计算机控制系统离散化设计(经典设计方法)
计算机控制系统经典设计法——离散设计法
(1)
闭环脉冲传递函数的确定
典型输入的z变换表达式
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) q
误差E ( z )的脉冲传递函数
系统的静态误差为
E ( z ) R( z ) Y ( z ) Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) R( z )
A( z )(1 Φ( z )) (1 z 1 )－(1 z 1 ) 2 z 1－z 2
1 Φ( z ) 0.5434 z 1 1 0.5 z 1 1 0.3679 z 1 D( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 ) z 1 1 2 1 E ( z ) (1 Φ( z )) R( z ) (1 z ) z (1 z 1 ) 2
二拍以后，系统输出等于输入信号
(3) 对单位加速度输入信号
Φ( z ) 1 (1 z 1 )3 3z 1－3z 2＋z 3
1 0.8154 （ 1－z 1＋ z 2） 1 0.3679 z 1 1 Φ( z ) 3 D( z ) G( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.718 z 1 )
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
1 Φ( z ) D( z ) G ( z ) 1 Φ( z )
要点：如何把系统的性能指标转换为闭环特性Φ( z )，解出的D( z )能否 物理实现以及系统能否保证稳定。
5
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
第五章数字控制器的离散化设计方法
第五章数字控制器的离散化设计⽅法第五章数字控制器的离散化设计⽅法数字控制器的连续化设计是按照连续控制系统的理论在S 域内设计模拟调节器，然后再⽤计算机进⾏数字模拟，通过软件编程实现的。
这种⽅法要求采样周期⾜够⼩才能得到满意的设计结果，因此只能实现⽐较简单的控制算法。
当控制回路⽐较多或者控制规律⽐较复杂时，系统的采样周期不可能太⼩，数字控制器的连续化设计⽅法往往得不到满意的控制效果。
这时要考虑信号采样的影响，从被控对象的实际特性出发，直接根据采样控制理论进⾏分析和综合，在Z 平⾯设计数字控制器，最后通过软件编程实现，这种⽅法称为数字控制器的离散化设计⽅法，也称为数字控制器的直接设计法。
数字控制器的离散化设计完全根据采样系统的特点进⾏分析和设计，不论采样周期的⼤⼩，这种⽅法都适合，因此它更具有⼀般的意义，⽽且它可以实现⽐较复杂的控制规律。
5.1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的连续化设计是把计算机控制系统近似看作连续系统，所⽤的数学⼯具是微分⽅程和拉⽒变换；⽽离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所⽤的数学⼯具是差分⽅程和Z 变换，完全采⽤离散控制系统理论进⾏分析，直接设计数字控制器。
计算机采样控制系统基本结构如图5.1所⽰。
图中G 0(s)是被控对象的传递函数，H(s)是零阶保持器的传递函数，G(z)是⼴义被控对象的脉冲传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数， R(z)是系统的给定输⼊，C(z)是闭环系统的输出，φ(z)是闭环系统的脉冲传递函数。
零阶保持器的传递函数为：se s H Ts--=1)( （5-1）⼴义被控对象的脉冲传递函数为：[])()()(0s G s H Z z G = （5-2）由图可以求出开环系统的脉冲传递函数为：图5.1 计算机采样控制系统基本结构图)()()()()(z G z D z E z C z W == （5-3）闭环系统的脉冲传递函数为：()()()()()1()()C zD z G z z R z D z G z Φ==+ （5-4）误差的脉冲传递函数为：()1()()1()()e E z z R z D z G z Φ==+ （5-5）显然 )(1)(z z e Φ-=Φ（5-6）由式（5-4）可以求出数字控制器的脉冲传递函数为：)](1)[()()(z z G z z D Φ-Φ= （5-7）如果已知被控对象的传递函数G 0(s)，并且可以根据控制系统的性能指标确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)，由上式可以得到离散化⽅法设计数字控制器的步骤：（1）根据式（5-2）求出⼴义被控对象的脉冲传递函数G(z)。
计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法
模拟控制器的离散化方法（续五）
一阶后向差分:
D( z ) D( s )
1 z 1 s T
U ( s) 1 D( s ) E ( s) s
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(k )
一阶向后差分的s与z替换关系是 z变量与s变量关系的一种近似
图7-22 后向差分矩形积分法
模拟控制器的离散化方法（续二）
2. 加零阶保持器的Z变换法（阶跃响应不变法或保持Z变换法）
基本思想：用零阶保持器与模拟控制器相串连，然后再进行Z变换离散化成数字控 制器。要求脉冲传递函数和连续传递函数的单位阶跃输出响应在采样时刻相等。
-
图7-21 阶跃响应不变法
1 1 G (s) Z G ( s ) D( z ) (1 - z -1 ) Z 1 - z -1 s s 1 e Ts 或者D( z ) Z G ( s) s D( z )
s与z的关系是双线性函数，即
s
2 z 1 2 1 z T z 1 T 1 z 1
1
T s 2 z T 1 s 2 1
模拟控制器的离散化方法（续十一）
双线性变换法 特点及应用
D(s)稳定，D(z) 一定稳定； 双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变（见图7-28）； 双线性变换后稳态增益不变； 比较适合工程上应用的一种方法； 由于高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化。
【答案】
aT D( z ) 1 1 aT z
例7.8 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用前向差分求数字控制器D(z)。 【答案】
aT D( z ) z (aT 1)
计算机控制系统离散化设计
也就是说，系统经过2拍 也就是说，系统经过 拍，输出就可以无差地跟踪上输入 的变化， 即此时系统的调节时间t 的变化 ， 即此时系统的调节时间 s=2T，T为系统采样时 ， 为系统采样时 间。 误差及输出系列如图4.3所示。 误差及输出系列如图 所示。 kT)
y(kT) 4T 3T
T
2T T 0 T 2T 3T kT 0 T 2T 3T 4T kT
图4.3 单位速度输入时的误差及输出序列
第4章 计算机控制系统离散化设计
(3)单位加速度输入时 单位加速度输入时 T 2 (1 + z −1 ) z −1 Y ( z ) = W ( z ) ⋅ R ( z ) = (3 z −1 − 3 z −2 + z −3 ) ⋅ 2(1 − z −1 ) 3
m = 1 , We ( z ) = 1 − z −1 , W ( z ) = z −1
m = 2 , We ( z ) = (1 − z −1 ) 2 , W ( z ) = 2 z −1 − z −2
单位加速度： 单位加速度：m = 3 , We (z) = (1− z−1)3 , W(z) = 3z−1 − 3z−2 + z−3 由上式可知， 由上式可知 ， 使误差衰减到零或输出完全跟踪输入所需 的调整时间，即为最少拍数对应于 分别为1 的调整时间 ， 即为 最少拍数对应于 m=1，2，3 分别为 1 拍 ， 2拍，3拍。 3．D(z)的确定 ． 的确定 根据给定的G(z)，可由满足性能指标要求的希望开环 传 ，可由满足性能指标要求的希望开环Z传 根据给定的 递函数直接求解出对应于m=1，2，3时的数字控制器 时的数字控制器D(z)。 递函数直接求解出对应于 ， ， 时的数字控制器 。
计算机控制06计算机控制系统的离散设计方法
E(z) =
R(z)[1− Φ(z)] = (1− z−1)2
Tz −1 (1− z −1)2
= Tz −1
C(z)
=
Φ(z)R(z)
=
Tz −1 (1− z −1)2
(2z −1
−
z −2 )
=
2z−2
+
3z −3
+
4Tz −4
L
c(t)
e(t)
T 2T 3T 4T
T 2T 3T 4T
11
等加速输入
必须考虑如下几个问题：
稳定性
准确性
快速性
物理可实现性
19
广义脉冲传递函数为
u
∏∏ G(z)
=
z −m ( p0 + p1z −1 + L + pb z −b ) q0 + q1z −1 + L + qa z −a
=
z −m
(1− bi z −1)
i =1 v
G′( z )
(1− ai z −1)
i =1
z
−1
)
1
1 −z
−1
=1
E(z) = 1z0 + 0z−1 +L
只需一拍（一个采样周期）输出就能跟随输入，误差为
零。输出
C(z)
=
Φ(z)R(z)
=
z −1 1− z −1
=
z −1
+
z −2
+L
c(t )
10
T 2T 3T
t
单位斜坡输入
R(z)
=
Tz −1 (1− z −1)2
Φe (z) = (1− z−1)2 Φ(z) = 1− Φe (z) = 2z−1 − z−2
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法离散化设计方法是指将连续系统离散化为离散系统的设计方法。
在离散化设计中，连续系统的时间和状态被离散化成一系列离散时间和状态。
离散化设计的基本原理是将连续时间转换为离散时间，将连续状态转换为离散状态。
离散化设计的方法主要包括离散化采样和离散化控制。
离散化采样是指将连续时间变量转换为离散时间变量的方法。
常见的采样方式有周期采样和非周期采样。
周期采样是指以固定时间间隔对连续时间进行采样，而非周期采样是指根据需要对连续时间进行不规则的采样。
离散化采样的目的是为了得到连续系统在离散时间点上的状态。
离散化控制是指将连续控制转换为离散控制的方法。
离散化控制的关键是将连续时间域的控制器转换为离散时间域的控制器，以实现对离散系统的控制。
离散化控制的常用方法包括脉冲响应、零阶保持和减少模型等。
离散化设计方法在很多领域都有应用。
在工业领域，离散化设计可以应用于过程控制系统、机器人控制系统和自动化生产线等。
在交通系统中，离散化设计可以应用于交通信号控制系统和车辆路线规划等。
在电力系统中，离散化设计可以应用于电力系统调度和电网控制等。
离散化设计方法可以提高系统的控制性能和稳定性，并且可以减少系统的复杂度和计算量。
连续化设计方法是指将离散系统连续化的设计方法。
在连续化设计中，离散系统的时间和状态被连续化为连续时间和状态。
连续化设计的基本原理是将离散时间转换为连续时间，将离散状态转换为连续状态。
连续化设计的方法主要包括插值方法和逼近方法。
插值方法是指根据已有离散数据点的值，通过插值技术推导出在两个离散数据点之间的连续数据点的值。
插值方法的常见技术有线性插值、多项式插值和样条插值等。
插值方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续状态。
逼近方法是指通过逼近离散时间的函数来表示离散状态之间的连续状态。
逼近方法的常见技术有函数逼近、泰勒展开和傅里叶级数展开等。
逼近方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续时间。
计算机控制系统_离散域设计1_z平面根轨迹
2、中频段：反映系统动态特性 截止频率ωc—系统带宽,ωc↑,tr,tp,ts↓,动态响应快 相位稳定裕度γ、幅值稳定裕度h—稳定裕度高，鲁棒性好
第5章 计算机控制系统 离散域设计
5.1 z平面设计的性能指标要求
=
Z
⎡1 − esT
⎢ ⎣
s
⎤ G(s)⎥
⎦
系统闭环脉冲传函
Φ(z) = C(z) = D(z)G(z) R(z) 1 + D(z)G(z)
图5-4 离散控制系统 闭环系统特征方程
1 + D(z)G(z) = 0
连续系统闭环特征方程
1 + D(s)G(s) = 0
结论：离散系统与连续系统的闭环特征 方程形式完全一样。连续系统中根轨迹 的定义及绘制法则，在z域完全适用。
1、设计步骤
1）据给定时域指标，在z平面画出期望极点的允许范围
2）设计数字控制器D(z)。
（1）首先求出广义对象脉冲传递函数
G(z)
=
Z
⎡1 − e−sT
⎢ ⎣
s
⎤ G(s)⎥
⎦
（2）确定控制器D(z)的结构形式
常用控制器有一阶相 位超前及相位滞后环节：
D(z)
=
Kc
z− z−
zc pc
若要求数字控制器不影响系统稳态性能，则要求：
5.1.1 时域性能指标要求
1、稳定性要求 2、稳态特性要求：
主要以系统在一定指令信号及干扰信号作用下稳态误差的大 小来衡量。
影响稳态误差的主要因素是系统的 类型及开环放大系数 3、动态特性要求：
数字控制器的离散化设计
1 T0s 1
被采样后的差分方程：
(T T0 ) u2 (k) T0u2 (k 1) Tu1(k)
5.2.2 数字控制器离散化设计步骤
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需 的闭环脉冲传递函数Ф(z)
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于 有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统 是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散
4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。
差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间 的函数关系。
差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及 其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所 构成。（ k = 0, 1, 2, …… ）
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的 脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味 着系统在N拍之内达到稳态。
R(
z)
1
1 z
1
（3）单位速度函数 r(t) t
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（4）单位加速度函数
r(t) 1 t 2 2
R(z)
T
2 z 1(1 z 1) 2(1 z 1)3
（5）典型输入函数
r(t) 1 t q1 (q 1)!
Hale Waihona Puke R(z) B(z) (1 z1)q
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z 0.9672 G ( z ) 0.004837k ( z 1)( z 0.9048)
第三步：设计D(z)
z 0.9048 D( z ) 3.15 z 0.7
例2:
性能指标要求：
解：由性能指标得 期望的极点区域
z 0.718 G ( z ) 0.07355k ( z 1)( z 0.3678)
采用超前校正
z 0.8 D( z ) 6 z 0.05
增益提高
仿真
采用超前校正
z 0.88 D( z ) 13 z 0.5
仿真
z 0.8 D( z ) 9 z 0.8
仿真
z 0.88 D( z ) 13 z ( z 0.5)
仿真
5.2
计算机控制系统离散化设计(经 典设计方法)
从BB两端看 e(t) r(t)
c* (t ) e* (t )
D(z)
u * (t )
ZOH
G (s)
c(s)
离散化 设计
D(z)
Z平面根轨迹设计法
W’ 域频率设计法 解析法
5.1 Z平面根轨迹设计
5.1.1 Z平面根轨迹的特殊性 例：
r(t)
设计 z 0.3678 D( z ) 1.5818 z 根据Kv, 确定k
1 Kv lim( z 1) D( z )G( z ) 3 T z 1
取k=3.07 仿真
例
e* (t )
D(z)
u * (t )
极点的密集度高 T越小，极点越密集
例： S域极点： S= －10 Z域极点： T=1s z=0.00045 T=0.01s z=0.905
S=－1 z=0.36 z=0.99
5.1.2 设计方法及步骤
特点： 根轨迹法实质上是极点配置法。 凑试法 借助计算机 第一步：根据给定的性能指标，在z平面上画出 期望极点的允许范围。 时域指标 s平面极点分布 z平面极点分布 ％ ts n Tr d
z 0.957 D( z ) 0.233 z 0.99
滞后校正
例4： 已知某伺服系统被控对象传递函数为 希望性能指标
% 20% t s 6 s K 1 v
r(t) e(t)
e* (t )
1 G (s) s (10s 1)
c* (t )
D(z)
u * (t )
e(t)
e* (t )
1 esT s
K s ( s 2)
c(s)
T=0.1s
0.0047 K ( z 0.935) G( z ) ( z 1)( z 0.936)
0.0047 K ( z 0.935) G( z ) ( z 1)( z 0.936)
稳定边界是单位圆周
用D(z)的零点抵消原系统中单位园附近的极点
没有精确抵消
没有精确抵消—— 系统稳定范围很小
不能精确抵消时： 用D(z)的零点抵消原系统中单位园附近的极点 —— 系统稳定范围很小
用D(z)的零点抵消原系统中单位园外的极点 —— 系统不稳定
用D(z)的极点抵消原系统中单位园附近的零点 —— 系统稳定范围很小 用D(z)的极点抵消原系统中单位园外的零点 —— 控制器不稳定，系统不稳定
设计D(z)
画根轨迹
修正
校验
第五步：仿真校验
例1： 求 D(z)
r(t) e(t)
e* (t ) c* (t )
D(z)
u (t )
*
ZOH
T=0.1s
k s( s 1)
c(s)
z 0.9672 第一步：求 G ( z ) 0.004837k ( z 1)( z 0.9048) 第二步：画原系统的根轨迹
ZOH
T=0.5s
k s(0.1s 1)(1 c(s) 0.5s)
( z 1.31)( z 0.054) G( z ) 0.13k z ( z 1)( z 0.368)
Kv1.4 K>3
当k=0.7时， 满足动态性能， 不满足稳态性能 当k=3时， 满足稳态性能， 不满足动态性能
第二步:求包含零阶保持器的广义对象的脉冲传递函数
1 e sT G( z) Z[ G ( s )] s
第三步：画原系统的根轨迹 第四步：根轨迹设计D(z) 设计D(z) 改变开环零、极点 改变根轨迹形状
Kc ( z zc ) D( z ) ( z pc )
零点在极点的右边— 超前校正 零点在极点的左边— 滞后校正
1 pc 若不想改变稳态性能，则 D( z ) z 1 1 K c 1 zc
确定D(z)的方法： 用零极点抵消法确定D(z)的零、极点
用D(z)的零点抵消原系统中不期望的极点，
由D(z)的极点增加一个极点
注意：不要抵消G(z)中单位园附近（内、外）的零极点
K ( z p1 )( z p2 ) 例： 原系统如图(a) D( z ) ( z a)( z b)
ZOH
G (s)
c(s)
要求设计计算机控制系统的数字控制器。
解： 超前校正 De (s) 10s 1 s 1
T=0.2
T=1
采用根轨迹设计 T=1s
z 0.9672 G ( z ) 0.0484 ( z 1)( z 0.9048)
若采用模拟控制器
6.64(1 0.9048 z 1 ) D( z ) 1 0.3679 z 1
W’变换及频率域设计方法
5.2.1 w变换和w’变换
z 1 1 w w变换式： w z z 1 1 w 1 T 2 z 1 2 w w变换式： w z T z 1 1 T 2 w
5.2.2
(1)
2
w’变换的映射关系
2 vT 2 (1 T ) ( w 2 2 ) z 2 vT 2 (1 T ) ( w 2 2 )
(2) 频率关系 v tg 1
2 T
T 2
5.2.3 •
设计方法
• 将G(z)变换到w’平面上
1 e sT 求 G( z) Z[ G ( s )] s