4-1几何证明选讲 平行线等分线段定理和平行截割定理
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：。
平行线等分线段定理 课件
平行线等分线段定理推论1的运用 [例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交 于点G，CE∥FB交AD的延长线于点E. 求证：Байду номын сангаасG＝2DE.
[思路点拨] AF＝FC，GF∥EC → AG＝GE → △BDG≌△CDE → AG＝2DE
3．如图，在▱ ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD＝ 6，求BE的长． 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA＝OC，BC＝AD. 因为AB∥DC，OE∥AB， 所以DC∥OE∥AB. 因为AD＝6， 所以BE＝EC＝12BC＝12AD＝3.
4．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， BE的延长线交AC于点F. 求证：AF＝13AC. 证明：如图，过D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点， DG∥BF， ∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点， EF∥DG， ∴F是AG的中点，即AF＝FG. ∴AF＝13AC.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线， 构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进 行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么 结论是否成立？若成立，请给予证明． 解：结论成立．证明如下： 过点 M 作 ME⊥AB 于点 E， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB. ∵ME⊥AB， ∴ME∥BC∥AD. ∵AM＝BM，且 ME⊥AB， ∴E 为 AB 的中点， ∴M 为 CD 的中点．
由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，
又OE＝6，所以BE＝9.
1.1 平行线等分线段定理 课件(人教A选修4-1)
证明：延长AC到D，
使CD＝CF，连接DB， 在Rt△ACF与Rt△BCD中， ∵CD＝CF，AC＝BC， ∴Rt△ACF≌Rt△BCD. 返回
∴∠CAF＝∠CBD.
∵∠ACB＝90°，CN⊥AF， ∴∠NCF＝∠CAF＝∠CBD. ∴DB∥CN. ∵EM⊥AF，∴EM∥CN. ∴EM∥CN∥DB.又CD＝CF＝CE， ∴MN＝NB.
所以 OA＝OC，BC＝AD. 又因为 AB∥DC，OE∥AB， 所以 DC∥OE∥AB. 又因为 AD＝BC＝6，且 OA＝OC， 1 所以 BE＝EC＝ BC＝3. 2
返回
[研一题] [例3] 如图，梯形ABCD中，AD
∥BC，DC⊥BC，E为AB的中点． 求证：EC＝ED 分析：本题考查平行线等分线段
定理及推论的应用，解答本题需要将证明EC＝ED转化为
证明△ECD为等腰三角形或EC、ED所在的某两个三角形 全等． 返回
证明：过E点作EF∥BC交DC于F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC.
∵E是AB的中点，∴F是DC的中点． ∵∠BCD＝90°，∴∠DFE＝90°. ∴EF⊥DC于F.又F是DC的中点， ∴DF＝CF.∴Rt△DEF≌Rt△CEF，
返回
[研一题] [例2] 已知：如图，在直角梯形AB
CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8， 求BE的长度． 分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应
用．解答本题需将BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8
为已知，故可考虑如何求CE. 返回
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF
D′，O′；求证：A′D′＝B′C′.
高考数学一轮复习 1相似三角形的判定及有关性质课件 文 湘教版选修4-1
a
20
如图，已知在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的中 点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
【解析】 (2)若 S△FCD＝5，BC＝10，求 DE 的长．． (1)证明：∵DE⊥BC，D 是 BC 边上的中点， ∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD， 又 AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△ FCD.
【解析】∵M、N 分别是 AB、BC 中点，
故 MN= 1 AC， 2
∴△MON∽△COA，∴ SMON S MON
MN 2 AC 2
1. 2
【答案】1∶4
a
13
5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若 BC＝3，DE＝2，DF＝1，则 AB 的长为
.
【解析】 由 DE∥BC，
EF∥CD， BC＝3，DE＝2.
FD AD 1
FE 4
又因为 BG=GE，
所以 BF BG GF EF 2GF 6GF 3 .
FE 4GF
4GF 4GF 2
a
17
【变式训练】1.如图，△ABC 中，D 是 BC 的 中点，M 是 AD 上一点，BM、CM 的延长线分 别交 AC、AB 于 F、E. 求证：EF∥BC.
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】因为 CD 和 BE 是高，可得∠DCA＝∠EBA，所 以△BOD 与△COE，△CAD，△BAE 相似．故选 C. 【答案】C
a
11
3.（2014·广州模拟）如图，已知在 ABCD 中，O1 ，O2 ，O3 为对角线 BD 上三点， 且 BO1 ＝O1 O2 ＝O2 O3 ＝O3 D，连接 AO1 并延长交 BC 于点 E，连接 EO3 并延长交
人教A版高中数学选修4-1-1.1 平行线等分线段定理-课件(共17张PPT)
D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点。 求证:DE//BC且 DE 1 BC
2
作DE//BC
E与E重合
A
作DF//AC
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
证明题
1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD
边AB、CD的中点。CM、AN分别交BD于点E、F。
求证：BE=EF=FD
平行四边形对边相等；一 组对边平行且相等的四边
B
B1
∴△A1B1E≌△C1B1Fl3 C
C
l3 C
C1
∴A1B1=B1C1
1
图4
图5
已知：直线l1∥l2∥l3，l，l不平行，
A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3 分析
l l
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
图2 “角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
P
JK
LＢ
ＡＢ分成２：３，怎么办？ N
问题２：如果把△ABC的
面积分成２：３，怎么办？
Ｃ
练习 已知：线段AB， 求作：线段AB的五等分点
问题１： 求作一点Ｐ把线段 AB分成２：３
问题２： 如果把△ABC的面积 分成２：３怎么办？
Ｃ H
G
F
E M
D
ＡI
N
P
JK
LＢ
Ｃ
例2 利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理
l
A1 A2 A3
图1
l
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l
A1 A2 A3
数学4-1《几何证明选讲》知识点总结.
高中数学选修4-1《几何证明选讲》----知识点总结1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理2、平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例。
3、相似三角形的判定:定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形:4、相似的简单方法:(1两角对应相等,两三角形相似;(2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3三边对应成比例,两三角形相似。
5、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线相交,所构成的三角形与三角形相似。
6、判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两角对应相等,两三角形相似。
7、判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
8、判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
9、引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
10、定理:(1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。
第十四章 14.1几何证明选讲
§14.1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半．(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等．(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项．(9)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角互补；(ⅱ)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．1.如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．答案82.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.答案 a 23.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________. 答案 120°4．如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝________.答案 525．(2012·湖南)如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝ 1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________． 答案6解析 设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵P A ＝1，AB ＝2，∴PB ＝P A ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r . 设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r ＝ 6.题型一 相似三角形的判定及性质例1 如图，已知在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长． (1)证明 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ，又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴△ABC ∽△FCD . (2)解 过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4， 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM，∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152，∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 思维升华 (1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，DE ∥CA ，且交BA 的延长线于E ，求证：ED ·CD ＝EA ·BD .证明 在梯形ABCD 中，∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB . 又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB . ∴∠BAC ＝∠BDC ， ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB .∴EA DC ＝EDDB ，即ED ·CD ＝EA ·BD . 题型二 直角三角形的射影定理例2 如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC交AC 于E ，EF ⊥BC 于F . 求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC .证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ， ∴AC CD ＝BCAC . ①∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACCD.又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝ACCD .②由①、②得EF DF ＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC .思维升华 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AEEC .证明 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.题型三 圆的切线的判定与性质例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB ， 且AD ＝23，AE ＝6.(1)判断直线AC 与△BDE 的外接圆的位置关系； (2)求EC 的长．解 (1)取BD 的中点O ，连结OE .∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠OBE . 又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ， ∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE . ∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线， 即直线AC 与△BDE 的外接圆相切． (2)设△BDE 的外接圆的半径为r . 在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2， 即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23， ∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°. ∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3.思维升华 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编) 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的长．解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6， 所以AE ＝4，DE ＝2. 又AE AC ＝AC AD， 所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26， 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3. 题型四 与圆有关的比例线段例4 (2012·辽宁)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE .思维升华 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P . (1)求证：PM 2＝P A ·PC ；(2)若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．(1)证明 连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ，∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4. 延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BMBD，即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .思维启迪 (1)连结AF ，利用平行关系构造平行四边形可得结论； (2)先证△BCD 和△GBD 为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可． 规范解答证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形， 所以CF ＝BD ＝AD . 而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF . [5分] 因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .[6分](2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ， 所以∠BGD ＝∠BDG .[8分]由BC ＝CD 知∠CBD ＝∠CDB ， 又因为∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ， 所以△BCD ∽△GBD .[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件.方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错．A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP ∽△BCP .证明 (1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP BP ＝FP CP .又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP .2.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF .证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠BDF ， ∴△DBF ∽△ADF . ∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DBAD.∴AB AC ＝DF AF. 3.如图所示，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB ， DE ，OC .若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长． 解 由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．(2013·江苏)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .5.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，求S △ODC ∶S △ABC .解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ，则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2.又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA .∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ，∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a .∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6.如图，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆；(2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．(1)证明 由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° .所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)解 由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C . 由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.B 组 专项能力提升1.如图所示，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN .证明 ∵CM 2＝MN ·AM ，又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM， 又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ，∴AB BN ＝AM BM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . 2. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF . ∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE BF， 即AE ·BF ＝2DE ·AF . 3．(2013·辽宁)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1)证明 连结DE ，则∠DCB ＝∠DEB ，∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°，∠DEB ＋∠EDB ＝90°，∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ，又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ，∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ，∴DB ＝DC .(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ，∴CE ＝BE ， ∴∠BDE ＝∠CDE ，（（∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝3 2，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝32，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．∴△BCF的外接圆半径为3 2.。
2018学年高中数学选修4-1课件：第一讲1.1平行线等分线段定理 精品
2．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是( )
解析：根据平行线等分线段定理易知 A、B、D 正确， 只有 C 中 AC 线段被第三条平行线所截，DF 线段只被两 条平行线所截，很明显 AB≠DE，故选 C.
答案：C
3.如图所示，l1∥l2∥l3，直线 AB 与 l1、l2、l3 相交于 点 A、E、B，直线 CD 与 l1、l2、l3 相交于点 C、E、D， AE＝EB，则有( )
(3)如图所示，已知 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AA1⊥l，BB1⊥l，CC1⊥l，DD1⊥l，则 A1B1＝C1D1.( )
(4)如图所示，若 AB∥CD，AE＝EC，则 BF＝ FD.( )
解析：(1)三条平行线在对角线所在的直线上截得的 线段相等，那么在另一组对边所在的直线上截得线段也相 等，故正确；
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1．1 平行线等分线段定理
[学习目标] 1.理解平行线等分线段定理及推论(重 点)． 2.掌握平行线等分线段定理及推论的证明(难 点)． 3.能利用平行线等分线段定理解决简单几何问题 (重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．平行线等分线段定理
文字语言
图形语言 符号语言
(2)由题目条件可得 BF＝FC，而 BF，FC 与 AE，ED 的大小则没有关系，故错误；
(3)由题目条件可知 B1O1＝O1D1C1，
即 B1A1＝C1D1，故正确；
(4)因为 EF 不一定与 AB，CD 平行，所以 BF 与 FD 的大小关系不确定，故错误．
类型 2 利用定理及推论进行证明 [典例 2] 如图所示，已知在△ABC 中， CD 平分∠ACB，AE⊥CD 于 E， EF∥BC 交 AB 于 F，求证 AF＝BF. 证明：延长 AE 交 BC 于 M. 因为 CD 平分∠ACB， AE⊥CD 于 E， 所以在△ACE 和△MCE 中，
人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第一讲一平行线等分线段定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2 图1-1-32.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-44.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置.图1-1-5误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.2.两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1–6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′，图1-1-7求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.问题·探究问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形，或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形. 探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图1-1-8:图1-1-8问题2 三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.图1-1-9探究:证明:如图1-1-9，DE 是中位线，E 是AC 的中点，过点D 作DE′∥BC ，则E′也是AC 的中点，所以E 与E′重合，DE′与DE 重合.所以DE ∥BC.同理，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F ，则BF=FC.因为DE ∥FC ，DF ∥EC ，所以四边形DFCE 是平行四边形.所以DE=FC.又因为FC=21BC ，所以DE=21BC. 上述过程中，DE′与DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1-1-10所示的几种辅助线代表几种不同的证法.（1）(1)延长中位线DE 到F,使EF=DE.（2）(2)延长中位线DE 到F,使EF=DE 得ADCF.(3)作CF ∥AB 与DE 的延长线交于点F.图1-1-10三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，其特点是:同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.问题3 梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？思路:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.探究:设法把梯形中位线转化为三角形中位线.图1-1-11如图1-1-11，欲使MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上，若连结AN 并延长交BC 的延长线于E(梯形的这种辅助线也经常用到)，就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN ，AD=EC ，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性:由梯形中位线公式MN=21(BC ＋AD)，可知当AD 退缩为一点时,其长度为零,则公式变为MN=21BC.这就是三角形的中位线公式,这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了它们之间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论2“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰的中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.典题·热题例1如图11-1-2，已知在△ABC 中，D 是AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F.求证:BF=CF.图1-1-12思路分析：根据D 是AC 的中点，利用平行，得到E 是AB 的中点，再利用平行即可得到F 是BC 的中点.证明：在△ABC 中，∵D 是AC 的中点，DE ∥BC ，∴E 是AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF ∥AC 交BC 于F ，∴F 是BC 的中点，即BF=FC.深化升华 在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.例2求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图11-1-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC.求证:ED=EC.图1-1-13思路分析：在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又F是DC中点，∴EF是DC的垂直平分线.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).方法归纳证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或者根据全等三角形对应边相等来证明.例3在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点，求证:AP=PQ=QC.图1-1-14思路分析：在△ADQ中，F是AD的中点，只要证明FP∥DQ，即可由推论1得AP=PQ；同理在△CPB中，根据E是BC的中点，EQ∥BP，由推论1得CQ=PQ，由此得到结论.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形).∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点.∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.深化升华本题两次利用了E、F是中点的条件，在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.例4已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证:AF=BF.图1-1-15思路分析：一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉到图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用,所以延长AE使它与BC相交就势在必行了.证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E,∴在△AEC与△MEC中,EC=CE,∠AEC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCD.∴△AEC ≌△MEC.∴AE=ME.∴E 是AM 的中点.又在△ABM 中FE ∥BC,∴点F 是AB 边的中点.∴AF=BF.方法归纳 作辅助线的常用方法有延长某线段与另外的线段相交，连结两点，过一点作另外一条线段的平行线，过一点作另外一条线段的垂线等.例5如图11-1-6,以梯形ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作ACED ，DC 的延长线交BE 于F,求证:EF=BF.图1-1-16思路分析：在△EAB 中，OF ∥AB.要说明EF=BF ，只要说明O 是AE 的中点，而O 是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分性质，可以知道O 是AE 的中点，于是问题得证.证明：连结AE 交DC 于O,∵四边形ACED 是平行四边形,∴O 是AE 的中点(平行四边形对角线互相平分).∵四边形ABCD 是梯形,∴DC ∥AB. 在△EAB 中，OF ∥AB,又O 是AE 的中点，∴F 是EB 的中点.∴EF=BF.深化升华 证题时，当一个条件有几个结论时,要选择与其有关联的结论.本题可延长EC ，在梯形ABCD 内构造平行四边形，或以AB 、BE 、AD 的延长线为边构造梯形也可以得证. 例6如图1-1-17，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，AD ＝12，求BE 的长.图1-1-17思路分析：首先由平行四边形的性质得到O 是AC 的中点，利用平行得E 是BC 的中点，于是BE 应等于BC 的一半，BC 的长度可以由AD 获得.解：∵ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，BC ＝AD.∵AB ∥DC ，OE ∥AB ，∴DC ∥OE ∥AB.又∵AD ＝12，∴BE ＝EC ＝21BC ＝21AD ＝6.。
高考数学(苏教,理)配套课件：第十三章 第一节平行截割定理与相似三角形
(2)从边角的关系判定两个三角形相似的条件是_____________
_____________.
(3)从边的关系判定两个三角形相似的条件是___________两__角__对. 应相等 推论：如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形的另
两条边相交，那么截得的三角形与原三角形相似.
两边对应成比
例且夹角相等
射影 斜边
两条直角边
射影
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)三角形相似不具有传递性.( ) (2)相似多边形的面积比等于相似比的平方.( ) (3)所有的等腰三角形都相似.( ) (4)所有的直角三角形都相似.( )
【解析】(1)错误.根据三角形相似的判定方法可证明具有传递性. (2)正确.可以通过作辅助线将多边形化为三角形加以证明. (3)错误.虽然两边对应成比例，但所夹顶角不一定相等，故无法判断其相似. (4)错误.只满足一直角对应相等，故无法判断其相似. 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
BF
FC
【规范解答】(1)过D点作DG∥BC， 并交AF于G点， ∵E是BD的中点， ∴BE=DE. 又∵∠EBF=∠EDG， ∠BEF=∠DEG， ∴△BEF≌△DEG，则BF=DG， ∴BF∶FC=DG∶FC， 又∵D是AC的中点，则DG∶FC=1∶2，则BF∶FC=1∶2.
(2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由(1)知BF∶BC=1∶3， 又由BE∶BD=1∶2可知h1∶h2=1∶2，其中h1,h2分别为△BEF的 边BF上的高和△BDC的边BC上的高，则
SVBEF SVBDC
11 32
16，则S∶1 S2
1∶5．
【拓展提升】 1.作辅助线的技巧 见到中点，想到作中位线. 2.三角形的两类面积转化关系 (1)当两个三角形相似时，用相似三角形的面积比等于相似比的平方来转化三 角形的面积. (2)当两个三角形同(等)高或同(等)底时，用三角形的面积之比为底边之比或 对应高之比来转化三角形的面积.
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本讲的知识重点是平行线等分线段定理、平行截割定理及其推论，是研究相 似形最重要和最基本的理论， 它一方面可以直接判断线段成比例， 另一方面， 教学后记 当不能直接证明要证的比例成立时，常用定理把两条线段的比“转移”成另 两条线段的比。在使用定理和推论的时候，应特别注意对应的问题。
C
cm，
答案:103.35，55.65；
┐ A
O 图 15-6
└B D A A ′ ′ B ′ C ′ ′ ′ D ′ ′ E ′ ′
2、已知，如图 15-7，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，
A′ B′ =B′ C′ =C′ D′ =D′ E′ ，若 AA′ =28mm，EE′=36mm， B C 则 BB′= ，CC′= ， DD′= ．
B
D 图 15-9
C
3、如图 15-10，过梯形 ABCD 的对角线交点 O 作直线 EF 平行于底，分别交 1 1 2 两腰 AD、 BC 于点 E、 F， 求证： ． D C AB CD EF EO DE 提 示 ： ∵ EF ∥ BC ∥ AD ， ∴ ， E F AB DA O OF CF EO AE OF BF ， ， AB CB CD AD CD BC EF EF B 2 ，则 A 将四个等式相加得到 图 15-10 AB CD 1 1 2 ． AB CD EF 4、 如图 15-11， 直线 l 分别交 ΔABC 的边 BC， CA，AB 所在直线于点 D，E，F， 1 5 EC 且 AF= AB，BD= BC，求 ． 3 2 AE 提示：作 CN∥AB 交 DF 于点 N，由平行割 BF DB CN EC 线定理得 ， ，两式相 CN DC AF AE
A C′ B O A′ C 图 15-8 B′
2、如图 15-9，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．求 BD． 答案:2.1cm． 提示：∵EF∥BC，∴ ∴
AF AE 3 ．∵DF∥AB， CF BE 2
E F A
Байду номын сангаас
BD AF 3 ， DC CF 2 3 即 BD= DC =2.1cm． 2
A C M K D F B 图 15-1 E A l1 l2 F l3 B D 图 15-2 E C
，
1 EA，AD，BE 2
．
二．典型例题讲 例 1．如图 15-4，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=90°，E 是 AB 边的中 二． 典型例题讲 点，连结 ED、EC，求证：ED=EC． 分析：要证明 ED=EC，只要设法证明 E 在线段 CD 的垂直平分线上． A 证明：过 E 点作 EF∥BC 交 DC 于 F 点． D 解（20min） ∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∴AD∥EF∥BC． E F ∵E 是 AB 的中点， ∴F 是 DC 的中点． ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°． B C 图 15-4 ∴EF⊥DC， ∴EF 是 DC 的垂直平分线． ∴ED=EC． 目的：根据平行线等分线段定理可以得到，在梯形中，若已知一腰的中 点，那么过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，本题正是利用这一 结论再结合线段垂直平分线的性质得证的．平行截割定理的应用很广泛，它 体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想，是研究相似形最重要、最 基本的理论． 例 2．如图 15-5，在 ΔABC 中，作直线 DN 平 行于中线 AM，设这条直线交边 AB 与点 D， 交边 C 的延长线于点 E，交边 BC 于点 N． 求证：AD∶AB=AE∶AC．
目
标
教学重点 教学难点 教法设计 教 具
平行线分线段成比例定理 相似三角形的判定定理、性质定理等等 引导探究、演绎推理 课型 幻灯片、三角尺 新授课
教学过程 教学主要内容（包含板书设计及课堂练习设计、作业处理等） 及时间
（第一课时） 一． 基础知识回 一．基础知识回顾 顾（8min） 1、如图 15-1，l1∥l2∥l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则 DM= EK= ，FK= ． 答案:DM=7.5，EK=6，FK=10； 2、如图，ΔABC 中，点 D 为 BC 中点，点 E 在 CA 上，且 CE= 交于点 F，则 AF:FD= 答案:AF:FD=4:1；
堂
教
还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力 和逻辑思维能力的好资料， 在平时的训练中要让学生熟悉基本图形和基本结 论，培养善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．引导学生领悟
学
定理产生的背景，经历知识发展的过程，从而提高学生观察问题、提出问题 和解决问题的能力，培养学生的数学探究能力
五、作业布置
五、作业布置 1、如图 15-8，BC∥B′ C′ ，AC∥A′ C′ ．求证：AB∥A′ B′ ．如果 BC=2B′ C′ ， 那么 AB 是 A′ B′ 的多少倍？ 提 示 ： ∵ BC ∥ B′ C′ ， ∴ OB OC BC 2 ．∵AC∥A′ C′ ， OB OC BC OA OC ∴ ． OA OC OA OB 2 ，∴AB∥A′ ∴ B′ ， O A OB AB=2 A′ B′ ．
A E D
B
N M 图 15-5
C
分析：要证明 AD∶AB=AE∶AC，必须找到与 AD∶AB 和 AE∶AC 都相等的第三个量． 证明：∵AM∥EN， ∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC． ∵MB=MC， ∴AD∶AB=AE∶AC． 目的：本题的理论依据是平行于三角形一边的 直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．由于直接证明 相对较困难，所以利用了中间比进行等量代换，这种方法在有关比例式的证 明中经常使用． 三．精选试题演练 三． 精选试题演 练（10min） 1、如图 15-6，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm， BO=42cm，CD=159cm，则 CO= DO= cm．
D E 图 15-7
答案:30mm，32mm，34mm； 四、课堂小结 (5min)
四、课堂小结 一、平行线等分线段 1、定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线 上截得的线段也相等。 2、推理 1）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2）经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 二、平分线分线段成比例 1、定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的 对应线段成比例
板 书 设 计
4-1 几何证明选讲 第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理
一、平行线等分线段 1、定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线 上截得的线段也相等。 2、推理 1）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2）经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 二、平分线分线段成比例 1、定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的 对应线段成比例
A F E
B
C 图 15-11
D
乘得
EC BF DC 1 BF 5 DC 3 2 ，由 BD= BC 得 ，则 ．又由 AF= AB 得 AE AF DB 3 AF 2 DB 5 EC 3 6 =2× = ． AE 5 5
5、已知：M，N 分别为平行四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，CM，AN 分 别交 BD 于点 E，F，求证：E，F 三等分 BD． 提示：∵∥AB∥CD 且 AB=CD，M，N 分别为 AB，CD 的中点，∴AM∥CN， AM=CN，∴四边形 ABCD 是平行四边形．∴AN∥CM．∵DN=NC，由平行截 割定理知 DF=FE，同理 FE=EB．则 E，F 三等分 BD． 6、如图 15-12，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AB，CD 的中点． 1 A D 求证：GH= （BC－AD） ． 2 提示：由条件得 EF 是梯形 ABCD 的中位线， E 则有 EF∥AD∥BC，由平行线等分线段定理得 F G H 1 1 AH=HC， BG=GD ，∴FH= AD ， FG= BC，∴ 2 2 C 1 B 图 15-12 GH=FG－FH= （BC－AD） 2
实习生课堂试教教案
备课时间 2014 年 9 月 10 日
教学课题 授课时间
4-1 几何证明选讲 第一讲 平行线等分线段 定理和平行截割定理 9 月 11 日
一、教学目标
年级班次 课时数
高三（1）班 3
课
1、知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. 2、过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形 定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。 3、情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、学情分析： 本讲的内容学生已初步了解，这里不仅是对学生已有知识的深化，更侧重于 逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，