第三章 静电能

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电磁场与电磁波:第三章作业答案

电磁场与电磁波:第三章作业答案

3.1 长度为L 的细导线带有均匀电荷,其电荷线密度为0l ρ。

(1)计算线电荷平分面上任意点的电位ϕ;(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ,并用ϕ=-∇E 核对。

解 (1)建立如题3.1图所示坐标系。

根据电位的积分表达式,线电荷平分面上任意点P 的电位为2(,0,0)L L ϕρ-==⎰2ln(4L l L z ρπε-'+=04l ρπε=02l ρπε (2)根据对称性,可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为d d E ρρρθ'===Ee e 022320d 2()l z z ρρρπερ''+e故长为L 的线电荷在点P 的电场为2022320d d 2()L l z z ρρρπερ'==='+⎰⎰E E e20002L l ρρπερ'=e ρe 由ϕ=-∇E 求E ,有002l ρϕπε⎡⎢=-∇=-∇=⎢⎥⎣⎦E(00d ln 2ln 2d l L ρρρπερ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦e0012l ρρπερ⎧⎫⎪--=⎬⎪⎭e ρe可见得到的结果相同。

3.3 电场中有一半径为a 的圆柱体,已知柱内外的电位函数分别为2()0()()cos a a A aϕρρϕρρφρρ=≤⎧⎪⎨=-≥⎪⎩(1)求圆柱内、外的电场强度;L L -ρρ题3.1图(2)这个圆柱是什么材料制成的?表面有电荷分布吗?试求之。

解 (1)由ϕ=-∇E ,可得到a ρ<时, 0ϕ=-∇=Ea ρ>时, ϕ=-∇=E 22[()cos ][()cos ]a a A A ρφρφρφρρρφρ∂∂----=∂∂e e 2222(1)cos (1)sin a a A A ρφφφρρ-++-e e(2)该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为0002cos S n a a A ρρρρεεεφ=====-e E e E3.4 已知0>y的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位的解? (1)cosh y e x -; (2)x e y cos -;(3)cos sin e x x (4)z y x sin sin sin 。

静电场分析

静电场分析

电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
选择电位参考点的原则: 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点 电位参考点电位一般为0;
二、电位函数的求解
中国矿业大学
点电荷的电位
v E
q
40r 2
evr
vQ
Q v v P' Q v v
S
Ev(rv)g(4
r2
evr)0
Q
0
v E
Q
4 0 r 2
evr
r
Ñ 在球内区域:ra
Q 3Q
Ev(rv)gdSv
V 4 a3 S
Q
0
Ev(rv)g(4 r2
v E
Qr
4 0 a3
evr ) evr
4 r3
3
0
3.2 电位函数
中国矿业大学
一、电位函数与电位差
电位函数
v
E 0
中国矿业大学
补充内容:利用高斯定理求解静电场
Ñ Ev(rv)gdSv 1 (rv)dV Q
S
0 V
0
求解的关键:高斯面的选择。
高斯面的选择原则:
1)场点位于高斯面上;
2)高斯面为闭合面;
3)在整个或分段高斯面上,Ev

vv EgdS
为恒定值。
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则,因此用
中国矿业大学
真空中静电场性质小结:
微分形式
积分形式
gEv(rv) (rv)
Ev(rv)
0
0
ÑS Ev(rv)gdSv
ÑC
Ev(rv)
0
Q
0
静电场性质:是一种有源无旋场,是保守场。

第三章 带电系统的静电能与电场的能量

第三章  带电系统的静电能与电场的能量

1 1 2 q1U 21 q2U 12 qi 2 2 i 1
University
of
Science
j 1 ( ji )
U
2
ji
and
Technology
of
China
三、n个点电荷
1 n W互 q i 2 i 1
U
j 1 ( ji )
n
ji
qj U ji= 4 r 0 ji n U i= U ji j 1 ( ji )
University
of
Science
and
Technology
of
China
2. 静电能
W W0 W极
U
S1
r 以平行板电容器为例 S2 U 未充电时两极板电荷0 充电后电荷Q,充电过程中电源作功: q dA Udq dq C Q q 1 Q2 1 A dA dq Q U U 0 C 2 C 2 1 1 QU Q U 2 2 University of Science and Technology of China
Technology
of
China
a 0 U 0 U r U 1 r 体电荷分布时静电能: 1 W r U r dV 2 V 其 中U r : 总 电 势
University
of
Science
and
Technology
of
University
of
Science
and
Technology
of
China
总电势: U r U1 r U r U r : r dV在自身处的电势

教科版 九年级物理最新课件 第三章第一节电现象

教科版 九年级物理最新课件 第三章第一节电现象
第二节 电现象
一、静电现象
1. 一些 物体被摩擦后能够吸引轻小物体, 人们把这种现象称为物体带了“电”
摩擦起电:用摩擦的方法使物体 带电叫做摩擦起电。
2. 带电体的特征:能够吸引轻小物体
3.两种电荷
②人们规定:
①自然界中只有两种电荷,正电荷和负电 荷 H:\新九年级课件\076c3feb9df9f900.htm
金属导电靠 自由电子 移动。
自由电子运动与的电流的方向方向相反
正 3、在电池外部,电流从____极流 负 出,从_____极流回电池。
电流方向的判断: 负电荷 如图,移动的电荷是____,电荷移 从A到B 动方向
B
电池的构造:
电池有正,负 两个极
1、 如果一个带电体 能吸引一个轻小物体, 能否判断这个轻小物 体也带了电?
不能,可能带电,也可能不带电。
2、 如果一个带电体能排斥一个轻小 物体,能否判断这个轻小物体也带了 电?
能,带同种电荷。
1.电荷间的相互作用规律是:______电荷 同种 异种 互相排斥,______电荷互相吸引.
2.把一个带电的物体靠近用了绸子摩擦 过的玻璃棒时,它们互相排斥,这个带电 正 物体所带的电荷是______电荷.
3.用丝绸摩擦过的玻璃棒去靠近甲,乙两个轻 小物体,结果甲被排斥,乙被吸引,由此我们可 以总判定( D ) A.甲带正电,乙带负电. B.甲带负电,乙带正电. C.甲带负电,乙不带电或带正电. D.甲带正电,乙不带电或带负电.
4.一根玻璃棒与带负电的验电器的金属球 接触后,发现验电器的两片金属箔完全闭 合,关于玻璃棒和验电器原来的带电情况, 下列说法中正确的是( B ) A.两者带等量的负电荷. B.两者带电量相等,玻璃棒带正电荷. C.玻璃棒带正电荷,电量较大. D.玻璃棒带负电荷,电量较小.

第 三 章 静电场中的电介质

第 三 章 静电场中的电介质

第 三 章 静电场中的电介质 (6学时)一、目的要求1.掌握电介质极化机制,熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。

2.会求解极化强度和介质中的电场。

3.掌握有介质时的场方程。

4.理解电场能量、能量密度概念,会求电场的能量 。

二、教学内容与学时分配 1.电介质与偶极子( 1学时) 2.电介质的极化(1学时) 3.极化电荷( 1学时)4.有电介质时的高斯定理(1学时) 5.有介质的场方程(1学时) 6.电场的能量(1学时) 三、本章思路本章主要研究电介质在静电场中的特性,其基本思路是:电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。

四、重点难点重点:有介质的静电场方程 难点:电介质的极化规律。

五、讲授要点§3.1 电介质与偶极子一、教学内容 1.电介质概述 2.电介质与偶极子3.偶极子在外电场中受到的力矩 4.偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授三、讲课提纲 1.电介质概述电介质是绝缘材料,如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。

特点:分子中正负电荷结合紧密,处于束缚状态,几乎没有自由电荷。

当导体引入静电场中时,导体对静电场有很大的影响,因静电感应而出现的感应电荷产生的静电场在导体内部将原场处处抵消,其体内00='+=E E E ϖϖϖ,且表现出许多特性,如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等;如果将电介质引入电场中情况又如何呢?实验表明,电介质对电场也有影响,但不及导体的影响大。

它不能将介质内部的原场处处抵消,而只能削弱。

介质内的电场00≠'+=E E E ϖϖϖ。

2.电介质与偶极子 (1)电介质的电结构电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由,而是被束缚在原子分子上,处于事缚状态。

一般中性分子的正负电荷不止一个,且不集中于一点,但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响,这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。

第三章静电场中的电介质(10-10)

第三章静电场中的电介质(10-10)

V
S
计算 q’ 与 ’
ˆ 在 S 上取 dS = dS n
附近 p = ql || P
l/ 2
P
ˆ n

l/ 2 dS 作斜柱体:l 为母线,dS 为底 (中心在斜柱体内的偶极子与 dS 相截) 体积: ldS |cos | (斜柱体) 偶极子数: n ldS |cos | (中心在斜柱体内) 电量: dq’ = -nqldS cos (下半柱体,即 V 内) dq’ = -npdS cos PdS cos P dS
ˆ n
01 (2) 0 0 01
01 ’
02
例题 2(p.104/[例2])(2)
01 U Ed d
q0 01S
(3) C q0 S
U d S 无介质(真空): C0 0 d C r C0
一. 极化电荷
极化电荷 —— 介质极化导致局部 V 内电 荷代数和不等于零
自由电荷:q0, ρ0, ϭ0 ( 包括导体感应电荷 ) 极化电荷: q ’, ρ’,ϭ’ ( 由于介质极化产生 )
E 未极化时 V 内 q= 0 极化后 V 内 q 0
二. ’ 与 P 的关系
整体位于 V 内的偶极子对 V 内的 q ’ 无贡献 只有与 V 的边界面 S 相截的偶极子才有贡献
ˆ ˆ ' P n 0 E n 0 E
0
ˆ ( E与n反向) 0 E 0 ' 0 0 E
’ -’ -0
解得 0 0 (1 ) E 0 r E
' 0 E 0 ( r 1) E
(2)

静电能

静电能
第三章 静电能
能量是物质运动的一种普遍量度,在力学中,利 用能量守恒及各能量间的转换建立关系式,来求未知 物理量。电场是物质,能量是物质的一种属性,要掌 握电场,不能不研究形成电场的带电体系的静电能。
任何物体的带电过程,都是电荷之间的相对移动 过程,在这个过程中,外力必须克服电荷间的相互作 用而作功。外界作功所消耗的能量将转换为带电系统 的能量,该能量定义为带电系统的静电能。
i1
q iU i
2
Ui 为除qi 以外其他点电荷在qi 处产生的电势的代数和
C 二、三个点电荷系统的相互作用能q r23 3 现在引入第三个点电荷 q3 , r13 A r12 那么整个体系的相互作用能就应 该在原有的基础上加上 q3 与 q1、 q 1 q2 之间的相互作用能,即
W互 q1q 2 4 o r12 q1q 3 4 o r13 q2q3 4 o r23
U (r )
e
6 0
(3 R
2
r )
2
于是,积分得: 2 5 e 1 4 e R 2 2 2 W e e (3 R r ) r sin drd d . 2 rR 6 0 1 5 0 当 e 固定时,We将随 R 0 而趋于零。
☆ 说明当帶电体为连续电荷分布时,将该体电荷无

N
V i
e r U r dV
N

i 1
1 2
U Vi e r U i r dV Vi e r
i 1
1
i
2
i dV
W互 W自
☆靜電能 = 裝組系統的電荷配置所需做的功。
点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是,不能 计算点电荷、线电荷的自能(为无穷大)。 线电荷间互能的计算公式

第三章静电场中的电介质习题及答案解析

第三章静电场中的电介质习题及答案解析

r 分之一。 √
二、选择题
1. 一平行板真空电容器,充电到一定电压后与电源切断,把相对介质常数为 介质充满电容器。则下列说法中不正确的是:
r 的均匀电
( A ) 介质中的场强为真空中场强的
1
r 倍。
( B) 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的
1
r 倍。
1
( C) 介质中的场强为原来场强的
r 倍。
P;P 的方向平行于球壳直
径,壳内空腔中任一点的电场强度是:
P
E
(A )
30
(B) E 0
E
P
(C)
30
B
E 2P
(D)
30
9. 半径为 R 相对介电常数为 r 的均匀电介质球的中心放置一点电荷
q,则球内电势 的
分布规律是:
q
(A )
4 0r
q
(B)
4 0 rr
q (1 1) q
(C)
4 0 r r R 4 0R
6、如果一平行板电容器始终连在电源两端,则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中 场强相等。

7、在均匀电介质中,如果没有体分布的自由电荷,就一定没有体分布的极化电荷。 √
1 r 倍。
8、在均匀电介质中,只有 P 为恒矢量时,才没有体分布的极化电荷。
P =恒矢量
×
Px
Py
Pz 0
p
xy z
Px
Py
Pz
W
(C)
q2 (1 8 0r a
r 1) b 1) b
W
(D)
q2 1 r( 1 1) 80 r ab
B
三、填空题
1、如图,有一均匀极化的介质球,半径为
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e U (r ) (3R 2 r 2 ) 6 0 于是,积分得:
4 R e 1 2 2 2 . We e (3R r )r sin drd d 15 0 2 r R 6 0
2 e 5
当 e 固定时,We将随 R 0 而趋于零。 3 q 4 R e / 3 表示,上述结果可写成: 如果用总电量
3 q 2 这时若固定q,令 R 0 ,则 We . 5 4 0 R We ,即点电荷的自能发散。
5. 对带电导体,静电能公式可进一步简化。
导体的特点是电荷分布在外表面,整个导体是 等势体。当求 N 个带电导体组成的体系的静电 能时,应用前式可得如下结果:
W12 q2U12
同样地,
q2 q1 , 4 0 r12 1
W21 q1U 21
q1 q2 W12 , 4 0 r12
可将两个点电荷的静电能记为W2 ,为方便写成: 1 1 W2 (W12 W21 ) (q2U12 q1U 21 ), 2 2 三个点电荷的静电能记为W3 ,便为:
一种简单而自然的办法是把极化电荷和自由电荷 同等看待,将看成是总电荷密度 e (r ) ,即自由电荷密 (r ) 之和,然后按前式定 度 e 0 (r ) 和极化电荷密度 e 义系统的能量,即: 1 1 (r )U (r )dV We0 e0 (r )U (r )dV e 2 2
j i j i

U 代入W :
W3
1 8 0

j 1 i 1
j i
3
3
qi q j rji
,
对N个点电荷系统:
N 1 N 1 WN qiU i , 其中 U i U ji 2 i 1 4 0 j 1
j i
r
j 1
j i
N
qj
ji

U i 是除了qi 其它点电荷在qi 处产生的电势的和。 同理,将U 代入W 得: N N N q q 1 N 1 i j WN qiU ji . 2 j 1 i 1 8 0 j 1 i 1 rji
j i j i
对N+1个点电荷系统,可证(见书p68):
WN 1 1 8 0

j 1 i 1
j i
N 1 N 1
qi q j rji
记为
=
1 8 0

j i
N +1
qi q j rji
.
j , i 1
§3.2 连续电荷分布的静电能
首先讨论空间只有自由电荷的情形,这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等于 0 的物体(包括真空)存在。
We A.
We0 是否等于We 呢?否
理由在于,在介质中建立电场时,外界不仅要克服宏 观电荷(包括自由电荷和极化电荷)之间的静电力作 功,而且要克服分子内部(对位移极化情形)或分子 之间(对取向极化情形)的相互作用作功。第一部分 功转化为系统的宏观静电能We0;第二部分功称为 “极化功”,它使介质极化。
2 1 1 2 1 q We qU q . 2 2C 2 4 0 R
与例3.1的结果比较可知,对电量及半径相同的带电 球,其静电自能与电荷分布有关。电荷集中分布于球 面比均匀分布于整个球体的自能要小。
■如果假设电子的能量 W mc 2 全部来自静电自能We,
二、特点:
1. 是状态的单值函数, 属于整个系统; 2. 能量差才有意义; 3. 用做功来量度能量。
三、描述的方法:
要引入状态参量,规定零点能,然后用做功来计算 能量。
定义
建立一个带电系统的过程中,总伴随着 电荷相对运动,需要外力克服电荷间的相互 作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换 为带电系统的能量,该能量定义为带电系统 的静电能。显然,静电能应由系统的电荷分 布决定。 例如,第一章中已讲到的点电荷在外电 场中的电势能就是静电能。

e 2 2 U 3 a r , 6 0
2 U a / 2 0 ,故当 a 0 它在球心处取极大值 m e
0 即 U 0 。于是, U1(r) ≈ U(r) 时有 U m
1 We e (r )U (r )dV . 2 V
(3.2.2)
1 N 1 N 1 N We eUdS Ui e dS qiUi , 2 i 1 Si 2 i 1 Si 2 i 1
式中qi和Ui为第 i 个导体的电量和电势。
[例3.2] 一孤立带电导体球电量为q,半径为 R,求其静电能。 [解] 对孤立导体球有U = q/C,C 4 0 R 。 应用上式得:
2. 对面电荷分布的情形,设面电荷密度
为 e (r ) 。类似,将面电荷无限分割为圆状面电 荷元 e (r )dS ,它在自身产生的电势不会大于
e a / 2 0 (a为面元半径,见P26的第1.7节例 1.10),该电势随 dS 0 ( a 0 )而趋于零。
于是 ,U1(r) ≈ U(r) ,其静电能为:
对线性无损耗介质,通过极化功转换到介质的能量称 为极化能,记为 W 。所以: W W W .

e
e0

*[例如] 填充了均匀介质的平行板电容器(见右下 对 图),极板自由面电荷 e 0 和介质极化面电荷 e 0 ,虽然对 宏观静电能We0都有贡献;而介质体内 e We0无贡献,但介质内部那些因极化发生变形或改变排 列状态的原子、分子也贮存了一部分能量,并造成 e , 它们相当于极化能 W极 。 e'=0 e' e0 一定的电场对应于一定 U2 U1 的介质极化状态。与此相 应,宏观静电能与极化能 存在着密切的关系。习惯 上定义系统的静电能为:
A udq
0
0
Cdq 2C NhomakorabeaQ .

1 1 2 We A Q QU , 2C 2
1 1 或写成: We Q(U 2 U1 ) (Q1U1 Q2U 2 ). 2 2
这与前面的普适公式的结果一致。
*6.简单介绍空间存在电介质的情形,我们限于
线性无损耗介质。对于这种情形,随着自由电荷的搬 运和电场的建立,介质将会产生极化并出现极化电荷。
§3.1 真空中点电荷间 的相互作用能



设想空间中有多个点电荷, 其带电量用 qi 表示, 相应的位置用 ri 表示, 任意两个点 电荷间的距离可以由 rij=|rij|=|rj-ri|给出, 所谓点电荷之间的相互作用能,指的是与点 电荷间的相对位置有关的静电能。 状态参量取为rij(i, j = 1,2,…,N),rij 时,它们之间的静电相互作用消失,很自然 地取这时的相互作用能为零。 我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算 由N个点电荷组成的静电体系的静电能.
1 We 2

S
e (r )U (r )dS
(3.2.3)
3. 线电荷分布的情况,不能将静电能写为:
1 We e (l )U (l )dl 2L

1 We e (l )U1 (l )dl 2L
因为 e (l )dl 在自身所在处产生的电势不仅不趋 于零,而且会按 ln r(r为离线元dl的垂直距离) 趋于无穷。进一步,可证U1(l)也会趋于无穷大。 这在物理上意味着:要把电荷从极端分散状态压 缩到一条几何线上,外界需要作无穷大的功。这 显然是办不到的。因此,在计算静电能时,无论 线径怎样小的带电体均不能当作线电荷处理。
第三章 静电能
§3.1 真空中点电荷间的相互作用能 §3.2 连续电荷分布的静电能 §3.3 电荷体系在外电场中的静电能 §3.4 电场的能量和能量密度
*§3.5 非线性介质及电滞损耗
*§3.6 利用静电能求静电力
能量的基本概念
一、引入的目的:
1. 能量是物质的共同属性,是物质运动的普遍量度; 2. 能量守恒定律是最有意义、最有用的发现之一; 3. 便于研究不同形式能量的转换。
4. 多个带电体组成的系统的静电能。设
有N个带电体,体积分别为V1,V2…,VN。可将 空间的总电势U(r)分为两部分
U (r ) Ui (r ) U (r ),
(i )
式中Ui (r)表示除第i个带电体外其余所有带电体 (i ) 在 r 处产生的电势,U (r )则表示第i个带电体 在 r 处产生的电势。按照前述结论,可得: 1 N 1 N (i ) We e (r )U (r )dV e (r )[U i (r ) U (r )]dV 2 i 1 Vi 2 i 1 Vi
1 W3 (W12 W21 W13 W31 W23 W32 ) 2

于是可写成:
1 W3 (W12 W21 W13 W31 W23 W32 ) 2 1 ( q2U12 q1U 21 q3U13 q1U 31 q3U 23 q2U 32 ) 2 3 1 3 1 3 qj qiU i , 其中 U i U ji , 2 i 1 4 0 j 1 rji j 1
N
1 W互 e (r )U i (r )dV . 叫互能 i 1 2 Vi
点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是,不 能计算点电荷、线电荷的自能(为无穷大)。
[例3.1] 求体电荷密度为 e 、半径为R 的均匀带电 球的静电能(带电体的介电常量设为 0 )。
[解] 以球心为原点,取球坐标( r , , )。根据第 一章1.7节例1.11的结果取R1 = 0,R2 = R,可得:

V0

V
式中V0和V’ 分别表示自由电荷和极化电荷所在的空间 区域。我们将上面定义的能量记为We0,并把它称作 系统的“宏观静电能”,它可以理解为在建立宏观电 (r ) 过程中系统所贮存的静电能。 荷分布 e 0 (r )和 e
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