平行线等分线段定理和平行截割定理
平行线等分线段定理及证实[精华]
![平行线等分线段定理及证实[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/ae8b705a2a160b4e767f5acfa1c7aa00b52a9dbd.png)
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图)
求证：GH:HI=JK:KL
证明：
过点K作G'I'∥GI交AB ,CD ,EF于点G',H' I'.
∵ AB∥CD∥EF,G'I'∥GI
∴ 四边形GHKG',HII'H‘,GII'G是平行四边形（平行四边形判定定理），∠BJK=∠KLI,∠JG'I'=∠G'I'F（内错角相等）
∴△JG'K∽△I'LK,（相似三角形判定），GH=G'H',HI=H'I'（平行四边形对边相等）
∵G'H':H'I'=JK:KL(相似三角形性质）
∴GH:HI=JK:KL（等量代换）
推论1：过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边
推论2：过梯形一腰中点且平行于底边的直线必过另一腰中点。
平行线等分线段定理
A
B
B1
C
C1
推论2：
A
B
B1
C
C1
推论2：
A A1
l1
B
B1
l2
C
C1
l3
推论2：
A
B
B1
C
C1
推论2：
A B1
B
C
C1
推论2：
A B C
B1 C1
推论2： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线
必平分第三边.
A
在△ACC1中， AB=BC， BB1∥CC1，
∴AB1=B1C.
B C
B1 C1
求证：AG=2GD. 分析：需要证明GH=2GD=2DH.
证明：
∵AD、BE是中线，
∴AE=EC，BD=DC，
∵CH∥EB， B
∴AG=GH，
GD=DH，
∴AG=2GD.
本题说明三角形的两中线的交点把中线分成2：1的两部分. 这个结论叫做重心定理.（现行课本已把它略去.）
A
E G
D
C
H
6、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，
这里给出动画显示，证明的语句略去。 证法1：
. . D B
A .
. H
C E
F
7、已知：△ABC中，AB=AC， D在AB上，F在AC的延长线上， 且BD=CF，DF交BC于E，
求证：DE=EF. 证法2：
(以下略去。）
A
D B H
C E
F
8、已知：AC⊥AB，DB⊥AB， 求证：OA=OB. 分析：需证明点O在AB的垂直平分线上.
M为AD的中点，
直线CM交AB于点P，
2021年高中数学4.1.1第一讲平行线等分线段定理和平行截割定理教案新人教版选修4
2021年高中数学4.1.1第一讲平行线等分线段定理和平行截割定理教案新人教版选修42021年高中数学4.1.1第一讲平行线等分线段定理和平行截割定理教案新人教版选修4教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点平行线分线段成比例定理. 教学难点相似三角形的判定定理、性质定理等等。
课时 3课时一．基础知识回顾1、如图15-1，l 1∥l 2∥l 3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ， EK= ，FK= ．答案:DM=7.5，EK=6，FK=10；2、如图，ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE=EA ，AD ，BE 交于点F ，则AF:FD= ．答案:AF:FD=4:1；3、一个等腰梯形的周长是80cm ，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm ，则这个梯形的面积为 cm 2．答案:240；4、如图15-3，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，则梯子的长为 cm ．A MCE KFBDl 1 l 2l 3图15-1ABCD FE 图15-2AD B┐ ┐图15-3答案:440．二．典型例题讲解例1．如图15-4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC ，求证：ED=EC ．分析：要证明ED=EC ，只要设法证明E 在线段CD 的垂直平分线上．证明：过E 点作EF∥BC 交DC 于F 点．∵在梯形ABCD 中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC ．∵E 是AB 的中点，∴F 是DC 的中点．∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°．∴EF⊥DC，∴EF 是DC 的垂直平分线．∴ED=EC．评析：根据平行线等分线段定理可以得到，在梯形中，若已知一腰的中点，那么过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，本题正是利用这一结论再结合线段垂直平分线的性质得证的．平行截割定理的应用很广泛，它体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想，是研究相似形最重要、最基本的理论．例2．如图15-5，在ΔABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 与点D ，交边CA 的延长线于点E ，交边BC 于点N ．求证：AD ∶AB=AE ∶AC ．分析：要证明AD∶AB=AE∶AC，必须找到与AD∶AB 和AE∶AC 都相等的第三个量．证明：∵AM∥EN，∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC．∵MB=MC，∴AD∶AB=AE∶AC．评析：本题的理论依据是平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．由于直接证明相对较困难，所以利用了中间比进行等量代换，这种方法在有关比例式的证明中经常使用．例3．在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB=m ∶n ．求证：（m ＋n ）EF=mBC ＋nAD ．你能由此推导出梯形的中位线公式吗？分析：要证明（m ＋n ）EF=mBC ＋nAD ，只要证明EF=，又EF 与AD 、BC 都平行，因此比较容易联想到平行截割定理．证明：【方法一】如图（1），连结AC ，交EF 于点G ．∵AD∥EF∥BC，∴．∴，．∵EG∥BC，FG∥AD，A B E D C图15-4 F AB C DM E 图15-5N C B E FG∴，．∴EG=，GF=，∴EF=EG＋GF=＋，∴（m ＋n ）EF=mBC ＋nAD ．当EF 为中位线时，AE∶EB=1∶1，即m=n=1，得2EF=BC ＋AD ，即EF=（BC ＋AD ）．【方法二】如图（2），过点B 作BG∥CD，交EF 于点H ，交AD 于G ．∵AD∥EF∥BC，BG∥CD，∴BC=HF=GD．∵EH∥AG，，∴，EH=．∴EF=EH＋HF=＋HF ．∴（m ＋n ）EF=nAG ＋（m ＋n ）HF=nAG ＋mBC ＋nGD=mBC ＋nAD ．评析：这个结果称为线性插值公式．当点E 、F 在AB 、DC 的延长线上（或BA 、CD 延长线上）时，由于AE 与EB 的方向相反，可以把m∶n 理解为负值，在此理解下，此公式仍然成立．证明可仿上面的证明给出．三．精选试题演练1、如图15-6，已知：AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO=78cm ，BO=42cm ，CD=159cm ，则CO= cm ， DO= cm ．答案:103.35，55.65；2、已知，如图15-7，AA ′∥EE ′，AB=BC=CD=DE ，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm ，EE ′=36mm ，则BB ′= ，CC ′= ，DD ′= ．答案:30mm ，32mm ，34mm ；3、如图15-8，BC ∥B′C′，AC ∥A ′C′．求证：AB ∥A ′B ′．如果BC=2B′C′，那么AB 是A ′B ′的多少倍？提示：∵BC ∥B′C′，∴．∵AC ∥A ′C′，∴．∴，∴AB ∥A ′B ′，AB=2 A ′B ′．4、如图15-9，EF ∥BC ，FD∥AB ，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm ．求BD ．答案:2.1cm ．提示：∵EF ∥BC ，∴．∵DF ∥AB ，∴，即BD==2.1cm ．5、如图15-10，过梯形ABCD 的对角线交点O 作直线EF 平行于底，分别交两腰AD 、BC 于点E 、F ，求证：．A D CB E F（2） H G AOCB D ┐ └ 图15-6A B C DEE ′D ′C ′B ′A ′图15-7ABCO A ′B ′C ′图15-8AB CDFE图15-9 CD EFO提示：∵EF ∥BC ∥AD ，∴，，，将四个等式相加得到，则．6、如图15-11，直线l 分别交ΔABC 的边BC ，CA ，AB 所在直线于点D ，E ，F ，且AF=AB ，BD=BC ，求．提示：作CN ∥AB 交DF 于点N ，由平行割线定理得，，两式相乘得．又由AF=AB 得，由BD=BC 得，则=2×=．7、已知：M ，N 分别为平行四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，CM ，AN 分别交BD 于点E ，F ，求证：E ，F 三等分BD ．提示：∵∥AB ∥CD 且AB=CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴AM ∥CN ，AM=CN ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AN∥CM．∵DN=NC ，由平行截割定理知DF=FE ，同理FE=EB ．则E ，F 三等分BD ．8、如图15-12，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．求证：GH=（BC －AD ）．提示：由条件得EF 是梯形ABCD 的中位线，则有EF ∥AD ∥BC ，由平行线等分线段定理得AH=HC ，BG=GD ，∴FH=AD ，FG=BC ，∴GH=FG －FH=（BC －AD ）．9、如图15-13，BD=CE ，求证：AC·EF=AB·DF．提示：过点D 作DG ∥AC ，交BC 于点G ，得．或过点E 作EM ∥AB ，可得．四．教学反思本讲的知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。
一-平行线等分线段定理
作DE//BC
E与E重合
A
作DF//AC
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
如图：有块直角三角形菜地,分配给张,王,李三
家农民耕种,已知张,王,李三家人口分别为2人,4
人,6人,菜地分配方法按人口比例,并要求每户土
地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥
料仓库,所以点P必须是三家地的交界地 P
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线
张王 李
A
E
F
B
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
作业
课本第5页习题1.1 题2,3
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，
D
DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点 E
F、G，则点F、G三等分AC ( ) B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC ( )
M
F G C D
N
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 B
的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。 ( )
A
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
B
AB=BC=DE=EF ( )
C
C
D l1
E l2 F l3
例 如图,要在一块钢板上 的A、B两个小孔间再钻 三个小孔，使这些小孔 都在直线AB上，并且每 两个小孔中心的距离相 等.如果只有圆规和无刻 度直尺,应当怎样确定小 孔的中心位置?
平行线等分线段定理 课件
图 1－1－4
【思路探究】
【自主解答】 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， 因此 AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位 线定理来解决问题．
图 1－1－3
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′. ∴O′A′＝O′C′， 同理：O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
如图 1－1－4，在△ABC 中，AD，BF 为中线， AD，BF 交于 G，CE∥FB 交 AD 的延长线于 E.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构 造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何 证明或计算．
如图 1－1－7，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD， E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF 交 BD 于 G，交 AC 于 H. 求证：EG＝GH＝HF.
图 1－1－7
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理 (1)文字语言：如果一组平行线在 一条直线 上截得的线 段相等，那么在 其他直线 上截得的线段也 相等 ．
(2)图形语言
图 1－1－1 如图 1－1－1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A， B，C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， 则 A1B1＝B1C1 .
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
5.平行线等分线段定理及推论
平行线等分线段定理、中位线定理及推论1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC 求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC求证：AE=EF2、三角形的中位线定理三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点 求证：BC DE //，BC DE21=3、梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点 求证：////EF AD BC ，1()2EF AD BC =+. 4、和梯形中点有关的辅助线的作法：3、中点四边形（1）中点四边形的定义如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边的中点，则称四边形EFGH 叫做四边形ABCD 的中点四边形。
（2）结论：①任意四边形的中点四边形是： ②平行四边形的中点四边形是： ③矩形的中点四边形是： ④菱形的中点四边形是： ⑤正方形的中点四边形是： ⑥梯形的中点四边形是： ⑦等腰梯形的中点四边形是：总结：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。
规律：（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为矩形； （2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为菱形； （3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为正方形； 4、例题与练习（1）如图，在直角梯形ABCD 中，∠C=90°，AD ∥BC ，AD+BC=AB ，E 是CD 的中点，且AD=2，BC=8,求BE 的长度.（2） 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 是腰BC 的中点，MN ⊥AD 于N 。
平行截割(平行线分线段成比例定理运用)
平行截割一、知识纵横：平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形：二、典型例题：例1.如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别 交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ．思路点拨 图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示．例2.如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ， 则FDAF FC EF +的值为( ) A ．21 B ．1 C ．23 D ．2 思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FCEF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．例3.如图，BD 、BE ，分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．(1)求证：四边形AEBD 为矩形；(2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AGAF ，求证：△AHG是等腰三角形．例4.如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．(1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；(2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PE+PF ，即需证明1=+ABPF AB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明． 注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．例5.如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS思路点拨 由于PM 、PN 、PR 、PS 在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系三、巩固提高：1．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果21=MB AM ，则=BCBP ． 2．如图，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若31=FD AF ，则=BE AE ；若nFD AF 1=，则=BE AE ． 3．如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若3=GABG ， BC=8，则AE 的长为 ．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，BC=lcm ，E 是CD 边上一动点，AE 、BC 的延长线交于点F ，设DE=x (㎝)，BF=y(cm)，用x 的代数式表示y 得 ．5．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：①FC BF EC AE =；②BC AB BF AD =；③BC DE AB EF =；④BFEA CF CE = ． 其中正确比例式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 是BD 、CE 的中点，则BCPQ 等于( ) A ．31 B ．41 C ．51 D ．617．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 1、O 2，O 3为对角线BD 上三点，且BO 1=O l Q 2=O 2O 3=O 3D ，连结AO l 并延长交BC 于点C ，连结EO 3延长交AD 于点F ，则AD ：FD 等于( )A ．19：2B ．9：1C ．8：1D ．7：18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，则DF ：FE等于( )A ．5：2B ．2：lC ．3：1D ．4：19．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=31CD ，E 是AB 上一点，AE=2BE ，M 是腰BC 的中点，连结EM 并延长交DC 的延长线于点F ，连结BD 交EF 于点N 求证：BN ：ND=l ：10．10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．(1)求证：OE=OF ，(2)求BCOE AD OE +的值； （3）求证：EFBC AD 211=+．11．已知如图1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD 于F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则： (1) EFCD AB 111=+还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由； (2)请找出S △ABD ，S △BED ，S △BDC 间的关系式，并给出证明．12．如图，在梯形ABCD 中．AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，BE 延长后交AD 于F ，那么FDAF = ． 13．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD 、BC 的延长线分别交于F 、E 点，设BC=a ，CD=b ，CE=c ，则CF= ．14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD= a ，BC= b ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为 ．15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15m ，分别自两杆上高出地面4m 、6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D 、B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为 m ．16．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E ，F 是BC 的三等分点．AE 、AF 分别交BD 于M 、N 两点，则BM ：MN ：ND=( )A ．3：2；1B ．4：2：lC ．5：2：1D ．5：3：217．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( )A ．745B ．533C ．539 D ．21518．如图，平行四边形ABCD 中，F 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，试判断下列结论：①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG=21BG ； ④S △ABE =3S △AGE ，其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．如图，已知△ABC ，32=DC BD ，43=EC AE ，AD 、BE 交于F ，则FE BF FD AF ⋅的值( ) A ．37 B ．914 C ．1235 D ．1356 20．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．21．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF=21FD ，FE 与AC 相交于G ，求证：AG=51AC ．22．如图，已知M 、N 为△ABC 的边BC 上的两点，且满足BM=MN=NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ，求证：EF=3DE ．23．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO (如图甲)； （2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO (如图乙)； (3)当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO (如图丙)； 在图丁中，当nAC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)24．如图，在平行四边形ABCD 中，P 1，P 2，…，P n 是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ．(1)求证：EF ∥BD ；(2)设平行四边形ABCD 的面积是S ，若S △AEF =83S ，求n 的值．。
平行截割定理-高中数学知识点讲解
平行截割定理1．平行截割定理【知识点的知识】1、平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．3、相似三角形的判定定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．4、两个直角三角形相似的判定定理：①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5、相似三角形的性质性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方；④相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方．6、直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行线等分线段定理和平行截割定理
一、三维目标：
知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.
过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、教学重点：平行线分线段成比例定理.
教学难点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。
三、教学方法：观察、探索、发现、概括归纳、讲练结合。
四、教学过程
（一）、图形变化的性质探究
1、教师提出问题：（1）、几何学研究的基本问题是什么？（2）、在初中数学中，我们都学习了哪几种常见的图形变化？（3）、观察课本中的图1-1、图1-
2、图1-
3、图1-
4、图1-
5、图1-
6、图1-
7、图1-
8、图1-9图、图1-10、图1-11、图1-12。
想一想在这些变化过程中，哪些性质发生了变化？哪些性质保持不变？（4）、平移、旋转、反射、相似与位似的各自特点是什么？你能否给出它们的定义？
2、请同学们阅读课本，并观察、探究、交流回答上述问题，并抽象概括一般规律。
3、巩固练习：课本P4中练习题。
（二）、平行线等分线段定理和平行截割定理
1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2 经过梯形一腰中点，且与底边平行的直线平分另一腰.
2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
【定理的证明】学生自证，教师准对问题讲解，并引导学生概括归纳其证明方法。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.
3.三角形内角平分线定理：三角形的内角平行线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
已知：如图，在ΔMNK中，OK平分∠MKN，KO交MN于点O.求证：
MO
KM
KN ON =。
分析：因为MO,ON在同一条直线上，所以要证
MO
KM
KN ON
=，可以考虑把折线MKN拉直。
这样可
以使问题转化为平行线分线段成比例的情况。
学生根据上述分析自证，教师准对问题讲解。
（三）、应用导练
1、如图1，L1∥L2∥L3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ,EK= ，FK= ． 答案:DM=7.5，EK=6，FK=10；
2、如图，ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE=21
EA ，AD ，BE 交于点F ，则
AF:FD= ．
答案:AF:FD=4:1；
3、一个等腰梯形的周长是80cm ，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm ，则这个梯形的面积为 cm2．
答案:240；
4、如图15-3，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，则梯子的长为 cm ．
答案:440． 5、课本P6中练习1、3
（四）、小结：本课的知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是研究相似形最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判断线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。
在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。
A M C E K F
B D l 1 l 2 l 3 图1
A D
B ┐ ┐ 图3 A B
C
D F
E 图2
这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式（或等积式），突破难点的关键在于抓住平行找比例，没有平行作平行，多个比例巧过渡，需要注意的是，在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则：一是不能破坏给定的条件；二是作出的辅助线要能“一线两用”．
（五）、作业布置：课本P8习题1-1中A组2、3、4
课外练习：课本P8习题1-1中B组1、2
五、教学反思：
反思本节课的教学，存在很多的问题，从以下几个方面谈一谈：
一、知识回顾环节
这部分的设计是让学生在要求下独立完成，教师只强调两个问题：（1）若DE//BC，D是AB 的中点，则E是AC的中点，而不能直接得出DE是的中位线；（2）在具体图形中找两个图形A字型和X字型，从而得出比例式。
而在巡视各组学生写的情况后，又和学生一起把这两部分知识回顾了一下，既没有收到良好的效果，又浪费了很多的时间，这出是我平时存在的问题，以后就在这方面改进。
二、例题的处理
在数学问题中，做辅助线是学生感到头疼的问题，对有些问题，学生不知从何处入手，做什么样的辅助线，教师应在平时的课堂教学中结合实例给予适当的指点，这也是在这节课中设计例2的初衷，但在例2的处理上，我认为存在以下不足：一是语言太罗嗦不简炼；二是在教师点拨后应适时组织学生讨论，通过学习合作得出不同辅助线的做法，也从中体会到各种方法的优劣，为下面小结做平行线的方法打下基础，当时因为感到时间有点紧，再有平时总是侧重培养学生独立思考的能力，没有做到这点；三是应该由学生最后结合此题小结做平行线的方法同时说明为什么不能过点D做平行线，此时教师也代劳了，尽管在教学中能及时启发、引导学生独立思考，积极探索，但还没有完全做到充分认识学生、理解学生，充分调动学生积极参与。
三、课堂评价
课堂评价不是指教师课堂教学的对错、好坏、优劣的评价，而是指教师对学生课堂学习状况的评价，是教师组织、引导、帮助学生自主学习的重要手段，在我的课堂教学中没有给予足够的重视，应在平时备课时做好充分的准备，什么问题需要什么样的评价，什么时候对什么问题进行评价，怎么样评价，通过评价达到什么样的目的。
总之，新课标的一个重要理念就是把培养学生的主体意识，主体能力及学科素养作为教学过程中始终不渝的追求目标，因此要求教师转变教育观念，提高专业素养，不断发展专业化水平，为学生的终身发展做出最大的贡献。