初数学平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B
(完整版)初数学平行线分线段成比例定理
初二数学【教学进度】几何第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB= ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC= ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''////求证：CC B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。
人教版初一数学上册《平行线分线段成比例定理》
1．知识层面(1)理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；(2)掌握判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．能力层面(1)经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力；(2)通过相似多边形和三角形全等的条件类比，体会类比的教学思想，领会特殊与一般的关系．【学习重难点】1．重点：掌握相似三角形的概念及判定两个三角形相似的预备定理，会运用预备定理判定两个三角形相似．2．难点：会准确的运用判定两个三角形相似的预备定理来判断两个三角形是否相似.课前延伸【知识梳理】1．相似多边形的性质：__对应角相等__，__对应边成比例__．2. 如图27－2－24，已知△ADE∽△ABC，AD＝6 cm，DB＝3 cm，BC＝9.9 cm，∠B＝50°，则∠ADE＝__50°__，DE＝__6.6__ cm.图27－2－243．已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则∠ADE＝__∠B__，∠AED＝__∠C__，DE BC__12__．课内探究一、课堂探究1(a问题探究，自主学习)1．问题解决：如图27－2－25，在△ABC中，D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC 于点E，△ADE与△ABC有什么关系？图27－2－25二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)在课堂探究1问题的基础上，改变点D在AB上的位置，先自己画图、测量验证、猜想△ADE与△ABC是否仍相似．(1)若点D为线段AB上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？(2)若点D为AB延长线上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？归纳：__平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，_所构成的三角形与原三角形相似__．几何语言：如图27－2－26，在△ABC中，∵__DE∥BC__，∴__△ADE∽△ABC__．图27－2－26三、反馈训练(可以设计成必做题与选做题两类，分层要求)1．如图27－2－27，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.图27－2－27图27－2－282．如图27－2－28，已知在△ABC中，DE∥BC.(1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．3．如图27－2－29，在△ABC中，DE∥AB，BD＝8，CD＝6，AE＝4，则CE的长为(B)A. 6B. 163C. 4D. 3图27－2－29图27－2－304．如图27－2－30，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC 上．若AB＝15 cm, BC＝12 cm，求菱形的边长．课后提升一、课后练习题(1－6为必做题，7、8为选做题)：1．如图27－2－31，AB∥CD, AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中与△CEG 相似的三角形有( B )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个图27－2－31图27－2－32图27－2－33图27－2－34 2．如图27－2－32，DE∥BC，EO＝6，OC＝15，则△OED∽__△OCB__，相似比为__2∶5__．3．如图27－2－33，已知在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图3中相似三角形共有__6__对．4．如图27－2－34，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求CD的长.5．如图27－2－35，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，DB＝1 cm，AE＝4 cm，BC＝5 cm，求DE的长．图27－2－35图27－2－366．如图27－2－36，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，求BF∶FD.7．如图27－2－37，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三角形中有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于点G，AC＝15，BC＝10，求GE.8．如图27－2－38，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR.。
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
初三数学第5讲：平行线分线段成比例定理
教学内容一、 知识要点：1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。
2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段 相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
FED C B A FEDCBA问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？ 牛刀小试：1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。
求BD 、DF 的长。
A BC DE F2、 如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________L 3L 2L 1FEDCBA3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。
求BF 、CE 的长。
4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。
FCED B A二、典型例题：1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。
LFCEDBA巩固练习： 1、已知abcx,求作x,则下列作图正确的是（ ） Axc ba Bxc b aCxcba Dx c ba2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ） A 、AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE=BE CFL 3L 2L 1FED CB A4、如图已知a ∥b ∥c ，AC=2，CG=4，BF=9，DH=10，EM=1，FH=3。
求BE 、AH 、DE 、MH 、AB 的值。
A BC D E M NF G H思维拓展：1、如图，已知：平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，21BF FC =，求CO ：AO 的值。
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
初中数学《平行线分线段成比例》完整版 北师大版1
(2)若AD//EF//BC 则AG AE DF GC EB FC
(3)已知平行四 AB边C形 D
则AB DF AE DE
CF DF FB FE
A D
B
E
C
B EAD B C AC
A
D
F
E
G
B
C
D
C
F
A
B
E
牛刀小试
2、下面图形中均有平行条件，请根据图中条件填空.
A
64
D
E
9
B
C
EC=( 6 )
A
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
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•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
谢谢大家！
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
平行线分线段成比例定理的逆命题正确吗
平行线分线段成比例定理的逆命题正确吗平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，它描述了平行线和分线段成比例的关系。
而它的逆命题，即如果一条线两侧的角相等，那么这两条线就平行，也是数学中一个经典的命题。
今天我们就来探讨一下平行线分线段成比例定理的逆命题是否正确。
首先我们来回顾一下平行线分线段成比例定理的内容。
根据这个定理，如果一条直线被两条平行线所截断，那么它们所截取的对应线段成比例。
具体来说，如果直线AB被平行线CD和EF所截断，那么AB/AC=DE/DF。
这个定理在解决数学问题或证明几何定理时经常会被用到。
接下来我们来探讨一下平行线分线段成比例定理的逆命题。
逆命题是对原命题进行否定并交换前提和结论得到的命题。
即原命题如果p→q，那么它的逆命题是¬q→¬p。
在平行线分线段成比例定理中，原命题是如果AB/AC=DE/DF，那么CD//EF，那么它的逆命题是如果CD不//EF，那么AB/AC≠DE/DF。
在实际情况下，我们可以通过几何图形来进行证明。
假设在平行线CD 和EF截取的直线AB上，我们找到了一点G，使得CG=DE，BG=DF。
下面我们通过反证法来证明如果CD不//EF，那么AB/AC≠DE/DF。
假设CD不//EF，但是AB/AC=DE/DF成立。
根据平行线分线段成比例定理，我们可以得出AB//EF。
那么根据平行线的性质，对应角相等，我们可以得出∠GDE=∠CAB，∠GBF=∠ACB。
然而，根据已知条件，CG=DE，BG=DF，结合角边相等，根据三角形全等条件，我们可以得出三角形ADC全等于三角形GDE，三角形BFA全等于三角形GDF。
但是，我们知道全等三角形的对应边是相等的，结合AB/AC=DE/DF，得出AB=EF。
这与已知条件矛盾，因此假设不成立。
平行线分线段成比例定理的逆命题是正确的。
如果CD不//EF，那么AB/AC≠DE/DF。
这个定理在解决一些几何问题时同样有着重要的作用。
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初数学平行线分线段成
比例定理
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初二数学
【教学进度】
几何第二册第五章 § [教学内容]
平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]
一、 主要知识点 1． 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2． 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于
三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3． 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4． 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、 重点剖析 1． 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。
EF DE
BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE
AC AB =
， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF
AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2． 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形
解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC
AE
DC GE =
又∵
43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7
3
=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则
∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 3
14
73232=⨯=
∴9
14
3314==x x
EG BD
B B
C C '
'//AB C A B B C C '=''1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C C C B B A A '
='+'1
11C C B B A A '
='+'1
111=''+''B B C C A A C C 1==AD BF BC DE AD =CB DB =1=-=-DE DB AD BC 1=-AD
BC FC BF =CE FC AE EN =EM BF =射线AM
2. 在AM
3. 连结BE
[练习与测试]
1．如图△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，
12 13
AC 于M 、N 。
① 求证ME=NF
② 当EF 向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
[练习与测试参考解答或提示] 1．
2
15；2．18cm ； 3．5
2
,35； 4．9：4； 5．9； 6．10，18； 7．9：1； 8．2； 9．6
10．提示，过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AE GD AG =，DH
EC BD BC =
，又AE=EC ，BD=AB ，即可得结论。
11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE ，则CG
EG
CD BE =
，同理AD CE AF EF =，而EB=CE ，CD=AD ，
则
AF
EF
CG EG =
，所以FG//AB 12．略证，由DE//BC ，有∠EDB=∠DBC ，AB
AE
BC DE =
，又∠ABC=∠DBC ，所以∠EDB=∠ABD ，则BE=DE ，
所以
1==+=+AB
AB
AB AE AB BE BC DE AB DE 13．①由AD//EF//BC ，有AD
NF
CD CF AB BE AD EM =
==，EM=NF ②仍成立，证明同①。