安徽省合肥一六八中学2020学年高二数学上学期期中试题 理(宏志班)
安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷理(凌志班)
高二数学试题（凌志班）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．下边四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则此中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．此中正确的命题是()A．①②B．②④C．①③ D ．②③2．过点P( 1,3)且垂直于直线x 2 y 3 0 的直线方程为（）A．2x y 1 0B．2x y 50C ．x2y 5 0D．x 2 y 703．如图，矩形O'A'B'C'是水平搁置的一个平面图形的直观图，此中O'A'=3cm ， O'C'=1cm ，则原图形的面积是（）A．B．C．2 D ． 6cm4. 点（ 4，﹣ 2）到直线的距离是（）A． 1B．2C．D． 65．已知空间两条不一样的直线m,n 和两个不一样的平面,, 则以下命题中正确的选项是 ( )A ．若m / / , n , 则m //n B．若m, m n, 则nC ．若m / / , n / / ,则m / /nD ．若m / /, m, I n, 则m / /n 6．直线 l 过点 P（ 1，0），且与以 A（ 2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1 ， +∞）7．已知ab0, bc 0，则直线ax by c 经过（）A ．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．正方体 ABCD— A1 B1C1D1中， E、F 分别是 AA1与 CC1的中点，则直线ED与 D1F 所成角余弦值大小是（）A ．1B ．1C．1D．3 53229. 在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( )A ．30o B． 45o C． 60o D． 90o10．将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角A－ BD－ C，有以下四个结论：① AC⊥ BD；②△ ACD是等边三角形；③ AB与平面 BCD成 60°的角；④ AB 与 CD所成的角是 60°.此中正确结论的个数是（）A. 1B.2C.3D.411．如图 : 直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为 V，点 P、Q分别在侧棱AA1和CC 1上， AP=C1Q，则四棱锥 B—APQC的体积为()A．VB．VC．VD．V（11题）234512．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段 B1D1上有两个动点1E、F，且 EF＝2，则以下结论错误的选项是()A． AC⊥ BEB．EF∥平面ABCD（12 题）C ．三棱锥A—BEF的体积为定值D ．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．一个几何体的三视图及其尺寸( 单位： cm)以下图，则该几何体的侧面积为 _ ______cm 214.已知直线l1 : ax 2 y 6 0 与l2: x a 1 y a210 平行，则实数a的取值是．15．若直线 l为： 3y=x+6，则直线 l 的倾斜角为．16. 球的半径为5cm，被两个互相平行的平面所截得圆的直径分别为6cm 和 8cm，则这两个平面之间的距离是cm.三、解答题17．（本小题10 分）如图，在三棱柱ABC－A1B1 C1中，△ ABC与△ A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC， F、 F1分别是 AC， A1C1的中点．求证： (1) 平面 AB1F1∥平面 C1BF；(2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.（17 题）18．（本小题 12 分）设直线l 的方程为( a＋1) x＋ y＋2－ a＝0 ( a∈R)．(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围．19. （本小题12 分）已知直线．（ 1）若，务实数的值；（ 2）当时，求直线与之间的距离．20．（本小题 12 分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝ 2DC＝ 2，∠ACB＝120°，P， Q分别为 AE，AB的中点．（1）证明：PQ∥平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值（19 题）21．（本小题12 分）以下图，边长为 2 的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC＝ 2 2， M为 BC的中点．（1）证明： AM⊥ PM；（2）求二面角 P－ AM－ D的大小．（21题）222．如图，△ ABC中， AC＝ BC＝AB，ABED是边长为 1 的正方形，平面ABED⊥底面ABC，2若 G， F 分别是 EC， BD的中点．（1）求证： GF∥底面 ABC；（2）求证：AC⊥平面 EBC；（22 题）（ 3）求几何体ADEBC的体积 V.理科凌志班参照答案一、选择题： 1-5 BABBD 6-10 BCACC 11-12 BD二、填空题13 . 80 14.-1 15 .30°16.1或7三、解答题17 . 证明 :(1)在正三棱柱ABC－ A1B1C1中，∵F、 F1分别是 AC、 A1C1的中点，∴B1F1∥ BF， AF1∥C1F.又∵ B1F1∩ AF1＝ F1， C1F∩ BF＝ F，∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.(2) 在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AA1⊥平面 A1B1C1，∴ B1F1⊥ AA1.又 B1F1⊥ A1C1， A1C1∩ AA1＝A1，∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1? 平面 AB1F1，∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.18. （1） 3x＋y＝ 0 或x＋y＋ 2＝ 0；（ 2）a≤－ 1.19. （ 1）由知，解得；（ 2）当时，有解得，或a=-1（舍去），即，距离为．20.（ 1）证明：由于 P， Q分别为 AE， AB的中点，所以 PQ∥ EB.又 DC∥ EB，所以 PQ∥ DC，又 PQ?平面 ACD，进而 PQ∥平面 ACD.（2）如图，连结CQ，DP，由于 Q为 AB的中点，且AC＝ BC，所以 CQ⊥ AB.由于 DC⊥平面 ABC， EB∥ DC，所以 EB⊥平面 ABC，所以 CQ⊥EB.故 CQ⊥平面 ABE.1由(1) 有 PQ∥DC，又 PQ＝ EB ＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，2所以 DP⊥平面 ABE，∠DAP为 AD和平面 ABE所成的角，在 Rt △ DPA 中， AD ＝5， DP ＝1，sin ∠ DAP ＝5，所以 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为55521.(1) 证明：以下图，取CD 的中点 E ，连结 PE ， EM ， EA ，∵△ PCD 为正三角形，∴PE ⊥ CD ，PE ＝ PDsin ∠ PDE ＝ 2sin60 °＝ 3.∵平面 PCD ⊥平面 ABCD ，∴PE ⊥平面 ABCD ，而 AM? 平面 ABCD ，∴ PE ⊥ AM.∵四边形 ABCD 是矩形，∴△ ADE ，△ ECM ，△ ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM ＝ 3，AM ＝ 6 ，AE ＝ 3，2 2 2∴EM ＋ AM ＝ AE . ∴ AM ⊥ EM.又 PE ∩ EM ＝E ，∴ AM ⊥平面 PEM ，∴ AM ⊥PM.(2) 解：由 (1) 可知 EM ⊥ AM ， PM ⊥ AM ，∴∠ PME 是二面角 P －AM － D 的平面角．∴tan ∠ PME ＝PE3 ＝＝ 1，∴∠ PME ＝ 45° .EM3∴二面角 P －AM － D 的大小为 45° .22.(1) 证明：连结 AE ，以以下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩ BD ＝F ，且 F 是 AE 的中点，又 G 是 EC 的中点，∴GF ∥ AC ，又 AC? 平面 ABC ， GF?平面 ABC ，∴GF ∥平面 ABC.(2) 证明：∵ ADEB 为正方形，∴ EB ⊥ AB ，又∵平面 ABED ⊥平面 ABC ，平面 ABED ∩平面 ABC ＝AB ， EB? 平面 ABED ，∴BE ⊥平面 ABC ，∴ BE ⊥ AC.2又∵ AC ＝ BC ＝ 2 AB ，222∴CA ＋ CB ＝ AB ，∴AC ⊥ BC.又∵ BC ∩ BE ＝ B ，∴ AC ⊥平面 BCE.22 (3) 取 AB 的中点 H，连 GH，∵ BC＝ AC＝2 AB＝2，1∴CH⊥ AB，且 CH＝2，又平面ABED⊥平面 ABC111.∴GH⊥平面 ABCD，∴ V＝3× 1×2＝6。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
安徽省合肥2023-2024学年上学期高二年级数学期中考试（答案在最后）（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.经过((),3,0A B 两点的直线的倾斜角为（）A.5π6 B.π6 C.2π3D.π3【答案】A 【解析】【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得033303AB k -==--，所以直线的倾斜角为5π6；故选：A2.以点()1,2A -为圆心，且与直线0x y +=相切的圆的方程为（）A.221(1)(2)2x y -++=B.229(1)(2)2x y -++=C.221(1)(2)2x y ++-=D.229(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】由直线0x y +=为圆的切线，得圆的半径r ==所以所求圆的方程为221(1)(2)2x y -++=.故选：A3.已知(2,1,3),(1,3,9)a x b == ，如果a 与b为共线向量，则x =（）A.1B.12C.13 D.16【答案】D 【解析】【分析】由a 与b为共线向量则a b λ= 求解即可.【详解】因为a 与b 为共线向量，所以a b λ=，即21339x λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1316x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D4.经过两条直线1:2l x y +=，2:21l x y -=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =-的直线方程为（）A.2350x y +-=B.220x y ++=C.220x y +-=D.70x y --=【答案】A 【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为(1,1)，再由题意，得到23k =-，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1,1x y ==，即两直线的交点坐标为(1,1)，因为直线的一个方向向量(3,2)v =- ，可得所求直线的斜率为23k =-，所以所求直线方程为21(1)3y x -=--，即2350x y +-=.故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D －中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（）A.32a B.33a C.55a D.155a 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，用AB ，AD ，1AA表示MN ，将线段长度问题转换为向量模长问题.【详解】设AB i = ，AD j = ，1AA k =，则{},,i j k 构成空间的一个正交基底.()1111122222MN MB BC CN i j j k i j k =++=++-+=++，故2222211134444MN a a a a =++= ，所以MN ＝32a .故选：A6.已知()22112225,24x y x y ++=+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A.55B.15C.655D.365【答案】B 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知()()221212x x y y -+-为圆()2225x y ++=上一点()11,A x y 与直线24x y +=上一点()22,B x y 的距离的平方，易知圆心()2,0C -，半径5r =，点C 到直线24x y +=的距离222465512d --==+，则()22min15ABd r =-=.故选：B7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.346B.31010C.26D.1010【答案】C 【解析】【分析】先根据鳖臑1A ABC -体积最大求出AC 和BC 的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AB =，14AA =，1112||||||||||2313ABC A V AC BC AA AC BC -⋅⋅⋅⋅==⋅ ，222||||||||||()2||||2||4AC BC B C AC B B A C C C C A ++=+⋅⋅≤ ，22||4||BC AC += ，||||2AC BC ∴⋅≤，当且仅当||||2AC BC ==是等号成立，即当鳖臑1A ABC -的体积最大时，||||2AC BC ==，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z轴，建立空间直角坐标系，14)B ，(0,0,0)C，A，B，1(0,4)B C =-，BA =，1(0,0,4)BB = ，设平面11ABB A 的法向量n(,,)x y z =，则1040n BA n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,1,0)n = ，设直线1B C 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||6|s |in ||C C B n B n θ⋅==⋅，∴直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26．故选：C ．8.已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.2C.35D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PF PF PF PF +的值，利用()1212PO PF PF =+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，可得3,a b c ===则1226PF PF a +==①，即221212236PF PF PF PF ++=，由余弦定理得2222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠=，123cos 5F PF ∠=，故212123()2(1)125PF PF PF PF +-+=，②联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =∴+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212PO PO PF PF ==+，即12122PO PF PF =+===，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O 为12F F 的中点，从而可以利用向量知识求解||PO .二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，以下四个命题正确的有（）A.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则//l αB.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则l α⊥C.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则//αβD.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】由0n u ⋅≠ ，2u n =- 可判断AB ；由0n m ⋅=可判断CD【详解】对于AB ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，所以282120n u ⋅=---=-≠，所以n 与u不垂直，又2u n =-，所以//u n，所以l α⊥，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，平面β的一个法向量为()1,0,1m =，，所以1010n m ⋅=+-=，所以n m ⊥ ，所以αβ⊥，故C 错误，D 正确；故选：BD10.已知方程224820x y x y a +-++=，则下列说法正确的是（）A.当10a =时，表示圆心为(2,4)-的圆B.当10a <时，表示圆心为(2,4)-的圆C.当0a =时，表示的圆的半径为D.当8a =时，表示的圆与y 轴相切【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程224820x y x y a +-++=，可化为()()2224202x y a -++=-，可圆的圆心坐标为(2,4)-，A 中，当10a =时，此时半径为2020a -=，所以A 错误；B 中，当10a <时，此时半径大于2020a ->，表示圆心为(2,4)-的圆，所以B 正确；C 中，当0a =时，表示的圆的半径为r =，所以C 正确；D 中，当8a =时，可得2024a -=，方程表示的圆半径为2r =，又圆心坐标为()2,4-，所以圆心到y 轴的距离等于半径，所以圆与y 轴相切，所以D 正确．故选：BCD.11.已知()1,,m a b a b =+- （a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量，则下列结论正确的是（）A.若l α∥，则510a b -+=B.若l α∥，则10a b +-=C .若l α⊥，则20a b +-= D.若l α⊥，则30a b --=【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 、B ：根据0m n ⋅=求解；选项C 、D ：根据m n ∥，向量的平行求解；【详解】对于A ，B ，若l α∥则m n ⊥ ，所以0m n ⋅=，即()()1230a b a b +++-=，即510a b -+=，A 正确，B 错误；对于C 、D ，若l α⊥，则m n∥，所以1123a b a b+-==，即20a b +-=且30a b --=，C 、D 正确.故选：ACD.12.的圆柱被与其底面所成的角为45θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为4C.椭圆的方程可以为22142x y +=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-【答案】ACD 【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的a b ，，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，椭圆的长半轴长为b ，半焦距为c ，由图象可得2cos 45a = ∴2a =，又b =，222c a b =-，∴c =∴椭圆的长轴长为4，A 对，椭圆的离心率为2，B 错，圆的方程可以为22142x y +=，C 对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2D 对，故选：ACD .三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则它们之间的距离为__________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则36m =，即2m =，直线640x my ++=化为：320x y ++=2=.所以所求距离为102.故答案为：214.圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆224x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】设圆221:4C x y +=与圆222:260C x y y ++-=相交于A ，B 两点，圆1C 的半径12r =，将两圆的方程相减可得1y =，即两圆的公共弦所在的直线方程为1y =，又圆心1C 到直线AB 的距离1d =，12r =，所以22212AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得AB =故答案为：15.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=o，12AA =，则线段1AC 的长为_____．【答案】【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出空间向量1AC uuu r ，利用向量数量积的定义和运算律求解得到21AC ，进而得到1AC 的长.【详解】()()222111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 1140212cos 60212cos 6010=++++⨯⨯+⨯⨯=，1AC ∴=，即线段1AC..16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，满足2=MA MO 的动点M 的轨迹为C ，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围是______.【答案】[7,1]-【解析】【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点M 的轨迹方程，然后根据题意要使在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥成立，则点P到圆心的距离小于等于，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设(,)M x y ，因为()0,3A ，()0,0C ，又因为2=MA MO ，所以2222(3)4()x y x y +-=+，化简整理可得：22(1)4x y ++=，动点M 的轨迹是以(0,1)C -为圆心，以2为半径的圆，因为直线:30l ax y a -+=过定点(3,0)-，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P，所以点P，2≤，解之可得：71a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[7,1]-，故答案为：[7,1]-.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，点E 是线段BC 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．【答案】（1）250x y --=；（2）350x y +-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点D 的坐标，再求出直线CD 的方程作答.（2）求出点E 坐标及直线DE 的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【小问1详解】在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，则(2,4)AD BC ==-，则点(1,2)D -，直线CD 的斜率2(1)1132CD k ---==-，则有1(1)(3)2y x --=-，即250x y --=，所以直线CD 的方程是250x y --=.【小问2详解】依题意，点(2,1)E ，则直线DE 的斜率21312DE k --==-，因此过点A 且与直线DE 垂直的直线斜率为113DE k -=-，方程为12(1)3y x -=-+，即350x y +-=，所以所求方程是350x y +-=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）证明：直线1//BD 平面ACE ；（2）求异面直线1CD 与AE 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角.【小问1详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，由于E 为1DD 的中点，O 为AC 的中点,则//EO 1BD ,又因为EO ⊂平面1,ACE BD ⊄平面ACE ，所以1BD //平面ACE【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a ，则()0,2,0C a ()()()10,0,2,2,0,0,0,0,D a A a E a ，所以()10,2,2CD a a =- ，()2,0,AE a a =-，设1CD 与AE 所成角为θ,则111cos cos ,10CD AE CD AE CD AEθ⋅===所以1CD 与AE所成角的余弦值为10.19.已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线:1l x y +=被圆C．（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）()()22111x y -+-=（2）2x =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为()32y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.【小问1详解】解：圆心C 到直线l的距离为2d ==，所以，圆C的半径为1r ==，因此，圆C 的方程为()()22111x y -+-=.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为2x =，且直线2x =与圆C 相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得34k =，此时，切线的方程为3460x y -+=.综上所述，所求切线的方程为2x =或3460x y -+=.20.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AAD D ⊥平面11CC D D ，且1111122CC CD DD C D ====.（1）证明：AD ⊥平面11CC D D ；（2）若11π3A CD ∠=，求平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）连结1DC ，进而利用勾股定理证明11DC DD ⊥，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A AC 与平面ABC 的法向量，计算即可.【小问1详解】如图，在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以11π3DD C ∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂平面11CC D D ，所以1DC ⊥平面11AA D D因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为1,AD DC DC DC D ⊥⋂=，1DC DC ⊂，平面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D .【小问2详解】连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，所以1AC 与平面11CC D D 所成的角为11A CD ∠，即11π3A CD ∠=，在11Rt ACD △中，因为123CD =，所以116A D =因为11//A C AC ，所以平面1A AC 与平面11A ACC 是同一个平面.以1D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，()(()116,0,0,3,0,4,0A C C 所以()(1116,4,0,3AC AC =-=-设平面1A AC 的法向量为(),,n a b c =，则有，1110n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即3206330a b a b c -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3,3b c ==，故(3n =由题意可知()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量所以33cos ,144m n m n m n ⋅===⨯，故平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为4.21.如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0<t <8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．【答案】（1）)08t <<（2）P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．【解析】【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N 关于直线的对称点1N ，再利用11PM PN PM PN MN +=+≥得最小值)08t <<（2）由（1）知三段水管的总长)108L PM PN PQ MN PQ t t =++≥+=+<<，因此总长最小就是求)08y t t =+<<最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．【详解】（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点()()0,10,M N ，设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点1N ，则()13,28N t -．所以2211(830)(12810)PM PN PM PN MN t +=+≥=-+--)21812908t t t =-+<<即为所求．（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知)2121812908L PM PN PQ MN PQ t t t t =++≥+=+-+<<，所以22()4(18129)L t t t -=-+在()0,8t ∈上有解．即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在()0,8t ∈上有解．故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，解得21L ≥或3L ≤-，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0,8)t =∈．故()13,2N ，1MN 方程为3103y x =-，令5y =得3x =，即()53,5P ，从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．所以满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为45-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，且6AB =，点M 是C 上任意一点（与,A B 不重合），直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,,P Q O 为坐标原点，求OP OQ ⋅ .【答案】（1）3（2）1619【解析】【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得2245b c =，即可求出离心率；（2）设出点M 坐标，写出直线MA 和MB 的方程求出交点,P Q 坐标，利用223649x y -=化简OP OQ ⋅ 的表达式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为()0,b ，左､右焦点的坐标分别为()(),0,,0c c -，由题意可知45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，即2245b c =，又222a b c =+，所以2295a c =，即225,93c c a a ==，可得椭圆C 的离心率3e =.【小问2详解】由6AB =，得26a =，即3,2a c b ===，所以椭圆C 的方程为22194x y +=.如图所示：设()00,M x y ，则2200194x y +=，即22003649x y -=，又()(),3,03,0A B -，则直线MA 的方程为()0033y y x x =++，直线MB 的方程为()0033y y x x =--；因为直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,P Q ，可得0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭.。
2020年安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷
高二（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A. 45°，1B. 135°，−1C. 90°，不存在D. 180°，不存在2.下列说法中不正确的．．．．是()．A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3.方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，m的取值范围是()A. 14<m<1 B. m<14或m>1C. m<14D. m>14.若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是()A. 平行B. 相交C. b在α内D. 平行、相交或b在α内5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是()A. 10π3B. 13π3C. 11π3D. 8π36.设l是直线，α，β是两个不同的平面()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β7.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，则此球的体积为()A. √6πB. 4√3πC. 4√6πD. 6√3π10.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2211.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线m过P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为()A. k≥34或k≤−4 B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤412.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，则下列四个结论：①三棱锥A−D1PC的体积不变：②A1P//平面ACD1：③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果直线ax+2y+2=0与直线3x−y−2=0平行，那么系数a的值为______．14.已知点B与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称，则点B的坐标是______．15.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为______．16.已知⊙M：x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={y|y=x2−32x+1,34≤x≤2},B={x|x+m2≥1}，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．18.已知直线l1，l2的方程分别为2x−y=0，x−2y+3=0，且l1，l2的交点为P．(1)求P点坐标；(2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l的方程．19.圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=−2x上．(1)求圆C的方程；(2)圆内有一点B(2,−52)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．20.如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=√2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．(1)求该四棱锥的体积；(2)若F为棱PC的中点，证明：BF//平面AEC．21.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE//平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．22. 已知过点A(−1,0)的动直线l 与圆C ：x 2+(y −3)2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x +3y +6=0相交于N ． (1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ =2√3时，求直线l 的方程；(3)探索AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选：C．利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2.【答案】D【解析】【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意．故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，即可求出m的取值范围．本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D2+E2−4F>0．【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，解可得，m<14或m>1，故选：B．4.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1的中点为E，CC1的中点为F，设D1C1=a，平面ABCD为α，则a//α．观察图形，知：a与AD为异在直线，AD⊂α；a与AA1为异面直线，AA1与α相交；a与EF是异面直线，EF//α．∴若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．故选：D．作出正方体，借助正方体能够比较容易地得到结果．本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意平面的公理及其推论的灵活运用．5.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得，几何体是低下是一个圆柱，底面半径为1，圆柱体的高为3，上面是半径为1的一个球∴该几何体的体积为π×3+43π=133π故选：B．先由三视图判断出几何体的直观图的形状为上面是球，下面是圆柱；然后利用圆柱、球的体积公式求出该几何体的体积．解决由三视图求几何体的表面积、体积问题，一般先将三视图转化为几何体的直观图，再利用面积、体积公式求．6.【答案】B【解析】解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l的直线与α的交线为m，则l//m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；作出正方体ABCD−A′B′C′D′，设平面ABCD为α，ADD′A′为β，则α⊥β，观察正方体，得到：B′C′//α，且B′C′//β；A′D′//α，且A′D′⊂β；A′B′//α，且A′B′与β相交．∴面α、β及直线l满足：α⊥β，l//α，则一定有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7.【答案】C【解析】【分析】根据直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x−y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．【解答】解：∵直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点≤√2∴圆心到直线x−y+1=0的距离为|a+1|√2∴|a+1|≤2∴−3≤a≤1故选：C．8.【答案】C【解析】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1,−2)，半径是2√2，圆心到直线x+=√2，y+1=0的距离是|−1−2+1|√2故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选：C．先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．9.【答案】B【解析】【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，求出球的半径，然后求解球的体积．本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，所以球的半径为：√(√2)2+1=√3．(√3)3=4√3π.所以球的体积为：4π3故选B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角等于∠ANO，MN=//12∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=√5，AN=√5，MB=√B1M2+BB12=√(√2)2+22=√6，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=AN 2+NO2−AO22AN⋅NO=62×√5×√6=√3010．故选：C．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题，注意直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上．根据题意，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得k的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线m过P(1,1)，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，即y−kx+k−1=0，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得：k≥34或k≤−4；故选A．12.【答案】C【解析】解：对于①，由题意知AD1//BC1，从而BC1//平面AD1C，故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A−D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1//AD1且相等，由于①知：AD1//BC1，所以面BA1C1//面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面BCB 1C 1，所以DC ⊥BC 1， 若DP ⊥BC 1，则BC 1⊥平面DCP ，BC 1⊥PC ，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误； 对于④，连接DB 1，由DB 1⊥AC 且DB 1⊥AD 1，可得DB 1⊥面ACD 1，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解．本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等积法、线面平行、线线垂直的判定，要注意转化的思想的使用，是中档题．13.【答案】−6【解析】解：∵直线ax +2y +2=0与直线3x −y −2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴−a2=3 ∴a =−6故答案为：−6根据它们的斜率相等，可得−a2=3，解方程求a 的值． 本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．14.【答案】(−1,−4,1)【解析】解：设点B 的坐标为(x,y ，z)，∵点B 与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称， ∴点M(0,−1,2)对为点A(1,2，3)和点B(x,y ，z)的中点， 由中点坐标公式可得，{ 0=x+12−1=y+222=z+32，解得{x =−1y =−4z =1，∴点B 的坐标是(−1,−4,1)． 故答案为：(−1,−4,1)．根据点的对称性，将问题转化为两点的中点坐标问题，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可得到点B 的坐标公式．本题考查了空间中的点的坐标．中点考查了中点坐标公式，解空间坐标问题时，要注意类比平面坐标，对于一些运算公式和法则两者是通用的．属于基础题．15.【答案】相交【解析】解：圆C(x +2)2+y 2=4的圆心C(−2,0)，半径r =2； 圆M(x −2)2+(y −1)2=9的圆心M(2,1)，半径R =3．∴|CM|=√(−2−2)2+1=√17，R −r =3−2=1，R +r =3+2=5． ∴R −r <√17<R +r ． ∴两圆相交． 故答案为：相交．由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出． 本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．16.【答案】x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)【解析】解：连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上， 得2−a =y−2x.①由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|， 即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1.②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116． 又由图形可知y <2， 因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)． 故答案为：x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|⋅|MQ|，联立消去a ，求得x 和y 的关系式，根据图形可知y <2，进而可求得动弦AB 的中点P 的轨迹方程．本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理．17.【答案】解：化简集合A ={y|y =x 2−32x +1,34≤x ≤2}，配方，得y =(x −34)2+716.因为x ∈[716,2]，∴y min =716,y max =2∴y ∈[716,2]∴A ={y|716≤y ≤2}， 化简集合B ，由x +m 2≥1，得x ≥1−m 2，B ={x|x ≥1−m 2}， 因为命p 题是命题q 的充分条件， ∴A ⊆B ∴1−m 2≤716解得m ≥34或m ≤−34， 故实数的取值范围是(−∞,−34]∪[34．【解析】根据二次函数的性质求出A 的范围，化简集合B ，根据A ⊆B ，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查集合的包含关系，是一道基础题．18.【答案】解：(1)由{2x −y =0x −2y +3=0得P(1,2)．(2)①当过点P(1,2)的直线与坐标轴平行时，不合题意；②当过点P(1,2)的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为y −2=k(x −1)， 当x =0时，y =2−k ；当y =0时，x =1−2k ．故三角形的面积s △=12|(1−2k )(2−k)|=92，由2−k >0，1−2k >0， 解得k =−1或−4．故所求的直线方程为y −2=−1×(x −1)或y −2=−4×(x −1)， 即x +y −3=0或4x +y −6=0；综上，所求直线方程为x +y −3=0或4x +y −6=0；【解析】(1)把2条直线的方程联立方程组，求出方程组的解，可得交点坐标． (2)用点斜式求直线的方程，并求出它在坐标轴上的截距，再根据直线与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求出斜率的值，可得直线l 的方程．本题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式求直线的方程，直线的截距，属于基础题．19.【答案】解：(1)设圆心(m,−2m)，方程为：(x −m)2+(y +2m)2=r 2∵圆过A(2,−1)，∴有(2−m)2+(−1+2m)2=r 2 又√2=r ，解得m =1,r =√2，∴圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=2．(2)由题意，(x −1)2+(y +2)2=2的圆心坐标为C(1,−2)，则k CB =−2+521−2=−12，∴以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率为2，∴所求直线方程为y+52=2(x−2)，即4x−2y−13=0．【解析】(1)设出圆心坐标，利用圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，建立方程组，可求圆C的方程；(2)求出以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率，利用点斜式可得方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：设AC∩BD=O，连接PO，则O既为AC的中点，也为BD的中点，∵∠ABC=60°，AC=a，∴BD=√3a，AO=12AC=12a，BO=12BD=√32a.∵PB=PD=√2a，∴PO⊥BD，PO2=PB2−BO2=54a2，∴PA2+AO2=PO2，即PA⊥AC．∵PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，PO、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAC．∵平面ABCD∩平面PAC=AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABCD．∴四棱锥的体积V=13PA⋅S菱形ABCD=13PA⋅12AC⋅BD=13×a×12×a×√3a=√36a3．(2)证明：取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE．由PE：ED=2：1，知E是MD的中点，∵O为BD的中点，∴BM//OE．∵FM∩BM=M，CE∩OE=E，FM、BM⊂平面BFM，CE、OE⊂平面AEC，∴平面BFM//平面AEC．又BF⊂平面BFM，∴BF//平面AEC．【解析】(1)设AC∩BD=O，连接PO，在菱形ABCD中，易求得BD=√3a，AO=12a，BO=√32a，由勾股定理可证明PA⊥AC；由PO⊥BD，AC⊥BD，可推出BD⊥平面PAC，PA⋅结合面面垂直的判定定理与性质定理可得PA⊥平面ABCD，故四棱锥的体积V=13S．菱形ABCD(2)取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE，BM//OE，从而推出平面BFM//平面AEC，再由面面平行的性质定理即可得证．本题考查空间中线与面的位置关系、棱锥体积的求法，熟练掌握空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE//BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE//平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE//BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．∵DE//BC，∴DE//PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【解析】(1)D ，E 分别为AC ，AB 的中点，易证DE//平面A 1CB ；(2)由题意可证DE ⊥平面A 1DC ，从而有DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，可证A 1F ⊥平面BCDE ，问题解决；(3)取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ//BC ，平面DEQ 即为平面DEP ，由DE ⊥平面，P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，可证A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ． 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．22.【答案】解：(1)∵l 与m 垂直，且k m =−13，∴k 1=3，故直线l 方程为y =3(x +1)，即3x −y +3=0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，即kx −y +k =0， ∵PQ =2√3，∴CM =√4−3=1，则由CM =√k 2+1=1，得k =43，∴直线l ：4x −3y +4=0．故直线l 的方程为x =−1或4x −3y +4=0．(3)∵CM ⊥MN ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ①当l 与x 轴垂直时，易得N(−1,−53)，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−53)，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5． ②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x +1)， 则由{y =k(x +1)x +3y +6=0得N(−3k−61+3k ,−5k1+3k )，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−51+3k ,−5k 1+3k )． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−51+3k +−15k 1+3k=−5． 综上所述，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值与直线l 的斜率无关，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5．【解析】(1)根据l 与m 垂直，则两条直线的斜率之积为−1，进而根据直线过点A(−1,0)，我们可求出直线的方程，将圆的圆心坐标代入直线方程验证后，即可得到结论； (2)根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，结合PQ =2√3，易得到弦心距，进而根据点到直线的距离公式，构造关于k 的方程，解方程即可得到k 值，进而得到直线l 的方程；(3)根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N 的坐标(含参数k)，然后根据向量数量积公式，即可求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，进而得到结论．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质及向量在几何中的应用，其中在处理圆的弦长问题时，根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，进行弦长、弦心距、圆半径的知二求一，是解答此类问题的关键．。
2019-2020学年安徽省合肥市一六八中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市一六八中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．经过圆上任意三个不同的点可以作出（ ）个平面． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．1个或无数个【答案】B【解析】当空间的三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面，由此得解． 【详解】当空间的三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面． 所以经过圆上任意三个不同的点可以作出1个平面． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意全面考虑，不要遗漏．2．已知光线从点(3,4)A -射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点(1,6)C ，则BC 所在直线的方程为（ ）A ．5270x y -+=B ．2570x y -+=C ．5270x y +-=D ．2570x y +-=【答案】A【解析】设(3,4)A -点关于x 轴的对称点为A '，根据反射定律，A '在直线BC 上，即可求出BC 所在的直线方程. 【详解】设(3,4)A -点关于x 轴的对称点为(3,4)A '--， 根据对称性，点A '在直线BC 上，(1,6)C ， 所以BC 所在的直线方程为56(1)2y x -=-， 即5270x y -+=.故选：A. 【点睛】本题考查直线方程的求法，利用对称性是解题的关键，属于基础题.3．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BB ，BC 的中点，则图中阴影部分在平面11ADD A 上的正投影是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据投影的定义，分别找出点,,D M N 在平面11ADD A 上的投影，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，阴影部分为三角形DMN ，其中点D 在投影面上，它的投影是其本身， 点N 在平面11ADD A 上的投影是AD 的中点， 点M 在平面11ADD A 上的投影是1AA 的中点， 所以三角形DMN 的投影为选项A 符合题意． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行投影及平行投影的作法，其中解答中熟记平行投影的定义，准确确定点在平面上的投影是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题． 4．设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所有棱长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则111a b c ++等于( ). A ．114B ．411C ．112D ．211【答案】A【解析】解：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，由题意可知， a+b+c=6…①， abc=2…②， a 2+b 2+c 2=25…③由①式平方-②可得ab+bc+ac=112…④， ④÷②得：111a b c ++=114故选A 5．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（ ）．A ．a α⊥，b β⊂，a b αβ⊥⇒⊥B ．α∥β，a α⊥，b ∥βa b ⇒⊥C ．αβ⊥，a α⊥，b ∥a b β⇒⊥D ．αβ⊥，a αβ⋂=，a b b β⊥⇒⊥ 【答案】B【解析】解：因为利用空间中点线面的位置关系可知，选项A 中，不符合面面垂直的判定定理，错误选项C 中，可能a,b 相交成一般角，错误，选项D 中，可能线面相交不成直角，错误．选B6．连结Rt ABC V 的直角顶点C 与斜边AB 的两个三等分点,D E ，所得线段,CD CE 的长分别为sin α和cos 02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭，则AB 长为（ ）A ．43B C D 【答案】B【解析】设1,,3AC b BC a AD EB AB x =====，可得2229a b x +=，以及cos ,cos A B ，分别在,ACD BCE ∆∆中，由余弦定理求出22,CD CE ，利用221CD CE +=，即可求解.【详解】设1,,3AC b BC a AD EB AB x =====， 则2229,cos ,cos 33b a a b x A B x x+===， 在ACD ∆中，2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅22222sin 233b b b x b x x x α=+-⋅⋅=+，①同理在BCE ∆中，222cos 3a x α=+，②①+②得，22222111()25,35a b x x x =++=∴=， 35AB x ==. 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，利用直角三角形边角关系是解题的关键，属于中档题. 7．已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为2:3:4，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（ ）．A ．18011oB ．60oC ．18013oD ．无法确定的【答案】B 【解析】【详解】解：因为棱锥的侧棱与底面所成的角相等，所以四棱锥底面四边形内接于一个圆，因为四棱锥底面四边形顺次三个内角的大小之比为2:3:4，设对应角为2,3,42423k k k k k k ππ∴+=∴=，因此此则底面四边形的最小角是60o ，选B8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】设11,BC B C 中点分别为1,M M ，取1MM 中点O ，则O 为111ABC A B C -的外接球的球心，由球O 表面积，得出球O 半径，求出1MM ，即可求解. 【详解】设11,BC B C 中点分别为1,M M ，取1MM 中点O ，Q 三棱柱111ABC A B C -底面是直角三角形，1AB AC ==，111111,,//AB AC A B AC MM AA ∴⊥⊥，1,M M 分别为111,Rt ABC Rt A B C ∆∆的外接圆圆心， 1AA ⊥Q 平面ABC ， 1MM ∴⊥平面ABC ，O ∴为111ABC A B C -的外接球的球心， Q 球O 的表面积为3π，∴球O 的半径3OB =， 22122()12BC MM OM OB ∴==-=， 1112111122ABC A B C V -∴=⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查多面体与球“接”“切”问题，确定球心位置是解题的关键，9．球面上有三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中18AB =，24BC =，30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为（ ） A ．1200π B ．1400πC ．1600πD ．1800π【答案】A【解析】设所求球的球心为O ，半径为R ，根据已知ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形，设AC 中点为1O ，则1O 是截面圆的圆心，从而有1OO ⊥平面ABC ，在1Rt OO A ∆中，建立R 的方程，求解即可. 【详解】设所求球的球心为O ，半径为,R AC 中点为1O ， 连1,OO OA ，18AB =Q ，24BC =，30AC =，222,AB BC AC AB BC ∴+=∴⊥，1O ∴为过,,A B C 三点截面圆的圆心，1OO ∴⊥平面1,ABC OO AC ∴⊥，在1Rt OO A ∆中，22222211154R AO R OO AO ==+=+，解得2300R =，球O 的表面积为241200R ππ=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于中档题. 10．两条异面直线,a b 所成的角3π，直线a c ⊥，则直线b 与c 所成的角的范围为（ ）A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线c ，判定与直线b 的夹角. 【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//b b '，则,a b '确定一平面α，过O 点做直线c 的平行线c '，所有平行线c '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1c '不在β内，则1c '与c '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以c '都在平面β内， 则,l αβαβ⊥=I ，在直线b '上任取不同于O 的一点P ，作PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是b '与β所成的角为30°， 若c l '⊥，则,c c b α'''⊥⊥，若c '不垂直l 且不与l 重合， 过P '作P A c ''⊥，垂足为A ，连PA ，,PP c P A PP P '''''⊥=Ic '∴⊥平面PP A '，c PA '⊥，即OA PA ⊥，3cos 2OA OP AOP OP OP '∠=<=，30AOP ∠>︒， 综上b '与c '所成角的范围为[30,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.11．如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点 【答案】D【解析】因为平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC∩平面PBC=PC ， AC ⊂平面PAC ，所以AC ⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥BC.所以∠ACB=90°. 所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点. 选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性. 12．已知矩形,ABCD 1,2AB BC ==将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】B【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B 是正确的二、填空题13．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有_____个． 【答案】1个或无数个论，即可求出结论. 【详解】设平面α外一点为A ，平面α内一点为O ， 若OA α⊥，则过OA 任一平面都垂直α， 所以过OA 存在无数个平面与平面α垂直；若OA 不垂直α，过点A 作唯一的直线l 与平面α垂直，OA 与l 确定唯一的平面与α垂直，所以过OA 存在唯一的平面与平面α垂直. 故答案为：1个或无数个. 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的性质、平面和平面垂直的判定，考查直观想象能力，属于中档题.14．若动点()11,A x y ，()22,B x y 分别在直线1:270+-=l x y 和2:250+-=l x y 上移动，则AB 的中点到原点的距离的最小值为__________．【解析】先设AB 的中点坐标为(),x y ，根据题意，得到AB 中点所在直线方程，由点到直线距离公式，即可得出结果. 【详解】设AB 的中点坐标为(),x y ，因为()11,A x y ，()22,B x y ，所以121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，又()11,A x y ，()22,B x y 分别在直线1:270+-=l x y 和2:250+-=l x y 上移动，所以1122270250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，两式相加得()()12122120+++-=x x y y ，所以42120+-=x y ，即260x y +-=即为AB 中点所在直线方程，因此原点到直线260x y +-=的距离，即为AB 的中点到原点的距离的最小值；=故答案为：655【点睛】本题主要考查求直线上的点到原点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.15．如图，正方体ABCDA B C D ''''有12条棱，选取其中6条棱，每条棱上取一点，使这6个点正好成为正八面体的6个顶点．（注：正八面体共有6个顶点．）比如就从点A 出发，来进行构建．在与点A 相邻的三条棱上分别取一点，使其到点A 的距离都为棱长的四分之三，得到3个点：E F G 、、．同理，对与点A 相对的点C '进行类似的操作，得到另外3个点：E F G '''、、．显然，位于正方体界面上的6条线段相等，即EF FG GE E F F G G E ''=====''''从正方体内部穿过的线段也有六条：EF '、EG '、FE '、FG '、GE '、GF '．这样一共得到12条线段，它们就是所要构建的正八面体的12条棱．通过计算它们的长度全都相等，即构建的是正八面体．在此正八面体中EF '与FG '所成角的余弦值是_________．【答案】12【解析】设正方体的边长为4，可证四边形FGF G ''为平行四边形，从而有//GF FG ''，EF G '∠（或补角）为异面直线EF '与FG '所成的角，解EF G '∆即可.【详解】设正方体的边长为4，连,A D B C ''，333,//,3244AF AG AA GF A D GF A D '''===∴==Q ， 同理//,32G F B C G F '''''=在正方体ABCD A B C D ''''-中，//A D B C ''，//,GF F G GF F G ''''∴=，四边形FGF G ''为平行四边形， //,GF FG EF G '''∴∠（或补角）为异面直线EF '与FG '所成的角，连2222,,17,32CE CG CE BE BC EF CE CF ''=+==+=同理32,232,GF GE AE EF G ''===∴∆为等边三角形，160,cos 2EF G EF G ''∴∠=︒∠=EF '∴与FG '所成角的余弦值是12.故答案为：12.【点睛】本题考查异面直线所成的角，空间角转化为平面角是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.16．在三棱柱111ABCA B C 中，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，11AA =，底面ABC V 是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为__________．【答案】211【解析】由已知可得11AB AC =并求出其值，进而求出11AB C ∆的面积，利用1111113ABC A B C A A B C V V --=，结合已知求出111A AB C V -，即可得出结论.【详解】1AA ⊥Q 平面11AB C ，1111,AA AB AA AC ∴⊥⊥，11111111,4,15AA A B AC AB AC ===∴=Q ， 取11B C 中点D ，连AD ，则11AD B C ⊥，1122111111()11,21122AB C B C AD AB S B C AD ∆∴=-==⨯⨯=， 11111111111133211ABC A B C A A B C A AB C AB C V V V AA S ---∆∴===⨯=.故答案为：211.【点睛】本题考查三棱柱的体积，注意柱体和椎体体积间的关系，以及等体积法的应用，属于中档题.三、解答题17．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（215【解析】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论；（2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论. 【详解】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =，,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，2223,2,3,()52OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+=， 15tan 3CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为15.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.18．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点. （1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程； （2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 【答案】（1）220x y +-=；（2）5250x y --= 【解析】【详解】（1）因为,A B 分别为直线与射线:0(0)OA x y x -=≥及:20(0)OB x y x +=≥的交点， 所以可设(,),(2,)A a a B b b -，又点(1,0)P 是AB 的中点，所以有21,2{0.2a ba b-=+=即2,3{2.3ab==-∴A、B两点的坐标为2242(,),(,)3333A B-，∴223324233ABk--==--，所以直线AB的方程为02(1)y x-=--，即220x y+-=（2）①当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为1x=，易知,A B两点的坐标分别为1(1,1),(1,),2A B-所以AB的中点坐标为1(1,)4，显然不在直线12y x=上,即AB的斜率不存在时不满足条件.②当直线AB的斜率存在时，记为k，易知0k≠且1k≠，则直线AB的方程为(1).y k x=-分别联立(1),{y k xx y=--=及(1),{20.y k xx y=-+=可求得,A B两点的坐标分别为(,),11k kAk k--2(,)1212k kBk k-++所以AB的中点坐标为(,)22122224k k k kk k k k+--+-+又AB的中点在直线12y x=上,所以1()222422212k k k kk k k k-=+-+-+解得52k=所以直线AB的方程为5(1)2y x=-，即5250x y--=19．H城市要在某小区前一块广场ABCDE（如图）上规划出一块长方形地面（不改变方位），改善人们室外活动生活．问：如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积．（已知210BC m=，240CD m=，300DE m=，180EA m=）【答案】设计见解析，面积最大值为254150m.【解析】把问题转化为在线段AB上找一点P，过P点分别做,AE BC的平行线与,DE CD围成长方形面积最大的问题，建立坐标系，设点P坐标，将长方形的面积表达式求出，再求其最值即可.【详解】以BC 所在的直线为x 轴，AE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系， 则(0,60),(90,0)A B ，AB 所在的直线方程为19060x y +=， 即2603y x =-，设2(,60),0903P x x x -≤≤， 过P 点分别做,AE BC 的平行线与,DE CD 交于,F Q ， 开发的矩形PQDF 的面积为2(300)(240)(300)(180)3S x y x x =--=-+22222054000(15)5415033x x x =-++=--+∴当15,50x y ==时，S 取得最大值为254150m ，答：长方形顶点P 距AE 边15m ，距BC 边50m 时，面积最大为254150m .【点睛】本题考查函数应用问题，根据几何关系转化成代数关系是解题的关键，考查数学建模、数学抽象、数学计算能力，属于中档题.20．在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E F 、分别为BC CD 、的中点，M N 、分别为AB CF 、的中点，现沿AE AF EF 、、折叠，使B C D 、、三点重合，重合后的点记为B ，构成一个三棱锥．（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）证明：AB ⊥平面BEF ； （3）求四棱锥E AFNM -的体积．【答案】（1）//MN 平面AEF .证明见解析；（2）证明见解析；（3）2. 【解析】（1）//MN 平面AEF .在三棱锥中可得//MN AF ，即可证明结论； （2）由翻折前,AB BE AD DF ⊥⊥，在三棱锥中,AB BE AB BF ⊥⊥，即可证明结论；（3）由34ABF MNAF S S ∆=梯形，可得3344E AFNM E ABF A BEF V V V ---==，即可求解. 【详解】（1）//MN 平面AEF .证明如下：,M N Q 分别为,AB BF 中点，//MN AF ∴，AF ⊂Q 平面AEF ，MN ⊄平面AEF ，//MN ∴平面AEF ；（2）在正方形ABCD 中，,AB BE AD DF ⊥⊥， 在三棱锥中,,AB BE AB BF BE BF B ⊥⊥=I ，,BE BF ⊂平面BEF ，AB ∴⊥平面BEF ；（3）13//,,24ABF MNAF MN AF MN AF S S ∆=∴=Q 梯形， 23331142244432E AFNM E ABFA BEF V V V ---∴===⨯⨯⨯⨯= ∴四棱锥E AFNM -的体积的体积为2.【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，证明直线与平面平行、直线与平面垂直，注意翻折前后不变量的应用，以及利用等体积法求椎体的体积，考查逻辑推理、直观想象能力，属于基础题.21．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2CM =.【解析】（1）由已知可得1CC BC ⊥，结合AC BC ⊥，可得BC ⊥平面11AAC C ，即可证明结论；（2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，则//ND CM ，由//CN 平面1AB M ，可证//CN MD ，得到四边形CMDN 为平行四边形，即可求CM 的长.【详解】（1）在直三棱柱111ABCA B C 中，1CC ⊥平面ABC ，1CC BC ∴⊥，又11,,,AC BC AC CC C AC CC ⊥=⊂I 平面11AAC C ，BC ∴⊥平面11AAC C ，AM ⊂Q 平面11AAC C ，BC AM ⊥∴；（2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，N 是AB 的中点，11111//,22DN BB DN BB CC ∴==，又11//,//BB CC DN CM ∴， ,DN CM ∴可确定平面,CMDN CN ∴⊂平面CMDN ，//CN Q 平面1AB M ，平面1AB M I 平面CMDN DM =，//,CN DM ∴∴四边形CMDN 为平行四边形，1122CM DN CC ∴===.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，注意空间垂直间的相互转化，以及直线与平面平行性质定理的应用，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.22．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ； （2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）11. 【解析】（1）取BE 中点N ，连,MN CN ，得1//,2MN AB MN AB =，可证四边形CPMN 为平行四边形，进而有//MP CN ，即可证明结论；（2）设2AB AE ==，由已知可得AE ⊥平面ABCD ，过F 做//FQ AE ，交AB 于Q ，得FQ ⊥平面ABCD ，过Q 做QO BD ⊥垂足为O ，连FO ，可证BD ⊥平面FOQ ，得到FOQ ∠为二面角F BD A --的平面角，解Rt OFQ ∆即可. 【详解】（1）取BE 中点N ，连,MN CN ，又M 为AE 的中点，1//,2MN AB MN AB ∴=，在正方形ABCD 中，P 是CD 中点， //,CP MN CP MN ∴=，∴四边形CPMN 为平行四边形，//MP CN ∴，MP ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ， //PM ∴平面BCE ；（2）设2AB AE ==，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，AE AB ∴⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AE ⊂平面ABEF ，AE ∴⊥平面ABCD ，过F 做//FQ AE ，交AB 于Q ，FQ ∴⊥平面ABCD ， FA FE =Q ，45AEF ∠=︒，,45,45EF AF EAF AF FAQ ∴⊥∠=︒∴=∠=︒，在Rt AFQ ∆中，1,3FQ AQ BQ ===， 过Q 做QO BD ⊥垂足为O ，连FO ，FQ ⊥Q 平面,ABCD FQ BD ∴⊥，FQ OQ Q =I ，BD ∴⊥平面,FOQ BD OF ⊥，FOQ ∠为二面角F BD A --的平面角，在Rt BOQ ∆中，323,45,2BQ OBQ OQ =∠=︒∴=， 在Rt FOQ ∆中，22222OF FQ OQ =+=， 22sin FQ FOQ OF ∴∠==， ∴二面角F BD A --所成角的正弦值22.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求二面角，利用垂直关系做出二面角的平面角是解题的难点，要注意空间垂直间的相互转化，属于中档题.。
2018-2019学年高二数学上学期期中试题理宏志班
合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。
每题仅有一个正确选项。
）1．已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．b在平面β内D．平行或b在平面β内2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．如果ac＞0，bc＞0，那么直线ax+by+c=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，）C．（，]D．[，π）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是侧棱BB′的中点，则直线MC′与A′B所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．8．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（）①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行A．1B．2C．3D．410．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（）A．HG=2OGB．++=C．设BC边中点为D，则有AH=3ODD．S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）。
安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷理(宏志班)
高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60 题，每题 5 分。
每题仅有一个正确选项。
）1．已知 a、 b 是两条平行直线，且a∥平面β，则 b 与β的地点关系是（）A．平行B．订交C． b 在平面β内D．平行或b在平面β 内2．在以下命题中，不是公义的是（）A．平行于同一条直线的两条直线相互平行B．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，假如两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．假如 ac＞ 0，bc＞ 0，那么直线ax+by+c=0 不经过（）A．第一象限B．第二象限 C ．第三象限D．第四象限4．直线（ a2+1） x﹣y+1=0（此中 a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0 ，]B．[，） C ．（，] D ．[，π）5．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为 5 的球内有一个高为8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C ′的全部棱长都等于2，并且AA' ⊥平面ABC， M是侧棱BB′的中点，则直线 MC′与 A′B所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．8．直线 l 过点 P（ 1， 0），且与以 A（ 2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中， E 是棱 CC1的中点， F 是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，以下说法正确的个数是（）①点 F 的轨迹是一条线段②A1F 与 D1E 不行能平行③ A1F 与 BE是异面直线④当 F 与 C1不重合时，平面 A1FC1不行能与平面 AED1平行A． 1B．2C． 3D． 410．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cosθ， sin θ）到直线x﹣ my﹣2=0 的距离．当θ、m变化时， d 的最大值为（）A． 1B．2C． 3D． 411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765 年发布的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同向来线上，并且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是有名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、 G 分别是外心、垂心和重心，以下四个选项错误的选项是（）A． HG=2OG B．+ + =C．设 BC边中点为D，则有 AH=3OD D． S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图 1，直线 EF 将矩形纸A BCD分为两个直角梯形ABFE和 CDEF，将梯形 CDEF沿边 EF翻折，如图 2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面 CDEF不重合）下边说法正确的选项是（）A．存在某一地点，使得CD∥平面 ABFEB．存在某一地点，使得DE⊥平面 ABFEC．在翻折的过程中，BF∥平面 ADE恒成立D．在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF恒成立二、填空题（共20 分，每题 5 分）13 、已知直线l1: ax 2 y 60 与l2: x a 1 y a210 平行，则实数 a 的取值是________14．球的半径为 5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和 8cm，则这两个平面之间的距离是cm．15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平川降雨量是________寸．( 注：① 平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸 )16．在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中， E 为棱 AB上一点，且AE=1， BE=3，以 E 为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1， DD1分別交于F， G两点，则△ AFG的面积为 ________三、解答题（共70 分，每题必需要有必需的解答过程）17.（ 10 分）设直线l的方程为 ( a＋ 1) x＋y＋ 2－a＝ 0 ( a∈R)．(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围．18. （ 12 分）在平面直角坐标系xOy中，OBC的边BC所在的直线方程是l : x y 3 0 ，（ 1）假如一束光芒从原点O 射出，经直线 l 反射后，经过点(3, 3) ，求反射后光芒所在直线的方程；（ 2）假如在OBC 中，BOC 为直角，求OBC 面积的最小值．19. （ 12 分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截获得的几何体，截面为ABC，已知 A1B1＝B1C1＝2，∠ A1B1C1＝90°， AA1＝4， BB1＝ 3， CC1＝ 2，求：( Ⅰ ) 该几何体的体积；( Ⅱ ) 截面 ABC的面积．20（ 12 分） . 如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，极点 P 在平面 ABC内的正投影为点D，D 在平面 PAB内的正投影为点E，连结 PE并延伸交AB 于点 G．（Ⅰ）证明：G是 AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC内的正投影F，并求四周体PDEF的体积．21.（ 12 分）如图，四周体 ABCD中，△ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，∠ ABD=∠ CBD，AB=BD．（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四周体 ABCD分红体积相等的两部分，求二面角D﹣ AE﹣C 的余弦值．22. （ 12 分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为此中心.面面，，，是的中点，.（ 1）证明：面；（ 2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018— 2019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参照答案一．选择题题号123456789101112答案D C A B C B A B C C C C二、填空题13.－ 114. 1 或 715. 316. 4三、解答题17. （ 1） 3x＋y＝0 或x＋y＋ 2＝ 0；（2）a≤－ 1.y01x03 18（ 1）设点O对于直线l的对称点为A(x0, y0)，由题意应有x0，解得y0y0，x030322所以点 A(3,3) ．由于反射后光芒经过点A(3,3)和点 (3, 3)，所以反射后光芒所在直线的方程为 x 3．（2）设OD为OBC 的一条高，则3，设 BOD(0) ，可得|OD |22|BC ||BD|| DC | | OD | tan θ| OD |，所以OBC 的面积S1|BC||OD | tan θ21(| OD | tan θ| OD |) | OD |12| OD | tan θ| OD ||OD | |OD |29，当且仅2tan θ2tan θ2当时，等号成立．49 ．所以，OBC 面积的最小值是219.（Ⅰ）过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1， BB1分别于点 A2， B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝ 90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2，则该几何体的体积V＝＝× 2×2×2＋× ×(1 ＋ 2)×2× 2＝6，（Ⅱ）在△ ABC中， AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝ 2 .则 S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵ P﹣ ABC为正三棱锥，且 D为极点 P 在平面 ABC内的正投影，∴ PD⊥平面 ABC，则 PD⊥ AB，又 E 为 D 在平面 PAB内的正投影，∴ DE⊥面 PAB，则 DE⊥ AB，∵ PD∩DE=D，∴ AB⊥平面 PDE，连结 PE并延伸交 AB于点 G，则 AB⊥PG，又 PA=PB，∴ G是 AB 的中点；（Ⅱ）在平面 PAB内，过点 E 作 PB的平行线交 PA于点 F， F 即为 E 在平面 PAC内的正投影．∵正三棱锥 P﹣ ABC的侧面是直角三角形，∴ PB⊥PA， PB⊥PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥ PA，EF⊥ PC，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC内的正投影为 D，所以 D是正三角形 ABC的中心．由（Ⅰ）知， G是 AB的中点，所以 D在 CG上，故 CD= CG．由题设可得PC⊥平面 PAB， DE⊥平面 PAB，所以 DE∥ PC，所以 PE= PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得 DE=2， PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四周体PDEF的体积 V=× DE× S△PEF=× 2×× 2× 2=．21.（ 1）证明：如下图，取 AC的中点 O，连结 BO，OD．∵△ ABC是等边三角形，∴ OB⊥ AC．△ ABD与△ CBD中， AB=BD=BC，∠ ABD=∠CBD，∴△ ABD≌△ CBD，∴ AD=CD．∵△ ACD是直角三角形，∴ AC是斜边，∴∠ ADC=90°．∴DO= AC．2222∴ DO+BO=AB=BD．∴∠ BOD=90°．∴ OB⊥OD．又 DO∩AC=O，∴ OB⊥平面ACD．又 OB? 平面 ABC，∴平面 ACD⊥平面 ABC．（2）解：设点 D， B 到平面 ACE的距离分别为 h D， h E．则= ．∵平面 AEC把四周体 ABCD分红体积相等的两部分，∴===1．∴点 E 是 BD的中点．成立如下图的空间直角坐标系．不如取AB=2．则 O（ 0，0，0），A（ 1，0，0），C（﹣ 1，0，0），D（ 0，0，1），B（ 0，，0），E．=（﹣ 1， 0， 1），=，=（﹣ 2，0， 0）．设平面 ADE的法向量为=（ x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（ 0， 1，）．∴ cos===﹣．∴二面角D﹣ AE﹣C 的余弦值为．22. （ 1）连结，由于是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（ 2）解法一：作交的延伸线于，作交的延伸线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，成立如下图的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷理(宏志班)取，∴，即所求角的正弦值为.-11-。
2019-2020学年安徽省合肥一六八中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥一六八中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{1,2,3}M =，{}2|230N x Z x x =∈--<，则M N ⋃=（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2【答案】C【解析】解二次不等式求得集合N ，再求并集即可. 【详解】由2230x x --<解得()1,3x ∈-，又x ∈Z ， 故{}0,1,2N =， 故{}0,1,2,3M N ⋃=. 故选：C . 【点睛】本题考查并集的求解，涉及一元二次不等式的求解. 2．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将抛物线方程化为标准形式，得出p 的值，结合开口方向即可得焦点坐标. 【详解】由于抛物线的方程为22y x =，即212x y =， 可得抛物线开口向上，14p =， 可得抛物线22y x =的焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了求抛物线的焦点坐标，将抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.3．光线沿直线21y x =+射到直线y x =上, 被y x =反射后的光线所在的直线方程为 A ．112y x =- B ．1122y x =- C ．1122y x =+ D ．112y x =+ 【答案】B【解析】【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题．分析：先求出y=2x+11与y=x 的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X 轴的交点（1，0），然后两点确定直线．解答：解：直线y=2x+1与y=x 的交点为（-1，-1），又直线y=2x+1与y 轴的交点（0，1）被y=x 反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：---y 010=---x 111即 y=12x-12故选B ．点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 4．给出下列命题：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行； ④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由空间三条直线构成等腰三角形可判断①;由空间直线的位置关系可判断②;由线面平行的定义可判断③由线线平行的公理4可判断④. 【详解】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形， 可得这两条直线不一定互相平行，故①错;在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错;若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错; 在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对.故选：A 【点睛】本题考查了空间中直线的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.5．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．BC ．2或 D ．2【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =.因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即2d ==，解得2=m 或2m =-，故选D. 6．下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++>； ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题；③设a r ，b r是非零向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的必要不充分条件；④3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可; ③利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可； ④计算直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的等价条件为0,3m =，即可.【详解】对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++≥,故①不正确；命题“已知x ，y R ∈，，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题为：“已知x ，y R ∈，，若2x =且=1y ，则3x y +=”为真命题，故②正确；设a r ，b r是非零向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的既不充分也不必要条件，故③不正确；直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则0,3m =，故④不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.下图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD BC ==，则当点E 在下列四个位置：PA 中点、PB 中点、PC 中点、PD 中点时分别形成的四面体E BCD -中，鳖臑有（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意，结合线面垂直的判定以及性质，对点所在的位置进行逐一分析即可. 【详解】 设2PD =①当点E 在P A 中点时：6,2BE EC BC ===，不满足勾股定理，即此时EBC ∆不为直角三角形，不满足题意；②当点E 在PB 中点时：3DE BE EC ===2,2BD DC BC ===，由勾股定理，此时,,DEB EBC DEC ∆∆∆均不是直角三角形，不满足题意；③当点E 在PC 中点时：因为,DE EC DE BC ⊥⊥，故DE ⊥面BEC ，则DE BE ⊥，故,DEC DEB ∆∆均为直角三角形，又,,BC CD BC PD ⊥⊥故BC ⊥面PDC ，则BC CE ⊥，故,BEC DCB ∆∆均为直角三角形， 满足题意；④当点E 在PD 中点时：因为PD ⊥面ABCD ，故,PD DB PD DC ⊥⊥，故,DEC DEB ∆∆均为直角三角形， 又BC ⊥DC ，BC ⊥DP ，故BC ⊥面PDC ，则BC CE ⊥，故,BEC DCB ∆∆均为直角三角形 满足题意.综上所述，当点E 在PC 中点或PD 中点时，满足题意. 故选：C . 【点睛】本题考查由线线垂直，线面垂直的判定和性质，属综合基础题. 8．方程(x+y-1)224x y +-=0所表示的曲线是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由题意得方程()22140x y x y +-+-=，得10x y +-=或，且，所以方程(22140x y x y +-+-=所表示的曲线为选项D ，故选D ．【考点】曲线与方程．9．已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若12PF F △的面积为9，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线的离心率求得34b a =，再根据12PF F △的面积为9，得到128||||1P PF F =，在12PF F △中，由勾股定理和双曲线的定义知，b=3,即得解.【详解】双曲线的离心率是5344c b a a ==∴=又12120PF PF PF PF ⋅=∴⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r12PF F ∴△的面积12121||||9||||182S P P PF F PF F ==∴= 在12PF F △中，由勾股定理可得：222221212124||+||=(||+||)2||||436c PF PF PF PF PF PF a =-=-3,4b a ∴==故双曲线的实轴长为：8 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10．若抛物线22y px =的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且23AFB π∠=，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为'M ，则'MM AB的最大值为（ ）A ．3B ．3C D【答案】C【解析】转化：11|'|(||||)(||||)22MM AG BH AF BF =+=+，利用余弦定理：||AB =，即得解. 【详解】如图所示，由题意得(1,0)F ，22111(||||)(||||)(||||)'222=||||2||||2||||cos3AG BH AF BF AF BF MM AB AB AB AF BF AF BF π+++==+-22211(||||)(||||)22||||||||(||||)||||AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF ++==+++-221(||||)2(||||)(||||)4AF BF AF BF AF BF +≤++-1(||||)3233(||||)AF BF AF BF +==+当且仅当：||||AF BF =时，'MM AB有最大值33. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.11．已知点P 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>下支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的上、下焦点，M 是12PF F △的内心，且121213MPF MPF MF F S S S =+V V V ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．3D 21【答案】C【解析】设12PF F △的内切圆的半径为r ，121213MPF MPF MF F S S S =+V V V ，即12121111||||+||2232PF r PF r F F r ⨯=，故得解. 【详解】设22c a b =+，12PF F △的内切圆的半径为r ，则21212||||,||2c PF PF a F F -==12121212111||,||,||222F F MPF MPF M S PF r S PF r S F F r ===V V V 由于121213MPF MPF MF F S S S =+V V V 故12121111||||+||2232PF r PF r F F r ⨯= 因此：3ce a== 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.12．在Rt ABC V 中，已知D 是斜边AB 上任意一点（如图①），沿直线CD 将ABC V 折成直二面角B CD A --（如图②）．若折叠后,A B 两点间的距离为d ，则下列说法正确的是（ ）A ．当CD 为Rt ABC V 的中线时，d 取得最小值B ．当CD 为Rt ABC V 的角平分线时，d 取得最小值 C ．当CD 为Rt ABC V 的高线时，d 取得最小值 D ．当D 在Rt ABC V 的斜边AB 上移动时，d 为定值 【答案】B【解析】试题分析：如图设,,BC a AC b ACD θ==∠=，则022BCD ππθθ⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭, 过A 作CD 的垂线AG ，过B 作CD 的延长线的垂线BH ， 所以AG sin b θ=，cos CG b θ=,BH cos a θ=,CH sin a θ=,sin cos HG CH CG a b θθ=-=-；直线AG BH 和是异面直线，所成的角为90︒；线段HG 是公垂线段， 所以222AB 2cos90d AG BH HG AG BH ==++-⋅︒()()()222sin cos sin cos b a a b θθθθ=++-22222222sin cos sin cos sin 2b a a b ab θθθθθ+++- 22sin 2a b ab θ+-当=4πθ时，即当CD 为Rt ABC V 的角平分线时，d 取得最小值.故选B.【考点】平面与平面之间的位置关系；两条异面直线上两点间的距离.二、填空题13．若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，则双曲线C 的离心率为______. 6【解析】由双曲线的图象关于原点对称，可知点()2,1-，()2,1-在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得a ，进而可求出离心率. 【详解】三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，又双曲线的图象关于原点对称，所以()2,3-不在双曲线上，点()2,1-，()2,1-在双曲线上，则()24110a a -=>，解得2a =，又1b =，所以离心率为216112b a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：6. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题.14．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 【答案】723【解析】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅， 故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=． 记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2222113122PP PO OP =-=-= 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 262PM PP MPP =⋅==1226PE PA PM a =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-223(6))a a =--3263a =- 又6a =124363183PAB PEF S S ∆∆-==． 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为3 【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．15．在圆2210210x y x y +--+=内，过点()2,1有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差5311,d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么n 的取值集合为________. 【答案】{}8,9,10【解析】先由圆的几何性质，最短的弦为垂直于OA 的弦，最长弦为直径，得到1,n a a ，因此公差21d n =-，结合公差11,35d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解.【详解】设()2,1A ，圆心()5,1O ，半径为=5r ，最短的弦为垂直于OA 的弦，且||=3OA ∴18a =，最长弦为直径：10n a =， 公差：21217111513d n n n =∴<<∴<<-- 因此：n 的取值集合为{}8,9,10. 【点睛】本题考查了圆的性质和数列综合，考查了学生综合分析，转化于划归，数学运算的能力，属于中档题.16．存在实数φ，使得圆面225x y +≤恰好覆盖函数sin y x k πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________. 【答案】(]1,2【解析】根据题意，可知函数sin y x k πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的最高点或最低点在1y =±上，结合圆面方程可以列出方程组，即得解. 【详解】根据题意，可知函数sin y x k πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的最高点或最低点在1y =±上,则： 221225y x x y =±⎧∴-≤≤⎨+≤⎩又由题意：22T kkππ==，因此4<2T T ≤，解得正数k 的取值范围是：(]1,2 故答案为：(]1,2 【点睛】本题考查的是三角函数的周期性的应用，解答本题的关键是熟练使用三角函数周期性的定义以及求法，考查了学生综合分析，转化和划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．已知命题:p x R ∃∈，使240x x a -+<成立，命题:,21q x R x x a ∀∈-++≥恒成立.（1）若命题p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a ≥；（2）34a <<【解析】（1）写出非P 命题，通过二次函数恒成立问题，求解参数的范围； （2）先求出每个命题真假分别对应的参数范围，再分类讨论，先交后并即可. 【详解】（1）p ⌝为真，即240x x a -+≥恒成立， 故0∆≤，即1640a -≤， 解得4a ≥，故a 的取值范围为：4a ≥（2）由（1）可知命题p 为假命题，则4a ≥ 故命题p 为真，则4a <，对命题q ，若其为真，则21x x a -++≥ 恒成立 则()()21213x x x x a -++≥--+=≥ 解得：3a ≤故命题q ,若其为假，则3a >； 又由p 或q 为真，p 且q 为假， 则p ，q 中一个为真，一个为假即43a a <⎧⎨>⎩或43a a ≥⎧⎨≤⎩解得()3,4a ∈故实数a 的取值范围为34a <<. 【点睛】本题考查由命题的真假，求参数的取值范围，涉及二次函数恒成立，绝对值不等式. 18．在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)． （1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．【答案】（1）(5,6)C -（2）10x y -+=【解析】试题分析：（1）联立直线210x y -+=和0y =，可求得A 点的坐标，利用点斜式可得直线BC 的方程，利用角平分线可得直线AC 的斜率，利用点斜式可写出直线AC 的方程，联立直线,BC AC 的方程可求得交点C 的坐标.（2）由直线AC 的斜率可得高的斜率，利用点斜式可求得高所在直线方程. 试题解析：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与A ∠的角平分线所在直线的交点， 由210{x y y -+==得1{x y =-=，故()1,0A -．由1AC AB k k =-=-，所以AC 所在直线方程为()1y x =-+，BC 所在直线的方程为()221y x -=--，由()()1{221y x y x =-+-=--，得()5,6C -．（2）由（1）知，AC 所在直线方程10x y ++=，所以l 所在的直线方程为()()120x y ---=，即10x y -+=．19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，4BF =，H 是CF 的中点.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线DH 与平面CEF 所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析（2）399133【解析】（1）由面面垂直的性质可证AC ⊥平面BDEF ；（2）以AC 、BD 的交点为坐标原点，DB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，建立空间直角坐标系，求出面CEF 的法向量，即可求直线DH 与平面CEF 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥.又Q 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， 且AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面BDEF ；（2）以AC 、BD 的交点为坐标原点，DB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，建立空间直角坐标系，1333,0)(1,0,3)(1,0,3),(1,0,0)(,)222C E FD H --，，，,则()1,3,4CF =-u u u r ，()2,0,0EF =u u u r .设面CEF 的法向量为(),,n x y z =r则34020n CF x y z n EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v ，不妨令1y =， 得到面CEF 的法向量为3n ⎛= ⎝⎭r ，3322DH ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭u u u u r 因此：4399cos ,||||n DH n DH n DH ⋅==⋅r u u u u rr u u u u r ru u u u r 即DH u u u u r 与面CEF 4399【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.20．设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于M.N 点.（1）若60MFN ∠=︒，AMN n 的面积为83，求抛物线方程；（2）若A ．M.F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到直线n 、m 距离的比值.【答案】（1）24x y =；（2）1:3【解析】（1）由抛物线的定义，以及圆的对称性可得FMN n 为等边三角形，可由其高线求得边长，进而表达出面积，列方程解得p 即可求得抛物线方程.（2）由A.M.F 三点共线，可得直线m 斜率，和直线m 方程；根据直线n 与C 只有一个公共点，设出直线n 方程，联立抛物线方程，0=n ，可求得n 方程；据此利用点到直线距离公式求得距离之比. 【详解】（1）由对称性以及60MFN ∠=︒可知MFN △是等边三角形.又F 点到MN 的距离为p，故||MN p =， 由抛物线定义知：点A 到准线l的距离||||3d FA MN p ===又AMN S n 818||2323MN d p =⇔⨯⨯=⇔=. 故抛物线方程为：24x y =.（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2p F 点A ，M 关于点F 对称，得22220000(,)3222x x p M x p p x p p p --⇒-=-⇔=，得：3,)2pA ，直线m斜率3p p k -== 所以直线m方程为02x -+=. ∵//m n ，设直线n方程为：0x t -+=， 又因为直线n 与抛物线只有一个公共点，所以202x t x py⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消去y得2033x px pt --=， 由0∆=，得t p =直线3:306n x y p --=， 坐标原点到n ，m 距离的比值为33:1:3p p =. 【点睛】本题考查抛物线，涉及抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属抛物线中的基础题. 21．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC 的距离为6，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，23AQ CQ ==，30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3236【解析】（1）由正弦定理，可求得90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，再由平面PAB ⊥平面ABC ，可得AC ⊥平面P AB ，可证得面PAC ⊥平面P AB ；（2）以A 为坐标原点，AB u u u r，AC u u u r 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 求出平面ACQ , 平面P AC 的法向量，即可求得二面角. 【详解】 （1）424sin sin 30BAC ==∠︒，所以sin 1BAC ∠=，90BAC ∠=︒AC AB ∴⊥，又Q 平面PAB ⊥平面ABC ，AB =平面PAB ABC I ，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面P AB ，AC ⊂Q 面P AC ，∴面PAC ⊥面P AB（2）以A 为坐标原点，AB u u u r，AC u u u r 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0B ，()0,23,0C ，()1,0,3P，()3,3,6Q -，设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =u r ，则2303360AC m y AQ m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u v v u u u v v， 令1z =，()2,0,1m ∴=u r设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =r ，则23030AC n y PA n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u uv v ， 令1z =：()3,0,1n ∴=-r，设二面角P AC Q --的平面角为θ，则323cos cos ,m n θ-==u r r . 而此二面角为锐角，故二面角P AC Q --的平面角的余弦值为3236-. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.22．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长42，离心率为e ，定义直线b y e =±为椭圆的类准线，若椭圆C 的类准线方程为26y =±，（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，不垂直于x 轴的直线6:5l y kx =-与椭圆C 交于A 、B 两点，点()2,1P 在直线l 的左上方，且PA PB ⊥，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若线段MN 长度是4，求k .【答案】（1）22182x y +=（2）12【解析】（1）根据题设条件，列出a,b,c 的等量关系，联立即得解；（2）由4MN =，得到MNP △是等腰直角三角形，0MP NP k k ∴+=，联立65y kx =-与22480x y +-=，利用韦达定理即得解. 【详解】由题意知：2a c e a b a b e ⎧⎪=⎪⎪=∴==⎨⎪⎪=⎪⎩22182x y ∴+= （2）4MN =Q ，MNP ∴V 是等腰直角三角形0MP NP k k ∴+=设()11,A x y ，()22,B x y联立y kx m =+与22480x y +-=得：()222418480kx kmx m +++-=122841km x x k -∴+=+，21224841m x x k -=+ 212111022PB PA y y k k x x --+=+=--Q 代入，化简得：224140km k m k ++--=65m =-，12k ∴=或1110k =检验，当1110k =时，点P 在直线l 上，不合题意.12k ∴=. 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.。
【20套试卷合集】合肥一六八中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案2.已知0tan cos <⋅θθ，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第四象限角D ．第三或第四象限角 3.如果命题“)(q p 或⌝”为假命题，则（ ） A ．,p q 中至少有一个为真命题 B ．,p q 均为假命题C ．,p q 均为真命题D ．,p q 中至多有一个为真命题4.下列命题中，真命题的是（ ）A ．0,x R ∃∈使得00xe ≤ B ． 命题2,2x x R x ∀∈> 的否定是真命题C ．2{|10}{|40}(2,0)x x x x -<⋂->=-D ． 1,1a b >>的充分不必要条件是1ab > 5.如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为（ ）A ．2n ≤B ．3n ≤C ．4n ≤D ．5n ≤6．已知数据123 n x x x x ⋅⋅⋅，，，，是某市普通职工n (3 )n n N +≥∈，个人的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变7．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，经过点F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）A ．12B ．C ．16D ．8.已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点,B 为椭圆短轴上的端点，若212121()2BF BF F F →→→⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．C ．(0,2 D ．1(0,]29.若[],1,1b c ∈-,则方程2220x bx c ++=有实数根的概率为( )A ．12B ．23 C ．34 D ．5610．已知条件:2p x y +≠-，条件:1q x ≠-或1y ≠-，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件11．平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()f x x x a a →→→→→=-⋅确定，其中a →为常向量．若映射f 满足()()f x f y x y →→→→⋅=⋅对,x y A →→∈恒成立，则a →的坐标不可能．．．是（ ） A ．(0,0) B． C． D．1(2- 12.已知二元函数2cos (,)(,),sin 2x f x x R R x x θθθθ=∈∈++则(,)f x θ的最大值和最小值分别是（ ）B.C. -D.第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知抛物线214y x =-，则它的焦点坐标为 . 14.根据某固定测速点测得的某时段内过往的200辆机动车的行驶速度(单位：/km h )绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60/-120/km h km h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 .15.已知,,m n n m +成等差数列，,,mn n m 成等比数列，则椭圆221x y m n+=的离心率是 . 16.已知椭圆22221x y a b +=的两个焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的点，则能使12F PF 2π∠=的点P 的个数可能有 个. （把所有的情况填全）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 已知函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=--.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）当[,]63x ππ∈-时，求函数)(x f 的最值及相应的自变量x 的取值.18．(本小题满分10分)(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19. (本小题满分12分)已知命题:p 方程2260x x a a -+-=有一正根和一负根，命题:q 函数2(3)1y x a x =+-+的图像与x 轴有公共点,若命题“p q 或” 为真命题，而命题“p q 且”为假命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==，又1AC =， 120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PC AC ⊥；（2）求点B 到平面MAC 的距离．21．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2()n n S a n n N +=-∈. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若(21)(1)n n b n a =++，数列{}n b 的前n 项和为,n T 求满足不等式225621n T n -≥-的 最小n 值.22．（本小题满分13分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A 在椭圆C 上，且其离心率e =.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点()00,P x y 满足2OP OM ON →→→=+，其中,M N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，求22002x y +的值； （3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.高二数学试卷答题卷（文科）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（2）由63x ππ-<<，得22333x πππ-≤-≤∴由图像知当233x ππ-=即3x π=时，有max 112y =-=；当232x ππ-=-即12x π=-时，有min (1)11y =--=. ……………… 10分18.解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179-之间，而乙班身高集中于170180- 之间，因此乙班平均身高高于甲班. ………………2分(2) 15816216316816817017117917918217010x +++++++++==甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+-()()()()()22222170170171170179170179170182170]57.2+-+-+-+-+-=………………6分（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）,（181，176） （181，178）,（181，179）,（179，173）,（179，176）,（179，178）,（178，173） (178, 176) ,（176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；()42105P A ∴==.………………10分 19.解：∵命题:p 方程2260x x a a -+-=有一正根1x 和一负根2x∴22212(1)4(6)060a a x x a a ⎧∆=--->⎪⎨⋅=-<⎪⎩解得06a << ………………3分 ∵命题:q 函数2(3)1y x a x =+-+的图象与x 轴有公共点∴2(3)40a ∆=--≥∴1a ≤或5a ≥ ………………5分∵命题“p q 或”为真命题，而命题“p q 且”为假命题∴命题p q 和一真一假01当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，则 0615a a <<⎧⎨<<⎩15a ∴<< ………………7分 02当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，则 0615a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或06a a ∴≤≥或 ………………10分由0102可知：实数a 的取值范围为0a ≤或15a <<或6a ≥.………………12分 20.解：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．………………4分 （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵PM //＝CN ，∴MN //＝PC ，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒， ∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒= 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒= 在Rt M NH ∆中，∵MH =作NE MH ⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到 平面MAC的距离为MN NH NE MH ⋅==． ∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面 MAC．……………12分 （说明：等体积法解对同样给分）21.解：（1）因为2,1,n n S a n n =-=令解得11a =因为2,n n S a n =-所以112(1),(2,)n n S a n n n N --+=--≥∈ 两式相减得121+=-n n a a所以112(1),(2,)n n a a n n N -++=+≥∈又因为112a +=，所以{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列所以n n a 21=+，所以21nn a =-. ………………5分 （2）因为(21)21n n b n a n =+++，所以(21)2nn b n =+⋅所以231325272(21)2(21)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅①23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅ ②①—②得：231322(222)(21)2n n n T n +-=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅2122262(21)212n n n +-⨯=+⨯-+⋅-11122(21)22(21)2n n n n n +++=-+-+⋅=---⋅所以12(21)2n n T n +=+-⋅若2256,21n T n -≥-则12(21)22256,21n n n ++-⋅-≥-[高&考%资(源#] 即1822,n +≥所以18n +≥，解得7n ≥，所以满足不等式2256,21n T n -≥-的最小n 值为7. ………………13分22.解：（1）由2c e a ==及222a b c =+得22222a b c ==又点2A 在椭圆C 上 223112a b ∴+= 解得224,2a b ==故椭圆的标准方程为22142x y +=. ………………4分 （2）设()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON →→→=+，得()()()001122,,2,x y x y x y =+，2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
安徽省合肥一六八中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理宏志班201811230250
合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共60题，每题5分。
每题仅有一个正确选项。
）1．已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（ ）A．平行 B．相交C．b在平面β内 D．平行或b在平面β内2．在下列命题中，不是公理的是（ ）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．如果ac＞0，bc＞0，那么直线ax+by+c=0不通过（ ）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，] B．[，） C．（，] D．[，π）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．12π B．24π C． D．72π6．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（ ）A．B．C．D．7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是侧棱BB′的中点，则直线MC′与A′B所成的角的余弦值是（ ）A．B．C．D．8．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（ ）A． B．C． D．[1，+∞）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（ ）①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行A．1 B．2 C．3 D．410．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．411．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（ ）A．HG=2OG B．++=C．设BC边中点为D，则有AH=3OD D．S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立二、填空题（共20分，每题5分）13、已知直线1:260l ax y ++=与()22:110l x a y a +-+-=平行，则实数a 的取值是________14．球的半径为5cm ，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm 和8cm ，则这两个平面之间的距离是 cm ．15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)16．在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 上一点，且AE=1，BE=3，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱A 1D 1，DD 1分別交于F ，G 两点，则△AFG 的面积为________ 三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）17.（10分） 设直线l 的方程为(＋1)x ＋y ＋2－＝0 (∈R)． a a a (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数的取值范围． a18.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，OBC ∆的边BC 所在的直线方程是03:=--y x l ， （1）如果一束光线从原点O 射出，经直线l 反射后，经过点)3,3(，求反射后光线所在直线的方程；（2）如果在OBC ∆中，BOC ∠为直角，求OBC ∆面积的最小值．19.（12分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(Ⅰ)该几何体的体积；(Ⅱ)截面ABC的面积．20（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F，并求四面体PDEF的体积．21.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．22.（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为其中心.面面，，，是的中点，.（1）证明：面；（2）求与面所成角的正弦值.合肥一六八中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCABCBABCCCC二、填空题 13. －114. 1或7 15. 3 16. 4三、解答题17.（1）3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0；（2）a ≤－1.18（1）设点O 关于直线l 的对称点为),(00y x A ，解得⎩⎨⎧-==3300y x，所以点)3,3(-A ．因为反射后光线经过点)3,3(-A 和点)3,3(，所以反射后光线所在直线的方程为3=x ．（2）设OD 为OBC ∆的一条高，则当且仅所以，OBC ∆面积的最小值是19.（Ⅰ）过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2. 由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2， 则该几何体的体积V ＝＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6， （Ⅱ）在△ABC 中，AB ＝＝，BC ＝＝，AC＝＝2.则S△ABC＝×2×＝20.（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．21.（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．22.（1）连结，因为是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解法一：作交的延长线于，作交的延长线于，由面面知面，所以，又，所以所以面,所以面面，作，则面连结，则为与面所成角，∴，即所求角的正弦值为.解法二：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面的法向量为，则取，∴，即所求角的正弦值为.- 11 -。
安徽省合肥市一六八中学2020年高二数学理上学期期末试卷含解析
安徽省合肥市一六八中学2020年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B. 16 C.20 D. 48参考答案：B略2. 若直线（）A． B．[－1，3]C．[－3，1] D．参考答案：C3. 圆的圆心坐标和半径分别为 ( )．．．．参考答案：C略4. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A．B． C．D．参考答案：B 5. 设等比数列前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是A． B． C． D．参考答案：C6. 甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为. 7. 如图，正方体中，分别为BC, CC1中点，则异面直线与所成角的大小为参考答案：D8. 如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积（接触面积忽略不计）是（）A．32πB．36πC．40πD．48π参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个球与圆柱的组合体，分别计算其表面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个球与圆柱的组合体，球的半径为2，故表面积为：4?π?22=16π，圆柱的底面半径为2，高为6，故表面积为：2π?2?（2+6）=32π，故该几何体的表面积S=48π，故选：D【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9. 如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C.若∠ACE＝40°，则∠P＝( )A.60°B.70°C.80°D.90°参考答案：C10. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＜0，则与f（1）（e是自然对数的底数）的大小关系是（）A．＞f（1）B．＜f（1）C．≥f（1）D．不确定参考答案：A【考点】63：导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x），利用导数研究其单调性，注意到已知f′（x）+f（x）＜0，可得g（x）为单调减函数，最后由，代入函数解析式即可得答案．【解答】解：设g（x）=e x f（x），∵f′（x）+f（x）＜0，∴g′（x）=e x（f′（x）+f（x））＜0∴函数g（x）为R上的减函数；∵，∴g（m﹣m2）＞g（1）即，∴＞f（1）故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题P：“内接于圆的四边形对角互补”，则P的否命题是，非P是。
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合肥一六八中学 2020 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共 60 题，每题 5 分。
每题仅有一个正确选项。
） 1．已知 a、b 是两条平行直线，且 a∥平面 β，则 b 与 β 的位置关系是（ ）A．平行B．相交C．b 在平面 β 内D．平行或 b 在平面 β 内2．在下列命题中，不是公理的是（ ）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．如果 ac＞0，bc＞0，那么直线 ax+by+c=0 不通过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中 a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0， ]B．[ ， ） C．（ ， ] D．[ ，π）5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．12πB．24πC．D．72π6．半径为 5 的球内有一个高为 8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为 （）A．B．C．D．7．三棱柱 ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于 2，并且 AA'⊥平面 ABC，M 是侧棱 BB′的中点， 则直线 MC′与 A′B 所成的角的余弦值是（ ）A．B．C．D．8．直线 l 过点 P（1，0），且与以 A（2，1）， 斜率的取值范围是（ ）为端点的线段总有公共点，则直线 lA．B．C．D．[1，+∞）9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 CC1 的中点，F 是四边形 BCC1B1 内的动点，且 A1F∥平面 D1AE，下列说法正确的个数是（ ）①点 F 的轨迹是一条线段②A1F 与 D1E 不可能平行 ③A1F 与 BE 是异面直线 ④当 F 与 C1 不重合时，平面 A1FC1 不可能与平面 AED1 平行A．1B．2C．3D．410．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cosθ，sinθ）到直线 x﹣my﹣2=0 的距离．当 θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．411．生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，设 O、H、G 分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（ ）A．HG=2OG C．设 BC 边中点为 D，则有 AH=3ODB． + + = D．S△ABG=S△BCG=S△ACG12．如图 1，直线 EF 将矩形纸 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF，将梯形 CDEF 沿边 EF 翻 折，如图 2，在翻折的过程中（平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合）下面说法正确的是（ ）A．存在某一位置，使得 CD∥平面 ABFEB．存在某一位置，使得 DE⊥平面 ABFEC．在翻折的过程中，BF∥平面 ADE 恒成立D．在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF 恒成立 二、填空题（共 20 分，每题 5 分）13、已知直线 l1 : ax 2 y 6 0 与 l2 : x a 1 y a2 1 0 平行，则实数 a 的取值 是________ 14．球的半径为 5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为 6cm 和 8cm，则这两个平面之间的距离是cm．15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天 池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积 水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面 积；② 一尺等于十寸)16．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 AB 上一点，且 AE=1，BE=3，以 E 为球心，线段 EC 的长为半径的球与棱 A1D1，DD1 分別交于 F，G 两点，则△AFG 的面积为________三、解答题（共 70 分，每题必需要有必要的解答过程）17.（10 分） 设直线 l 的方程为( a ＋1)x＋y＋2－ a ＝0 ( a ∈R)． (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．18.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，OBC 的边 BC 所在的直线方程是 l : x y 3 0 ， （1）如果一束光线从原点 O 射出，经直线 l 反射后，经过点 (3, 3) ，求反射后光线所在直线的方程；（2）如果在 OBC 中， BOC 为直角，求 OBC 面积的最小值．19.（12 分）如图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC， 已知 A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(Ⅰ)该几何体的体积； (Ⅱ)截面 ABC 的面积． 20（12 分）.如图，已知正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G． （Ⅰ）证明：G 是 AB 的中点； （Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F，并求四面体 PDEF 的体积．21.（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD， AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值．22.（12 分）如图，在三棱锥中， 是正三角形， 为其中心.面，， 是 的中点，.面，（1）证明： 面 ； （2）求 与面 所成角的正弦值.一．选择题题号 12答案 DC合肥一六八中学 2020 学年第一学期期中考试 高二数学试题（宏志班）参考答案345678910 11 12ABCBABCCCC二、填空题 13. －1 14. 1 或 7 15. 3 16. 4 三、解答题 17.（1）3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0；（2）a≤－1.18（1）设点 O关于直线 l的对称点为A(x0 ,y0 )，由题意应有 x0 2y0 1 x0 y0 3 20，解得 x0 y03 3，所以点 A(3, 3) ．因为反射后光线经过点 A(3, 3) 和点 (3, 3) ，所以反射后光线所在直线的方程为 x 3．（2）设 OD 为 OBC 的一条高，则| OD | 3 ，设 BOD (0 ) ，可得22| BC || BD | | DC || OD | tan θ | OD | ，所以 OBC 的面积 S 1 | BC | | OD |tan θ2 1 (| OD | tan θ | OD |) | OD | 1 2 | OD | tan θ | OD | | OD || OD |2 9 ， 当 且 仅2tan θ2tan θ2当 时，等号成立． 4所以， OBC 面积的最小值是 9 ． 219.（Ⅰ）过 C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C，交 AA1，BB1 分别于点 A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2，则该几何体的体积 V＝＝ ×2×2×2＋ × ×(1＋2)×2×2＝6，（Ⅱ）在△ABC 中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2 .则 S△ABC＝ ×2 ×＝20.（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影，∴PD⊥平面 ABC，则 PD⊥AB，又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，∴DE⊥面 PAB，则 DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面 PDE，连接 PE 并延长交 AB 于点 G，则 AB⊥PG，又 PA=PB，∴G 是 AB 的中点；（Ⅱ）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影．∵正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥PA，EF⊥PC，因此 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．连结 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心．由（Ⅰ）知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD= CG．由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，因此 PE= PG，DE= PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6，可得 DE=2，PG=3 ，PE=2 ． 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2． 所以四面体 PDEF 的体积 V= ×DE×S△PEF= ×2× ×2×2= ．21.（1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD． ∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD 是直角三角形， ∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又 DO∩AC=O，∴OB⊥平面 ACD． 又 OB⊂ 平面 ABC， ∴平面 ACD⊥平面 ABC．（2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE．则 = ．∵平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，∴= = =1．∴点 E 是 BD 的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2．则 O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E．=（﹣1，0，1）， =， =（﹣2，0，0）．设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z），则，即，取 =．同理可得：平面 ACE 的法向量为 =（0，1， ）．∴cos===﹣ ．∴二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值为 ．22.（1）连结 ，因为 是正三角形 的中心，所以 在 上且，又，所以在 中有，所以，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）解法一：作交 的延长线于 ，作交 的延长线于 ，由面面 知 面 ，所以，又，所以所以 面 ,所以面面 ，作，则 面连结 ，则 为 与面 所成角，∴，即所求角的正弦值为 .解法二：以 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，∴，，，.设面 的法向量为，则取，∴，即所求角的正弦值为.。