dydz ± P( x( y, z ), y, z ) dydz
D yoz
x = sin cos , y = sin sin , z = cos , = x2 + y2 + z 2
1、找 的积分限。从原点出发一条射线 M，沿z轴正方向穿过积分区域 ，可见从
1
�没有方向 计算方法：转化为二重积分 二重积分
D
计算方法：转化为一元定积分
b a
x
� 2 (与z轴垂直， 取值为零) � 3 (法向量与z轴 夹角为钝角， 符号取“－”)
曲线积分 L~
第一类(对弧长)
L
曲面积分
第一类(对面积)
~
第二类(对坐标)
L
第二类(对坐标)
f ( x, y ) ds
P( x, y) dx + Q( x, y)dy
f ( x, y, z ) dS
P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy
高 数 叔
二代 三符号
±
Dxoy
三重积分
f ( x, y, z ) dv
直角坐标
柱面坐标
f (r , , z ) r dr d dz
先一后二
f ( x, y, z ) dV =
Dxoy b Dxoy : X型：
先二后一
f ( x, y, z ) dz
c2 c1
=
Dxoy
rdrd d
r2 ( ) r1 ( )
L : f ( x, y )
y = y ( x) x = x( y )
{ x = x(t ) y = y (t )
b a d c
f [ x, y ( x)] 1 + [ y ( x)] dx f [ x( y ), y ] 1 + [ x ( y )] dy
2
2
一投二代三变量
f ( x, y, z ) dS =
2
一投二代三符号
R( x, y, z )dxdy
2 x 2 y
f [ x(t ), y (t )] [ x (t )] + [ y (t )] dt
2
�在xoy上的投影
换 dS = 1 + z + z dxdy
z=z(x,y)代入被积函数
三符号
一投
二代
=±
2 x 2 y
Dxoy
R( x, y, z ( x, y ))dxdy
x 2 + y 2 = R 2 上半个圆 x 2 + y2 d =
D 0
圆周 x 2 + y 2 = Rx 围成的区域
R 0
y = x, x = 1, y = 0 围成
1 0 1
f ( x) dx.
如果被积函数
= 0.
f ( x, y, z ) dv = 2
1
f ( x, y, z ) dv.
中 y
y
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
f ( x, y, z ) dv =
d
max min
sin d
2( 1(
, ) , )
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 d
f ( x)dx
f ( x, y ) d
P Q R ( + + ) dV = x y z
这里 cos ，cos
D
换，而积分结果不变，即
Dxoy
Dxoy : Y型：
y = y ( x) x = x( y )
{ x = x(t ) y = y (t )
b a d c
{[ P( x, y ( x))] + [Q( x, y( x))] y ( x)}dx {[ P( x( y ), y )] x ( y ) + [Q( x( y ), y )]}dy
确定z的积分限：过投影区域
Dxoy 内一点的
直线，沿着z轴正方向穿过 ，下限：穿入面； 上限：穿出面。 r 和 的积分限确定与二重积分 极坐标方法一样。 如果投影区域是圆域，并且被积函数中含有 y 这样的形式，则使用柱面坐标相对 x2 + y2 或 x 比较方便。
曲面积分
R( x, y, z ) dxdy P( x, y, z ) dydz
f ( x, y ) d
D
f ( x) dx = 2
a 0
f ( x, y, z )关于 x 为奇函数，则 f ( x, y, z )关于 x 为偶函数，则
f ( x, y, z ) dv = 0.
y = 1 x, x = 0, y = 0 围成
1 0 1 0
抛物线 y 2 = x
1 0
x = 1 围成
=
n 1 n 3 n n 2 n 1 n 3 n n 2
3 1 , n 为正偶数 4 2 2 6 4 2 , n 为正奇数 7 5 3
f ( x, y ) d
D
f ( x, y ) d .
f ( x, y, z ) dv = 2
1
f ( x, y, z ) dv.
x
z
z
1
z
z
z
若积分区域 D 关于
x 轴和 y 轴都对称，记
b a
1 xe dx = 2
x2
2 0
e dx
x2
例
x e dx
x
u=x v=e
x
若函数 P ( x, y ) 和
闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成，
Q ( x, y )
dx
2 ( x) 1 ( x)
f ( x, y ) dy
Y型：
d c
dy
2( y ) 1( y )
f ( x, y ) dx
极坐标
2
dx dy d
x 0 1
f ( x, y ) dy, f ( x, y ) dx,
sec
f ( x) dx = 0.
D
f ( x, y ) d
若积分区域 D 关于 如果被积函数
f ( x, y ) d .
关于 若 若
xoz（或写成
y = 0 ）面对称，并且设
为奇函数，则
1为
0（或 y
0 ）的部分：
曲面方程 一投
z = z ( x, y )
化成二重积分
R ( x, y, z ( x, y )) dxdy
{[ P( x(t ), y (t ))] x (t ) + [Q( x(t ), y (t ))] y (t )}dt
z = z ( x, y ) x = x( y, z )
Dxoy
R( x, y, z ( x, y )) ± dxdy
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z ) dz f (r cos , r sin , z ) dz
d dy dx
z2 ( x , y ) z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) z1 ( x , y ) z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
关于 若 若
）面对称，并且设
1
为
三重积分图形
In =
2 0
sin n x dx =
2 0
cosn x dx
如果被积函数
f ( x, y )是关于 x 的偶函数，则
=2
D1
f ( x, y, z ) 关于 z 为奇函数，则 f ( x, y, z ) 关于 z 为偶函数，则
f ( x, y, z ) dv = 0.