1.1.1平行截割定理

B E N M A
F
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
1 AB BN BE BE 3 = = = = 1 : 10. ND DF DC + BE 3 AB + 1 AB 3
�
…
B D F
…
1 d = (80 40) = 4 10
所以每根横档长度分别为40cm, 44cm, 48cm, 52cm, 所以每根横档长度分别为 56cm, 60cm, 64cm, 68cm, 72cm, 76cm, 80cm.
综合应用 已知四边形ABCD中,AD,BC不平行 不平行,F,E分别分别 例1.已知四边形 已知四边形 中 不平行 分别分别 的中点,求证 是AB,CD的中点 求证 的中点 求证:EF<(AD+BC)/2. E D C G
平行线等分线段定理的证明 已知:如图 求证:A 已知 如图 l1 // l2 // l3 ,若AB=BC,求证 1B1 =B1C1 . 若 求证 A B C F A1 E
3 1
l1 l2
C1
B1
2 4
l3
A
AB / AC / 若 = , 则BC // B / C / . AB AC AB / AC / 反之, 若BC // B / C / , 则 = . AB AC
1.1.1
平行截割定理
问题:你能利用练习本的格线把一根小木棍 问题 你能利用练习本的格线把一根小木棍 五等分吗?这样做的根据是什么 这样做的根据是什么? 五等分吗 这样做的根据是什么
a a
M
N
一,平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等,那么在任一条 与这组平行相交的)直 那么在任一条(与这组平行相交的 上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行相交的 直 线上截得的线段也相等. 线上截得的线段也相等
A 你能证明这两点吗? 你能证明这两点吗 E
B G
F
D
C
应 用 如图,木梯是由两根长木条上等距离排列若干根短木 例2.如图 木梯是由两根长木条上等距离排列若干根短木 如图 棍横档做成的,一架木梯共有 根横档,最上一根横档长 一架木梯共有11根横档 棍横档做成的 一架木梯共有 根横档 最上一根横档长 最下一根横档长80cm,求每根横档的长度 求每根横档的长度. 为40cm,最下一根横档长 最下一根横档长 求每根横档的长度 任取木梯相邻三级,如图中的 解:任取木梯相邻三级 如图中的 任取木梯相邻三级 如图中的AB,CD,EF 1 易得 CD = ( AB + EF ) A 2 C 所以木梯横档长度组成一个首项为40,末 所以木梯横档长度组成一个首项为 末 E 项为80,项数为 的等差数列,设公差为 项数为11的等差数列 设公差为d 项为 项数为 的等差数列 设公差为
AB 2 以 = 为例证明. BC 3
l1 l2
l3
A
A/ B
/
B
C
C/
m
n
p 一 地 如 平 线1, l2 , l3在 线 上 得 线 的 是 ( p, , q ∈ R + ) 般 , 果 行 l 直 m 截 两 段 比 ( pq∈N*) q p ,用 样 方 可 ,在 线 上 得 线 的 也 同 的 法 知 直 n 截 两 段 比 是 . q
EF EB AC BC ∴ = , = FD BG AD BG
F E B G
D C
AC AD AC EB = , EB = AD,∴ = , BC BG BC BG
EF AC ∴ = , 即EF BC = AC FD. FD BC
上且AD=AE, 例3.在ABC中,AB>AC,D在AB上,E在AC上且 在 中 在 上 在 上且 直线DE和 的延长线交于点 求证:BPCE=CPBD. 的延长线交于点P,求证 直线 和BC的延长线交于点 求证 A 证:作CF//AB交DP于F, 作 交 于 D E F C
B/
C/
B
C
两条直线与一组平行线相交, 二,平行截割定理 两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 它们被这组平行线截得的对应线段成比例
平行截割定理的证明
已知 : 三条平行线l1 // l2 // l3 , 直线m被这三条平行线截得线段AB, BC AB A/ B / 直线n被这三条平行线截得线段A/ B / , B / C / , 求证 : = / /. BC B C
已知 : 如图, D, E分别为ABC的边AB, AC反向延长线 上的点, DE // BC.求证 : AD : AB = AE : AC = DE : BC.
证: 作AP//BC
E D A
∴ AD : AB = AE : AC
又作DF//AC,BQ//AC 又作
Q
P F
∴ ED = AF , BC = QA, AD : AB = AF : QA,
的延长线相交于E. 证: 过C作CE//DA,与BA的延长线相交于 作 与 的延长线相交于
E
A
4 1 2 3
∴ ∠4 = ∠3, ∠1 = ∠2
又 Q ∠4 = ∠1,∴ ∠2 = ∠3.
∴ AE = AC.
B
D
C
BD BA BA BD BA ∴ = = ,即 = . DC AE AC DC AC
经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰. 五,(1)经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰 经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰 (2)梯形中位线 两腰中点所连线段)定理 梯形的中位线平行 梯形中位线(两腰中点所连线段 定理 梯形中位线 两腰中点所连线段 于两底,并且等于两底和的一半 并且等于两底和的一半. 于两底 并且等于两底和的一半
BF DB CN EC ∴ = , = , CN DC AF AE
EC BF DC 两式相乘得 = . AE AF DB
由已知可得
l
B
C
D
EC 6 = . AE 5
四,三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于 夹角两边长度的比. 夹角两边长度的比
BD BA 已知 : 如图, AD是ABC的角平分线.求证 : = . DC AC
∴ AD : AB = AE : AC = ED : BC .
B
C
应 用
例1.如图, 直线l分别交ABC的边BC , CA, AB所在 1 5 EC 直线于点D, E , F , 且AF = AB, BD = BC , 试求 . AE 3 2
于点N 解: 作CN//AB交DF于点 交 于点
A F E N
三,平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三 平行于三角形一边的直线截其他两边, 角形与原三角形的对应边成比例. 角形与原三角形的对应边成比例
已知 : 如图, D, E分别为ABC的边AB, AC上的点, DE // BC.求证 : AD : AB = AE : AC = DE : BC.
证: 作AP//BC
A
P
E
∴ AD : AB = AE : AC
又作DF//AC,BQ//AC 又作
Q
D
B
F
C
∴ DE = FC , FC : BC = AD : AB, DE : BC = AD : AB. ∴ AD : AB = DE : BC = AE : AC.
三,平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三 平行于三角形一边的直线截其他两边, 角形与原三角形的对应边成比例. 角形与原三角形的对应边成比例
A 连接GF,易得 易得GF//AD 证:作EG//BC,连接 作 连接 易得
F
B
EF < EG + GF =
1 ( BC + AD). 2
已知ABC中,D为AC上一点 为CB延长线上一 上一点,E为 延长线上一 例2.已知 已知 中 为 上一点 求证:EFBC=ACFD. 点,EB=AD,ED交AB于F.求证 交 于 求证 A 证:作DG//AB交BC于G 作 交 于
BP BD = , CP CF
P
AD AE = , AD = AE ,∴ CF = EC , CF EC
BP BD ∴ = ,即BP CE = CP BD. CP CE
B
梯形ABCD中,AE=2BE,M为BC的中点 连接 的中点,连接 并 例4.梯形 梯形 中 为 的中点 连接EM并 延长交DC的延长线于 连接BD交 于 的延长线于F,连接 延长交 的延长线于 连接 交EF于N,CD=3AB, 求BN:ND=?.