初中八年级数学 13.4最短路径问题 学案
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解最短路径问题的背景和应用，知道其在现实生活中的重要性。
2.掌握图形中两点间线段最短的性质，能够运用这一性质解决实际问题。
3.学会使用三角形两边之和大于第三边的原理，解决最短路径问题。
4.掌握运用数学符号和表达式来描述最短路径问题，并能运用相关公式进行计算。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，提供适当的引导和帮助。同时，注重启发式教学，激发学生的兴趣和思考，引导学生主动探究，培养他们解决问题的能力。通过师生互动、生生互动，促进学生之间的交流与合作，使他们在探索最短路径问题的过程中，不断提高自己的数学素养和思维能力。
三、教学重难点和教学设想
5.能够运用所学的最短路径知识，解决一些简单的实际问题。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养解决问题的能力：
1.通过观察和分析实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活中发现数学问题的意识。
2.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生从简单问题入手，逐步深入，掌握解决最短路径问题的方法。
c.教师介绍三角形两边之和大于第三边的原理，并解释其在解决最短路径问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生分组讨论，共同探究解决最短路径问题的方法。
2.教学过程：
a.教师给出几个具有挑战性的最短路径问题，要求学生分组讨论。
b.学生在小组内分享思路，共同寻找解决问题的方法。
c.教师巡回指导，给予提示和建议，帮助学生解决问题。
五、作业布置
为了巩固学生对最短路径问题的理解，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
人教版数学八年级上册第十三章13.4《最短路径问题》学案
13.4课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只需连结这两点，与直线的交点即为所求．以下图，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C，使CA ＋CB最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只需找到此中一个点对于这条直线的对称点，连结对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．CA ＋CB最短，以下图，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使这时先作点 B 对于直线 l 的对称点 B′，则点 C 是直线 l 与 AB′的交点．为了证明点 C 的地点即为所求，我们不如在直线上此外任取一点C′，连结 AC′，BC′，B′ C′，证明 AC＋CB ＜AC′＋ C′ B.以下：证明：由作图可知，点 B 和 B′对于直线l 对称，因此直线 l 是线段 BB′的垂直均分线．由于点 C 与 C′在直线 l 上，因此 BC ＝B′ C， BC′＝ B′ C′.在△ AB′ C′中， AB′＜ AC′＋ B′ C′，因此 AC ＋B′ C＜ AC′＋ B′ C′，因此 AC ＋BC＜AC ′＋ C′ B.【例 1】在图中直线l 上找到一点M，使它到A，B 两点的距离和最小．剖析：先确立此中一个点对于直线l 的对称点，而后连结对称点和另一个点，与直线l 的交点 M 即为所求的点．解：以下图： (1)作点 B 对于直线 l 的对称点B′；(2)连结 AB′交直线 l 于点 M.(3)则点 M 即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转变到一条直线上，而后用“两点之间线段最短”解决问题 .2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转变为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，无论题目怎样变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个中心，全部作法都同样．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，经过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这种最值问题时，要仔细审题，不要只注企图形而忽视题意要求，审题不清致使答非所问．3．利用平移确立最短路径选址选址问题的重点是把各条线段转变到一条线段上．假如两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处组成线段的差最大，假如两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处组成的线段的和最小，都能够用三角形三边关系来推理说明，往常依据最大值或最小值的状况取此中一个点的对称点来解决．解决连结河两岸的两个点的最短路径问题时，能够经过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转变为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们往常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转变到一条直线上，进而作出最短路径的方法来解决问题．【例 2】如图，小河畔有两个乡村A， B，要在河畔建一自来水厂向 A 村与 B 村供水．(1)若要使厂部到A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？剖析： (1)到 A，B 两点距离相等，可联想到“ 线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等”，又要在河畔，因此作AB 的垂直均分线，与EF 的交点即为切合条件的点．(2)要使厂部到 A 村、 B 村的距离之和最短，可联想到“ 两点之间线段最短”，作A(或B)点对于 EF 的对称点，连结对称点与 B 点，与 EF 的交点即为所求．解： (1)如图 1，取线段AB 的中点 G，过中点 G 画 AB 的垂线，交EF 于 P，则 P 到 A，1B 的距离相等．也可分别以A、 B 为圆心，以大于2AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点 P 即为所求．(2)如图 2，画出点 A 对于河岸 EF 的对称点 A′，连结 A′ B 交 EF 于 P ，则 P 到 A，B的距离和最短．【例 3】如图，从 A 地到 B 地经过一条小河( 河岸平行 )，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应怎样选择桥的地点才能使从 A 地到 B 地的行程最短？思路导引：从 A 到B 要走的路线是A→ M→ N→B，以下图，而MN是定值，于是要使行程最短，只需AM＋ BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从 C 到 B 应是余下的行程，连结BC的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥地点，MN即为所建的桥．解： (1)如图2，过点 A 作AC 垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2 )连结BC 与河岸的一边交于点N.(3)过点N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的地点．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转变在一条线段上，进而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段经过近似于镜面反射的方式转变成一条线段，如图，AO＋ BO＝AC 的长．因此作已知点对于某直线的对称点是解决这种问题的基本方法．【例 4】 ( 实质应用题 ) 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO，BO) ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，而后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总行程最短？图 a图b解：如图b.(1)作 C 点对于 OA 的对称点 C1，作 D 点对于 OB 的对称点 D1，(2) 连结 C1D 1，分别交OA，OB 于 P，Q，那么小明沿C→P→ Q→ D 的路线行走，所走的总行程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的重点．先做出此中一点关于对称轴的对称点，而后连结对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．依据垂直均分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的重点距离的最值问题的有效方法．【例 5】以下图， A，B 两点在直线的距离之差最大．运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些l 的双侧，在l 上找一点C，使点 C 到点A、 B剖析：本题的打破点是作点A(或 B)对于直线 l 的对称点 A′ (或 B′ )，作直线 A′ B( AB′ )与直线 l 交于点 C，把问题转变为三角形随意两边之差小于第三边来解决．解：以下图，以直线l 为对称轴，作点 A 对于直线l 的对称点A′，A′ B 的连线交l于点 C，则点 C 即为所求．原因：在直线 l 上任找一点 C′ (异于点 C)，连结 CA ，C′ A，C′ A′，C′ B.由于点 A， A′对于直线 l 对称，因此 l 为线段 AA′的垂直均分线，则有 CA＝ CA′，因此CA－CB＝ CA′ － CB＝ A′ B.又由于点 C′在 l 上，因此 C′ A＝C′ A′ .在△A′ BC′中，C′A－ C′ B＝C′ A′ － C′ B＜A′ B，因此 C′ A′ － C′B＜ CA－C B.点拨：依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，经过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
人教版数学八年级上册13.4新课学习,最短路径的问题优秀教学案例
-以道路施工情境为例，演示如何利用坐标系求解最短路径。
3.分析解题步骤，引导学生掌握求解最短路径的基本方法。
-梳理解题思路，强调关键步骤，提高学生解题能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，针对给定的问题进行讨论，共同寻找最短路径的解决方案。
本案例以一个具体的实际情境为背景：假设我们所在的城市的某段道路正在施工，需要找到一条从起点到终点的最短路径。通过这个情境，让学生感受到数学知识在解决实际问题时的重要性，激发他们的学习兴趣。在此基础上，我们将引导学生运用坐标系中的距离公式，结合生活实际，寻求最佳解决方案。
在教学过程中，注重培养学生的合作意识和探究精神，鼓励他们积极参与课堂讨论，分享自己的解题思路和心得。通过师生互动、生生互动，共同探索最短路径问题，使学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，提高解决问题的能力。
-引导学生思考如何在复杂的道路网中找到一条最短路径。
2.通过生活中的实例，让学生认识到最短路径问题的实际意义。
-示例：“假设我们从学校出发，到附近的超市购物，如何选择一条最短路径？”
-让学生初步感知最短路径问题与日常生活的紧密联系。
（二）讲授新知
1.介绍平面直角坐标系中两点间距离的计算方法。
-讲解距离公式的推导过程，让学生理解并掌握其原理。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，使其认识到数学在解决实际问题中的重要性。
2.培养学生面对问题时，勇于挑战、积极探究的精神风貌，增强自信心。
3.通过解决最短路径问题，使学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养学以致用的意识。
4.培养学生具有严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题导学案(新版)新人教版-(新版)新
课题学习最短路径问题——轴对称在解决“最短路径问题”的应用一、新课导入1.导入课题：屏幕展示教材第85页问题1的文字和图标.2.学习目标：(1)能利用轴对称变换解决实际问题.(2)能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）3.学习重、难点：重点：路径极值问题的转换方法.难点：路径极值问题的说理证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第85页的问题1.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：经历“作图——探究——归纳——总结”过程，体验用轴对称的性质解决生活中的求最短距离问题的实质.(4)自学参考提纲：①轴对称具有什么性质？如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②思考：问题1中的情境问题可以转化怎样的几何问题？试作出几何图形来表示.③马从A到河边再到B的路径是一个折线，求折线的最小值，可联想到两点之间的距离，所以可将三个点转化到同一直线上.④如图，AC如何转化使A、C、B在同一直线上呢？作B点关于l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则A、C、B′在同一直线上.⑤按“两点之间线段最短”，A通过怎样的变换确定的C点保证变换后的A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上呢？作A点关于l的对称点A′，则A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上.2.自学：认真阅读教材第85页内容，参照自学参考提纲试着找出解决问题的办法.3.助学：(1)师助生：①明了学情：最短路径问题是轴对称知识在生活中的运用，寻找解题思路是个难点.②差异指导：先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，完成②，然后在②的基础上寻找解决③的办法及依据.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生明白此类题的作图方法.(2)练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图：P点即为该点.1.自学指导：(1)自学内容：教材第86页的问题2.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：认真阅读课文，边看文字，对照图形，边体会教材上作图的方法和依据.(4)自学参考提纲：①回忆问题1是用什么办法解决最短路线问题的？作对称点.②问题2中点A、点B在河的两侧，而河岸存在两条直线，这个问题怎么解决？通过图形变化，转化为求一条直线两侧的点的最短距离.③由于河宽一定，要求AM+MN+NB最小，实际上就是要求AM+NB最小？④如何在直线b上确定一点N，使A′N=AM？将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则A′N=AM.2.自学：学生结合自学参考提纲研学课文内容.3.助学：(1)师助生：①明了学情：问题2较问题1更复杂，本质上是一回事，注意了解学生的思维障碍.②差异指导：a.先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，然后引导学生思考如何将AM、NB转化到同一直线上.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生说明作图的思路、依据及方法.(2)完成教材第93页15题.解：过A作关于MN的对称点A′，过B作关于l的对称点B′，连接A′B′交MN于P，交l于Q点，连接AP、BQ.则A→P→Q→B就是所示的最短路径.(3)教材第87页“归纳”.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交谈自己的学习收获有哪些？困惑在哪里？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.一、基础巩固（每题20分，共60分）1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.解:2.要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？试作图确定泵站并加以说明.解：如图，P处即为泵站的位置.3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.二、综合应用（20分）4.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图:作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.三、拓展延伸（20分）5.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大.。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
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13.4 课题学习最短路径问题
【学习目标】
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
【重点难点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【学习过程】
一、自主学习：
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？
二、合作探究：
探究点一探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？
追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？
探究点二选址造桥问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
三、尝试应用
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水
再回家，所走的最短距离是米.
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
四、补偿提高
5、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
【学后反思】
参考答案：
探究一、
追问1、
答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．
追问2
答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．
追问3
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l交于点C.
则点C即为所求．
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，
AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′.
即AC＋BC最短.
探究二、
分析：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN最短即可．
解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，
∵线段A′N′是线段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′
∴AM＋NB<AM′＋BN′
∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．
尝试应用：
1、D；
2、1000；
3、A
4、答案如图所示：
P点就是所求做的点
补偿提高
5、思路分析：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”．。