【数学】2014-2015年山东省德州市乐陵一中高一(上)数学期中试卷带答案

2014-2015学年山东省德州市乐陵一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目）1．（5分）设集合A={x∈Q|x＞1}，则（）A．∅∉A B．C．D．⊆A2．（5分）若幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，则α一定（）A．α＞0 B．α＜0 C．α＞1 D．不确定3．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=x3 B．y=lg|x|C．D．y=x2，x∈[0，1]4．（5分）已知集合A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为（）A．18 B．30 C．D．285．（5分）f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]6．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.57．（5分）函数y=a﹣x和函数y=log a（﹣x）（a＞0，且a≠0）的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣4）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．19．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a10．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为．12．（5分）求满足＞16的x的取值集合是．13．（5分）已知f（x）=a x（a＞0，a≠1）过点（2，9），则其反函数的解析式为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）给出下列结论：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B．（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．17．（12分）求值：（1）（2）log25．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f （x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．19．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．20．（13分）已知奇函数f（x）=+a．（1）求f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）证明x＞0时，f（x）＞0．21．（14分）已知函数f（x）的值满足f（x）＞0（当x≠0时），对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．2014-2015学年山东省德州市乐陵一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目）1．（5分）设集合A={x∈Q|x＞1}，则（）A．∅∉A B．C．D．⊆A【解答】解：根据题意，集合A的元素为全体大于1的有理数，分析选项，对于A，集合与集合之间用⊆，应该为∅⊆A，则选项A错误，对于B，是无理数，则，选项B正确，C错误，对于D，是无理数，{}不是A的子集，D错误，故选：B．2．（5分）若幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，则α一定（）A．α＞0 B．α＜0 C．α＞1 D．不确定【解答】解：∵幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数，∴α＞0，故选：A．3．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=x3 B．y=lg|x|C．D．y=x2，x∈[0，1]【解答】解：A．y=x3是奇函数；B．∵lg|﹣x|=lg|x|，∴函数y=lg|x|是偶函数；C.为非奇非偶函数；D．y=x2，x∈[0，1]，其定义域关于原点不对称，因此为非奇非偶函数．故选：B．4．（5分）已知集合A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为（）A．18 B．30 C．D．28【解答】解：∵集合A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b，∴，解得，a=2，b=﹣8，∴y=2x﹣8，当x=19时，y=2×19﹣8=30，故选：B．5．（5分）f（x）=（x+1）的定义域是（）A．（0，1）∪（1，4]B．[﹣1，1）∪（1，4]C．（﹣1，4）D．（﹣1，1）∪（1，4]【解答】解：根据题意得，解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤4故f（x）=（x+1）的定义域是（﹣1，1）∪（1，4]．故选：D．6．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故选：C．7．（5分）函数y=a﹣x和函数y=log a（﹣x）（a＞0，且a≠0）的图象画在同一个坐标系中，得到的图象只可能是下面四个图象中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=log a（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），故函数y=log a（﹣x）的图象只能出现在第二，三象限，故排除BC，由AD中，函数y=log a（﹣x）均为减函数，故a＞1，此时函数y=a﹣x也为减函数，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣4）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣4）=f（﹣1）=f（2）=log22=1．则f（﹣4）=1．故选：D．9．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．10．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e ﹣x，又∵f（x）﹣g（x）=e x∴解得：，，分析选项可得：对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确；故选：D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为[﹣4，3] ．【解答】解：由函数的图象可得，当x=5时，函数取得最小值为﹣4，函数的最大值为3，故函数的值域为[﹣4，3]，故答案为[﹣4，3]．12．（5分）求满足＞16的x的取值集合是（﹣∞，1）．【解答】解：∵＞16，∴＞（）﹣2，∵根据函数y=（）x的单调性可判断∴x﹣3＜﹣2，故：x＜1故答案为：（﹣∞，1）13．（5分）已知f（x）=a x（a＞0，a≠1）过点（2，9），则其反函数的解析式为y=log3x．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1）过点（2，9），∴9=a2，解得a=3．∴f（x）=3x．其反函数为：y=log3x．故答案为：y=log3x．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x ＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg（﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）给出下列结论：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）．其中正确的序号是③④．【解答】解：①=2，因此不正确；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x=﹣1时，f（﹣1）=a0﹣2=﹣1，∴函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），正确；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e），因此不正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B．（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，所以A∪B={x|3＜x＜10}，C R A={x|x≤4或x≥10}，则C R（A∪B）={x|x≤3或x≥10}，…（4分）（C R A）∩B={x|7≤x＜10}，…（8分）（2）由A∩C=A得，A⊆C，所以，解得3≤a≤7…（12分）17．（12分）求值：（1）（2）log25．【解答】解：（1）==；（2）=；所以（1）原式=，（2）原式=．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f （x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．【解答】解：（1）∵方程f（x）=2x有两等根，ax2+（b﹣2）x=0有两等根，∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2，∵f（x﹣1）=f（3﹣x），∴=1，∴x=1是函数的对称轴，又此函数图象的对称轴是直线x=﹣，∴﹣=1，∴a=﹣1，故f（x）=﹣x2+2x；（2）∵函数f（x）=﹣x2+2x对称轴为x=1，x∈[0，t]，∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，∴f（x）max=﹣t2+2t，当t＞1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）max=f（1）=1，综上，．19．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．【解答】解：设t小时后蓄水池内水量为y吨，（1分）根据题意，得y=450+80t﹣160（5分）=+450==+50（10分）当，即t=5时，y取得最小值是50．（11分）答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨．（12分）20．（13分）已知奇函数f（x）=+a．（1）求f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）证明x＞0时，f（x）＞0．【解答】解：（1）∵2x﹣1≠0，即2x≠1，∴x≠0故f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）（2）解：∵f（x）是奇函数又∵∴∴（3）证明：当x＞0时，2x＞1，∴2x﹣1＞0∴，即x＞0时，f（x）＞021．（14分）已知函数f（x）的值满足f（x）＞0（当x≠0时），对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0＜x＜1时，f（x）∈（0，1）．（1）求f（1）的值，判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．【解答】解：（1）令x=y=﹣1，f（1）=1，令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）•f（﹣1），∵f（﹣1）=1，∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明：设0＜x1＜x2，∴，f（x1）=f=f•f（x2），，∵，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]3，∴9=[f（3）]3，∴f（3）=，∵f（a+1）≤，∴f（a+1）≤f（3），∵a≥0，a+1，3都大于0，∴a+1≤3，即a≤2，又a≥0，故0≤a≤2．。