天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：三角函数
2017版数学(文)大一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.6 含答案
1.公式的常见变形(1)1＋cos α＝2cos2错误!;1－cos α＝2sin2错误!;(2)1＋sin α＝(sin错误!＋cos错误!)2;1－sin α＝（sin错误!－cos错误!)2。
(3)tan 错误!＝错误!＝错误!.2。
辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋φ），其中sin φ＝错误!,cos φ＝错误!.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.（×）(2)设α∈(π，2π）,则错误!＝sin错误!.（×)(3)在非直角三角形中有:tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C。
（√）(4）设错误!<θ<3π，且｜cos θ｜＝错误!，那么sin错误!的值为错误!。
（×）(5）公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.（×）1.计算错误!的值为（)A。
－2 B。
2 C。
－1 D.1答案D解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1，选D。
2。
错误!的值为（）A.1 B。
－1 C.错误!D。
－错误!答案D解析原式＝错误!＝错误!＝－错误!.3.（教材改编)sin 15°－3cos 15°＝________.答案－错误!解析sin 15°－错误!cos 15°＝2sin（15°－60°）＝－2sin 45°＝－错误!。
4。
若f(x)＝2tan x－错误!，则f错误!的值为______.答案8解析∵f(x）＝2tan x＋错误!＝2tan x＋错误!＝错误!＝错误!,∴f错误!＝错误!＝8.5。
若锐角α、β满足(1＋错误!tan α）（1＋错误!tan β)＝4,则α＋β＝________.答案错误!解析由(1＋错误!tan α）（1＋错误!tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3,即tan(α＋β)＝错误!.又α＋β∈（0，π),∴α＋β＝错误!.题型一三角函数式的化简与求值例1 (1）化简:错误!＝________。
专题17 同角三角函数的基本关系与诱导公式(押题专练)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料(解析版)
1．cos2 015°＝( )A ．sin35°B ．－sin35°C ．sin55°D ．－sin55°解析：cos2 015°＝cos(5×360°＋215°)＝cos215°＝cos(270°－55°)＝－sin55°. 答案：D2．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A.－1±52B.3＋12 C.5－12D.3－12答案：C3．(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝( )A ．tan xB ．sin xC ．cos xD.1tan x解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x .答案：D4．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 013)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ． 3D ．－3解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.答案：D5．若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1答案：A6．已知θ为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247D.247解析：由已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210得sin θ－cos θ＝15，再由θ为锐角且sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝45，cos θ＝35，所以tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－169＝－247，故选C. 答案：C7．已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22B. 2 C ．－22D ．－ 2解析：∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3.∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3.∴2tan 2α－22tan α＋1＝0. ∴tan α＝22，故选A. 答案：A8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．若点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫35，45和⎝⎛⎭⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A ．－2425B ．－725C ．0D.2425答案：A9．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.答案：D10．已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－ 3解析：∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， ∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，∴m ＝－32，∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0， 即sin θ－cos θ>0.∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32，∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32. 答案：B11．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值等于________． 解析：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32. 答案：－3212．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：013．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是________．答案：3101014．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________． 解析：由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝513，∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝513. 答案：51315．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．∵－π2<α<0，∴⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.16．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 010＋f ⎝⎛⎭⎫502π1 050的值．。
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
(通用版)2017版高考数学一轮复习 阶段规范强化练4 三角函数、恒等变换及解三角形
阶段规范强化练(四) 三角函数、恒等变换及解三角形一、选择题1．(2016·安阳模拟) 已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x －1＋2cos 2x ，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 C ．f (x )是最小正周期为π的奇函数D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象【解析】 因为f (x )＝23sin(π－x )·cos x －1＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，可以排除A ，C ，D ，故选B. 【答案】 B2．(2015·宿州模拟)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )A.35B.53C.58D.85【解析】 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝25＋AC 2－492·5·AC ＝－12.∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得3sin B ＝5sin C，∴sin B sin C ＝35，故选A. 【答案】 A3．(2016·广东六校联考)已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2【解析】 ∵sin α＋cos α＝2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.【答案】 D4．(2015·丹东模拟) 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π【解析】 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3的图象关于y轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4上递减，故选C. 【答案】 C5．(2016·东北师大附中模拟)已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图1所示，则f (x )的表达式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋258π 【解析】 由图象，得3T 4＝5π6＋π6＝π，即T ＝2πω＝4π3，解得ω＝32.因为函数的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫5π6，2，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×5π6＋φ＝2，即5π4＋φ＝5π2， 解得φ＝5π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4，故选B. 【答案】 B6．(2016·云南师大附中模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝( ) A.45 B.725 C.925D.1625【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.【答案】 B 二、填空题7．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．【解析】 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→向右平移φ个单位 g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －φ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ， 关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2，∴φ＝－k 2π－π8(k ∈Z )， 显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8.【答案】3π88．如图2所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离20 2 海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．图2【解析】 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485 海里/小时．【答案】 485 三、解答题9．(2015·龙岩模拟)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：(1)求x 1，x 23(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上的最小值． 【解】 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π，可得ω＝12，φ＝－π3.由12x 1－π3＝π2；12x 2－π3＝3π2；12x 3－π3＝2π， 得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3.又∵A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×5π3－π3＝2，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.(2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向左平移π个单位，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象， ∴y ＝f (x )·g (x )＝2×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3时，x －2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，π， ∴当x －2π3＝－π2时，即x ＝π6时，y min ＝－2.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋bc＝A ＋Ccos C.(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝2，求使△ABC 面积最大时a, b 的值．【解】 (1)∵cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ，由题意及正弦定理，得 2sin A ＋sin B sin C ＝－cos Bcos C，即2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋cos B sin C )＝－sin(B ＋C )＝－sin A ， ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos C ＝－12.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)由余弦定理，得4＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即4＝a 2＋b 2＋ab .∴4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab . ∴4≥3ab ，ab ≤43.(当且仅当a ＝b 时成立)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab .∴当a ＝b 时，△ABC 面积最大为33，此时a ＝b ＝233. 故当a ＝b ＝233时，△ABC 的面积最大为33.。
2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.4 含答案
1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。
天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：导数及其应用
天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练导数及其应用一、选择、填空题1、（2016年天津市高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.2、（2015年天津市高考）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．3、（天津市八校2016届高三12月联考）函数1()2f x x x=+在1x =处切线的倾斜角是 4、（和平区2016届高三第四次模拟）若函数()()42,13f x ax bx x f '=+-=，则()1f '-的值为______．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））函数()e x f x =x 在点(1(1))f -，-处的切线方程为 ．6、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数)(x f 为偶函数，且)0(,1)(2>-=x xx x f ，则=-')1(f7、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））若曲线x a x f cos )(=与曲线1)(2++=bx x x g 在交点0(，)m 处有公切线，则=+b a .8、（天津市和平区2016届高三下学期第二次质量调查）若函数)11(1)(+--+=x x a x x f 在1=x 处取得极值,则实数a 的值为 .9、已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 10、已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2二、解答题1、（2016年天津市高考）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈,（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.2、（2015年天津市高考）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调性；（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证：1321-43a x x <-+.3、（天津市八校2016届高三12月联考）已知函数32()ln ,()2f x x x g x x ax x ==+-+ （Ⅰ）若函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()g x 的图像在点(1,1)P -处的切线方程； （Ⅲ)若不等式'2()()2f x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.4、（和平区2016届高三第四次模拟）已知函数()()2xf x ax x e =-．（Ⅰ）若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]1,1-上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）函数()f x 是否可为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三）） 已知函数()ln f x ax b x =+-（其中a b ∈R ，）表示的曲线在点(2(2))f ，处的切线方程为22ln 20x y --=．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）若()2f x kx -≥对于(0)x ∈+∞，恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）求证：当*n ∈N 时，e 1(1)2e 1n n n -+-≤．6、（河北区2016届高三总复习质量检测（一）） 已知函数32()=f x ax x ax +-，其中a ∈R 且0a ≠． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求函数()3()ln f x g x =x x a-的单调区间； （Ⅲ）若存在(1]a ∈∞，--，使函数()()()[1](>1)h x =f x f x x b b '+∈，-，-在1x=-处 取得最小值，试求b 的最大值．7、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数x x ae x ae x f xx+--=2212)(． （1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-a x f x f 恒成立，求a 的范围．8、（河西区2016届高三第二次模拟）已知函数xxa x f ln )(+=，曲线)(x f 在点（e ，)(e f ）处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若)(x f 在（m ，1+m ）上存在极值，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：当1>x 时，>+1)(e x f ）1)(1(21++-x x xe x e .9、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））设函数)1()(+=x ae x f x （其中 28718,2=e ），2)(2++=bx x x g ，已知它们在0=x 处有相同的切线.（Ⅰ）求函数)(x f ，)(x g 的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f 在t [，]1+t （3->t ）上的最小值；（Ⅲ）若对2-≥∀x ，)()(x g x kf ≥恒成立，求实数k 的取值范围.10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处切线的斜率12k =-，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若2()1xf x x x '++≥，求a 的取值范围.11、（红桥区2016届高三上学期期中检测）已知：已知函数3211()232f x x x ax =-++，（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线的斜率为6-，求实数a ；（Ⅱ）若1a =，求()f x 的极值； （Ⅲ）当02a <<时，()f x 在[]1,4上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值．12、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）已知函数()x x f ln =（Ⅰ）若曲线()()xax f x g +=在2=x 处的切线与直线04=+y x 平行，求a 的值； （Ⅱ）求证：函数()()()112+--=x x x f x ϕ在(0,)+∞上为单调增函数； （III ）若斜率为k 的直线与)(x f y =的图像交于A 、B 两点，点()00,y x M 为线段AB 的中点，求证：10>kx .13、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））已知函数x ax x f ln 1)(--=.（R a ∈）（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若函数)(x f 在x=2处的切线斜率为12，不等式2)(-≥bx x f 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n ∈N ，n≥2有：222222222ln 2ln3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ .14、（武清区2016届高三5月质量调查（三））已知函数()xxx r +-=11， （1）若()()x x r x f ln =，求函数()x f 的单调区间和最大值；（2）若()()x ar xx f ln =，且对任意)1,0(∈x ,恒有2)(-<x f ,求实数a 的取值范围.参考答案一、填空、选择题 1、【答案】3 【解析】试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴= 2、【答案】3 【解析】试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 3、4π 4、－5 5、1=ey - 6、－3 7、1 8、2 9、2y x = 10、D二、解答题1、（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得33a x =或33a x =-. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：x3(,)3a-∞-33a -33(,)33a a -33a3(,)3a-+∞ ()f x ' +-0 +()f x单调递增极大值 单调递减极小值单调递增所以()f x 的单调递减区间为33(,)33a a -，单调递增区间为3(,)3a -∞-，3(,)3a -+∞. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠.由题意得200()30f x x a '=-=，即203a x =，进而300002()3a f x x ax b x b =--=--， 又3000000082(2)822()33a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠， 由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-， 所以10+2=0x x .（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论： ①当3a ≥时，331133a a-≤-<≤，由（1） 知()f x 在区间[1,1]-上单调递减， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=---+-max{|1|,|1|}a b a b =-+--1,0,1,0,a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩ 所以1||2M a b =-+≥. ②当334a ≤<时，233323113333a a a a -≤-<-<<≤， 由（1）和（2） 知233(1)()()33a a f f f -≥-=，233(1)()()33a af f f ≤=-， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33[(),()]33a af f -， 所以3322max{|(|,|()|}max{|3|,|3|}3399a a a af f a b a b -=--- 2222331max{|3|,|3|}3||39999444a a a ab a b a b =+-=+≥⨯⨯⨯=. ③当304a <<时，23231133a a-<-<<，由（1）和（2）知，233(1)()()33a a f f f -<-=，233(1)()()33a af f f >=-， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=-+---max{|1|,|1|}a b a b =-+-- 11||4a b =-+>. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[1,1]-上的最大值不小于14. 2、【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试题解析. 【解析】试题解析：（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.3、解：（Ⅰ）'2()321g x x ax =+-函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3- 13∴-和1是方程'()0g x =的两个实根 1213311133a ⎧-+=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩ 13a ∴=-32()2g x x x x ∴=--+ （Ⅱ）32'2()2()321g x x x x g x x x =--+∴=--'(1)4k g ∴=-=∴切线方程为：14(1)y x -=+ 即450x y -+= （Ⅲ) 不等式'2()()2f x g x ≤+恒成立 22ln 3212x x x ax ∴≤+-+恒成立122ln 3a x x x ∴≥--恒成立 设12ln 3y x x x=--问题转化为 max 2a y ≥max 4y =-242a a ∴≥-∴≥-4、解：（Ⅰ）当2a =时，()()2xf x ax x e =-，()()()()222222x x x f x x e x x e x e '=-+-=-．……………………………………2分令()0f x '≤，即220x -≤，解2x ≤-或2x ≥．…………………………………3分所以()f x 的单调递减区间是(,2⎤-∞-⎦和)2,⎡+∞⎣．………………………………4分（Ⅱ）因为函数()f x 在(]1,1-上单凋递增， 所以()0f x '≥对于(]1,1x ∈-都成立，即()()220xf x a a x x e '⎡⎤=+--≥⎣⎦对于(]1,1x ∈-都成立，故有221111x x a x x x +≥=+-++．…………………………………………………6分 令()111g x x x =+-+，则()()21101g x x '=+>+恒成立， 故()g x 在(]1,1-上单调递增，则()()max 312g x g ==，……………………………8分 所以a 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………………………9分（Ⅲ）假设()f x 为R 上的单调函数，则为R 上单调递增函数或为R 上单调递减函数． ①若函数()f x 在R 上单凋递增，则()0f x '≥对于x R ∈都成立，即()220x a a x x e ⎡⎤+--≥⎣⎦恒成立，因为0xe >，所以()220x a x a ---≤对于x R ∈都成立，而函数()()22h x x a x a =---的图象是开口向上的抛物线，则()220x a x a ---≤不可能恒成立，所以()f x 不可能为R 上的单调递增函数．……………………………………11分②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤对于x R ∈都成立，即()220x a a x x e ⎡⎤+--≤⎣⎦恒成立，因为0xe >，所以()220x a x a ---≥对于x R ∈都成立，故有()2240a a ∆=--≤，整理，得240a +≤，显然不成立．所以()f x 不可能为R 上的单调递减函数，……………………………………13分 综上，可知函数()f x 不可能为R 上的单调函数．……………………………14分 5、 解：（Ⅰ）∵()ln f x ax b x =+-，∴1()f x a x'=-．又曲线在点(2(2))f ，处的切线方程为22ln 20x y --=，∴11(2)22f a '=-=，(2)2ln 21ln 2f a b =+-=-． ∴1l a b ==-，． …………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()1ln f x x x =--，()2f x k x -≥对于(0)x ∈+∞，恒成立， 即1ln 2x x kx ---≥在(0)+∞，上恒成立，也即1ln x xk x +-≤在(0)+∞，上恒成立． 设1ln ()(0)x xg x x x+-=>，2ln 2()x g x x -'=． 令()0g x '=，得2e x =．由()0g x '<得，20e x <<；由()0g x '>得，2e x >，∴()g x 在2(0e )，内单调递减，在2(e )+∞，内单调递增． ∴min (())g x =221(e )1e g =-． ∴211e k -≤． ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知21ln 1()ex x g x x +-=-≥1，即2e (ln 1)x x -≥． 令2e t x +=，得22e e ()t t +≥+1，即e t t ≥+1． ∴0121e +e e e +2+3++n n -++ +≥1，即 1e (1)1e 2n n n -+-≥， ∴e 1(1)2e 1n n n -+-≤*()n ∈N ． ……………14分6、 解：（Ⅰ）当1a =时，32()+f x x x x =-，∴2()3+21(1)(31)f x x x x x '=-=+-． …… 2分令()0f x '=，得1x =-或13x =．列表讨论'()f x 和()f x 的变化情况：∴ 当1x =-时，()f x 取得极大值(1)1f =-，当13x =时，()f x 取得极小值15()327f =-． ……4分（Ⅱ）∵2()33()ln ln f x g x =x =ax x a x x a a+---，∴()g x 的定义域为(0)+∞，，22323()21a x ax g x =ax ax ax+'+=--2132()()2(0)a x x a a a ax +=≠-． ……5分（1）当0a >时，由()0g x '>，解得1x a >， 由()0g x '<，解得10x a <<，∴()g x 在1(0)a，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增；……7分（2）当0a <时，由()0g x '>，解得302x a<<-， 由()0g x '<，解得32x a >-，∴()g x 在3(0)2a-，上单调递增，在3()2a -+∞，上单调递减．…9分（Ⅲ）∵2()=3+2f x ax x a '-，∴32()=+(3+1)+(2)h x ax a x a x a --．由题意知，()(1)h x h ≥-在区间[1]b -，上恒成立．即2(+1)[(21)(13)]0x ax a x a +++-≥． ① ……10分 当1x =-时，不等式①成立；当1x b -<≤时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a +++-≥． ② ……11分 令2()(21)(13)F x =ax +a+x+a - ∵1a ≤-，(1)40F a -=->，∴2()(21)(13)0F b ab a b a =+++-≥， ……12分 即2+231+1b b b a-≤-．x 1-∞(，-) 1- 113(-，） 1313∞（，+） '()f x ＋ 0 － 0＋ ()f x 极大值 极小值由题意，只需2max +231()=1+1b b b a-≤-．解得1171+1722b ---≤≤， ……13分又1b >-， ∴ 1+1712b -<-≤．∴max 1+172b -=． ……14分7、（1）)( 1)(R x x ae x ae x f x x ∈+--='切线斜率1)2(2-='ae f ， 0)2(=f切线方程0)1(2)1(22=----ae y x ae ……4分（2）令0)(='x f ，0)1)(1(=--x ae x 即)0(1ln,143>==a ax x 当(]0,∞-∈a 时，)(x f 在()1,∞-上为增函数，在),1(+∞上为减函数当⎪⎭⎫ ⎝⎛=e a 1,0时， )(x f 在),1(ln),1,(+∞-∞a上为增函数， 在)1ln ,1(a上为减函数当e a 1=时，)(x f 在R 上恒为增函数 当),1(+∞∈e a 时，)(x f 在),1(),1ln ,(+∞-∞a上为增函数，在)1,1(ln a上为减函数 ……10分（3）由已知)()(12x f x f -在[]1,0上的最大值小于等于1+a当]1,(ea -∞∈时， )(x f 在[]1,0上单调递增)()(12x f x f -的最大值为1212)0()1(+≤+-=-a ae a f f 解为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∈,)1(21e a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴e e a 1,)1(21 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,1e a 时，)(x f 在)1ln ,0(a上为增函数，在)1,1(lna上为减函数 )()(12x f x f -的最大值为)0()(4f x f -或)1()(4f x f -122221)0()(4244+≤+-+-=-a a x x f x f 即3221424+-≤x x a⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,1e a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-3,233221424x x （[]1,04∈x ）恒成立1212221)1()(4244+≤-+-+-=-a ae x x f x f即27221)1(424+-≤-x x e a⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-27,227221424x x （[]1,04∈x ）恒成立 ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴1,1e a 当[)+∞∈,1a 时，)(x f 在[]1,0上单调递减)()(12x f x f -的最大值为1212)1()0(+≤-+-=-a ae a f f 解为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∈,)3(23e a [)+∞∈∴,1a 成立 综上所述⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∈,)1(21e a ……14分 8、（Ⅰ）解：2ln 1)('xxa x f --=，0>x ， 由已知21)('e e f -=，所以221ee a -=-，得1=a ，…………2分所以x xx f ln 1)(+=，2ln )('xx x f -=，当0(∈x ，)1时，0)('>x f ，)(x f 为增函数； 当1(∈x ，)∞+时，0)('<x f ，)(x f 为减函数，所以1=x 是函数)(x f 的极大值点，又)(x f 在（m ，1+m ）上存在极值， 所以11+<<m m ，即10<<m ， 实数m 的取值范围是0(，)1.…………6分（Ⅱ）>+1)(e x f ）1)(1(21++-xx xe x e 即为⋅+11e x x x )1)(ln 1(++121+>-x x xe e ， 令xx x x g )1)(ln 1()(++=，则2ln )('x x x x g -=，再令x x x ln )(-=ϕ，则xx x 1)('-=ϕ，因为1>x ，所以0)('>x ϕ，)(x ϕ在1(∈x ，)∞+上为增函数，所以01)1()(>=>ϕϕx ，所以0)('>x g ，)(x g 在1(∈x ，)∞+上为增函数， 所以1>x 时，2)1()(=>g x g ，故121)(+>+e e x g ， …………9分令12)(1+=-x x xe e x h ，则21)1()1(2)('+-=-x x x xe e e x h ，因为1>x ，所以01<-x e ，所以0)('<x h ，)(x h 在1(∈x ，)∞+上为减函数， 所以1>x 时，12)1()(+=<e h x h ， …………12分所以)(1)(x h e x g >+，即>+1)(e x f ）1)(1(21++-x x xe x e . …………14分9、（Ⅰ）解：)2()('+=x ae x f x ，b x x g +=2)('， 由题意，两函数在0=x 处有相同的切线， 因为a f 2)0('=，b g =)0('， 所以b a =2，2)0()0(===g a f ， 所以2=a ，4=b ，所以)1(2)(+=x e x f x ，24)(2++=x x x g .…………3分（Ⅱ）解：)2(2)('+=x e x f x ，由0)('>x f 得2->x ；由0)('<x f 得2-<x ， 所以)(x f 在2(-，)∞+上单调递增，在-∞(，)2-上单调递减， 因为3->t ，所以21->+t ，当23-<<-t 时，)(x f 在t [，]2-上单调递减，在2[-，]1+t 上单调递增， 所以2min 2)2()(--=-=e f x f .当2-≥t 时，)(x f 在t [，]1+t 上单调递增， 所以)1(2)()(min +==t e t f x f t ，所以⎩⎨⎧+-=-),1(2,2)(2min t e e x f t 223-≥-<<-t t ，…………7分（Ⅲ）解：令)()()(x g x kf x F -=24)1(22---+=x x x ke x ， 由题意知当2-≥x 时，0)(min ≥x F ，因为2-≥∀x ，)()(x g x kf ≥恒成立， 所以022)0(≥-=k F ，所以1≥k .…………8分x x ke x ke x f 2)1(2)('++=)1)(2(242-+=--x ke x x ，因为2-≥x ，由0)('>x f ，得k e x 1>，所以kx 1ln >； 由0)('<x f ，得k x 1ln<， 所以)(x F 在-∞(，]1ln k 上单调递减，在k1[ln ，)∞+上单调递增， …………10分①当21ln -<k，即2e k >时，)(x F 在2[-，)∞+上单调递增，2min 2)2()(--=-=ke F x F 0)(2222<-=+k e e，不满足0)(min ≥x F .②当21ln -=k，即2e k =时，由①知，=-=)2()(min F x F 0)(222=-k e e ，满足0)(min ≥x F .③当21ln ->k，即21e k <≤时，)(x F 在2[-，]1ln k 上单调递减，在k 1[ln ，)∞+上单调递增，==)1(ln )(min kF x F 0)ln 2(ln ≥-k k ，满足0)(min ≥x F . …………13分综上所述，满足题意的实数k 的取值范围为1[，]2e . …………14分10、解：（Ⅰ）因为221()ax a f x x++'=，311(1)12a f +'==-解得：12a =-.---------------------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,+∞), 221()ax a f x x++'=，当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；----------------------------5分 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；----------------------------6分 当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x =12a a+-. 当x ∈(0,12a a+-)时, ()f x '＞0；单调增， x ∈(12a a+-，+∞)时，()f x '＜0, 单调减--------------------------------------------10分 （Ⅲ）22()211xf x ax a x x '=++++≥，得：2221x xa x ++≥ ------------------------------------------------11分令22(),(0)21x xg x x x +=>+则2222222(21)(21)4()221()(21)(21)x x x x x x x g x x x ++-+-++'==++，当1302x +<<时，()g x 单调递增， 当132x +>时，()g x 单调递减， 所以，max 1313()()24g x g ++==， -----------------------------------------------13分 故134a +≥.------------------------------------------------14分 11、解：（Ⅰ）因为2()2f x x x a '=-++，曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线的斜率(2)22k f a '==-，-------------3分 依题意：226,2a a -=-=-. -------------4分（Ⅱ）当1a =时，3211()232f x x x x =-++， 2()2(1)(2)f x x x x x '=-++=-+-----5分x(,1)-∞-1-(1,2)-2(2,)+∞()f x '- 0+ 0- ()f x单调减76- 单调增103单调减所以，()f x 的极大值为103，()f x 的极小值为76-. ---------------------------------------10分 （Ⅲ）令()0f x '=，得11182a x -+=，21182ax ++= ()f x 在12(,),(,)x x -∞+∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，当02a <<时，有1214x x <<<，所以()f x 在[]1,4上的最大值为2()f x ，(4)(1)f f <，所以()f x 在[]1,4上的最小值为4016(4)833f a =-=-，解得：21,2a x ==. 故()f x 在[]1,4上的最大值为10(2)3f =. -------------------14分 12、解：(1) ()()x a x f x g += =x a x +ln (0x >)，()21xax x g -='(0x >) …………2分 ()414212-=-='a g ， …………3分解得3=a …………4分 (2) ()()()112+--=x x x f x ϕ ()112ln +--=x x x (0x >) ()()()()2112121+--+-='x x x x x ϕ …………5分 ()()()2211+-='x x x x ϕ 0≥ …………6分 所以函数()()()112+--=x x x x f ϕ在(0,)+∞上为单调增函数； …………7分(3)设点)ln ,(m m A ，)ln ,(n n B ，不妨设0m n >>，则1mn>． 要证10>kx ，即1ln ln 2>--⋅+nm nm n m …………8分 即证2ln ln nm n m n m -<+-．只需证2ln11n m nm nm <+-, …………9分 即证2(1)ln 1m m n m n n->+． 只需证2(1)ln 01m m nm n n -->+． …………10分 设2(1)()ln 1x h x x x -=-+． …………11分由(2)知()h x 在[)∞+，1上是单调增函数，又1mn>，…………12分所以()(1)0mh h n >=．即2(1)ln 01m m n m n n-->+ ，…………13分 即2ln ln nm n m n m -<+-． 所以不等式10>kx 成立. …………14分 13、解：（1） 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x a x f 11)(-=-=' ………………1分当0≤a 时，01<-ax ，从而0)(<'x f ，故函数)(x f 在),0(+∞上单调递减 …………2分 当0>a 时，若ax 10<<，则01<-ax ，从而0)(<'x f ， …………3分 若ax 1>，则01>-ax ，从而0)(>'x f ， …………4分 故函数)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在),1(+∞a上单调递增； …………5分（Ⅱ）求导数：1()f x a x'=-， ∴11(2)22f a '=-=，解得a=1． …………6分 所以2)(-≥bx x f ，即2ln 1-≥--bx x x ，由于0>x ，即xx x b ln 11-+≤. …………7分 令x x x x g ln 11)(-+=，则2222ln ln 11)(xx x x x x g -=---=' 当20e x <<时，0)(<'x g ；当2e x >时，0)(>'x g∴)(x g 在),0(2e 上单调递减，在),(2+∞e 上单调递增； …………9分故22min 11)()(ee g x g -==，所以实数b 的取值范围为]11,(2e --∞ …………10分 （3）证明：由当1a = ，1x > 时，11()10x f x x x-'=-=> ，()f x 为增函数， (1)0f = ()1ln 0f x x x ∴=--> 即ln 1x x <- …………11分 ∴当2n ≥时，221lnn n ＜﹣， …………12分 2222ln 111111(1)1n n n n n n n n -∴<<-=-+++ …………13分 22222222ln 2ln 3ln 4ln 111111(1)(1)(1)23423341n n n n ++++<-++-+++-++211211212(1)n n n n n --=--+=++ ∴222222222ln 2ln 3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ （*2n N n ∈≥， ）． …………14分14、（1）()x x xx f ln 11+-=，定义域为()∞+,0，………………………1分 ()()()x x xx x x f +-++-='11ln 122………………………2分易知，当1=x 时，()0='x f ，………………………3分 当1>x 时，()()()011ln 122<+-++-='x x xx x x f ，函数()x f 的减区间为()∞+,1……4分当10<<x 时，()()()011ln 122>+-++-='x x xx x x f ，函数()x f 的增区间为()1,0……5分所以，1=x 是函数()x f 的极大值点，也是最大值点，最大值为()01=f ．………………6分（2）已知函数x x a x x f ln )1(1)(-+=，显然0≠a ，∵ )1,0(∈x ，∴0ln 11<-+x xx．当0<a 时，0)(>x f ，不合题意．………………………8分 当0>a 时，由2)(-<x f 可得，01)1(2ln <+-+xx a x ，设=)(x g x x a x +-+1)1(2ln ， 则22)1(1)42()(x x x a x x g ++-+='，………………………9分 设1)42()(2+-+=x a x x h ，则)1(16-=∆a a若]1,0(∈a ，则0≤∆，0)(≥x h ，0)(≥'x g ，∴)(x g 在)1,0(内单调递增，又0)1(=g ，∴ 0)1()(=<g x g ∴10≤<a 符合题目要求；………………………11分 若),1(∞+∈a ，则0>∆，∵01)0(>=h ，0)1(4)1(<-=a h ， ∴存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x h ．………………………12分对任意)1,(0x x ∈，∵0)(<x h ，∴0)(<'x g ，则)(x g 在)1,(0x 内单调递减，又0)1(=g ∴当)1,(0x x ∈时，()01)(=>g x g ，不合题目要求．………………………13分 综上,，实数a 的取值范围是10≤<a ．………………………14分。
天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：平面向量 Word版含答案
天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练平面向量一、选择、填空题1、（2016年天津市高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ∙的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）8112、（2015年天津市高考）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 ．3、（天津市八校2016届高三12月联考）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为（ D ） A 、12 B 、14 C 、23D 、134、（和平区2016届高三第四次模拟）已知D 是ABC ∆的边AB 上一点，若2CD CA CB λλ=+ ，其中01λ<<，则λ的值为______．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））已知ABC ∆是边长为EF为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM ⋅的最大值为____________ 6、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））已知ΔABC 中，AB =AC ，=4BC ，90BAC =∠︒，3BE EC =，若P 是BC 边上的动点，则AP AE ⋅ 的取值范围是______________． 7、（河东区2016届高三第二次模拟）如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD ,4=BC ，点E 为AC 的中点，152DC BE ∙ ＝，则AB 的长度为( )A ．2B ．23C ．2D ．38、（河西区2016届高三第二次模拟）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AD AB ⊥，4==AD AB ，2=BC ，若P 为线段CD 上一点，且满足DC DP λ=，5=⋅PB PA ，=9、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））如图所示，在ABC ∆中，DB AD =，点F 在线段CD 上，设=a ，=b ，x =a y +b ，则yx 41+的最小值为 （A ）226+ （B ）39 （C ）9（D ）246+A10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数k 值为（A ）13-（B ）119（C ）11 （D ） 1911、（红桥区2016届高三上学期期中检测）已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =（A ）8 （B ）2 （C ）2- （D ）8-12、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）如图在长方形ABCD中，AB =2AD =，O 为AB 的中点，若P 是线段DO 上动点，则()PA PB PD +⋅的最小值是▲13、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）在直角梯形中ABCD 中，已知CD AB //，3=AB ，2=BC ，060=∠ABC ，动点F E ,分别在线段BC 和CD 上，且BE BC λ= ，2DC DF λ= ，则AE AF ⋅的最小值为14、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））在平行四边形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，0120=∠ABC ，平面ABCD 内有一点P ，满足5=AP ，若),(R ∈+=μλμλ，则μλ+2的最大值为（ ）A ．35 B ．3 C ．453 D ．61515、（武清区2016届高三5月质量调查（三）） 在ABC ∆中，DE AB AE BC BD AC AB BAC ,31,31,2,1,900=====∠的延长线交CA 的延长线于点F ，则⋅的值为16、（红桥区2016届高三上学期期中检测）如图，在三角形ABC 中，已知2AB =，3AC =，BAC θ∠=，点D 为BC 的三等分点．则AD BC ⋅的取值范围为（A ）1113,33⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ） 17,33⎛⎫⎪⎝⎭（C ）555,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（D ）57,33⎛⎫- ⎪⎝⎭二、解答题1、已知向量,1)m x - ，2(sin ,cos )n x x＝，函数1()2f x m n ⋅+ ＝.(1)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，()33=x f ，求x 2cos 的值;(2)在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别是c b a ,,，且满足a c A b 32cos 2-≤，求()B f 的取值范围。
高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号sinαR＋ ＋ － － cosR＋－－＋αtanα{α|α≠k π＋π2，k ∈Z } ＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)．重点难点突破 【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的X 围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）A．1B．4C．1或 4D．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．故选：C．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2 三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a ＝sin ，b ＝cos ，c ＝tan ，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：因为，所以cos sin ，tan 1，所以b ＜a ＜c ． 故选：A ．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的X 围．基础知识训练1．【某某省某某市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()2,3-，则（ ）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A【解析】由任意角的三角函数定义可知：3 tan2θ=-本题正确选项：A2．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P的坐标为，则sinα的值为（）A．12B．1-2C3D．3【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【某某省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值X 围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴，由sinα+cosα2=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k∈Z，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k∈Z． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【某某省示X 高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D. 7．【某某某某市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ．A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C．9．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的X围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的X围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【某某省某某市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【某某省某某市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届某某省某某市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．【答案】43310-+ 【解析】解：∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母除以cos α，则原式故答案为：5．16．【某某省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e -表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】由题e -3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3i e -表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三17．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2l rα，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【某某市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}；(2) {α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}. 【解析】(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.能力提升训练1．【某某省某某市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A （cos ，sin ），即A （），且cos （α），sin （α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin （α）cos cos （α）sin，故选：D ．2．【某某省某某实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，若，那么ABC∆是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A．3．【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，4．则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【某某省某某市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】 ∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴23x，则2x =-，故选：C ．6．【某某省某某市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】C 【解析】根据题意，，且123π<<，则.故选：C ．7．【某某省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π 【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】 因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【某某省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），∴sinα=则sinα+cosα=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.5 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β）) cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β））sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S（α－β)) sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S（α＋β)) tan（α－β)＝错误!(T（α－β）)tan(α＋β)＝错误!(T(α＋β）)2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α。
3．公式的逆用、变形等（1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2）cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；(3）1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2,1－sin 2α＝（sin α－cos α）2，sin α±cos α＝2sin错误!.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √）（2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)（3）公式tan（α＋β)＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)（1－tan αtan β）,且对任意角α，β都成立．( ×）（4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.（√）（5）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（√）1．化简错误!等于（）A．1 B.错误!C。
错误!D．2答案C解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
2．若错误!＝错误!，则tan 2α等于( )A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案B解析由错误!＝错误!，等式左边分子、分母同除cos α得，错误!＝错误!,解得tan α＝－3,则tan 2α＝错误!＝错误!.3．（2015·重庆)若tan α＝错误!，tan(α＋β）＝错误!,则tan β等于（) A。
大高考2017版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4节三角恒等变换模拟创新题理201608300356
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角恒等变换模拟创新题 理一、选择题1.(2016·广东揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则sin 2x ＝( )A.－35B.105C.35D.1解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，所以tan x ＝13，则sin 2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝35.答案 C2.(2015·安徽淮北一模)sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A.2B.22C. 2D.12解析 sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.答案 D3.(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A. 答案 A4.(2014·山东实验中学月考)若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A.5B.－1C.6D.16解析 令sin αcos β＝m ，cos αsin β＝n ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝12，m －n ＝13，解得m ＝512，n ＝112. ∴tan αtan β＝m n ＝5，故选A. 答案 A5.(2016·开封二模)若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A.－15B.－12C.15D.12解析 若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos θ＋2sin θ＝0，即 tan θ＝－12.故cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·河南豫东豫北模拟)已知sin α＝3cos α，则cos 2α1＋sin 2α＝ .解析 由sin α＝3cos α得tan α＝3.所以cos 2α1＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12.答案 －127.(2014·山东滨州5月)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝ .解析 法一 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，得sin α＋cos α＝12213，两边平方，得1＋2sin αcos α＝288169，∴2sin αcos α＝119169，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α>0，∴cos α－sin α＝（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝5213，∴cos 2αsin （π4＋α）＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013.法二 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0<π4－α<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝120169， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1013. 答案1013创新导向题三角恒等变换与向量的综合问题8.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A.－34 B.－14C.34D.14解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 答案 B专项提升测试 模拟精选题一、选择题9.(2016·广东湛江模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A.－235B.235C.45D.－45解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝sin π3cos α＋cos π3sin α＋ sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 D10.(2015·昆明一中一模)化简sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的结果为( )A.sin 2αB.cos 2αC.sin αD.cos α解析 4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2α，∴sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α ＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.答案 A 二、解答题11.(2016·长春检测)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.解 (1)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，则函数f (x )＝a·b ＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3 ＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，令2k π－π2≤2x 3＋π3≤2k π＋π2，(k ∈Z ).解得3k π－54π≤x ≤3k π＋π4，(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－54π，3k π＋π4，(k ∈Z ).(2)∵b 2＝ac .∴cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又－1<cos x <1，∴12≤cos x <1，∴0<x ≤π3，∴π3<2x 3＋π3≤5π9，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3≤1，∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32≤1＋32，即函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32.12.(2016·菏泽模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得，2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ， 化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B.∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6 ＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∵B ＋C ＝2π3，0<B <π2，0<C <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴3<y ≤2，即函数的值域为(3，2].13.(2015·广东茂名模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R ，0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值. 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32，可得到sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝32，所以cos φ＝32，又∵0<φ<π，∴φ＝π6. 所以f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＋π6＝513，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝513，所以cos α＝－513，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝1213×22－513×22＝7226. 14.(2014·浙江协作体三模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值. 解 (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1，3].(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋2232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－222.15.(2014·成都诊断题)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.求：(1)tan 2α的值；(2)β的值. 解 (1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－（43）2＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 创新导向题三角恒等变换与三角函数，数列综合问题16.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求S △ABC 及a 的值. 解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)最小正周期为2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，(2)f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，又0<A <π，∴π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3，由b ，a ，c 成等差数列得2a ＝b ＋c ，由AB →·AC →＝9得bc cos A ＝9，∴12bc ＝9，即bc ＝18，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×18×32＝932.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ， 即a 2＝4a 2－54，∴a 2＝18，解得a ＝3 2.。
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天津市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练三角函数一、选择、填空题1、（2016年天津市高考）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(2、（2015年天津市高考） 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．3、（天津市八校2016届高三12月联考）已知函数()2sin()f x x ωφ=+ 的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭4、（和平区2016届高三第四次模拟）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______． 5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））函数π()sin()(0)3f x x ωω=->的最小正周期为π，则函数()f x 的单调递增区间为 （A ）π5π[ππ+]()1212k k k ∈Z -， （B ）5π11π[π+π+]()1212k k k ∈Z ， （C ）π5π[ππ+]()66k k k ∈Z -， （D ）5π11π[π+π+]()66k k k ∈Z ，6、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））若函数()=sin +3cos f x x x 的图象关于直线x=a 对称，则最小正实数a 的值为 （A ）π6（B ）π4（C ）π3 （D ）π27、（河东区2016届高三第二次模拟）下列选项中为函数412sin )62cos()(--=x x x f π的对称中心为( ) A ．)0,12(πB ．)41,3(-πC ．)0,3(π D ．)0,247(π8、（河西区2016届高三第二次模拟）将函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移ϕ（0>ϕ）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为（A ）8π（B ）83π（C ）43π （D ）2π9、（红桥区2016届高三上学期期末考试）已知()2sin()(||)32f x x ππϕϕ=+<，若1x =是它一条对称轴，ϕ= .10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）若tan α＝2，则2sin cos sin 3cos αααα-+= .11、（红桥区2016届高三上学期期中检测）函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 （A ）4x π=-（B ）2x π=-（C ）8x π=（D ）4x π=12、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>≤≤的部分图象如图所示，其中,A B 两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为8B ．1(3)2f =-C ．1x =-是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 向左平移一个单位长度后所得的函数为偶函数13、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考） 函数()sin()(,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则()4f π等于（ ）A ．1B ．12C ．22D ．3214、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二）） 函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．56π B ．3π C ．4π D ．6π15、（武清区2016届高三5月质量调查（三））若函数()x f y =的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移3π个单位长度， 最后将得到的函数图象沿y 轴向下平移1个单位长度，最后得到函数 y=21sinx 的图象，则函数()x f 的解析式为 ．二、解答题1、（2016年天津市高考）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知s i n 23s i n a B b A=. (Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.2、（2015年天津市高考）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.3、（天津市八校2016届高三12月联考）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 23c B a b =-（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2cos 3B =，求cos A 的值.4、（和平区2016届高三第四次模拟）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=+．（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若5,212A b π==，求a 和c ．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三））在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且a >c ．若1cos =3B ，6ac =，=3b ．（Ⅰ）求a 和cos C 的值； （Ⅱ）求πcos(2)3C +的值．6、（河北区2016届高三总复习质量检测（一））在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若7a =，3b =，7sin +sin =23B A ．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求πsin(2)6B +的值．7、（河东区2016届高三第二次模拟）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知()sin sin sin a b a cA B A B +-=+-． （1）求角B ；（2）若36cos ,3==A b ,求ABC ∆的面积．8、（河西区2016届高三第二次模拟）在锐角ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c ，已知7=a ，3=b ，32sin sin 7=+A B .（Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.9、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c ，其中6=b ，ABC ∆的面积为15，其外接圆的半径为5.（Ⅰ）求B 2sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的周长.10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 已知a+b =5，c =7，且274sin cos2.22A B C +-= (Ⅰ) 求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积.11、（红桥区2016届高三上学期期中检测） 已知函数()sin 2cos 2f x x x ωω=+．（0ω>）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标向右平行移动π4个单位长度，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．12、（天津市五校2016届高三联考）已知()f x =233sin(2)2cos .32x x π+-+ （I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且1a =，b c +=2，()f A =1，求ABC ∆的面积.13、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，A 为钝角，23cosBsinC sinBcosC =+． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若27a =且c b >，ABC ∆的面积为23，求边b 和c ．14、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））已知函数)sin 3(cos cos )(x x x x f +=.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若1)(=C f 且4,7=+=b a c ，求ABC S ∆.15、（武清区2016届高三5月质量调查（三））在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，15=a ，41sin =A ． （1）若35cos =B ，求b 的大小； （2）若a b 4=，求c 的大小及ABC ∆的面积．参考答案一、填空、选择题 1、【答案】D考点：解简单三角方程 2、【答案】π2【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤ ,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质. 3、0 4、325、A6、A7、D8、B9、6π 10、3511、A 12、D 13、B 14、B 15、()132sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x f二、解答题1、【答案】（Ⅰ）6π=B （Ⅱ）2616+ 解析：（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由BbA a sin sin =，可得A bB a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得6π=B ；（Ⅱ）解：由31cos =A 得322sin =A ，则)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 2、【答案】（I ）a =8,15sin 8C =；（II ）157316-. 【解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.3、解：（Ⅰ）22222222222cos 232232233B a ba cbc a baca cb a abc a b ab=-+-∴⨯=-∴+-=-∴=+- 2222(3)3cos 22a b a b ab C ab +-+-∴==6C π∴=（Ⅱ）cos cos()A B C π=-- cos()6B ππ=--5cos()6b π=- 55cos cos sin sin 66B B ππ=+22cos 35sin 1cos 3B B B =∴=-=原式321552323236-=-⨯+⨯=4、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2222a c ac b +=+．………………………………3分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，由4B π=，得()3C A B ππ=-+=．…………………………………………………9分故sin 262213sin 4b A a B +==⨯=+，……………………………………………11分 sin 3226sin 2b Cc B ==⨯=．…………………………………………………………13分 5、解：（Ⅰ）∵1cos 3B =，6ac =，=3b ，∴由余弦定理得，22a +c =22cos 13b +ac B =⋅．…………3分解得=2=3a c ⎧⎨⎩，，或 =3=2.a c ⎧⎨⎩，………… 5分又 a >c ，∴=3=2a c ，． …………6分 ∴2227cos ==29a +b cC ab-． ………… 8分（Ⅱ）∵0πC <<，∴242sin =1cos =9C C - ．…………10分∴562sin2=2sin cos =81C C C ， 217cos2=2cos 1=81C C -． …………11分∴πππ17566cos(2)=cos2cos sin 2sin =333162C C C +--． …………13分6、解：（Ⅰ）∵sin sin a b =A B ，∴sin sin b A B =a． …………2分 又7a =，3b =，7sin +sin =23B A ，∴3sin =2A ． …………4分 又02A π<<，∴π=3A ． …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 3321sin =sin =147B A ． …………7分 又02B π<<，∴27cos =1sin =14B B -． …………9分 ∵33sin2=2sin cos =14B B B ， 213cos2=12sin =14B B --， …………11分 ∴πππ1sin(2)=sin 2cos cos2sin =6667B B B ++- …………13分7、 解：（1）sin()sin sin a b a cA B A B +-=+-， 所以ba c a cb a --=+， 所以222a b ac c -=-， …………………………………………………………………3分所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===， 又因为π<<B 0，所以3B π=。