专升本(高数—)第二章一元函数微分学
反之不成立.即连续不一定可导．（了解）
比如 函数
f ( x ) x 在 x 0 处连续但不可导
x x
y x
解
lim
x 0
f (0 x ) f (0) h
y
f (0 x ) f (0)
x
lim
证明
设函数
f ( x ) 在点 x 0 可导 , 则
y x f ( x 0 )
x 0
lim
由极限与无穷小的关系
y x f ( x 0 )
即 y f ( x 0 ) x x
其中
0
x 0
(x 0)
x 0
lim y lim [ f ( x 0 ) x x ] 0
f (t0 )
f (t )
瞬时速度 切线斜率
o
y
t0
t
y f ( x)
s
N
C
M
x0
T
两个问题的共性:
o
x
x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
3. 导数的定义
(双侧)导数定义
Δx 0
设 y f(x) 在某个U ( x0 )上有定义。若 f(x0 Δx) f(x0 ) Δx lim f(x) f(x0 ) x x0
x x0
lim
Δy Δx
lim
Δx 0
)
存在，则称 y f(x) 在 x0可导（或导数存在、有导数）， 并且称此极限为 y f(x) 在 x0 的导数 , 可记之为
a
C为常数
a 1
(2)( x )' ax
x x
;
(3)(a )' a ln a(a 0, a 1) (e ) ' e
x
x
(4)(log a | x | )'
1 x ln a 1 ; x
;
( ln | x | )'
(5)(sin x)' cos x;
(6)(cos x)' sin x; (7)(tan x)' sec x;
(1)求增量 y f ( x x ) f ( x );
(2)算比值
y x f ( x x) f ( x) y x x . ;
(3)求极限 y lim 0 x
例
求函数 f ( x ) sin x ,求 ( sin x ) .
sin( x x ) sin ( x )
即 f ( x )
1 ( y )
例1 解
求函数
y arcsin
x 的导数 .
,
x sin y 在 I y ( , )内单调、可导 2 2
且 (sin y ) cos y 0 ,
在 I x ( 1 ,1 )内有
1 cos y
1 1 sin
由 y f ( x )的单调性可知
y 0,
于是有
y x
1 x y
,
f ( x ) 连续 ,
y 0
( x 0 ),
又知 ( y ) 0
1 x y
f ( x ) lim
y x
.
x 0
lim
y 0
1
( y )
f (t0 )
f (t )
o
s
t0
t
2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线
y
y f ( x)
N
割线 M N 的极限位置 M T (当 时)
切线 MT 的斜率
lim tan
C
M
x0
T
o
x
x
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
2
(8)(cot x)' csc 2 x; (9)(sec x)' sec x tan x; (10)(csc x)' csc x cot x; (11)(arcsin x)'
1 1 x
2
;
(12)(arccos x )'
1 1 x
2
;
1
(13)(arctan x)'
（一）、导数的概念与性质
（二）、导数的运算
（一）、导数的概念与性质
一、 导数的概念
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为
t t0 v f (t ) f (t0 )
自由落体运动
s
1 2
gt
2
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t ) f (t0 ) t t0
成人高考高数一辅导
• 蔡健
• 农业与生物工程学院
•
College of Agriculture & Biological Engineering
第二章 一元函数微分学(11年考了44分）
一、 导数 二、微分 三、微分中值定理 四、 洛必塔法则 五、 导数的应用
第二章
第一节
一元函数微分学
导数
2011年考了24分
F ( x , y ( x )) 0 ，两边对
x 求导，即可解出
y ( x ) ，举例说明。
例：设函数 y
f ( x ) 由 x 2 3 y 4 x 2 y 1 所确定，求
dy dx
.
（11 年解答题，8 分） 知识点：读懂题意求
2
.
2011年填空、4分
解：
y
'
4x
y |x 1 4
'
根据导数的几何意义, 得切线斜率为
故曲线
2
k y
x 1
4
y 2 x 在点 (1, 2 ) 处的切线方程为
即 y 4x 2
y 2 4 ( x 1)
三、 函数的可导性与连续性的关系
可导的函数一定是连续的．（了解）
如果函数 x ( y )在某区间 I y内单调、可导
且 ( y ) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间 I x内也可导 , 且有 f ( x) 1
( y )的倒数.
证
任取 x I x , 给 x 以增量 x ( x 0 , x x I x )
都可导 , 就称函数
对于任一
f ( x ) 在开区间
( a , b ) 内可导 .
x I , 都对应着
f ( x ) 的一个确定的导数
值 .这个函数叫做原来函数 dy dx 或 df ( x ) dx .
f ( x ) 的导函数 .记作 y , f ( x ),
即 y lim
f ( x x) f ( x) x
x
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
f ( x 0 ) lim
x 0
lim
x 0
注意 函数在一点可导的充分必要条件为：
f ( x0 ) f ( x0 )
' '
导函数（了解） （1） 如果函数 y f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内的每一点
y
y f ( x)
T
M
o
x0
x
在 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的
切线方程为
y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ). 每年都考、重点掌握！
y y0 1 f ( x0 ) ( x x0 ) (f 0 ) 0). (x
法线方程为
例、
曲线 y 2 x 在点 (1, 2 ) 处的切线方程为：
(14)(arc cot x)'
1 x
1 1 x
2
;
2
.
二、导数的四则运算法则
（1）和（差）的导数：(u±v)′= 推广到有限个函数的情形：
u v ,
.
,
(u+v+…+ω)′=
u v ω
uv uv
（2）积的导数：(uv)′= 特例：(cu)′= （3）商的导数：
h 0
x x
1
o x
lim
x 0
f (0 x ) f (0)
x
lim
h 0
x x
1
即 f ( 0 ) f ( 0 )
函数 y f ( x ) 在 x 0 点不可导 .
（二）、导数的运算
一、基本初等函数的导数公式
(1)C' 0
或 或
y y u ， x u x
y f ( u) ( x )， x
dy du . dx du dx dy
例：设 y e ，则 y '
2x
x 1
______.
（11 年填空，4 分） 知识点：分清复合函数由哪几个“基本初等函数”复合而成，再按照 复合函数求导法则求导,最后要把中间变量换回 x 的函数。 解：设 则
专升本 第二章 一元函数微分学
第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。
河南专升本高数考纲
河南专升本高数考纲【原创实用版】目录一、河南专升本高数考试大纲概述二、河南专升本高数考试模块及内容1.第一模块：函数、极限和连续2.第二模块：一元函数微分学3.第三模块：一元函数积分学4.第四模块：向量代数和空间解析几何5.第五模块：历年河南专升本高数考题及答案解析三、备考建议及资源正文一、河南专升本高数考试大纲概述河南专升本高数考试大纲是指导河南省专升本考生备考高数科目的重要参考资料，它明确了考试的范围、内容、题型及分值分布等。
根据大纲，河南专升本高数考试主要分为五个模块，分别是函数、极限和连续，一元函数微分学，一元函数积分学，向量代数和空间解析几何，以及历年河南专升本高数考题。
二、河南专升本高数考试模块及内容1.第一模块：函数、极限和连续本模块主要考察高数的主要研究对象——函数，以及研究工具——极限和连续。
具体内容包括：函数的基本概念、性质、图像和应用；极限的定义、性质、计算方法和应用；连续的定义、性质和应用。
2.第二模块：一元函数微分学本模块主要考察一元函数的微分概念、性质和应用。
具体内容包括：导数的定义、计算方法和应用；微分的定义、性质和应用；中值定理和导数的应用。
3.第三模块：一元函数积分学本模块主要考察一元函数的积分概念、性质和应用。
具体内容包括：定积分的定义、性质、计算方法和应用；不定积分的定义、性质和计算方法；解积分的方法，如直接积分法、凑微分法、第一换元法、第二换元法和分部积分法等。
4.第四模块：向量代数和空间解析几何本模块主要考察向量代数和空间解析几何的基本概念、性质和应用。
具体内容包括：向量的基本概念、运算和应用；平面和直线的基本概念、性质和应用；二次曲面的基本概念、性质和应用。
5.第五模块：历年河南专升本高数考题本模块主要提供历年河南专升本高数考试的真题及答案解析，供考生参考和练习。
三、备考建议及资源针对河南专升本高数考试大纲，考生可以采取以下备考建议：1.熟悉考试大纲，明确考试范围和内容，有针对性地进行复习。
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x=0处可导，则= ( )A．f’(0)B．f’(0)C．2f’(0)D．f’(0)正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学2．设函数y=ex－2，则dy= ( )A．ex－3dxB．ex－2dxC．ex－1dxD．exdx正确答案：B解析：因为y=ex－2，y’=ex－2，所以dy=ex－2dx．知识模块：一元函数微分学3．下列函数中，在x=0处可导的是( )A．y=｜x｜B．y=C．y=x3D．y=lnx正确答案：C解析：选项A中，y=｜x｜，在x=0处左右导数不相同，则y=｜x｜在x=0处不可导；选项B中，在x=0处无定义，即y=在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y’=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx在x=0点没定义，所以y=lnx在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100)，则f’(一1)= ( )A．100！B．99！C．∞D．一99！正确答案：B解析：由导数的定义可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99！．知识模块：一元函数微分学5．曲线y=( )A．有一个拐点B．有两个拐点C．有三个拐点D．无拐点正确答案：D解析：因y’=，则y’’在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以无拐点．知识模块：一元函数微分学6．函数y=ex+e－x的单调增加区间是( )A．(一∞，+∞)B．(一∞，0]C．(一1，1)D．[0，+∞)正确答案：D解析：y=ex+e－x，则y’=ex一e－x=，令y’＞0，则x＞0，所以y 在区间[0，+∞)上单调递增．知识模块：一元函数微分学7．函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ξ= ( )A．2B．3C．0D．1正确答案：A解析：由f(x)=，得f(0)=f(3)=0．又因f’(x)=，故f’(ξ)=0，所以ξ=2．知识模块：一元函数微分学8．设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)＞0，f(1)＜0，则下列正确的是( ) A．y=f(x)在[0，1]上可能无界B．y=f(x)在[0，1]上未必有最小值C．y=f(x)在[0，1]上未必有最大值D．方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根正确答案：D解析：函数在闭区间上连续，则在该区间必定有界，且存在最大、最小值，由零点定理可知选项D正确．知识模块：一元函数微分学填空题9．设函数y=(x一3)4，则dy=________．正确答案：4(x一3)3dx解析：因为y=(x一3)4，y’=4(x一3)3，则dy=4(x一3)3dx．知识模块：一元函数微分学10．设y=x2ex，则y(10)｜x=0=________．正确答案：90解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1]，y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2]，y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3]，…y(10)=ex[(x+10)2一10]，所以y(10)｜x=0=90．知识模块：一元函数微分学11．x=，y=t3，则=________．正确答案：一3t2(1+t)2解析：=一3t2(1+t)2．知识模块：一元函数微分学12．曲线y=的水平渐近线方程为_________．正确答案：y=解析：的水平渐近线．知识模块：一元函数微分学13．f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为_________．正确答案：x=一(n+1)解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，故(f(n)(x))’=f(n＋1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=一(n+1)，显然当x＞一(n+1)时，f(n＋1)(x)＞0；当x＜一(n+1)时，f(n＋1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=一(n+1)．知识模块：一元函数微分学解答题14．讨论f(x)=在x=0处的可导性．正确答案：f－’(0)==0，f＋’(0)==0．故函数在x=0处可导且f’(0)=0．涉及知识点：一元函数微分学15．求曲线y=e－x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．正确答案：曲线y=e－x上任一点(x0，e－x0)处的切线方程为y=e－x0=一(e －x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=一1，则切点为(一1，e)，故过原点的切线方程为y=一ex．又曲线y=e－x上任意点的法线方程为y—e－x0=ex0(x—x0)，因法线与x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，从而所求法线方程为y=x+1．涉及知识点：一元函数微分学16．函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．正确答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．涉及知识点：一元函数微分学17．求函数y=的导数[已知f(μ)可微]．正确答案：设y=f(μ)，μ=ν2，ν=sint，t=，则涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x0点可导，求．正确答案：=2f’( x0)．涉及知识点：一元函数微分学19．已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，证明：g’(x)=2g(x)．正确答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．涉及知识点：一元函数微分学20．已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．涉及知识点：一元函数微分学21．设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=在(0，+∞)内单调增加．正确答案：方法一因为f’’(x)＞0，所以f’(x)在(0，+∞)单调增加，故f’(x)＞f’(ξ)，即g’(x)＞0，从而g(x)在(0，+∞)单调增加．方法二g’(x)=，欲证分子φ(x)=f’(x)x－f(x)大于零，因为φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调增加，即φ(x)＞φ(0)=0，故当x＞0，g(x)在(0，+∞)内单调增加．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．正确答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．涉及知识点：一元函数微分学23．当0＜x＜π时，证明．正确答案：令F(x)=，则F(0)=F(π)=0．又F’(x)=＜F’(0)＞F’(x)＞F’(π)．而F’(0)=＜0，判别不出F’(x)的正负．注意到F’’(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸曲线，由于F(0)=F(π)=0，故F(x)＞0，即，得证．涉及知识点：一元函数微分学24．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．正确答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．涉及知识点：一元函数微分学25．证明当x＞0时，有．正确答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．涉及知识点：一元函数微分学26．某企业计划生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用最少?正确答案：设每批生产x件，则一年内生产批，每批生产直接消耗费用为p，则p=kx2，又因为根据条件，每批产品40件时，直接消耗的生产费用为800，所以，800=k402，即k=x2，该产品的总费用y为y=．0＜x≤a，又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点，所以当x=≈45时，总费用最小．涉及知识点：一元函数微分学。
河北高等数学2专升本教材
河北高等数学2专升本教材在河北地区进行高等教育的学生们，无论是本科生还是专升本学员，都需要学习高等数学2课程。
本文将对河北高等数学2专升本教材的内容进行介绍，帮助学生们更好地了解和学习该课程。
第一章：极限与连续极限与连续是高等数学2课程的基础，也是专升本考试中常见的考点。
本章主要包括数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量、数列的敛散性、函数的连续性等内容。
学生们需要掌握极限的定义、性质以及计算方法，能够准确判断函数的极限和连续性。
第二章：一元函数微分学一元函数微分学是高等数学2课程的重要内容，也是专升本考试中的重点难点。
本章主要包括导数与微分的概念、性质和计算方法，函数的凹凸性与拐点，函数的极值以及应用问题等内容。
学生们需要熟练掌握导数的定义、性质和计算方法，理解函数的凹凸性和极值的判定方法，并能够灵活运用微分学知识解决实际问题。
第三章：一元函数积分学一元函数积分学是高等数学2课程的重要组成部分，也是专升本考试中的重要内容。
本章主要包括不定积分、定积分和变限积分的概念、性质和计算方法，含参变量的积分，定积分的应用等内容。
学生们需要掌握积分的基本性质和计算方法，能够准确计算各类积分，理解积分的几何和物理意义，并能够将积分应用于实际问题的解决中。
第四章：多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2课程的扩展内容，为学生们了解多元函数的性质和变化提供了基础。
本章主要包括多元函数的偏导数、全微分与全微分近似计算，多元函数的极值与条件极值，隐函数的导数与高阶导数等内容。
学生们需要熟练掌握多元函数的偏导数计算和极值判定方法，能够灵活运用多元函数微分学知识解决实际问题。
第五章：常微分方程常微分方程是高等数学2课程的综合应用内容，也是专升本考试中的考察点之一。
本章主要包括常微分方程的基本概念、解法和应用，一阶线性微分方程，高阶线性微分方程，欧拉—拉格朗日方程等内容。
学生们需要掌握常微分方程的求解方法，理解微分方程在各个学科中的应用，并能够运用常微分方程解决实际问题。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中，[*]，原等式成立。
选项B中，[*]，原等式成立。
选项C中，[*]，原等式不成立。
选项D中，[*]，原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。
8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。
专升本第二章_一元函数的微分学
( x0 ) , 即 同理右导数为f f ( x0 x) f ( x0 ) y ( x0 ) lim f lim x0 x x0 x
定理：函数 y f ( x) 在 x0 点处可导的充要条件是函数 ( x0 ) f ( x0 ) 。 在 x0 点处的左、右导数均存在，且 f
例13. 求由方程 x 2 y 2 r 2 所确定的隐函数 y y ( x) 的导数。
解1：由方程可以解出 y r x ， 所以 1 1 x y (2 x) 2 2 2 r 2 y 看成 x的函数)： x 2 x 2 y y 0 ， y y
y nxn1a x cos x x n a x (ln a) cos x x n a x sin x
3. 复合函数和反函数的导数
定理4.设函数u ( x) 在点 x 可导，又函数y f (u ) 在 对应点u 处可导，则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x 处可导， dy dy du 且 f ( ( x)) f (u ) ( x) 或 dx du dx
曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 )
3. 可导与连续的关系
例2. 讨论函数 f ( x) sin x 在 x 0 处的连续性和可导性。
解：y sin x 0 x ,当 x 0时，y 0
e2x , x0 例1. 考虑函数 f ( x) sin 2 x 1, x 0 在点 x 0 处是否可导。
f ( x) f (0) e2 x 1 解：f (0) lim lim 2 x0 x0 x0 x
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)(总分：70.02，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：10.00)1.设函数f(x)在x=x0处可导，且f'(x0)=2，则极限=______A． B．2 C． D．-2（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：2.设f(0)=0，且f'(0)存在，则=______ A．f'(x) B．f'(0) C．f(0) D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：3.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．f(x)必存在 D f(x)必不存在（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：4.设函数f(x)=，则f'(x)等于______ A．-2 B．-2x C．2 D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：5.椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______A．-1 B． C D．1（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：20.00)6.f'(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：7.设函数f(x)在x=2处可导，且f'(2)=1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：8.设曲线y=x2-3x+4在点M处的切线斜率为-1，则点M的坐标为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：(1，2)）解析：9.y=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：10.设y=x e+e x+lnx+e e，则y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：11.设y=x2·2x y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x·2x+x2·2x ln2）解析：12.设f(x)=ln(1+x2)，则f"(-1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：13.设f(x)=sinx+lnx，则f"(1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-(1+sin1)）解析：14.设y=e sinx，则dy= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e sinx·cosxdx）解析：15.设dy= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：4，分数：40.00)求下列由参数方程所确定的函数的导数．（分数：8.01）(1).设，求 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设y=f(x)由参数方程x=cost，y=sint-tcost 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设x=，y=，求 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列隐函数的导数．（分数：8.01）(1).设由方程xy2-e xy+2=0确定的隐函数y=f(x) 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设y=f(x)由方程y3=x+arccos(xy) 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设y=f(x)由方程e xy+ylnx-cos2x=0 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：用对数求导法求下列函数的导数．（分数：12.00）(1).设y=x sinx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设函数y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数y=arcsinx+x arctanx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4).f(x)在点x=0处可导，试确定a和b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)在点x=0处可导，则它在x=0处必定连续．由于f(0)=e0=1，f(0-0)=[*]，f(0+0)=[*]，由函数的点连续的定义可知，f(0-0)=f(0+0)=f(0)，可得a=1．又函数f(x)在点x=0处可导，则函数f(x)在点x=0处的左导数f'-(x0)和右导数f'+(x0)都存在且相等，由于[*]因为f'-(x0)=f'+(x0)，于是可得b=1．)解析：求下列函数的高阶导数．（分数：12.00）(1).设函数y=ln(1+x2)，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设函数y=(1+x2)arctanx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设f"(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f"(x)=[*])解析：(4).设函数y=ln(1+x)，求y(n)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。
高等数学第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分甲 内容要点一．导数与微分概念 1．导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商） 记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等。
并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()0000limx x x f x f x f x x --='→我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
高等数学2专升本参考教材
高等数学2专升本参考教材第一章一元函数微分学1.1 函数的概念与性质高等数学中，函数是非常重要的概念。
在本章中，我们将介绍函数的定义、函数的性质，以及常见的一些函数类型，包括指数函数、对数函数、三角函数等。
我们将深入探讨它们的定义、图像、性质以及应用。
1.2 导数与微分导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，而微分是函数在某一点上的增量与自变量的增量之比。
在本节中，我们将学习导数的定义、求导法则，包括常见函数的导数公式，以及一些特殊函数的导数如常数函数、幂函数等。
我们还将介绍微分的概念，并探讨导数与微分的关系。
1.3 高阶导数与高阶微分高阶导数是指一个函数的导数的导数，而高阶微分是指一个函数的微分的微分。
本节中，我们将学习如何求解高阶导数以及高阶微分，并且介绍泰勒公式在近似计算中的应用。
第二章一元函数积分学2.1 不定积分积分是函数的一个重要性质，它与导数有着密切的联系。
在本章，我们将学习不定积分的概念与性质，以及常见函数的积分公式。
我们还将介绍变量代换法和分部积分法，在求解不定积分时的应用。
2.2 定积分与定积分的计算定积分是对函数在给定区间上的积分，它表示了函数在这个区间上的总体量。
本节中，我们将介绍定积分的概念、性质与几何意义，并学习如何计算定积分，包括定积分的基本性质、可加性、估值等。
2.3 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用。
在本节中，我们将学习如何利用定积分解决实际问题，包括求曲线长度、曲线面积、旋转体体积等。
我们还将介绍牛顿-莱布尼茨公式及其应用。
第三章无穷级数3.1 数项级数数项级数是一种数学对象，由一系列数相加而得。
本章中，我们将学习数项级数的定义、性质和收敛性的判断方法。
我们还将介绍常见的数项级数如等比级数、调和级数以及幂级数，并讨论它们的性质。
3.2 幂级数幂级数是一种特殊的数项级数，它在数学分析中具有重要地位。
在本节中，我们将学习幂级数的收敛域、收敛半径等概念，并讨论幂级数的求和与展开的方法。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)_真题-无答案
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分94,考试时间90分钟)一、选择题1. 已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
A.8 B.176 C.7D.1862. 若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A．B．C．D．3. 已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则等于______A.0 B.1 C.2D.44. 设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在B．f'(x0)必不存在C．必存在D．必不存在二、填空题1. 曲线在点(2，3)处的切线方程是______。
2. 函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是______。
3. 设，则f'(0)=______。
4. 曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为______。
5. 设，则f'(x)=______。
6. 设函数，则y'=______。
7. 设函数y=sinln(x3)，则y'=______。
8. 设函数y=cos(e-x)，则y'(0)=______。
三、解答题设函数y=x3+ax+1的图象在点(0，1)处的切线的斜率为-3，求：1. a；2. 函数y=x3+ax+1在[0，2]上的最大值和最小值。
3. 求函数y=2x3+3x2-12x+14在[-3，4]上的最大值和最小值。
4. 求函数y=2x3-5x2-4x+4的单调区间和极值。
5. 求曲线y=x3-5x+1在(-1，5)处的切线方程和法线方程。
6. 求函数f(x)=x3-6x2+9x在区间[-3，3]上的最大值和最小值。
7. 求抛物线y=x2在x=2处的切线斜率。
8. 求抛物线y=2x2在点M(1，2)处的切线方程和法线方程。
9. 设函数f(x)在点x=0处可导，且f'(0)=1，求。
10. 讨论函数在点x=1，x=2处的连续性和可导性。