数学：1.1《平行线等分线段定理》课件(新人教版A选修4-1)
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《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)
AB BC
1 , = __
2 _, =__ =___,
1/2
EF FG EG GH
EF 1 可得 __=__ FG =___
AB BC
AC CD
2 可得 __=__ =___
AC CD
EG GH
BC BD
FG FH
1/2 =___
BC 可得 BD
__=__
FG FH
二、新知识：平行线分线段成比例定理
D、
AC CE BD DF
1、解： L1∥L2∥L3 ∵
∴ 即
AB DE BC EF
（平行线分线段成比例定理） ∴ DE=
Байду номын сангаас
2、证明：
∴
AB DE BC EF
a DE b c
ac b
∵ L1∥L2∥L3 （平行线分线段成比例定理）
AB BC AB DE EF DE
AB BC ∴ ∴ DE EF AB BC AC ∴ DE EF DF
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、 已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本 图形？ 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢？ （建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
即
DF m n DE m
∴
DE m DF m n
高中数学 1.1平分线等分线段定理课件 新人教A版选修4-1
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栏 目 链 接
10
点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰 栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目 链
接
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11
►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求 证：BF＝CF.
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5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
栏 目 链 接
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6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次 栏
栏 目 链 接
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16
分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链 接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC， 所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE， 即AE＝ME.
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9
证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.
栏 目 链 接
10
点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰 栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目 链
接
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11
►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求 证：BF＝CF.
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5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
栏 目 链 接
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6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次 栏
栏 目 链 接
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16
分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链 接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC， 所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE， 即AE＝ME.
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9
证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.
数学：一《平行线等分线段定理》课件(新人教a版选修4-1)
C
4
C1
F
图3
∵AB=BC
请同学们自己完成下面两图的证明
∴EB1=B1F
l1
A
A1
A（A1）
l1
又∠1=∠2，∠3=∠4 l2 B
B1
l2
B
B1
∴△A1B1E≌△C1B1F l3 C
C
202∴4/11A/31B1=B1C1
1
图4
l3 C
C1
图5
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段 也相等 。
F l3
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线
上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
E ？F
？
？
B
图4
C
B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
D∥EF∥BC，AE=EB ∴202D4F/11=/3FC
证明题
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC A ∴AE=EB
B E
易证ME是AB的垂直平分线
张王 李
二、推论2指出，经过三角形一边的中点 A
E
F
B
与另一边平行的直线必平分第三边（即经
过第三边的中点）。那么连结三角形两边
人教版高中数学选修1.1-平行线等分线段定理ppt课件
(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
．
平(2分)推第论三2：边经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分
．
另一腰
[小问题·大思维] 1．在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线有什么样的位置 关系？ 提示：在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线的位置不影 响定理的结论，即这两条直线可以平行也可以相交．
[研一题]
[例2] 已知：如图，在直角梯形AB CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8， 求BE的长度．
分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应用．解答本题需将 BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8为已知，故可考虑如何求CE.
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF的延长线于G， 则四边形GBCE是平行四边形． ∵在直角梯形ABCD中， ∠C＝90°，AD∥BC，AD＝2，BC＝8， ∴四边形GBCE是距形， ∴EG＝BC＝8， ∵E是CD的中点，∴DE＝EC， ∴AF＝FB，
∠AEC＝∠MEC， EC＝EC， ∠ACE＝∠MCE，
所以△AEC≌△MEC，AE＝EM. 即 E 是 AM 的中点． 又因为在△ABM 中，EF∥BM， 所以点 F 是 AB 边的中点． 所以 AF＝BF.
利用平行线等分线段定理及其推论解决与平行线有关的计算问题是考 试的热点.2012年广州模拟以填空题的形式考查了定理及推论的应用，是高 考模拟命题的一个新亮点．
∴EF∥BC，EF＝12(AD＋BC)＝5， ∴GF＝EG－EF＝3， ∵AD＋BC＝AB， ∴AB＝10，BF＝12AB＝5. ∵在 Rt△BGF 中，∠G＝90°，∴BG＝4， ∴在 Rt△BGE 中， BE＝ BG2＋GE2＝ 42＋82＝4 5.
人教A版高中数学选修4-1课件 平行线平分线段定理课件
请同学们独立完成证明过程
A
E
B
达标检测
1、已知梯形ABCD中，AB//DC，E为AD中点，EF//BC，求证：BC＝2EF.
2、已知梯形ABCD 中，AD//BC，∠ ABC＝90°，M是 CD的中点，求证：A M＝BM.
3、已知AC⊥ AB，DB⊥ AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB.
4、在ABC中，D为AB的中点， DE//BC.求证：DE＝BC.
11
11
11
A
l1
l2
B
l3
C
l4
D
A1 ？ B1 ？ C1
？
D1
小组讨论，完成证明
分析：
∵ 如图 ,l ∥l ∥l 且 AB =BC
1
2
3
∴ A B =B C
11
11
∵ 如图，直线l ∥l ∥l 且 BC = CD
2
3
4
∴B C =C D
11
11
A
定理辨析
D
E
1、如图ΔABC中点 D、E三等分AB，D F//EG//BC， DF、EG分别交AC 于点F、G，
从特殊到一般
1、已知：直线l //l //l ,AC//A C 且AB =BC 求证 : A B =B C
1
2
3
11
11
11
A
l1
B
l2
l3
C
A1 B1 C1
问题：从图形中我们能够找到哪些平行四边形吗？
预设：
四边形ABA B 为平行四边形 11
四边形BCC B 为平行四边形 11
问题：我们能否利用平行四边形性质得到 A B B C ?
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：1.1 平行线等分线段定理
图 1-1-12
第三十一页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
[再练一题] 3．如图 1-1-7，已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A，B，C， D，O 分别作直线 a 的垂线，垂足分别为 A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′ ＝B′C′.
图 1-1-7
第二十三页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′， ∴O′A′＝O′C′， 同理 O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
第二十一页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE ⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
2．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有 线段的中点时构造线段的中点来应用．
第二十二页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
图 1-1-4
第十一页，编辑于星期五：十六点 四十五分。
【自主解答】 过 E 作 EF∥BC 交 DC 于 F，连接 AC，如图所示． ∵AD∥BC，E 为 AB 中点， ∴F 是 DC 中点． ① 又∵DC⊥BC，EF∥BC， ∴EF⊥DC. ② ∴由①②知，EF 是 DC 的垂直平分线， ∴△ECD 为等腰三角形． ③
《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)
H （2）
由此可得到：
1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所
得的对应线段成比例。
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线” ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。
a b A E L1 F L2 B
强化“对应“两字理解和记忆如图（2） D
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
AB DE BC EF
D E F
ห้องสมุดไป่ตู้L1
B
L2
L3
（平行线分线段成比例定理）
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
AB m 例2：已知：如图（5），L1∥L2∥L3， BC n
求证：
DE m DF m n
D
A
F
L1 L2 C L3
分析：图形是平行线分线段成比例定理
的一个变式图形，由已知条件可以出现
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、 已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本 图形？ 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢？ （建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
BD FH 左下 右下 ( ) AB EF 左上 右上
H L4 （2）
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 b a 成比例线段。 D A
人教新课标版数学高二A版选修4-1课件1.1平行线等分线段定理
-14-
一 平行线等分线段定理
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课前篇 自主预习
课堂篇 合作学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明线段相等
【例2】如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点 (BE>CE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.
分析:过点D作DG∥AE交BC于G,利用平行线等分线段定理证明. 证明:过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD, DG∥AE,所以BG=GE. 又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC. 在△CDG中,因为GE=CE,DG∥EF, 所以DF=FC.
课堂篇 合作学习
反思感悟将已知线段AB分成n等份的步骤
1.作射线AC(与AB不共线);
2.在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; 3.连接DnB; 4.分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.
若AO=OD=DF,BE=10 cm,则OB的长为 ( )
A.130 cm C.52 cm
B.5 cm D.3 cm
解析:因为CD∥EF,OD=DF,
所以C为OE的中点,
因此OC=CE.
因为AB∥CD,AO=OD,
所以O为BC的中点,故BO=OC, 因此 OB=13BE=130 cm.
答案:A
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-15-
一 平行线等分线段定理
探究一
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2010-9-7
已知：直线 不平行, 已知：直线l1∥l2∥l3,l,l’不平行,A1A2=A2A3 不平行 求证: 求证:B1B2=B2B3 A1 B1 l 1 A2 B2 l 2 C2 A3 B3 l3 C3 图2
l l’
分析
“角角边” B1C2//B2C3 △B1C2B2≌△B2C3B3
2010-9-7
B1B2=B2B3
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB A 于点E B E 有线段中点时，常过 又∵在梯形ABCD中，MD=MC 该点作平行线，构造 ∴AE=EB 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。 易证ME是AB的垂直平分线
2010-9-7
做一做 利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理 D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
C B
D
N
C
A B
D E
l1 l2 F l 3
2010-9-7
例 如图,要在一块钢板上 的A、B两个小孔间再钻 三个小孔，使这些小孔 都在直线AB上，并且每 两个小孔中心的距离相 等.如果只有圆规和无刻 度直尺,应当怎样确定小 孔的中心位置?
A
P
Q
R
B
D E F
G
2010-9-7
练习 已知：线段AB, 求作：线段AB的五等分点
2010-9-7
判断题
1、如图△ABC中点 、E三等分 ， 、如图△ 中点D、 三等分 三等分AB， 中点 DF∥EG∥BC，DF、EG分别交 于点 分别交AC于点 ∥ ∥ ， 、 分别交 F、G，则点 、G三等分 三等分AC ( ) 、 ，则点F、 三等分
D E B
A F G C
2、四边形ABCD中，点M、N分别在 、 、四边形 分别在AB、 中 、 分别在 A CD上若 上若AM=BM、DN=CN 则 上若 、 M AD∥MN∥BC ( ) ∥ ∥ 3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 、一组平行线， 的距离都相等， 的距离都相等，则这组平行线能等分线 ) 段。 ( 4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么 、如图 ， AB=BC=DE=EF ( )
Ｃ
问题１ 问题１： 求作一点Ｐ 求作一点Ｐ把线段 AB分成２：３ 分成２ 分成 问题２ 问题２： 如果把△ABC的面积 如果把△ 的面积 分成２ 怎么办？ 分成２：３怎么办？
H G F E M D
Ａ
N
I
P
J
K
L
Ｂ
Ｃ
2010-9-7
练习 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 。 ∠ABC=90 M是CD的中点
①
②
2010-9-7
③
A1 A2 A3
l
l’
B1 l 1 B2 l2 B3
l3
A1 A2 A3
l
l’
B1 l 1 B2 l
2
B3 图2
l3
图1 l1//l2//l3, l//l′ A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3
2010-9-7
l1//l2//l3, l,l′不平行 A1A2=A2A3
已知：直线 已知：直线l1∥l2∥l3,l∥l’,A1A2=A2A3 ∥ , 求证: 求证:B1B2=B2B3 A1 A2 A3
l l’
分析
B1 l 1 B2 l2 B3
l3
A1A2B2B1 A2A3B3B2
2010-9-7
A1A2=B1B2 A2A3=B2B3 A1A2=A2A3
图1 B1B2=B2B3
其它情况
图1
图2
图3
2010-9ห้องสมุดไป่ตู้7
图4
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 两相邻平 行线间的 距离相等 ② ①
2010-9-7
推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边.
2010-9-7
推论2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
2010-9-7
2010-9-7
回忆
平行线的性质和判定
性质: 性质
判定
2010-9-7
两直线平行,同位角相等; 两直线平行,同位角相等; 两直线平行,内错角相等; 两直线平行,内错角相等; 两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行,同旁内角互补. 同位角相等,两直线平行; 同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行. 同旁内角互补,两直线平行.
P
要求：用尺规在图中作出 要求： 各家菜地的分界线
A
张 王 E
李 F
B
2010-9-7
小结 1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用 (1)把线段n等分 (1)把线段n 把线段 (2) 线 的线段
A
等
A D ？ F ？ C
？
E
2010-9-7
F ？ C
E B
B B
作业
课本第5页习题1.1 题2,3
1 求证:DE//BC且 DE = BC 2
作DE′//BC 作DF//AC
E′与E重合 BF=FC =DE D B
A E F
E′
C
2010-9-7
如图：有块直角三角形菜地 分配给张 分配给张,王 李三 如图：有块直角三角形菜地,分配给张 王,李三 家农民耕种,已知张 李三家人口分别为 已知张,王 李三家人口分别为2人 家农民耕种 已知张 王,李三家人口分别为 人,4 菜地分配方法按人口比例,并要求每户土 人,6人,菜地分配方法按人口比例 并要求每户土 人 菜地分配方法按人口比例 地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥 地均有一部分紧靠水渠 处是三家合用的肥 料仓库,所以点 所以点P必须是三家地的交界地 料仓库 所以点 必须是三家地的交界地