2011年上海数学高三质量管理测试卷-一模-闵行答案

闵行区2010学年第一学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题． 1． 4-； 2． 1
(0,)2
； 3． 5； 4． 2； 5．（理）
{2323x y x y +=+=，（文）{11x y ==；6．14
； 7．3tan(22)y x =-； 8．12
-； 9．1()0f x >； 10．（理）0，（文）2； 11．丙； 12．[)1,+∞； 13．（理）37
，（文）3； 14． ①④． 二. 选择题． 15．B ； 16．A ； 17．D ； 18．C
三. 解答题．19. 解：（1）由已知得2220a c b ac +--=， （2分） 又2221cos 2
2
a c
b a
c B ac +-===， （4分） ∴60B =
（6分）
（2）(理) 由816a c ac =+≥≤(当且仅当4a c ==时等号成立)（2分）
∴11sin 6042
2ABC S ac ∆=
=⨯= （4分） 即当且仅当4a c ==
时，（5分）
ABC ∆面积的最大值为 （6分）
（2）(文) 由正弦定理得，2sin b R B =，（2分）∴R ==（4分） ∴12S π=外接圆，即ABC ∆的外接圆的面积为12π． （6分） 20.解：（1）设l 的方程为2y x b =+，l 与C 的交点坐标分别为1122()()A x y B x y ，、，，
点()P x y ，，由{
2248402x y x x b y x b =⇒--==+， （2分） 得21212(8)44084b x x x x b ⎧∆=-+⨯>⎪+=⎨=-⎪⎩，依题意，12124422842
b x x x x x y b b ⎧⎪>-⎪+==⎨⎪+⎪=⨯+=+>⎩（4分） 故所求的轨迹方程为4(4)x y =>． （7分）
（2）（理）由（1）知128x x +=，12122()2162y y x x b b +=++=+ （2分） 由222221212||||()()64(162)1685OQ OA OB x x y y b =+=+++=++≤⨯ （4分） 解得2610b -≤≤，（6分） 注意到4b >-，∴410b -<≤． （7分）
（文）（2）由（1）知222121212416x x x x b y y b =-==，， （2分） 由60OA OB ⋅≤ 得21212460x x y y b b +=-+≤ （4分）
解得610b -≤≤ （6分） 注意到4b >-，∴410b -<≤． （7分）
21.解：方案①：共修(8)km a +普通公路和两个立交出入口，
所需资金为150(8)40050(16)A a a =++=+万元； （3分） 方案②：取B 关于MN 的对称点'B ，连'AB 与MN 交于K ，
在K 修一个出入口，则路程最短，共需资金：
22004]A ==万元； （6分） 方案③：连接AB 沿ABQ 修路，在Q 修一个出入口，共需资金：
38]20012]A =+=万元 （9分） 由于8a >，比较大小有123A A A >>，（12分）故选择方案（3）． （14分）
22.解：（1）∵()f x 为偶函数，故44log (41)(1)log (41)(1)x x k x k x -++-=+--对所有x ∈R 都成立，（2分）即(23)0k x -=对所有x ∈R 都成立， 32k ∴=
．（4分） （2）由（1）得4()log (41)2x x f x =+-， 即 441()log 2
x x f x +=． （2分） 4411log (2)log 222
x x +≥=，故当且仅当0x =时，（3分）()f x 的最小值是12．（5分） （3）（理）解法1由方程444log (41)log (2)23
x x x a a +-=⋅- （*） 可变形为4142234203x x x x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎨⎪⋅->⎩
①②， 由②得0423x a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0423x a <⎧⎪⎨<⎪⎩， 由①得242313(2)42x x x a ⨯+=+⨯-⨯，令423x t ⨯+=，则0253a t >⎧⎪⎨>⎪⎩，或02533a t <⎧⎪⎨<<⎪⎩
则21616117533475334t a t t t t
=+=+-++-． （2分） 当253t >时，75334t t +-单调递增，∴753340t t
+->， ∴1a >，此时方程（*）有且只有一个解； （3分） 当2533t <<时，7543340t t -≤+-<，161375334a t t
=+≤-+- 当3a =-时方程（*）有且只有一个解； （4分） 当3a <-时，方程（*）有两解；
当30a -<<，或01a <≤时方程（*）无解． （5分） 综上所述，当3a <-时，函数()f x 与()g x 的图像有两个不同的公共点；
当3a =-或1a >时，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点；
当30a -<<或01a <≤时，函数()f x 与()g x 的图像没有公共点． （7分）
解法2： 444log (41)log (2)23x x x a a +-=⋅- （*） 4142234203x x x x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎪⇒⎨⎪⋅->⎪⎩ 24(1)(2)2103x x a a ⇒--⋅-=24(1)103
a t a t ⇒--⋅-= （2分） 04()033(1)
101
a a a a ⎧⎪>⎪⎪⇒*⇒>⇒<-⎨-⎪⎪->⎪-⎩ 两个交点式两相异正根 （3分）
())a ⇒*⇒∈⋃∞一个交点式只有一个正根讨论得{-3}(1,+ （4分） -31a ⇒<≤无交点 （5分） 3a ∈-∞-综上:（，）时，两个交点，)a ∈⋃∞{-3}(1,+时，一个交点，
a ∈（-3，1]时，无交点. （7分） （文）由方程444log (41)log (2)23
x x x a a +-=⋅- （*） 可变形为4142234203x x x x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎨⎪⋅->⎩
①②，由②得0423x a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0423x a <⎧⎪⎨<⎪⎩， 令2x t =，则043a t >⎧⎪⎨>⎪⎩，或0403a t <⎧⎪⎨<<⎪⎩
由①得24(1)(2)2103x x a a --⋅-=，设24()(1)13
h t a t at =--- （2分） ∴当0a >时，4(1)()013
a h a -<⇒>， （4分） 当0a <时， (0)10h =-<，∴4()03
h a >⇒不存在， 当24()4(1)03a a ∆=-+-=时，34
a =或3a =-， 若34a =，则2t =-，不合题意，舍去，若3a =-，则12
t =，满足题意，（5分） ∴当3a =-或1a >时，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点. （7分）
23.解：（1）11111422()2()()()()()112225122
f t f f f f f +==+==+⨯，∴45t =（3分） （2）11
()()12f a f ==- ，且()()()1x y f x f y f xy
++=+ )(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)
()(1=+n n a f a f ∴{()}n f a 是以1-为首项，2为公比的等比数列， （2分）
∴1()2n n f a -=-. （4分） ∴1lim 2112
n n b →∞-=
=--. （8分） （3）（理）由（2）得，2111111112(1)21222212
n n n n b ---=-+++⋯+=-=-+- ∴2222
n n n n n c b n =+=-++， （1分） 则1111111(1)2[2]11022222
n n n n n n n n n n n n c c n n ++++++--=-+++--++=--=-< ∴{}n c 是递减数列，∴1131222
n c c ≤=-++=， （3分） 要使2
2276log 18log n c m m <-对任意*n ∈N 恒成立， 只须222216log 18log 2
m m ->，即2
224log 12log 70m m -->， （5分） 故 2217log log 22m m <->或
，∴02
m <<
，或11.31m >≈， ∴当12m ≥，且*m ∈N 时，2
2276log 18log n c m m <-对任意*n ∈N 恒成立，
∴m 的最小正整数值为12。

（7分）
（文）由（2）得，2111111112(1)21222212
n n n n b ---=-+++⋯+=-=-+-．（1分） 若4
8-<m b n 对任意*n ∈N 恒成立，即112224n m --+<-，142n m ->恒成立 （3分） ∵*n ∈N ，∴当1n =时，124-n 有最大值4，故4m >． （5分）
又*m ∈N ，∴存在5m ≥，使得对任意*n ∈N ，有4
8-<m b n ．所以min 5m =.（7分）。