平行线等分线段定理
平行线等分线段定理
求证: AE=EC 证明： 因为AD=BD,DE//BC
A DE
根据平行线等分线段定理，得：
B
C
AE=EC.
能推出
思
什么结论？
考
知识要 点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边 平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点，
求证:CF=DF.
A
C
证明： 因为AE=BE,AC//BD E
难点
灵活应用定理和推论解决相关几何问题.
研讨
l
A1 A2 A3
l’
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l1//l2//l3, l//l
A1A2=A2A3
思考…
B1B2 = B2B3
研讨
l
A1 A2 A3
l’
B1 B2
l1 l2
B3 l3
l1//l2//l3, l,l不平行 A1A2=A2A3
B1B2 = B2B3
F
B
根据平行线等分线段定理，得：
D
CF=DF.
同样能推 出什么结论？
知识要 点
平行线等分线段定理
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底
边平行的直线必平分另一腰.
体会
定理 推论
小练习
如图△ABC中点D、E三等分AB， DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点F、G，则 AF,FG,GC的关系.
A
根据平行线等分线段定理，得：
D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
求证:DE//BC且 DE 1 BC.
2
作DE//BC
E与E重合
A
平行线等分线段定理
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线 ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于 点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
例２：
如图，平行四边形ABCD中， C BC与AD的中点分别为E、F， 且BF、DE、与对角线AC交于H、G。 E 求证：AH=HG=GC
AH=HG 同理CG=HG
AH=HG=CG
练习题
A 1) 如图：AD是三角形ABC的中线， E为AD的中点， BE的延长线交 （1题） AC于F， 求证：AF=1/3AC 证明 ：（一）过D做DH//BF交AC于H BD=CD DH//BF FH=CH 同理 AF=FH B AF=FH=CH D E F H C AF=1/3AC
B
C H
E
F ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A
Ｅ E
Ｄ D
Ｆ F
Ａ A
Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
Ｂ B
Ｃ C
推论１：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
2）如图 ，已知AC AB，DB 求证：OA=AB 证明：过O做OE AB于E AC AB DB AB OE AB AE=BE OE AB AC//OE//BD OC=OD
AB，O为CD中点，
D （2题） O A E C B
OA=AB
3）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，以AC、AD为边作 E 平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F， 求证：EF=BF 证明： （一）连接AE交CD于O （3题）
平行线等分线段定理
篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
一-平行线等分线段定理
作DE//BC
E与E重合
A
作DF//AC
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
如图：有块直角三角形菜地,分配给张,王,李三
家农民耕种,已知张,王,李三家人口分别为2人,4
人,6人,菜地分配方法按人口比例,并要求每户土
地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥
料仓库,所以点P必须是三家地的交界地 P
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线
张王 李
A
E
F
B
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论
2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线段相等
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
作业
课本第5页习题1.1 题2,3
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，
D
DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点 E
F、G，则点F、G三等分AC ( ) B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC ( )
M
F G C D
N
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 B
的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。 ( )
A
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
B
AB=BC=DE=EF ( )
C
C
D l1
E l2 F l3
例 如图,要在一块钢板上 的A、B两个小孔间再钻 三个小孔，使这些小孔 都在直线AB上，并且每 两个小孔中心的距离相 等.如果只有圆规和无刻 度直尺,应当怎样确定小 孔的中心位置?
平行线等分线段定理
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ
ＨＣ
Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。
Ａ ＩＪＫ Ｌ Ｂ Ｎ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
∴AP=PQ=QB，
∴AP= —31 AB.
一、填空题3： 已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点，
则DG= BG ， H是 AC 的中点，
F是 CD 的中点. A
D
EG HF
B
C
一、填空题4： 已知△ABC中，AB=AC， AD⊥BC，
M是AD的中点，
A
CM交AB于P，
DN∥CM交AB于N， P
如果AB=6厘米，
.M
则PN= 2 厘米.
N
∟
B
D
C
一、填空题5：
已知△ABC中，CD平分∠ACB，
AE⊥CD交BC于E，
DF∥CB交AB于F，
A
AF=4厘米，
则AB= 8 厘米.
FD
B
E
C
二、判断题1： 若AB∥CD∥EF，
AC=CE，
则 BD=DF=AC=CE.
(× )
A
B
C
D
E
F
二、判断题2：
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点，
∴AB=2CE.
三、证明题2：
已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的
中点， CE、AF A
. 分别交BD于M、N， E
数学教案-平行线等分线段定理
数学教案－平行线等分线段定理一、教学目标1.了解平行线等分线段定理的定义和基本思想；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.能够运用平行线等分线段定理解决实际问题。
二、教学重点1.平行线等分线段定理的定义和基本思想；2.平行线等分线段定理的证明方法。
三、教学内容1. 平行线等分线段定理的定义平行线等分线段定理是指：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线被平行线所截的两条直线段的长度相等。
2. 平行线等分线段定理的证明方法下面我们来介绍平行线等分线段定理的证明方法。
证明方法一：割线法假设我们有两条平行线AB和CD，一条直线EF与这两条平行线相交，且EF 被AB、CD截成了两段。
我们要证明EF被AB、CD等分。
步骤：1.假设EF被AB截成的线段为EF1，被CD截成的线段为EF2；2.假设AB和CD之间的距离为h；3.延长EF2，假设延长线与AB交于点G；4.因为AB和CD是平行线，所以∠ABG=∠EFC（对应角相等）；5.同理，∠DGC=∠EFC；6.通过割线截定理可知在△CDG和△CAB中，∠ABG=∠DGC，∠BAG=∠DCG（共内角相等）；7.由于∠BAG=∠DCG，所以△BAG与△DCG全等（角边对应相等）；8.根据全等三角形的性质可知，AG=CG；9.同理可证，EF1=EF2；10.所以，EF被AB和CD等分。
证明方法二：直角三角形法假设我们有两条平行线AB和CD，一条直线EF与这两条平行线相交，且EF被AB、CD截成了两段。
我们要证明EF被AB、CD等分。
步骤：1.寻找一条垂直于AB的直线，假设为GH；2.因为GH垂直于AB，所以AB和GH之间的距离等于AB和GF之间的距离；3.同理，GH也垂直于CD，所以CD和GH之间的距离等于CD和HE之间的距离；4.根据垂直线段的性质可知，GF=HE；5.在△EFG和△EHG中，∠EFG=∠EHG=90度（垂直线段与直线的夹角为90度）；6.通过直角三角形的性质可知，△EFG与△EHG全等（一对直角边相等）；7.根据全等三角形的性质可知，EF=EF；8.所以，EF被AB和CD等分。
初中数学—平行线等分线段定理
求证: B1B2=B2B3. 证明: (1) 当 l//l 时 (如图), ∵l1//l2//l3,
l l
A1 B1
l1
∴ A1A2B2B1, A2A3B3B2
A2 B2
l2
都是平行四边形, ∴ A1A2=B1B2, A2A3=B2B3,
A3
B3
l3
又∵A1A2=A2A3, ∴B1B2=B2B3.
思想: 借助平行四
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
画法: (1) 连接 AB; (2) 在钢板上另作一射线
AC; (3) 在 AC 上取 AD=DE
=EF=FG;
B PQ R A DE F G C
(4) 连接 GB;
(5) 分别过点 D, E, F 作 GB 的平行线, 交 AB
通过证明
例 1. 如图, 要在一块钢板上的 A、B 两个小孔
间再钻三个小孔, 使这些小孔都在直线 AB 上, 并且
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
思路: 工具中直尺无刻度,
B
不便于度量 AB 的长度.
因为平行线可以等分线段, A
所以考虑过 A 作一条不与 AB 重合的射线 AC, 在 AC 上则可
交
A1 A2
又∴∵∠AB11AB22=CA1=2A∠3,B2B3C2; ③ A3
∴由B①1C②1=③B得2C△2. B1C①1B2≌△B2C2B3,
l3于C2.
l l 思想B1: l1
为平变行CC1非.2 B平B2 3行ll23
∴B1B2=B2B3.
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
一元二次方程和平行线等分线段定理
主讲：黄冈中学教师王坤同步教学一、一周知识概述1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.2、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．二、重点知识归纳讲解1、平行线等分线段定理及其推论的应用例1、已知：如图所示，已知平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AA1⊥l，BB1⊥l，CC1⊥l，DD1⊥l，OO1⊥l，证明：A1B1=C1D1.解析：运用平行线等分线段定理关键是找出一组平行线和这一组平行线截得的相等的线段．在本题中，BO=DO，对应的一组平行线是BB1，OO1和DD1，故B1O1=D1O1，同理，A1O1=C1O1，故B1A1=D1C1.证明：∵ BB1⊥l，OO1⊥l，DD1⊥l∴ BB1∥OO1∥DD1．又∵平行四边形ABCD，∴ BO=DO．∴ B1O1=D1O1．同理 A1O1=C1O1，∴ A1B1=C1D1．例2、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，M是CD的中点.求证：MA=MB.解析：在遇到梯形或三角形一边的中点时，一般过中点作底或另一边的平行线，以便应用平行线等分线段定理的推论．当然，还可采用倍长的方法，构造全等三角形.证明一：过点M作MN∥BC，交AB于N．∵ AD∥BC，∴ AD∥MN∥BC．∵ MD=CM，∴ AN=BN．又∵∠ABC=90°∴∠MNB=90°，∴ AM=BM．证明二：延长AM交BC的延长线于E．∵ AD∥BC，∴∠DAM=∠E．又∵∠DMA=∠CME，DM=CM，∴△ADM≌△ECM．∴ AM=EM．∵∠ABE=90°，∴ BM=AM=EM．2、一元二次方程的基本概念例3、下列方程：2x2-=0，x2=0，(x-1)(x-2)=3，x+2x2+1=0，(x-1)(2x+2)=2x2，ax2+x-3=0中，一元二次方程有（）A．6个B．5个C．4个D．3个解析：要判断一个方程是否是一元二次方程，主要是看这个方程是否只含一个未知数，未知数的最高次数是否为2．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．答案：C三、难点知识剖析平行线等分线段的几种变形：∵ l1∥l2∥l3，AB=BC，∴DE=EF.∵ l1∥l2∥l3，AB=BC，∴AE=ED.∵ l1∥l2∥l3，AE=DE，∴FB=BC.∵ l1∥l2∥l3，AB=BD，∴ EB=BC.。
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制作：刘兴平
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1
怎样任意等分一条线段呢？
整理ppt
2
如果一组平行线在一条线段上 截得的线段相等，那么在其他 直线上截得的线段也相等。
整理ppt
3
怎样证明？我们以三条平行线为例 来进行证明
A
D G l1
E
F
l2
B
H
l3
C
整理ppt
4
A EF
AD EF
B
C
CB
ADห้องสมุดไป่ตู้
B
E C
整理ppt
5
推论1 经过梯形一腰中点与底平行的直线， 必平分另一腰。
推论2 经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线，必平分第三边。
A
A
D
l1
E
F l2
E
F
B
C l3
B
C
整理ppt
6
已知：线段AB； 求作：线段AB的六等分点。
AC D E F G B
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7
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8
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